高考数学一轮复习第5章第2课时平面向量基本定理及坐标表示学案

这是一份高考数学一轮复习第5章第2课时平面向量基本定理及坐标表示学案，共18页。

1．了解平面向量基本定理及其意义.
2．掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.
3．会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.
4．理解用坐标表示平面向量共线的条件．
1．平面向量基本定理
(1)定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
(2)基底：若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底．
2．平面向量的坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝x12+y12．
(2)向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．
②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB＝(x2－x1，y2－y1)，|AB|＝x2-x12+y2-y12.
3．平面向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0．
[常用结论]
1．若a与b不共线，且λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0．
2．已知P为线段AB的中点，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则P点坐标为x1+x22，y1+y22．
3．已知△ABC的重心为G，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则Gx1+x2+x33，y1+y2+y33．

一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)平面内的任何两个向量都可以作为一个基底．( )
(2)向量的坐标就是向量终点的坐标．( )
(3)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件可以表示成x1x2＝y1y2.( )
(4)若a，b不共线，且λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.( )
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√
二、教材习题衍生
1．(人教A版必修第二册P31例6改编)已知平面向量a＝(1，1)，b＝(1，－1)，则向量12a－32b＝( )
A．(－2，－1) B．(－2，1)
C．(－1，0) D．(－1，2)
D [∵a＝(1，1)，b＝(1，－1)，
∴12a＝12，12，32b＝32，-32，
∴12a－32b＝12-32，12+32＝(－1，2)，故选D.]
2．(人教A版必修第二册P33练习T5改编)若P1(1，3)，P2(4，0)且P是线段P1P2的一个三等分点，则点P的坐标为( )
A．(2，2) B．(3，－1)
C．(2，2)或(3，－1) D．(2，2)或(3，1)
D [由题意可知P1P2＝(3，－3)．
若P1P＝13P1P2，则P点坐标为(2，2)；
若P1P＝23P1P2，则P点坐标为(3，1)，
故选D.]
3．(人教A版必修第二册P30例5改编)已知▱ABCD的顶点A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5，6)，则顶点D的坐标为________．
(1，5) [设D(x，y)，则由AB＝DC，得(4，1)＝(5－x，6－y)，
即4=5-x，1=6-y，解得x=1，y=5.]
4．(人教A版必修第二册P26例1改编)如图，OA，OB不共线，且AP＝tAB(t∈R)，用OA，OB表示OP，则OP＝________．
(1－t)OA＋tOB [∵AP＝tAB，
∴OP＝OA+AP＝OA＋tAB
＝OA＋t(OB-OA)＝OA＋tOB－tOA
＝(1－t)OA＋tOB.]
考点一 平面向量基本定理的应用
[典例1] 如图，已知在△OCB中，A是CB的中点，D是将OB分成2∶1的一个内分点，DC和OA交于点E，设OA＝a，OB＝b.
(1)用a和b表示向量OC，DC；
(2)若OE＝λOA，求实数λ的值．
[解] (1)由题意知，A是BC的中点，且OD＝23OB，由向量加法的平行四边形法则，
得OB+OC＝2OA，
所以OC＝2OA-OB＝2a－b，
DC＝OC-OD＝(2a－b)－23b＝2a－53b.
(2)由题意知，EC∥DC，故设EC＝xDC.
因为EC＝OC-OE＝(2a－b)－λa
＝(2－λ)a－b，DC＝2a－53b，
所以(2－λ)a－b＝x2a-53b.
因为a与b不共线，由平面向量基本定理，
得2-λ=2x，-1=-53x，解得x=35，λ=45.
故λ＝45.
平面向量基本定理解决问题的一般思路
(1)先选择一个基底，并运用该基底将条件和结论表示为向量的形式，再通过向量的运算来解决．
(2)在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便．另外，要熟练运用平面几何的一些性质定理．
[跟进训练]
1．(1)如图，A，B分别是射线OM，ON上的点，给出下列向量：
①OA＋2OB；②12OA+13OB；③34OA+13OB；④34OA+15OB，若这些向量均以O为起点，则终点落在阴影区域内(包括边界)的是( )
A．①② B．①③
C．②③ D．②④
(2)如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别为边AB，BC的中点，连接CE，DF，交于点G.若CG＝λCD＋μCB(λ，μ∈R)，则λμ＝________．
(1)B (2)12 [(1)由向量共线的充要条件可得：当点P在线段AB上时，存在唯一的一对有序实数u，v，使得OP＝uOA＋vOB成立，且u＋v＝1.
可以证明当点P位于阴影区域内的充要条件是：满足OP＝uOA＋vOB，且u＞0，v＞0，u＋v＞1.
