2022-2023学年福建省福州一中高一（上）期末数学试卷

这是一份2022-2023学年福建省福州一中高一（上）期末数学试卷，共18页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（5分）已知集合S＝{s|s＝2n+1，n∈Z}，T＝{t|t＝4n+1，n∈Z}，则S∩T＝（ ）
A．SB．TC．RD．∅
2．（5分）已知角θ终边经过点P（，a），若θ，则a＝（ ）
A．B．C．D．
3．（5分）若函数f（x）和g（x）分别由下表给出：
则满足g（f（x））＝1的x值是（ ）
A．4B．3C．2D．1
4．（5分）为了得到函数f（x）＝2sin3x的图象，只要把函数g（x）＝2sin（）图象上所有的点（ ）
A．向左平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向右平移个单位长度
5．（5分）已知sin（α），α∈（，），则sinα的值为（ ）
A．B．C．D．
6．（5分）密位制是度量角的一种方法．将周角等分为6000份，每一份叫做1密位的角．以密位作为角的度量单位，这种度量角的单位制，叫做角的密位制．在角的密位制中，采用四个数码表示角的大小，单位名称密位二字可以省去不写．密位的写法是在百位数字与十位数字之间画一条短线，如：478密位写成“4﹣78”，1周角等于6000密位，记作1周角＝60﹣00．如果一个扇形的半径为2，面积为，则其圆心角可以用密位制表示为（ ）
A．25﹣00B．35﹣00C．42﹣00D．70﹣00
7．（5分）若函数y＝f（x）与y＝f（﹣x）在区间[m，n]上的单调性相同，则称区间[m，n]为y＝f（x）的“稳定区间”，若区间[1，2023]为函数f（x）＝|（）x+a|的“稳定区间”，则实数a的取值范围为（ ）
A．[﹣2，﹣1]B．[﹣2，]C．[，2]D．[1，2]
8．（5分）已知函数f（x）的定义域为R，且满足f（x+2）＝2﹣f（x），f（2﹣3x）为偶函数，若f（0）＝0，f（1）+f（2）+f（3）+…+f（n﹣1）+f（n）＝123，则n的值为（ ）
A．117B．118C．122D．123
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。
（多选）9．（5分）对于给定的实数a，不等式ax2+（a﹣1）x﹣1＜0的解集可能是（ ）
A．{}B．{x|x≠﹣1}C．{x|x＜﹣1}D．R
（多选）10．（5分）已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．f（x）的图象关于点（，0）中心对称
B．f（x）在区间，]上单调递增
C．f（x）的图象关于直线轴对称
D．直线y＝l与y＝f（x）（x）图象的所有交点的横坐标之和为
（多选）11．（5分）已知x，y是正数，且满足2x+2y＝1，则下列叙述正确的是（ ）
A．B．lnx+ln y≥﹣4ln2
C．2x﹣yD．tanx2≥tan（2y2）
（多选）12．（5分）已知函数f（x）＝|csx|﹣sin|x|，则下列结论正确的有（ ）
A．f（x）的一个周期是2π
B．f（x）在，]上单调递增
C．f（x）最大值为
D．方程f（x）﹣1＝0在[﹣2π，2π]上有7个解
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）请写出一个定义域不是R，但值域为R的奇函数：f（x）＝ ．
14．（5分）已知θ为第四象限的角，sinθ+csθ，则cs2θ＝ ．
15．（5分）函数f（x）＝2ax2﹣ax，若命题“∃x∈[0，1]，f（x）≤3﹣a”是假命题，则实数a的取值范围为 ．
16．（5分）设a∈R，函数f（x），若函数f（x）在区间（0，+∞））内恰有6个零点，则a的取值范围是 ．
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）已知集合A＝{x|1}，集合B＝{x|x2﹣（2a+1）x+a2+a＜0}，定义集合A﹣B＝{x|x∈A且x∉B}．
