高考数学一轮复习第5章第2节平面向量基本定理及坐标表示学案

第二节　平面向量基本定理及坐标表示

考试要求：1．理解平面向量基本定理及其意义．

2．掌握平面向量的正交分解及坐标表示．

3．能用坐标表示平面向量的加、减运算与数乘运算．

4．理解用坐标表示的平面向量共线的条件．

一、教材概念·结论·性质重现

1．平面向量基本定理与基底

平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2．

若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底．

2．平面向量的坐标运算

(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模

设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝．

(2)向量坐标的求法

①一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标．

②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，||＝．

3．平面向量共线的坐标表示

设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，a∥b⇔x1y2－x2y1＝0．

4．常用结论

(1)若a与b不共线，且λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0．

(2)已知P为线段AB的中点，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则点P的坐标为．

(3)已知△ABC的顶点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则△ABC的重心G的坐标为．

二、基本技能·思想·活动经验

1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．

(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底． (　×　)

(2)若a，b不共线，且λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则λ1＝λ2，μ1＝μ2．                             (　√　)

(3)平面向量的基底不唯一，只要基底确定后，平面内的任何一个向量都可被这组基底唯一表示．                            (　√　)

(4)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是＝．

  (　×　)

(5)当向量的起点在坐标原点时，该向量的坐标等于向量终点的坐标．                             (　√　)

2．如图，设O是平行四边形ABCD两对角线的交点，给出下列向量组：

①与；②与；③与；④与．其中可作为该平面内其他向量的基底的是(　　)

A．①②   B．①③ 

C．①④   D．③④

B　解析：①中，不共线；③中，不共线，故①③能作为基底．

3．如图，＝2，＝a，＝b，＝c，下列等式中成立的是(　　)

A．c＝b－a   B．c＝a－b

C．c＝2a－b   D．c＝2b－a

B　解析：因为＝2，＝a，＝b，＝c，所以－＝2(－)，所以＝－，即c＝a－b．

4．已知向量＝(k,12)，＝(4,5)，＝(－k,10)，且A，B，C三点共线，则k的值是(　　)

A．－   B． 

C．   D．

A　解析：＝－＝(4－k，－7)，＝－＝(－2k，－2)．因为A，B，C三点共线，所以，共线，所以－2×(4－k)＝－7×(－2k)，解得k＝－．

5．若向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，c＝(－1,2)，则用a，b表示c为__________．

c＝a－b　解析：设c＝x1a＋x2b，因为向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，c＝(－1,2)，所以(－1,2)＝(x1＋x2，x1－x2)．

由解得

所以c＝a－b．

考点1　平面向量基本定理及坐标运算——基础性

1．(2021·厦门外国语学校模拟)已知点A(－1,1)，B(0,2)，若向量＝(－2,3)，则向量＝(　　)

A．(3，－2)  　　 B．(2，－2)

C．(－3，－2)  　　 D．(－3,2)

D　解析：由已知，得＝－＝(1,1)，则＝－＝(－2,3)－(1,1)＝(－3,2)．

2．(多选题)设{e1，e2}是平面内所有向量的一个基底，下列四组向量中能作为基底的是(　　)

A．e2和e1＋e2

B．2e1－4e2和－e1＋2e2

C．e1和e1－e2

D．e1＋2e2和2e1＋e2

ACD　解析：由于e2和e1＋e2，e1 和e1－e2，e1＋2e2 和2e1＋e2这三组向量均不共线，故可以作为基底； 2e1－4e2＝－2(－e1＋2e2)，故2e1－4e2和－e1＋2e2共线，不可以作为基底．故选ACD．

3．已知O为坐标原点，点C是线段AB上一点，且A(1,1)，C(2,3)，||＝2||，则向量的坐标是________．

(4,7)　解析：因为点C是线段AB上一点，且||＝2||，所以＝－2．设点B(x，y)，则(2－x,3－y)＝－2(1,2)．所以解得所以向量的坐标是(4,7)．

考点2　平面向量共线的表示——应用性

考向1　利用向量共线求参数

已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－2)，c＝(1，λ)．若c∥(2a＋b)，则λ＝________．

　解析：因为2a＋b＝(4,2)，c∥(2a＋b)，所以4λ＝2，解得λ＝．

考向2　利用向量共线求向量或点的坐标

已知点A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，则AC与OB的交点P的坐标为________．

(3,3)　解析：方法一：由O，P，B三点共线，可设＝λ＝(4λ，4λ)，则＝－＝(4λ－4,4λ)．又＝－＝(－2,6)，由与共线，得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0，解得λ＝，所以＝＝(3,3)，所以点P的坐标为(3,3)．

方法二：设点P(x，y)，则＝(x，y)，因为＝(4,4)，且与共线，所以＝，即x＝y．又＝(x－4，y)，＝(－2,6)，且与共线，所以(x－4)×6－y×(－2)＝0，解得x＝y＝3，所以点P的坐标为(3,3)．

