高考数学一轮复习第9章第4课时古典概型、概率的基本性质学案

这是一份高考数学一轮复习第9章第4课时古典概型、概率的基本性质学案，共19页。

1．理解古典概型及其概率计算公式.
2．会计算一些随机事件所包含的样本点及事件发生的概率．
3．当直接求某一事件的概率较为复杂时，可转化为求几个互斥事件的概率之和或其对立事件的概率．
1．古典概型
具有以下特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型．
(1)有限性：样本空间的样本点只有有限个；
(2)等可能性：每个样本点发生的可能性相等．
2．古典概型的概率公式
一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率P(A)＝kn＝nAnΩ．
其中，n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数．
3．概率的基本性质
性质1：对任意的事件A，都有P(A)≥0；
性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)＝1，P(∅)＝0；
性质3：如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；
性质4：如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝1－P(B)；
性质5：如果A⊆B，那么P(A)≤P(B)，由该性质可得，对于任意事件A，因为∅⊆A⊆Ω，所以0≤P(A)≤1.
性质6：设A，B是一个随机试验中的两个事件，有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)．
[常用结论]
如果事件A1，A2，…，An两两互斥，则称这n个事件互斥，其概率有如下公式：P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．
一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个结果是等可能事件．( )
(2)“在适宜条件下，种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型，其基本事件是“发芽与不发芽”．( )
(3)事件A与B的和事件的概率一定大于事件A的概率．( )
(4)若一次试验的结果所包含的样本点的个数为有限个，则该试验符合古典概型．( )
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×
二、教材习题衍生
1．(人教A版必修第二册P236例9改编)袋中装有大小、形状完全相同的6个白球，4个红球，从中任取一球，则取到白球的概率为( )
A．25 B．35
C．14 D．16
B [P＝610＝35.]
2．(人教A版必修第二册P244习题10.1T13改编)某射手在一次射击中，射中10环，9环，8环的概率分别是0.2，0.3，0.1，则该射手在一次射击中不够8环的概率为( )
A．0.9 B．0.3
C．0.6 D．0.4
D [设“该射手在一次射击中不够8环”为事件A，则事件A的对立事件A是“该射手在一次射击中不小于8环”．
∵事件A包括射中10环，9环，8环，这三个事件是互斥的，
∴P(A)＝0.2＋0.3＋0.1＝0.6，
∴P(A)＝1－P(A)＝1－0.6＝0.4，即该射手在一次射击中不够8环的概率为0.4.]
3．(人教A版必修第二册P239练习T2改编)如果从不包括大、小王的52张扑克牌中随机抽取一张，取到黑桃的概率是14，取到梅花的概率是14，则取到红色牌的概率是________．
12 [P＝1－14+14＝12.]
4．(人教A版必修第二册P242练习T1改编)已知P(A)＝0.4，P(B)＝0.2.
(1)如果B⊆A，则P(A∪B)＝__________，P(AB)＝__________；
(2)如果A，B互斥，则P(A∪B)＝__________，
P(AB)＝__________．
(1)0.4 0.2 (2)0.6 0 [(1)因为B⊆A，所以P(A∪B)＝P(A)＝0.4，P(AB) ＝P(B)＝0.2.
(2)如果A，B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.4＋0.2＝0.6，P(AB)＝P(∅)＝0.]
考点一 古典概型
[典例1] 有编号为A1，A2，…，A10的10个零件，测量其直径(单位：cm)，得到下面数据：
其中直径在区间[1.48，1.52]内的零件为一等品．
(1)从上述10个零件中，随机抽取1个，求这个零件为一等品的概率；
(2)从这些一等品中，随机抽取2个零件．
①用零件的编号列出样本空间；
②求这2个零件直径相等的概率．
[解] (1)由题表知一等品共有6个，设“从10个零件中，随机抽取1个为一等品”为事件A，则P(A)＝610＝35.
