高考数学一轮复习第10章第2节二项式定理学案

这是一份高考数学一轮复习第10章第2节二项式定理学案，共12页。学案主要包含了教材概念·结论·性质重现，基本技能·思想·活动经验等内容，欢迎下载使用。

第二节　二项式定理
考试要求：掌握二项式定理并会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．

一、教材概念·结论·性质重现
1．二项式定理
二项式定理
(a＋b)n＝Can＋Can－1b1＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*)
二项展开式的通项
Tk＋1＝Can－kbk，它表示展开式的第k＋1项
二项式系数
C(k＝0,1,2，…，n)


(a＋b)n的展开式与(b＋a)n的展开式的项完全相同，但对应的项不相同，而且两个展开式的通项不同．
2．二项式系数的性质


二项展开式形式上的特点
(1)项数为n＋1．
(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n．
(3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到0；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由0逐项加1直到n．
二、基本技能·思想·活动经验
1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．
(1)Can－kbk是(a＋b)n的展开式中的第k项． (　×　)
(2)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项．
(　×　)
(3)(a＋b)n的展开式中某一项的二项式系数与a，b无关．
(　√　)
(4)通项公式Tk＋1＝Can－kbk中的a和b不能互换． (　√　)
(5)(a＋b)n的展开式中某项的系数是该项中非字母因数部分，与该项的二项式系数不同．(　√　)
2．(2021·宝鸡期末)的展开式中常数项为(　　)
A．160 B．184
C．192 D．186
A　解析：因为的展开式的通项公式为 Tk＋1＝C·26－k·x6－2k，令6－2k＝0，求得k＝3，可得展开式中常数项为C·23＝160．故选A．
3．的展开式中二项式系数最大的项的系数是(　　)
A．－160 B．－20
C．20 D．160
A　解析：的展开式共有7项，且二项式系数对称分布，故第4项的二项式系数最大，
T4＝C＝－160x－3，所以其系数为－160．
4．(2022·天津期末)已知的展开式共有6项，则展开式中二项式系数的和为(　　)
A．25 B．26
C．35 D．36
A　解析：因为的展开式共有6项，所以n＝5，所以展开式中二项式系数的和为25．
5．在(x＋y)20的展开式中，系数为有理数的项共有(　　)
A．6项 B．5项
C．4项 D．3项
A　解析：在(x＋y)20的展开式中，其通项为Tk＋1＝C·x20－k·3·yk，要使展开式中的系数为有理数，则k＝0,4,8,12,16,20，共6项．


考点1　通项及其应用——基础性

考向1　求二项展开式中的特定项
(1)(2021·天津卷)在的展开式中，x6的系数是________．
160　解析：的展开式的通项为Tk＋1＝C(2x3)6－k＝C26－kx18－4k，
令18－4k＝6，解得k＝3，
所以x6的系数是C23＝160．
(2)(2021·上海卷)已知二项式(x＋a)5展开式中，x2的系数为80，则a＝________．
2　解析：(x＋a)5的展开式的通项为Tk＋1＝Cx5－k·ak，令5－k＝2，解得k＝3，
所以x2的系数为Ca3＝80，解得a＝2．

求二项展开式中特定项的步骤
第一步，利用二项式定理写出二项展开式的通项Tk＋1＝Can－kbk，把字母和系数分离开(注意符号不要出错)；
第二步，根据题目中的相关条件(如常数项要求指数为零，有理项要求指数为整数)先列出相应方程(组)或不等式(组)，解出k；
第三步，把k代入通项中，即可求出Tk＋1，有时还需要先求n，再求k，才能求出Tk＋1或者其他量．
考向2　形如(a＋b)n(c＋d)m(m，n∈N*)的展开式
(1)(2020·全国Ⅰ卷)(x＋y)5的展开式中x3y3的系数为(　　)
A．5 B．10
C．15 D．20
C　解析：要求(x＋y)5的展开式中x3y3的系数，只要分别求出(x＋y)5的展开式中x2y3和x4y的系数再相加即可．由二项式定理可得(x＋y)5的展开式中x2y3的系数为C＝10，x4y的系数为C＝5，故(x＋y)5的展开式中x3y3的系数为10＋5＝15．故选C．
(2)(x2＋1)的展开式的常数项是(　　)
A．5 B．－10
C．－32 D．－42
D　解析：的通项为C×－k×(－2)k＝C×(－2)k×x．令＝0，解得k＝5；令＝－2，得k＝1．
故(x2＋1)×的展开式的常数项是C×(－2)＋C×(－2)5＝－42．