（1）若a＝2，求A﹣B．
（2）若A﹣B＝A，求a的取值范围．
18．（12分）已知函数f（x）＝Acs（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，）的图象过点P（，0），且图象上与点P最近的一个最低点的坐标为（）．
（1）求函数f（x）的解析式并用“五点法”作出函数在一个周期内的图象简图；
（2）将函数f（x）的图象向右平移m（m＞0）个单位长度得到的函数y＝g（x）是偶函数，求m的最小值．
19．（12分）已知函数f（x）．
（1）判断函数y＝f（x）的单调性并用定义法加以证明；
（2）求不等式f（f（x）））+f（lg3）＞0的解集．
20．（12分）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢往上升，可以俯瞰四周景色．如图，某摩天轮最高点距离地面的高度为110m，最低点距离地面10m，已知摩天轮共有40个座舱，开后后摩天轮按逆时针方向匀速旋转，转动一周的时间大约为20min．游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转完一周后下舱．
（1）当游客距离地面高度不低于85m时，可以看到游乐园全貌，问在游客乘坐摩天轮旋转一周的过程中，有多少分钟可以看到游乐园全貌？
（2）当甲、乙两人先后坐上相邻的座舱，何时二人距离地面的高度相等？
21．（12分）已知函数f（x）＝sin（），g（x）＝2sin（）﹣1，且满足∀x∈[0，π]，f（x）•g（x）≤0恒成立．
（1）求解g（x）的零点以及f（x）的函数解析式．
（2）求函数f（x）在区间]上最大值与最小值之差的取值范围．
22．（12分）设函数f（x）和g（x）的定义域分别为D1和D2，若对∀x0∈D1，都存在n个不同的实数x1，x2，x3，…，xn∈D2，使g（xi）＝f（x0）（其中i＝1，2，3，…，n，n∈N+），则称g（x）为f（x）的“n重覆盖函数”．
（1）试判断g（x）＝2sin（2x）（0≤x≤2π）是否为f（x）＝﹣（）|x|的“4重覆盖函数”？并说明理由．
（2）已知函数g（x）为的“2重覆盖函数”，求实数a的取值范围
2022-2023学年福建省福州一中高一（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小概给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1．（5分）已知集合S＝{s|s＝2n+1，n∈Z}，T＝{t|t＝4n+1，n∈Z}，则S∩T＝（ ）
A．SB．TC．RD．∅
【分析】可看出T⊆S，从而得出S∩T＝T．
【解答】解：对于s＝2n+1（n∈Z），n＝2k（k∈Z）时，s＝4k+1；n＝2k+1（k∈Z）时，s＝4k+3，
∴T⊆S，
∴S∩T＝T．
故选：B．
2．（5分）已知角θ终边经过点P（，a），若θ，则a＝（ ）
A．B．C．D．
【分析】由任意角的三角函数的定义可得tan（），解方程即可求得a的值．
【解答】解：∵角θ终边经过点P（，a），若θ，
∴tan（），
∴解得a．
故选：C．
3．（5分）若函数f（x）和g（x）分别由下表给出：
则满足g（f（x））＝1的x值是（ ）
A．4B．3C．2D．1
【分析】根据表中的对应关系，可以得出g（f（x））＝1的f（x）的值，从而找出x的值．
【解答】解：因为g（f（x））＝1，所以f（x）＝2，所以x＝1．
故选：D．
4．（5分）为了得到函数f（x）＝2sin3x的图象，只要把函数g（x）＝2sin（）图象上所有的点（ ）
A．向左平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向右平移个单位长度
【分析】根据三角函数图象的变换法则能求出结果．