(2)①一等品的编号为A1，A2，A3，A4，A5，A6，从这6个一等品中随机抽取2个，样本空间Ω＝{(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，A4)，(A1，A5)，(A1，A6)，(A2，A3)，(A2，A4)，(A2，A5)，(A2，A6)，(A3，A4)，(A3，A5)，(A3，A6)，(A4，A5)，(A4，A6)，(A5，A6)}，共15个样本点．
②将“从一等品中，随机抽取的2个零件直径相等”记为事件B，则B包含的样本点有(A1，A4)，(A1，A6)，(A4，A6)，(A2，A3)，(A2，A5)，(A3，A5)，共6个，∴P(B)＝615＝25.
求样本空间中样本点个数的方法
(1)枚举法：适合于给定的样本点个数较少且易一一列举出的问题．
(2)树形图法：适合于较为复杂的问题，注意在确定样本点时(x，y)可看成是有序的，如(1，2)与(2，1)不同，有时也可看成是无序的，如(1，2)与(2，1)相同．
(3)排列组合法：在求一些较复杂的样本点个数时，可利用排列或组合的知识．
[跟进训练]
1．(1)(2022·新高考Ⅰ卷)从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为( )
A．16 B．13
C．12 D．23
(2)(2023·福建三明模拟)某校为落实“双减”政策．在课后服务时间开展了丰富多彩的体育兴趣小组活动，现有甲、乙、丙、丁四名同学拟参加篮球、足球、乒乓球、羽毛球四项活动，由于受个人精力和时间限制，每人只能等可能的选择参加其中一项活动，则恰有两人参加同一项活动的概率为( )
A．964 B．716
C．916 D．2732
(3)(2022·全国甲卷)从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为( )
A．15 B．13
C．25 D．23
(1)D (2)C (3)C [(1)从2至8的7个整数中随机取2 个不同的数，共有C72＝21(种)不同的取法，
若两数不互质，不同的取法有：(2，4)，(2，6)，(2，8)，(3，6)，(4，6)，(4，8)，(6，8)，共7种，
故所求概率P＝21-721＝23.
故选D.
(2)每人有4种选择，四人共有44种选择，
其中恰有两人参加同一项活动共有C42C41A32种选择，
所以四人中恰有两人参加同一项活动的概率为C42C41A3244＝916.故选C.
(3)从6张卡片中无放回抽取2张，共有1，2，1，3，1，4，1，5，1，6，2，3，2，4，(2，5)，2，6，3，4，3，5，3，6，4，5，(4，6)，(5，6)，15种情况，
其中数字之积为4的倍数的有1，4，2，4，2，6，3，4，4，5，4，6，6种情况，故概率为615＝25.
故选C.]
考点二 概率基本性质的应用
互斥事件与对立事件的概率
[典例2] 某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得.1 000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A，B，C，求：
(1)P(A)，P(B)，P(C)；
(2)1张奖券的中奖概率；
(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率．
[解] (1)P(A)＝11 000， P(B)＝101 000＝1100，
P(C)＝501 000＝120.
故事件A，B，C的概率分别为11 000，1100，120.
(2)1张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖．设“1张奖券中奖”这个事件为M，则M＝A∪B∪C.
∵A，B，C两两互斥，
∴P(M)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)
＝1+10+501 000＝611 000，
故1张奖券的中奖概率约为611 000.
(3)设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N，则事件N与“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件，
∴P(N)＝1－P(A∪B)＝1－11 000+1100＝9891 000，故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为9891 000.
概率加法公式的应用
[典例3] (1)若P(A∪B)＝0.7，P(A)＝0.4，P(B)＝0.6，则P(A∩B)＝________．
(2)一个电路板上装有甲、乙两根熔丝，甲熔断的概率为0.85，乙熔断的概率为0.74，两根同时熔断的概率为0.63，则至少有一根熔断的概率为________．
(1)0.3 (2)0.96 [(1)因为P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)，所以P(A∩B)＝P(A)＋P(B)－P(A∪B)＝0.4＋0.6－0.7＝0.3.