求解形如(a＋b)n(c＋d)m的展开式问题的思路
(1)若n，m中一个比较小，可考虑把它展开，如(a＋b)2(c＋d)m＝(a2＋2ab＋b2)(c＋d)m，然后展开分别求解．
(2)观察(a＋b)n(c＋d)m是否可以合并，如(1＋x)5·(1－x)7＝[(1＋x)(1－x)]5(1－x)2＝(1－x2)5·(1－x)2．
(3)分别得到(a＋b)n，(c＋d)m的通项，综合考虑．
考向3　形如(a＋b＋c)n(n∈N*)的展开式
(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2项的系数为(　　)
A．10 B．20
C．30 D．60
C　解析：(方法一)(x2＋x＋y)5＝[(x2＋x)＋y]5，含y2的项为T3＝C(x2＋x)3y2．
其中(x2＋x)3中含x5的项为Cx4·x＝Cx5．
所以x5y2的系数为C×C＝30．
(方法二)(x2＋x＋y)5表示5个x2＋x＋y之积，
所以x5y2可从其中5个因式中，2个取因式中的x2，剩余的3个因式中1个取x,2个因式取y，因此x5y2的系数为CCC＝30．

求三项展开式中某些特定项的系数的方法
(1)通过变形先把三项式转化为二项式，再用二项式定理求解．
(2)两次利用二项式定理的通项求解．
(3)由二项式定理的推证方法知，可用排列、组合的基本原理去求，即把三项式看作几个因式之积，看有多少种方法从这几个因式中取得特定项．

1．(2021·海南期末)若的展开式中有常数项，则n不可能为(　　)
A．6 B．8
C．9 D．12
B　解：通项为Tk＋1＝Cx2(n－k)x－k＝Cx2n－3k，令2n－3k＝0，解得n＝．
因为n，k∈N，所以n一定为3的倍数，所以n不可能是8．故选B．
2．x2(x＋y)6的展开式中，x5y3的系数为(　　)
A．12 B．20
C．15 D．6
B　解析：x2(x＋y)6的展开式中，x5y3的系数为C＝20．故选B．
3．多项式(1－x)4的展开式中含x2项的系数为(　　)
A．－2 B．－4
C．2 D．4
D　解析：多项式(1－x)4的展开式中含x2项的系数为C·(－1)－2C·(－1)3＝－4＋8＝4．故选D．
4．若(1＋x)6展开式中x2的系数为30，则a＝________．
1　解析：(1＋x)6＝(1＋6x＋15x2＋20x3＋15x4＋6x5＋x6) 的展开式中x2的系数为15a＋15a＝30，则a＝1．

考点2　二项式系数的性质——综合性

(2022·哈尔滨三模)在的展开式中，只有第六项的二项式系数最大，且所有项的系数和为0，则含x6的项系数为________．
45　解析：因为的展开式中，只有第六项的二项式系数C最大，所以n＝10，
再令x＝1，可得所有项的系数和为(1＋a)10＝0，所以a＝－1．
故二项展开式的通项为Tk＋1＝C·(－1)k·x10－2k，
令10－2k＝6，求得k＝2，可得含x6的项系数为C＝45．
在①展开式倒数三项的二项式系数之和等于46，②展开式所有项的系数的和为512，③展开式中第3项与第4项的系数之比为3∶7．这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并且解答下列问题．
在二项式的展开式中，________．
(1)求展开式中二项式系数最大的项；
(2)求展开式中的常数项．
解：展开式的第k＋1项为Tk＋1＝C··()k＝Cx，k＝0,1,2，…，n．
若选①，则C＋C＋C＝1＋n＋＝46，又n＞0，所以n＝9；
若选②，则2n＝512，解得n＝9；
若选③，则＝＝，解得n＝9．
所以二项式为，其通项为Tk＋1＝Cx．
(1)当k＝4或k＝5时，二项式系数最大．所以二项式系数最大的项为T5＝C·x－3＝126x－3和T6＝Cx＝126x．
(2)令＝0，得k＝6，所以常数项为T7＝C＝84．