【解答】解：∵y＝2sin3x＝2sin[3（x）]，
∴把函数y＝2sin（3x）图象上所有点向右平移个单位长度即可得到函数y＝2sin3x的图象．
故选：D．
5．（5分）已知sin（α），α∈（，），则sinα的值为（ ）
A．B．C．D．
【分析】结合同角平方关系先求出cs（），然后结合两角差的正弦公式可求．
【解答】解：因为sin（α），α∈（，），
所以cs（），
则sinα＝sin（）．
故选：A．
6．（5分）密位制是度量角的一种方法．将周角等分为6000份，每一份叫做1密位的角．以密位作为角的度量单位，这种度量角的单位制，叫做角的密位制．在角的密位制中，采用四个数码表示角的大小，单位名称密位二字可以省去不写．密位的写法是在百位数字与十位数字之间画一条短线，如：478密位写成“4﹣78”，1周角等于6000密位，记作1周角＝60﹣00．如果一个扇形的半径为2，面积为，则其圆心角可以用密位制表示为（ ）
A．25﹣00B．35﹣00C．42﹣00D．70﹣00
【分析】先利用扇形的面积公式求出圆心角的弧度数，然后利用题中给出的密位制的定义求解即可．
【解答】解：面积为，半径为2的扇形所对的圆心角弧度数大小为θ＝2π•2π•，
由题意可知，其密位大小为60003500，
所以用密位制表示为35﹣00．
故选：B．
7．（5分）若函数y＝f（x）与y＝f（﹣x）在区间[m，n]上的单调性相同，则称区间[m，n]为y＝f（x）的“稳定区间”，若区间[1，2023]为函数f（x）＝|（）x+a|的“稳定区间”，则实数a的取值范围为（ ）
A．[﹣2，﹣1]B．[﹣2，]C．[，2]D．[1，2]
【分析】由题意得（x）与f（﹣x）在[1，2023]上单调性相同，结合函数图象的变换及指数函数的单调性即可建立关于a的不等式组，可求．
【解答】解：若区间[1，2023]为函数f（x）＝|（）x+a|的稳定区间，
则f（x）与f（﹣x）在[1，2023]上单调性相同，
因为f（x）＝|（）x+a|，f（﹣x）＝|2x+a|，
当a≥0时，f（x）＝（）x+a，f（﹣x）＝2x+a在[1，2023]上单调性不相同，不符合题意；
故a＜0，f（x）＝|（）x+a|在（﹣∞，﹣lg2（﹣a））上单调递减，在（﹣lg2（﹣a），+∞）上单调递增，
f（﹣x）＝|2x+a|在（﹣∞，lg2（﹣a））上单调递减，在（lg2（﹣a），+∞）上单调递增，
则或，
解得﹣2，
故选：B．
8．（5分）已知函数f（x）的定义域为R，且满足f（x+2）＝2﹣f（x），f（2﹣3x）为偶函数，若f（0）＝0，f（1）+f（2）+f（3）+…+f（n﹣1）+f（n）＝123，则n的值为（ ）
A．117B．118C．122D．123
【分析】由f（x+2）＝2﹣f（x），可得f（x+4）＝f（x），即函数的周期T＝4，由f（2﹣3x）为偶函数，可得函数关于x＝2，从而计算可得f（1）＝f（3）＝1，f（2）＝2，f（4）＝0，f（1）+f（2）+f（3）+f（4）＝4，结合函数的周期进行转化即可求解．
【解答】解：因为f（x+2）＝2﹣f（x），即f（x+2）+f（x）＝2，
所以f（x+4）+f（x+2）＝2，
所以f（x+4）＝f（x），即函数的周期T＝4，
因为f（2﹣3x）为偶函数，所以f（2﹣3x）＝f（2+3x），即函数关于x＝2对称，
所以f（1）＝f（3）且f（1）+f（3）＝2，
所以f（1）＝f（3）＝1，
因为f（0）＝0且f（0）+f（2）＝2，
所以f（2）＝2，f（4）＝0，f（1）+f（2）+f（3）+f（4）＝4，
因为123＝30×4+3，
所以f（1）+f（2）+f（3）+…+f（n﹣1）+f（n）＝123＝30[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]+f（1）+f（2），
则n＝122．
故选：C．
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。