(2)设A＝“甲熔丝熔断”，B＝“乙熔丝熔断”，记“甲、乙两根熔丝至少有一根熔断”为事件A∪B. P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)＝0.85＋0.74－0.63＝0.96.]
求复杂互斥事件概率的两种方法
(1)直接法：将所求事件分解为一些彼此互斥事件的和，运用互斥事件概率的加法公式计算．
(2)间接法：先求此事件的对立事件，再用公式P(A)＝1－P(A)求得，即运用逆向思维(正难则反)，特别是“至多”“至少”型题目，用间接法就会较简便．
[跟进训练]
2．(1)抛掷一枚质地均匀的骰子，事件A表示“向上的点数是奇数”，事件B表示“向上的点数不超过3”，则P(A∪B)等于( )
A．12 B．23
C．56 D．1
(2)甲、乙、丙、丁四人参加4×100米接力赛，他们跑每一棒的概率均为14 .求甲跑第一棒或乙跑第四棒的概率．
(1)B [法一：A包含向上点数是1，3，5的情况，B包含向上的点数是1，2，3的情况，所以A∪B包含了向上点数是1，2，3，5的情况，故P(A∪B)＝46＝23.
法二：P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)
＝12+12-26＝1－13＝23.]
(2)[解] 设事件A＝“甲跑第一棒”，事件B＝“乙跑第四棒”，则P(A)＝14，P(B)＝14.
记甲跑第x棒，乙跑第y棒为(x，y)，
则共有可能结果12种，样本空间Ω＝{(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)}．
甲跑第一棒，乙跑第四棒只有一种结果，即(1，4)，
故P(A∩B)＝112.
所以甲跑第一棒或乙跑第四棒的概率P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)＝14+14-112＝512.
考点三 古典概型的综合问题
[典例4] 人耳的听力情况可以用电子测听器检测，正常人听力的等级为0～25dB(分贝)，并规定测试值在区间0，5为非常优秀，测试值在区间5，10为优秀．某校500名同学参加了听力测试，从中随机抽取了50名同学的测试值作为样本，制成如图频率分布直方图：
(1)从总体的500名学生中随机抽取1人，估计其测试值在区间0，10内的概率；
(2)已知样本中听力非常优秀的学生有4人，估计总体中听力为优秀的学生人数；
(3)现选出一名同学参加另一项测试，测试规则如下：四个音叉的发音情况不同，由强到弱的编号分别为1，2，3，4.测试前将音叉顺序随机打乱，被测试的同学依次听完后，将四个音叉按发音由强到弱重新排序，所对应的音叉编号分别为a1，a2，a3，a4(其中集合a1，a2，a3，a4＝1，2，3，4)．记Y＝1-a1+2-a2＋|3－a3|＋4-a4，可用Y描述被测试者的听力偏离程度，求Y≤2的概率．
[解] (1)根据频率分布直方图知，样本中测试值在区间0，10内的频率为1－0.06+0.08+0.02×5＝1－0.8＝0.2，
以频率为概率，从总体的500名学生中随机抽取1人，估计其测试值在区间0，10内的概率为0.2.
(2)由(1)知：样本中听力为优秀的学生人数为0.2×50－4＝6.
∴估计总体中听力为优秀的学生人数为500×650＝60.
(3)当a1＝1时，序号a1，a2，a3，a4的情况为6种：
分别记为1，2，3，4，1，2，4，3，1，3，2，4，(1，3，4，2)，(1，4，2，3)，(1，4，3，2)，
同理，当a1＝2，3，4时，序号a1，a2，a3，a4的情况也分别为6种，
∴序号a1，a2，a3，a4所有的情况总数为24种．
当Y＝0时，a1＝1，a2＝2，a3＝3，a4＝4，
当Y＝1-a1+2-a2+3-a3+4-a4＝2时，a1，a2，a3，a4的取值为a1＝1，a2＝2，a3＝4，a4＝3，或a1＝1，a2＝3，a3＝2，a4＝4, 或a1＝2，a2＝1，a3＝3，a4＝4，
∴Y≤2时，序号a1，a2，a3，a4对应的情况为4种，即PY≤2＝424＝16.