1．若三点A(1，－5)，B(a，－2)，C(－2，－1)共线，则实数a的值为________．

－　解析：＝(a－1,3)，＝(－3,4)，因为点A，B，C共线，所以∥，所以4(a－1)－3×(－3)＝0，即4a＝－5，所以a＝－．

2．设向量a，b满足|a|＝2，b＝(2,1)，且a与b的方向相反，则a的坐标为________．

(－4，－2)　解析：因为a与b的方向相反，所以可设a＝λb(λ<0)，所以a＝λ(2,1)＝(2λ，λ)．由|a|＝＝2，解得λ＝－2或λ＝2(舍去)，故a＝(－4，－2)．

考点3　平面向量基本定理及应用——综合性

考向1　用已知基底表示向量

如图，以向量＝a，＝b为邻边作平行四边形OADB，＝，＝，用a，b表示，，．

解：因为＝－＝a－b，＝＝＝a－b，所以＝＋＝b＋＝a＋b．

因为＝a＋b，所以＝＋＝＋＝＋＝＝a＋b，

所以＝－＝a＋b－a－b＝a－b．

综上，＝a＋b，＝a＋b，＝a－b．

考向2　解析法(几何法)在向量中的应用

已知在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝1，AC＝2，D是△ABC内一点，且∠DAB＝60°，设＝λ＋μ (λ，μ∈R)，则＝(　　)

A．   B． 

C．3   D．2

A　解析：如图，以A为原点，AB所在直线为x轴，AC所在直线为y轴建立平面直角坐标系，

则点B的坐标为(1,0)，点C的坐标为(0,2)．因为∠DAB＝60°，所以设点D的坐标为(m，m)(m≠0)．

＝(m，m)＝λ＋μ＝λ(1,0)＋μ(0,2)＝(λ，2μ)，则λ＝m，且μ＝m，所以＝．

考向3　利用平面向量基本定理求参数或参数范围问题

(2021·江苏苏北模拟)在△ABC中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝30°，AD为BC边上的高．若＝λ＋μ，则λ－μ＝________．

　解析：根据题意画出图象，如图，

因为AD为BC边上的高，所以AD⊥BC．因为AB＝2，∠ABC＝30°，则BD＝，所以BD＝BC，

所以＝＋＝＋＝＋(－)＝＋．又因为＝λ＋μ，所以λ＝，μ＝，故λ－μ＝．

四边形ABCD是等腰梯形，E，F分别是腰AD，BC的中点，点P是EF(靠近点F)的一个三等分点，＝2．若＝λ＋μ，则λ＋μ＝(　　)

A．   B． 

C．   D．

B　解析：取AB的中点F，连接CF，则四边形AFCD是平行四边形，所以CF∥AD，且CF＝AD．

因为＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝＋，所以λ＝，μ＝，所以λ＋μ＝．

拓展考点　极化恒等式

a·b＝[(a＋b)2－(a－b)2]．

(1)极化恒等式的几何意义是：设点D是△ABC中边BC的中点，则·＝||2－||2＝2－2，即向量的数量积可转化为中线长与半底边长的平方差．

(2)具有三角几何背景的数学问题利用极化恒等式考虑尤为简单，让“秒杀”向量数量积问题成为一种可能，此恒等式的精妙之处在于建立向量与几何长度(数量)之间的桥梁，实现向量与几何、代数的巧妙结合．

(3)遇到共起点的两向量的数量积问题，常取第三边的中点，从而运用极化恒等式加以解决．

在△ABC中，AC＝2BC＝4，∠ACB为钝角，M，N是边AB上的两个动点，且MN＝1．若·的最小值为，则cos∠ACB＝________．

　解析：取MN的中点P，则由极化恒等式得·＝||2－||2＝||2－．

因为·的最小值为，所以||min＝1．由平面几何知识知，当CP⊥AB时，CP最小，作CH⊥AB(图略)，H为垂足，则CH＝1．又AC＝2BC＝4，所以∠B＝30°，sin A＝，所以cos∠ACB＝cos(150°－A)＝．

1．已知平面向量a，b，c满足|a|＝1，a·b＝，a·c＝2，|2b－c|＝2，那么b·c的最小值为________．

　解析：由a·b＝，a·c＝2，得2a·b＋a·c＝3，

即a·(2b＋c)＝3，又a·(2b＋c)＝|a||2b＋c|cos θ(其中θ为向量a与2b＋c的夹角)．

所以|2b＋c|＝，

所以b·c＝[(2b＋c)2－(2b－c)2]＝≥．

2．如图，矩形ABCD的边AB＝4，AD＝2，以点C为圆心，CB长为半径的圆与CD交于点E．若点P是圆弧 (含端点B，E)上的一点，则·的取值范围是________．

[8－8，0]　解析：取AB的中点设为O，则·＝||2－||2＝||2－4，当O，P，C共线时，PO取得最小值为PO＝2－2；当P与B(或E)重合时，PO取得最大值为PO＝2，所以·的取值范围是[8－8，0]．