（多选）9．（5分）对于给定的实数a，不等式ax2+（a﹣1）x﹣1＜0的解集可能是（ ）
A．{}B．{x|x≠﹣1}C．{x|x＜﹣1}D．R
【分析】由已知对a的正负进行分类讨论，然后结合二次不等式的求法即可求解．
【解答】解：当a＝0时，不等式可化为﹣x﹣1＜0，
解得x＞﹣1，
当a≠0时，原不等式可化为a（x）（x+1）＜0，
当a＞0时，解得﹣1＜x，
当﹣1＜a＜0时，解得x或x＞﹣1，
当a＝﹣1时，解得x≠﹣1，
当a＜﹣1时，解得x或x＜﹣1．
故选：AB．
（多选）10．（5分）已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．f（x）的图象关于点（，0）中心对称
B．f（x）在区间，]上单调递增
C．f（x）的图象关于直线轴对称
D．直线y＝l与y＝f（x）（x）图象的所有交点的横坐标之和为
【分析】由图象求出函数解析式，利用正弦函数的对称性判断选项AC；利用正弦函数的单调性判断选项B；利用正弦函数的图象和函数与方程思想判断选项D．
【解答】解：由图知，A＝2，
，即T＝π，解得ω＝2，
则f（x）＝2sin（2x+φ），
又2φ，则φ，f（x）＝2sin（2x），
∵2，而sin0，∴f（x）的图象不关于点（，0）中心对称，A错误；
x∈，]时，2x∈[，]，而正弦函数在[，]上单调递增，则f（x）在区间，]上单调递增，B正确；
∵2，而sin1，则f（x）的图象关于直线轴对称，C正确；
当x时，0≤2x4π，
若l＝2，则（2x1）+（2x2）3π，所有交点的横坐标之和为x1+x2；
若0＜l＜2，则（2x1）+（2x2）+（2x3）+（2x4）＝π+5π＝6π，所有交点的横坐标之和为x1+x2+x3+x4；
若l＝0，则（2x1）+（2x2）+（2x3）+（2x4）+（2x5）＝0+π+2π+3π+4π＝10π，所有交点的横坐标之和为x1+x2+x3+x4+x5；
若﹣2＜l＜0，则（2x1）+（2x2）+（2x3）+（2x4）＝3π+7π＝10π，所有交点的横坐标之和为x1+x2+x3+x4；
若l＝﹣2，则（2x1）+（2x2）5π，所有交点的横坐标之和为x1+x2；D错误；
故选：BC．
（多选）11．（5分）已知x，y是正数，且满足2x+2y＝1，则下列叙述正确的是（ ）
A．B．lnx+ln y≥﹣4ln2
C．2x﹣yD．tanx2≥tan（2y2）
【分析】根据基本不等式和1的代换即可判断A正确；根据基本不等式可判断B错误；可得出x﹣y，然后判断C正确；可得出，然后根据正切函数的单调性判断D正确．
【解答】解：∵x＞0，y＞0，2x+2y＝1，
∴，当且仅当，即时取等号，A正确；
，当且仅当x＝y时取等号，∴，∴，B错误；
∵x＞0，y＞0，2x+2y＝1，∴，，∴，∴，C正确；
，，∴，且，∴成立，D正确．
故选：ACD．
（多选）12．（5分）已知函数f（x）＝|csx|﹣sin|x|，则下列结论正确的有（ ）
A．f（x）的一个周期是2π
B．f（x）在，]上单调递增
C．f（x）最大值为
D．方程f（x）﹣1＝0在[﹣2π，2π]上有7个解
【分析】根据csx的正负分段讨论f（x）的性质，且注意f（x）是偶函数，只需讨论x＞0的情况即可．
【解答】解：x∈R，f（﹣x）＝f（x），则f（x）是偶函数，csx是周期函数，sin|x|不是周期函数，
函数f（x）＝|csx|﹣sin|x|不是周期函数，A错误；
x∈[0，]时，csx＞0，f（x）＝csx﹣sinxcs（x），
xπ，x时，f（x）取得最大值；
x∈[，]时，csx＞0，f（x）＝csx﹣sinx，
x∈，]时，csx＞0，f（x）＝csx﹣sinxcs（x），f（x）最大值为，C正确；
x∈[，2π]⊂[π，2π]，则f（x）在，]上单调递增，B正确；
…，依次类推，如图：
D项中，在[﹣2π，2π]上，f（x）＝1的x＝0，
x∈[，]时，f（x）＝﹣csx﹣sinx＝1，两边平方，x＝±π，同理可得x＝±2π