求解古典概型的交汇问题，关键是把相关的知识转化为事件，然后利用古典概型的有关知识解决，其解题流程为：
化事件-将题目条件中的相关知识转化为事件
↓
辨概型-判断事件是古典概型还是其他概型
↓
列事件-选用合适的方法列举基本事件
↓
求概率-代入相应的概率公式求解
[跟进训练]
3．(1)从集合{2，3，4，5}中随机抽取一个数a，从集合{1，3，5}中随机抽取一个数b，则向量m＝(a，b)与向量n＝(1，－1)垂直的概率为( )
A．16 B．13
C．14 D．12
(2)一个袋中装有四个形状大小完全相同的编号为1，2，3，4的球，从袋中随机抽取一个球，将其编号记为m，然后从袋中余下的三个球中再随机抽取一个球，将其编号记为n，则关于x的一元二次方程x2＋2mx＋n2＝0无实数根的概率为________．
(1)A (2)12 [(1)由题意可知m＝(a，b)有：(2，1)，(2，3)，(2，5)，(3，1)，(3，3)，(3，5)，(4，1)，(4，3)，(4，5)，(5，1)，(5，3)，(5，5)，共12种情况．
因为m⊥n，即m·n＝0，所以a×1＋b×(－1)＝0，即a＝b，满足条件的有(3，3)，(5，5)，共2个，
故所求的概率为16.故选A.
(2)记事件A为“关于x的一元二次方程x2＋2mx＋n2＝0无实数根”．由m>0，n>0，Δ＝(2m)2－4n2<0，得0课时分层作业(五十九) 古典概型、概率的基本性质
一、选择题
1．若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为( )
A．0.3 B．0.4
C．0.6 D．0.7
B [由题意知不用现金支付的概率为1－0.45－0.15＝0.4.]
2．现有5位老师，若每人随机进入两间教室中的任意一间听课，则恰好全都进入同一间教室的概率是( )
A．225 B．116
C．125 D．132
B [5位老师，每人随机进入两间教室中的任意一间听课，共有25＝32(种)方法，其中恰好全都进入同一间教室，共有2种方法，所以P＝232＝116.故选B.]
3．华人数学家张益唐证明了孪生素数(注：素数也叫做质数)猜想的一个弱化形式，孪生素数猜想可以这样描述：存在无穷多个素数p使得p＋2是素数，素数对(p，p＋2)称为孪生素数，从20以内的素数中任取两个，其中能构成孪生素数的概率为( )
A．114 B．17
C．314 D．13
B [依题意，20以内的素数共有8个，从中选两个共包含C82＝28(个)样本点，而20以内的孪生素数有(3，5)，(5，7)，(11，13)，(17，19)共四对，包含4个样本点，所以从20以内的素数中任取两个，其中能构成孪生素数的概率P＝428＝17.]
4．在1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取3个不同的数，则这3个数的和能被3整除的概率是( )
A．928 B．13
C．514 D．25
C [在1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取3个不同的数，基本事件总数n＝C93＝84,
∵1，4，7被3除余1; 2，5，8被3除余2；3，6，9刚好被3除， ∴若要使选取的三个数字和能被3整除，则需要从每一组中选取一个数字，或者从一组中选取三个数字， ∴这3个数的和能被3整除的不同情况有： C31C31C31+C31C33＝30, ∴这3个数的和能被3整除的概率为P＝3084＝514.故选C.]