∵1＋2＞1，∴点P位于阴影区域内，故①正确；同理③正确；而②④错误．故选B.
(2)由题图可设CG＝xCE(x＞0)，
则CG＝x(CB+BE)＝xCB+12CD＝x2CD＋xCB.
因为CG＝λCD＋μCB，CD与CB不共线，
所以λ＝x2，μ＝x，所以λμ＝12.]
考点二 平面向量的坐标运算
[典例2] (1)向量a，b，c在正方形网格中，如图所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则λμ＝( )
A．1 B．2
C．3 D．4
(2)已知A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设AB＝a，BC＝b，CA＝c，且CM＝3c，CN＝－2b.
①求3a＋b－3c；
②求M，N的坐标及向量MN的坐标．
(1)D [如图，以O为坐标原点，建立平面直角坐标系，设每个小正方形边长为1，可得a＝(－1，1)，b＝(6，2)，c＝(－1，－3)．
∵c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，
∴-1=-λ+6μ，-3=λ+2μ，解得λ＝－2，μ＝－12.
∴λμ＝4．故选D.]
(2)[解] 由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1，8)．
①3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1，8)
＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．
②设O为坐标原点，∵CM＝OM-OC＝3c，
∴OM＝3c＋OC＝(3，24)＋(－3，－4)＝(0，20)．
∴M(0，20)．又∵CN＝ON-OC＝－2b，
∴ON＝－2b＋OC＝(12，6)＋(－3，－4)＝(9，2)，
∴N(9，2)，∴MN＝(9，－18)．
平面向量坐标运算的技巧
(1)利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．
(2)解题过程中，常利用“向量相等，则坐标相同”这一结论，由此可列方程(组)进行求解．
[跟进训练]
2．(1)在平行四边形ABCD中，A(1，2)，B(－2，0)，AC＝(2，－3)，则点D的坐标为( )
A．(6，1) B．(－6，－1)
C．(0，－3) D．(0，3)
(2)如图，在正方形ABCD中，M，N分别是BC，CD的中点，若AC＝λAM＋μBN，则λ＋μ＝________．
(1)A (2)85 [(1)AB＝(－3，－2)＝DC，
∴AD＝AC+CD＝AC-AB＝(5，－1)，则D(6，1)．故选A.
(2)法一：以AB，AD所在直线分别为x轴，y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，
设正方形的边长为1，则AM＝1，12，BN＝-12，1，AC＝(1，1)，
∵AC＝λAM＋μBN＝λ-12μ，λ2+μ，
∴λ-12μ=1，λ2+μ=1， 解得λ=65，μ=25，
∴λ＋μ＝85.
法二：由AM＝AB+12AD，BN＝－12AB+AD，得AC＝λAM＋μBN＝λ-μ2AB+λ2+μAD，又AC＝AB+AD，
∴λ-μ2=1，λ2+μ=1，解得λ=65，μ=25. ∴λ＋μ＝85.]
考点三 向量共线的坐标表示
利用向量共线求参数
[典例3] 已知a＝(1，0)，b＝(2，1)．
(1)当k为何值时，ka－b与a＋2b共线；
(2)若AB＝2a＋3b，BC＝a＋mb，且A，B，C三点共线，求m的值．
[解] (1)∵a＝(1，0)，b＝(2，1)，
∴ka－b＝k(1，0)－(2，1)＝(k－2，－1)，
a＋2b＝(1，0)＋2(2，1)＝(5，2)，
∵ka－b与a＋2b共线，
∴2(k－2)－(－1)×5＝0，
∴k＝－12.
(2)AB＝2(1，0)＋3(2，1)＝(8，3)，
BC＝(1，0)＋m(2，1)＝(2m＋1，m)．
∵A，B，C三点共线，
∴AB∥BC，∴8m－3(2m＋1)＝0，∴m＝32.
利用向量共线求坐标
[典例4] 已知O为坐标原点，点A(4，0)，B(4，4)，C(2，6)，则AC与OB的交点P的坐标为________．
(3，3) [法一：由O，P，B三点共线，可设OP＝λOB＝(4λ，4λ)，则AP＝OP-OA＝(4λ－4，4λ)．
又AC＝OC-OA＝(－2，6)，
由AP与AC共线，得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0，
解得λ＝34，所以OP＝34OB＝(3，3)，
所以点P的坐标为(3，3)．
法二：设点P(x，y)，则OP＝(x，y)，因为OB＝(4，4)且OP与OB共线，所以x4＝y4，即x＝y.
又AP＝(x－4，y)，AC＝(－2，6)，且AP与AC共线，
所以(x－4)×6－y×(－2)＝0，解得x＝y＝3，
所以点P的坐标为(3，3)．]
平面向量共线的坐标表示问题的解题策略
(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b的充要条件是x1y2＝x2y1.