当x＝±时，f（x）＝1，则f（x）＝1在[﹣2π，2π]上有7个解，D项正确．
故选：BCD．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）请写出一个定义域不是R，但值域为R的奇函数：f（x）＝ tanx（答案不唯一） ．
【分析】f（x）＝tanx，分析其定义域与值域及其奇偶性，可得答案．
【解答】解：∵f（x）＝tanx的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}，不是R，值域为R，且满足f（﹣x）＝﹣f（x），即f（x）＝tanx为奇函数，
∴符合题意，
故答案为：tanx（答案不唯一）．
14．（5分）已知θ为第四象限的角，sinθ+csθ，则cs2θ＝ ．
【分析】利用二倍角的正弦与同角三角函数间的关系可求得csθ﹣sinθ，再利用二倍角的余弦公式即可求得cs2θ．
【解答】解：∵sinθ+csθ，①
∴两边平方得：1+2sinθcsθ，
∴2sinθcsθ0，
∵θ为第四象限角，
∴sinθ＜0，csθ＞0，csθ﹣sinθ＞0．
∴csθ﹣sinθ，②
∴①+②可解得：csθ，
∴cs2θ＝2cs2θ﹣1＝2×（）2﹣1．
故答案为：．
15．（5分）函数f（x）＝2ax2﹣ax，若命题“∃x∈[0，1]，f（x）≤3﹣a”是假命题，则实数a的取值范围为 ．
【分析】根据已知条件，推得∀x∈[0，1]，f（x）＞3﹣a是真命题，再结合分离常数法，即可求解．
【解答】解：命题“∃x∈[0，1]，f（x）≤3﹣a”是假命题，
则∀x∈[0，1]，f（x）＞3﹣a是真命题，
故2ax2﹣ax＞3﹣a，即a（2x2﹣x+1）＞3，x∈[0，1]，
则，
故实数a的取值范围为．
故答案为：．
16．（5分）设a∈R，函数f（x），若函数f（x）在区间（0，+∞））内恰有6个零点，则a的取值范围是 （，2]∪[，] ．
【分析】由题意，分别求出当x＞a时，f（x）＝x2﹣（2a+4）x+9+a2零点分别为0个，1个，2个时，a的范围，再分别求出当x∈（0，a]时，f（x）＝tan[2π（x﹣a）]零点分别为4个，5个，6个时，a的范围，从而可得出答案．
【解答】解：因为函数f（x）在区间（0，+∞）内恰有6个零点，且二次函数最多2个零点，
所以当x≤a时，函数f（x）至少有4个零点，则a＞0，
①当x＞a时，f（x）＝x2﹣（2a+4）x+9+a2，
Δ＝4a2+16a+16﹣36﹣4a2＝16a﹣20，
当Δ＜0，即a时，f（x）＝x2﹣（2a+4）x+9+a2无零点，
当Δ＝0，即a时，f（x）＝x2﹣（2a+4）x+9+a2有1个零点，
当a时，f（a）＝a2﹣（2a+4）a+9+a2＝﹣4a+9，
函数f（x）＝x2﹣（2a+4）x+9+a2的对称轴为x＝a+2，则x＝a在对称轴的左边，
当﹣4a+9＞，即a时，f（x）＝x2﹣（2a+4）x+9+a2有2个零点，
当﹣4a+9≤0，即a时，f（x）＝x2﹣（2a+4）x+9+a2有1个零点，
综上所述，
当a时，f（x）＝x2﹣（2a+4）x+9+a2无零点，
当a或a时，f（x）＝x2﹣（2a+4）x+9+a2有1个零点，
a时，f（x）＝x2﹣（2a+4）x+9+a2有2个零点，
②当x∈（0，a]时，f（x）＝tan[2π（x﹣a）]，
因为x∈（0，a]，所以2π（x﹣a）∈（﹣2πa，0]，
当﹣4π≤﹣2πa＜﹣3π，即a≤2时，f（x）＝tan[2π（x﹣a）]有4个零点，
当﹣5π≤﹣2πa＜﹣4π，即2＜a时，f（x）＝tan[2π（x﹣a）]有5个零点，
当﹣6π≤﹣2πa＜﹣5π，即a≤3时，f（x）＝tan[2π（x﹣a）]有6个零点，
由①②可得，要使函数f（x）在区间（0，+∞）内恰有6个零点，
则或或解得x∈（，2]∪[，]．
所以a的取值范围是（，2]∪[，]．