1．二项式系数最大项的确定方法
当n为偶数时，展开式中第项的二项式系数最大，最大值为Cn；当n为奇数时，展开式中第项和第项的二项式系数最大，最大值为．
2．二项展开式系数最大项的求法
求(a＋bx)n(a，b∈R)的展开式中系数最大的项，一般是采用待定系数法．设展开式各项系数分别为A1，A2，…，An＋1，且第k项系数最大，应用解出k即可．

1．(2021·合肥高三模拟)设(1＋x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn(n∈N*)，若a1＋a2＋…＋an＝255，则展开式中二项式系数最大的项是(　　)
A．240x4 B．160x3
C．70x4 D．20x3
C　解：因为(1＋x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn(n∈N*)，
令x＝0，可得a0＝1，
所以1＋a1＋a2＋…＋an＝1＋255＝2n，所以n＝8，故展开式的通项为 Tk＋1＝C·xk，
故当k＝4时，展开式中二项式系数C最大，故展开式中二项式系数最大的项为C·x4＝70x4．故选C．
2．在(x－2y)7的展开式中，系数绝对值最大的项是(　　)
A．672x2y5 B．－672x2y5
C．560x3y4 D．－560x3y4
B　解析：(x－2y)7的展开式中，通项为 Tk＋1＝C·(－2)k·x7－kyk，
该项的系数绝对值为C·2k，要使该项的系数绝对值最大，需
即求得≤k≤．
结合k∈N，可得当k＝5时，该项的系数绝对值最大为672，
故该项为T6＝－672 x2y5．故选B．
考点3　二项式系数与各项的系数和——综合性

考向　求二项式系数和、各项系数和
(1)(多选题)在的展开式中，各项系数和与二项式系数和为128，则(　　)
A．二项式系数和为64　
B．各项系数和为64
C．常数项为－135
D．常数项为135
ABD　解析：的展开式中，各项系数和与二项式各项系数和为 2n＋2n＝128，所以n＝6，
故二项式系数和为26＝64，二项式系数和之和为 2n＝26＝64，故A，B正确；
展开式的通项为Tk＋1＝C·(－1)k·36－k·x，令6－＝0，求得k＝4，
故常数项为C·32＝135，故D正确．故选ABD．
(2)若(1－2x)8＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8，则|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a8|＝(　　)
A．28－1 B．28
C．38－1 D．38
D　解析：由题可知，x的奇数次幂的系数均为负数，所以|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a8|＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a8．
因为(1－2x)8＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8，
令x＝－1得a0－a1＋a2－a3＋…＋a8＝38，
则|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a8|＝38．故选D．

1．二项展开式的二项式系数和为2n．
2．奇数项与偶数项二项式系数和相等为2n－1．
3．项的系数和问题常常使用赋值法：诸如求所有项的系数和、奇(偶)数项系数和、项的系数绝对值的和等都可用赋值法，常令x＝0,1，－1等．
,
考点4　求奇数项或偶数项系数和——综合性

(2022·开封三模)(a－x)(1＋x)6的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为64，则实数a＝(　　)
A．4 B．3
C．2 D．1
B　解析：因为(a－x)(1＋x)6的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为64，
设f(x)＝(a－x)(x＋1)6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a6x6＋a6x7，
令x＝1，则f(1)＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝(a－1)(1＋1)6＝64(a－1)，①
令x＝－1，则f(－1)＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7＝(a－1)(－1＋1)6＝0．②
①－②得，2(a1＋a3＋a5＋a7)＝64(a－1)，所以a1＋a3＋a5＋a7＝32(a－1)＝64，
解得a＝3．故选B．