(2)在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为λa(λ∈R)．
[跟进训练]
3．(1)在平面直角坐标系中，已知A(1，0)，B(0，1)，C为第一象限内一点，∠AOC＝π4，且|OC|＝2，若OC＝λOA＋μOB，则λ＋μ等于( )
A．22 B．2
C．2 D．42
(2)(2021·全国乙卷)已知向量a＝(2，5)，b＝(λ，4)，若a∥b，则λ＝________．
(1)A (2)85 [(1)因为|OC|＝2，∠AOC＝π4，C为第一象限内一点，所以C(2，2)，又OC＝λOA＋μOB，
所以(2，2)＝λ(1，0)＋μ(0，1)＝(λ，μ)，
所以λ＝μ＝2，λ＋μ＝22.
(2)因为a＝(2，5)，b＝(λ，4)，a∥b，
所以8－5λ＝0，解得λ＝85.]
课时分层作业(三十) 平面向量基本定理及坐标表示
一、选择题
1．设平面向量a＝(－1，0)，b＝(0，2)，则2a－3b等于( )
A．(6，3) B．(－2，－6)
C．(2，1) D．(7，2)
B [2a－3b＝(－2，0)－(0，6)＝(－2，－6)．]
2．已知平面直角坐标系内的两个向量a＝(1，2)，b＝(m，3m－2)，且平面内的任一向量c都可以唯一的表示成c＝λa＋μb(λ，μ为实数)，则实数m的取值范围是( )
A．(－∞，2) B．(2，＋∞)
C．(－∞，＋∞) D．(－∞，2)∪(2，＋∞)
D [由题意可知a与b不共线，即3m－2≠2m，∴m≠2．故选D.]
3．已知四边形ABCD的三个顶点A(0，2)，B(－1，－2)，C(3，1)，且BC＝2AD，则顶点D的坐标为( )
A．2，72 B．2，-12
C．(3，2) D．(1，3)
A [设D(x，y)，AD＝(x，y－2)，BC＝(4，3)，
又BC＝2AD，∴4=2x， 3=2y-2，
∴x=2，y=72，故顶点D的坐标为2，72，
故选A.]
4．已知向量a＝(3，－2)，b＝(1，x)，且a－b与2a＋b共线，则x＝( )
A．23 B．－23
C．32 D．－32
B [∵a－b＝(2，－2－x)，2a＋b＝(7，－4＋x)，a－b与2a＋b共线，∴2×(－4＋x)－7×(－2－x)＝0，解得x＝－23.故选B.]
5．(多选)已知向量OA＝(1，－3)，OB＝(2，－1)，OC＝(m＋1，m－2)，若点A，B，C能构成三角形，则实数m可以是( )
A．－2 B．12
C．1 D．－1
ABD [因为AB＝OB-OA＝(2，－1)－(1，－3)＝(1，2)，AC＝OC-OA＝(m＋1，m－2)－(1，－3)＝(m，m＋1)．假设A，B，C三点共线，则1×(m＋1)－2m＝0，即m＝1．所以只要m≠1，A，B，C三点就可构成三角形，故选ABD.]
6．已知在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝1，AC＝2，D是△ABC内一点，且∠DAB＝60°，设AD＝λAB＋μAC(λ，μ∈R)，则λμ等于( )
A．233 B．33
C．3 D．23
A [如图，以A为原点，AB所在直线为x轴，AC所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则B点的坐标为(1，0)，C点的坐标为(0，2)，
因为∠DAB＝60°，所以设D点的坐标为(m，3m)(m≠0)．
AD＝(m，3m)＝λAB＋μAC＝λ(1，0)＋μ(0，2)＝(λ，2μ)，则λ＝m，且μ＝32m，所以λμ＝233.]
7．(2023·山东青岛模拟)△ABC的三内角A、B、C所对边的长分别是a、b、c，设向量p＝(a＋c，b)，q＝(b－a，c－a)，若p∥q，则角C的大小为( )
A．π6 B．π3
C．π2 D．2π3
B [因为p∥q，所以(a＋c)(c－a)－b(b－a)＝0，
所以c2－a2－b2＋ab＝0，所以a2＋b2－c2＝ab，
所以2ab cs C＝ab，所以cs C＝12，
因为0＜C＜π，所以C＝π3.故选B.]