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）已知集合A＝{x|1}，集合B＝{x|x2﹣（2a+1）x+a2+a＜0}，定义集合A﹣B＝{x|x∈A且x∉B}．
（1）若a＝2，求A﹣B．
（2）若A﹣B＝A，求a的取值范围．
【分析】（1）分别把两个集合中的不等式解集表示出来，紧扣定义A﹣B计算即可；（2）若A﹣B＝A，则A∩B＝∅，由此确定集合之间的关系，求a的取值范围．
【解答】解：（1）若a＝2，B＝{x|x2﹣5x+6＜0}＝（2，3），
A：1，∴0，∴（x﹣1）（x﹣5）＜0，∴1＜x＜5，∴A＝（1，5），
∴A﹣B＝{x|1＜x≤2或3≤x＜5}．
（2）若A﹣B＝A，则A∩B＝∅，
因为B＝{x|x2﹣（2a+1）x+a2+a＜0}＝{x|（x﹣a）[x﹣（a+1）]＜0}＝（a，a+1），
∴a≥5或a+1≤1，即a≤0或a≥5．
当A﹣B＝A，a的取值范围为A＝{a|a≤0或a≥5}．
18．（12分）已知函数f（x）＝Acs（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，）的图象过点P（，0），且图象上与点P最近的一个最低点的坐标为（）．
（1）求函数f（x）的解析式并用“五点法”作出函数在一个周期内的图象简图；
（2）将函数f（x）的图象向右平移m（m＞0）个单位长度得到的函数y＝g（x）是偶函数，求m的最小值．
【分析】（1）由题意，可求得A，T的值，利用周期公式可求ω的值，由2φ＝π+2kπ，k∈Z，结合，可求φ的值，可得函数解析式，利用五点作图法可作函数图象．
（2）依题意利用三角函数的平移变换和余弦函数的对称性可得﹣2mkπ，k∈Z，结合m＞0，即可求解m的最小值．
【解答】解：（1）由题意，可得A＝2，T＝4×（）＝π，可得2，
因为2φ＝π+2kπ，k∈Z，
所以φ2kπ，k∈Z，
又因为，
所以φ，
所以f（x）＝2cs（2x），
列表如下：
描点，连线，作图如下：
（2）依题意可得g（x）＝2cs[2（x﹣m）]＝2cs（2x﹣2m），
因为y＝g（x）是偶函数，所以直线x＝0是y＝g（x）的一条对称轴，
所以﹣2mkπ，k∈Z，可得m，k∈Z，
因为m＞0，
所以m的最小值是．
19．（12分）已知函数f（x）．
（1）判断函数y＝f（x）的单调性并用定义法加以证明；
（2）求不等式f（f（x）））+f（lg3）＞0的解集．
【分析】（1）先设﹣1＜x1＜x2＜1，然后比较f（x1）与f（x2）的大小即可判断；
（2）结合函数的单调性及奇偶性即可求解不等式．
【解答】解：（1）f（x）在（﹣1，1）上单调递减，理由如下：
设﹣1＜x1＜x2＜1，
则0＜x1+1＜x2+1，
令t（x）1，
则t（x1）＞t（x2），
所以lgt（x1）＞lgt（x2），
即f（x1）＞f（x2），
故f（x）在（﹣1，1）上单调递减；
（2）因为f（﹣x）＝lglgf（x），即f（x）为奇函数，
由f（f（x）））+f（lg3）＞0可得f（f（x））＞﹣f（lg3）＝f（﹣lg3），
所以﹣1＜f（x）＜﹣lg3＝lg，
即，
解得，
故不等式的解集为{x|}．
20．（12分）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢往上升，可以俯瞰四周景色．如图，某摩天轮最高点距离地面的高度为110m，最低点距离地面10m，已知摩天轮共有40个座舱，开后后摩天轮按逆时针方向匀速旋转，转动一周的时间大约为20min．游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转完一周后下舱．
（1）当游客距离地面高度不低于85m时，可以看到游乐园全貌，问在游客乘坐摩天轮旋转一周的过程中，有多少分钟可以看到游乐园全貌？
（2）当甲、乙两人先后坐上相邻的座舱，何时二人距离地面的高度相等？
【分析】（1）设游客距离地面高度为hm，由题意可得，0≤t≤20，令h（t）≥85，然后求解即可；