5．(2022·山东济南3月模拟)我们通常所说的ABO血型系统是由A，B，O三个等位基因决定的，每个人的基因型由这三个等位基因中的任意两个组合在一起构成，且两个等位基因分别来自父亲和母亲，其中AA，AO为A型血，BB，BO为B型血，AB为AB型血，OO为O型血．比如：父亲和母亲的基因型分别为AO，AB，则孩子的基因型等可能的出现AA，AB，AO，BO四种结果．已知小明的爷爷、奶奶和母亲的血型均为AB型，不考虑基因突变，则小明是A型血的概率为( )
A．116 B．18
C．14 D．12
C [因为小明的爷爷、奶奶的血型均为AB型，则小明父亲的血型可能是AA，AB，BB，它们对应的概率分别为14，12，14.当小明父亲的血型是AA时，因其母亲的血型为AB，则小明的血型可能是AA，AB，它们的概率均为12，此时小明是A型血的概率为14×12＝18；当小明父亲的血型是AB时，因其母亲的血型为AB，则小明的血型是AA的概率为14，此时小明是A型血的概率为12×14＝18；当小明父亲的血型是BB时，因其母亲的血型为AB，则小明的血型不可能是AA，所以小明是A型血的概率为18+18＝14，即C正确．故选C.]
6．(多选)中国篮球职业联赛中，某男篮运动员在最近几次参加的比赛中的得分情况如下表：
记该运动员在一次投篮中，“投中两分球”为事件A，“投中三分球”为事件B，“没投中”为事件C，用频率估计概率的方法得到的下述结论中正确的是( )
A．P(A)＝0.55 B．P(B)＝0.18
C．P(C)＝0.27 D．P(B＋C)＝0.55
ABC [由题意可得P(A)＝55100＝0.55，P(B)＝18100＝0.18.因为事件A＋B与事件C为对立事件，且事件A，B，C互斥，所以P(C)＝1－P(A＋B)＝1－P(A)－P(B)＝1－0.55－0.18＝0.27，P(B＋C)＝1－P(A)＝1－0.55＝0.45.故选ABC.]
二、填空题
7．(2022·全国甲卷)从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率为________．
635 [根据题意，从正方体的8个顶点中任取4个，有n＝C84＝70(种)结果，这4个点在同一个平面的有m＝6＋6＝12(种)，故所求概率P＝mn＝1270＝635.]
8．(2022·上海高考)为了检测学生的身体素质指标，从游泳类1项，球类3项，田径类4项，共8项项目中随机抽取4项进行检测，则每一类都被抽到的概率为 ________．
37 [从游泳类1项，球类3项，田径类4项，共8项项目中随机抽取4项进行检测，则每一类都被抽到的方法共有C11·C31·C42+C11·C32·C41种，而所有的抽取方法共有C84种，故每一类都被抽到的概率为
C11·C31·C42+C11·C32·C41C84＝3070＝37.]
9．已知花博会有四个不同的场馆A，B，C，D，甲、乙两人每人选2个去参观，则他们的选择中，恰有一个馆相同的概率为 ________．
23 [甲选2个去参观，有C42＝6种，乙选2个去参观，有C42＝6种，共有6×6＝36种，
若甲、乙恰有一个馆相同，则选确定相同的馆有C41＝4种，然后从剩余3个馆中选2个进行排列，有A32＝6种，共有4×6＝24种，则对应概率P＝2436＝23.]
三、解答题
10．经统计，在某储蓄所一个营业窗口排队的人数相应的概率如下：
求：(1)至多2人排队等候的概率；
(2)至少3人排队等候的概率．
[解] 记“无人排队等候”为事件A，“1人排队等候”为事件B，“2人排队等候”为事件C，“3人排队等候”为事件D，“4人排队等候”为事件E，“5人及5人以上排队等候”为事件F，则事件A，B，C，D，E，F彼此互斥．
(1)记“至多2人排队等候”为事件G，则G＝A＋B＋C，所以P(G)＝P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56.
(2)法一：记“至少3人排队等候”为事件H，则H＝D＋E＋F，所以P(H)＝P(D＋E＋F)＝P(D)＋P(E)＋P(F)＝0.3＋0.1＋0.04＝0.44.
法二：记“至少3人排队等候”为事件H，则其对立事件为事件G，所以P(H)＝1－P(G)＝0.44.