8．在△ABC中，点D在线段BC的延长线上，且BC＝3CD，点O在线段CD上(与点C，D不重合)，若AO＝xAB＋(1－x)AC，则x的取值范围是( )
A．0，12 B．0，13
C．-12，0 D．-13，0
D [法一：依题意，设BO＝λBC，其中1＜λ＜43，则有AO＝AB+BO＝AB＋λBC＝AB＋λ(AC-AB)＝(1－λ)AB＋λAC.又AO＝xAB＋(1－x)AC，且AB，AC不共线，于是有x＝1－λ∈-13，0，即x的取值范围是-13，0，故选D.
法二：∵AO＝xAB+AC－xAC，∴AO-AC＝x(AB-AC)，即CO＝xCB＝－3xCD，∵O在线段CD(不含C，D两点)上，∴0＜－3x＜1，∴－13＜x＜0．故选D.]
二、填空题
9．在▱ABCD中，AC为一条对角线，AB＝(2，4)，AC＝(1，3)，则向量BD的坐标为________．
(－3，－5) [∵AB+BC＝AC，∴BC＝AC-AB＝(－1，－1)，
∴BD＝AD-AB＝BC-AB＝(－3，－5)．]
10．矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，点P为矩形ABCD内(包括边界)一点，则|PA+PB|的取值范围是________．
[0，22] [法一(坐标法)：将矩形放在坐标系中，设P(x，y)，
则A(0，0)，B(2，0)，PA+PB＝(－x，－y)＋(2－x，－y)＝(2－2x，－2y)，|PA+PB|＝2-2x2+-2y2＝2x-12+y2，
转化为矩形内的点到定点(1，0)的距离的2倍，
由图可知点D(0，1)和点C(2，1)到定点(1，0)的距离相等同时取最大值：2-12+1-02＝2.
故|PA+PB|的取值范围是[0，22].
法二(向量法)：取AB的中点H，易知PA+PB＝2PH，
∴|PA+PB|＝2|PH|，结合题意可知0≤|PH|≤|CH|＝2.
故|PA+PB|的取值范围为[0，22].]
11．已知A(2，3)，B(4，－3)，点P在线段AB的延长线上，且|AP|＝32|BP|，则点P的坐标为________．
(8，－15) [设P(x，y)，由点P在线段AB的延长线上，
则AP＝32BP，得(x－2，y－3)＝32(x－4，y＋3)，
即x-2=32x-4，y-3=32y+3． 解得x=8，y=-15.
所以点P的坐标为(8，－15)．]
12．(2023·广州中山模拟)已知在△ABC中，AD＝－3BD，CD＝λCE，AE＝μAB+23AC，则μ＝________．
14 [因为AD＝－3BD，所以AB＝43AD，
因为AE＝μAB+23AC，所以AE＝4μ3AD+23AC，
又CD＝λCE，所以C，E，D三点共线，所以43μ＋23＝1，得μ＝14.]
13．(2023·南京师范大学附属中学模拟)古代典籍《周易》中的“八卦”思想对我国的建筑有一定影响．如图是受“八卦”启示设计的正八边形的八角窗．在正八边形ABCDEFGH中，若AC＝xAB＋yAH(x，y∈R)，则x＋y＝( )
A．1＋22 B．1＋2
C．2＋2 D．3
C [如图，连接CH，作AM⊥CH于点M，作BN⊥CH于点N，由正八边形的特征可得AB∥CH，∠AHC＝∠BCH＝45°，故MH＝NC＝22AH＝22AB，
所以CH＝(1＋2)AB，则AC＝AH+HC＝AH＋(1＋2)AB，
又因为AC＝xAB＋yAH(x，y∈R)，所以x＝1＋2，y＝1，所以x＋y＝2＋2.
故选C.]
14.给定两个长度为1的平面向量OA和OB，它们的夹角为2π3.如图所示，点C在以O为圆心的圆弧AB上运动．若OC＝xOA＋yOB，其中x，y∈R，则x＋y的最大值为________．
2 [法一：以O为坐标原点，OA所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，如图所示，则A(1，0)，B-12，32.
设∠AOC＝αα∈0，2π3，
则C(cs α，sin α)．
由OC＝xOA＋yOB，得csα=x-12y，sinα=32y，
所以x＝cs α＋33sin α，y＝233sin α，
所以x＋y＝cs α＋3sin α＝2sinα+π6.
又α∈0，2π3，所以当α＝π3时，x＋y取得最大值2.
法二(等和线法)：如图，连接AB交OC于点P，因为OC＝xOA＋yOB，
所以当点C与A(B)重合时，x＋y＝1.
当点C为与AB平行且与圆弧相切的切点时，
OC＝2OP，设OP＝λOA＋μOB，则λ＋μ＝1，
所以OC＝2OP＝2λOA＋2μOB＝xOA＋yOB，
所以x＋y＝2λ＋2μ＝2(λ＋μ)＝2.
所以x＋y的最大值为2.]