(1)形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子，求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可．
(2)若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)的展开式中，
①各项系数之和为f(1)．
②奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝；
③偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝．

1．(多选题)已知(a＞0)展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，且展开式的各项系数之和为1 024，则下列说法正确的是(　　)
A．偶数项的二项式系数和为256
B．不存在常数项
C．系数最大项为第5项
D．含x7项的系数为45
BD　解析：因为第4项与第8项的二项式系数相等，所以展开式共11项，n＝10．
令x＝1，得(1＋a)10＝1 024，又a＞0，所以a＝1．
对于A选项，偶数项的二项式系数和为29＝512，故A说法错误．
通项为Tk＋1＝Cx10－k·＝Cx，
不存在整数k使得10－成立，所以B说法正确．
当k＝5时，C最大，所以系数最大项为第6项，所以C说法错误．
令10－＝7，解得k＝2，所以系数为C＝45，所以D说法正确．
故选BD．
2．已知多项式(x－1)3＋(x＋1)4＝x4＋a1x3＋a2x2＋a3x＋a4，则a1＝______；a2＋a3＋a4＝________．
5　10　解析：因为(x－1)3＝x3－3x2＋3x－1，
(x＋1)4＝x4＋4x3＋6x2＋4x＋1，
a1即为展开式中x3的系数，所以a1＝1＋4＝5，
令x＝1，则有1＋a1＋a2＋a3＋a4＝(1－1)3＋(1＋1)4＝16，所以a2＋a3＋a4＝16－5－1＝10．


(1－)6(1＋)4的展开式中x的系数是(　　)
A．－4 B．－3
C．3 D．4
[四字程序]
读
想
算
思
展开式中x的系数

1．二项展开式的项与系数．
2．展开式的通项
两个乘积式各自用展开式的通项计算系数
转化
(1－)6·
(1＋)4
第k＋1项
Tk＋1＝Can－kbk
Tk＋1＝Can－kbk
1．通项公式法．
2．组合数生成法


思路参考：直接利用两个二项展开式的通项乘积获得x的系数．
B　解析：(1－)6的展开式的通项为C·(－)m＝C·(－1)mx，(1＋)4的展开式的通项为C·()n＝Cx，其中m＝0,1,2，…，6，n＝0,1,2,3,4．令＋＝1，得m＋n＝2，于是(1－)6(1＋)4的展开式中x的系数等于C·(－1)0·C＋C·(－1)1·C＋C·(－1)2·C＝－3．

思路参考：将两个二项式化成一个二项展开式与一个多项式乘积的形式，再利用二项展开式的通项．
B　解析：(1－)6(1＋)4＝[(1－)·(1＋)]4(1－)2＝(1－x)4(1－2＋x)．于是(1－)6(1＋)4的展开式中x的系数为C·1＋C(－1)1×1＝－3．

思路参考：利用组合的知识求解x的系数．
B　解析：在(1－)6(1＋)4的展开式中要出现x，可以分为以下三种情况：
①(1－)6中选2个(－)，(1＋)4中选0个作积，这样得到的x的系数为C·C＝15；
②(1－)6中选1个(－)，(1＋)4中选1个作积，这样得到的x的系数为C(－1)1·C＝－24；
③(1－)6中选0个(－)，(1＋)4中选2个作积，这样得到的x的系数为C·C＝6．
所以x的系数为15－24＋6＝－3．故选B．

二项式定理是热点内容，主要以通项为主，考查系数问题，解法灵活多变，借助二项展开式的通项，在每个二项展开式中求出各自的通项，最后利用展开式中系数的生成法求出结果．解答本题需要一定的运算能力和推理能力．本题的解答体现了逻辑推理及数学运算的素养．

(2021·上海校级期末)若(2－ax)5(x＋1)2展开式中x2的系数为272，则实数a＝________．
3或－1　解析：因为(2－ax)5(x＋1)2＝(x2＋2x＋1)(2－ax)5，所以它的展开式中x2的系数为C·25＋2·C·24·(－a)＋C·23·(－a)2＝272，则实数a＝3或a＝－1．