11．某公司三个分厂的职工情况为：第一分厂有男职工4 000人，女职工1 600人；第二分厂有男职工3 000人，女职工1 400人；第三分厂有男职工800人，女职工500人．如果从该公司职工中随机抽选1人，求该职工为女职工或为第三分厂职工的概率．
[解] 记事件A为“抽取的为女职工”，记事件B为“抽取的为第三分厂的职工”，则A∩B表示“抽取的为第三分厂的女职工”，A∪B表示“抽取的为女职工或第三分厂的职工”，则有
P(A)＝1 600+1 400+5004 000+1 600+3 000+1 400+800+500＝35113，
P(B)＝800+5004 000+1 600+3 000+1 400+800+500＝1 30011 300＝13113，
P(A∩B)＝5004 000+1 600+3 000+1 400+800+500＝5113，
∴P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)＝35113+13113-5113＝43113.
12．(2021·全国甲卷)将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为( )
A．13 B．25
C．23 D．45
C [4个1和2个0随机排成一行，共有A66A44A22＝15种， 2个0不相邻，先将4个1全排列，再用插空法将2个0放入共有C52＝10种，故2个0不相邻的概率为1015＝23.故选C.]
13．(2019·全国Ⅰ卷)我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是( )
A．516 B．1132
C．2132 D．1116
A [由6个爻组成的重卦种数为26＝64，在所有重卦中随机取一重卦，该重卦恰有3个阳爻的种数为C63＝6×5×46＝20.根据古典概型的概率计算公式得，所求概率P＝2064＝516.故选A.]
14．甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次．甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说“虽然你的成绩比乙好，但是你俩都没得到第一名”；对乙说“你当然不会是最差的”．从上述回答分析，丙是第一名的概率是________．
13 [因为甲和乙都不可能是第一名，所以第一名只可能是丙、丁或戊，又考虑到所有的限制条件对丙、丁、戊都没有影响，所以这三个人获得第一名是等概率事件，所以丙是第一名的概率是13.]
15．如图，A地到火车站共有两条路径L1和L2，现随机抽取100位从A地到达火车站的人进行调查，调查结果如下：
(1)试估计40分钟内不能赶到火车站的概率；
(2)分别求通过路径L1和L2所用时间落在上表中各时间段内的频率；
(3)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站，为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径．
[解] (1)由已知共调查了100人，其中40分钟内不能赶到火车站的有12＋12＋16＋4＝44(人)，
所以用频率估计相应的概率为P＝44100＝0.44.
(2)选择L1的有60人，选择L2的有40人，
故由调查结果得频率为
(3)设A1，A2分别表示甲选择L1和L2时，在40分钟内赶到火车站；B1，B2分别表示乙选择L1和L2时，在50分钟内赶到火车站．由(2)知P(A1)＝0.1＋0.2＋0.3＝0.6，
P(A2)＝0.1＋0.4＝0.5，
因为P(A1)＞P(A2)，所以甲应选择L1.
同理，P(B1)＝0.1＋0.2＋0.3＋0.2＝0.8，
P(B2)＝0.1＋0.4＋0.4＝0.9，
因为P(B1)＜P(B2)，所以乙应选择L2.
编号
A1
A2
A3
A4
A5
A6
A7
A8
A9
A10
直径
1.51
1.49
1.49
1.51
1.49
1.51
1.47
1.46
1.53
1.47
投篮次数
投中两分球的次数
投中三分球的次数
100
55
18
排队人数
0
1
2
3
4
5人及5人以上
概率
0.1
0.16
0.3
0.3
0.1
0.04
所用时间(分钟)
10～20
20～30
30～40
40～50
50～60
选择L1的人数
6
12
18
12
12
选择L2的人数
0
4
16
16
4
所用时间(分钟)
10～20
20～30
30～40
40～50
50～60
选择L1的频率
0.1
0.2
0.3
0.2
0.2
选择L2的频率
0
0.1
0.4
0.4
0.1