（2）设甲坐上座舱开始转到tmin后，甲、乙距离地面的高度分别为h（t），g（t），则h（t），（0≤t≤20），，（0≤t≤20），令h（t）＝g（t），然后求解即可．
【解答】解：（1）设游客距离地面高度为h，且h（t）＝Asin（ωt+φ）+B，
又A+B＝110，﹣A+B＝10，
则A＝50，B＝60，
又，
则，
又h（0）＝50sinφ+60＝10，
则φ，
即，0≤t≤20，
令h（t）≥85，
即，
则，
又，
则，
即，
即在游客乘坐摩天轮旋转一周的过程中，有分钟可以看到游乐园全貌；
（2）设甲坐上座舱开始转到tmin后，甲、乙距离地面的高度分别为h（t），g（t），
则h（t），（0≤t≤20），，（0≤t≤20），
令h（t）＝g（t），
则，
又t∈[0，20]，
则，
即，
即当甲、乙两人先后坐上相邻的座舱，min后二人距离地面的高度相等．
21．（12分）已知函数f（x）＝sin（），g（x）＝2sin（）﹣1，且满足∀x∈[0，π]，f（x）•g（x）≤0恒成立．
（1）求解g（x）的零点以及f（x）的函数解析式．
（2）求函数f（x）在区间]上最大值与最小值之差的取值范围．
【分析】（1）令函数g（x）＝0，即可求得g（x）的零点，再由g（x）在[0，π]上的图象与性质，结合题意即可判断f（x）过点（，0）和（，0），由此求出f（x）的周期和ω的值，写出f（x）的函数解析式；
（2）根据f（x）的图象与性质，设f（x）在区间]上最大值与最小值之差为M，讨论f（x）在区间]内取得最值和在区间端点处取到最值时，由此求出M的最小值与最大值，由此求出M的取值范围．
【解答】解：（1）令函数g（x）＝2sin（）﹣1＝0，得sin（x），
解得x2kπ，或x2kπ，k∈Z；
即x，或x，k∈Z；
所以g（x）的零点为x，或x，k∈Z；
由此知，g（x）在[0，+∞）上的零点为，，，..．
且对∀x∈[0，π]，f（x）•g（x）≤0恒成立，
所以当x∈（0，）时，g（x）＜0，f（x）＞0，x∈（，）时，g（x）＞0，f（x）＜0，
所以f（x）过点（，0）和（，0），
所以f（x）的周期为T2×（）＝π，解得ω＝2，
所以f（x）的函数解析式为f（x）＝sin（2x）．
（2）因为函数f（x）＝sin（2x），周期为π，
区间]的长度为，设f（x）在区间]上最大值与最小值之差为M，
当f（x）在区间]内取得最值，且f（t）＝f（t），M取得最小值，此时f（x）的最大值为1，最小值为，所以M的最小值为1；
当f（x）在区间]内最值在端点处取到时，M＝|f（t）﹣f（t）|＝|sin（2t）﹣sin（2t）|＝|sin2t|，所以M的最大值为，
所以f（x）在区间]上最大值与最小值之差的取值范围是[1，]．
22．（12分）设函数f（x）和g（x）的定义域分别为D1和D2，若对∀x0∈D1，都存在n个不同的实数x1，x2，x3，…，xn∈D2，使g（xi）＝f（x0）（其中i＝1，2，3，…，n，n∈N+），则称g（x）为f（x）的“n重覆盖函数”．
（1）试判断g（x）＝2sin（2x）（0≤x≤2π）是否为f（x）＝﹣（）|x|的“4重覆盖函数”？并说明理由．
（2）已知函数g（x）为的“2重覆盖函数”，求实数a的取值范围
【分析】（1）由题意可知f（x）＝﹣（）|x|∈[﹣1，0），令t＝2x，当0≤x≤2π时，t，则y＝2sint，t∈[，]，则当k∈[﹣1，0）时，y＝k与y＝2sint在区间[，]上有且仅有4个交点，即可得出答案．
（2）f（x）＝lg2lg2（1）的定义域为R，值域为（0，1），由题意可得g（x）＝k，k∈（0，1），有两个不相等的实数根，则当x＞1时，g（x）＝k在（1，+∞）上有且仅有一个实数根，当﹣2≤x≤1时，ax2+（2a﹣3）x+1＝k，k∈（0，1）有且仅有一个实数根，令h（x）＝ax2+（2a﹣3）x+1﹣k，只需h（x）在[﹣2，1]上有唯一零点，即可得出答案．
【解答】解：（1）g（x）＝2sin（2x）（0≤x≤2π）是f（x）＝﹣（）|x|的“4重覆盖函数”，
理由如下：由（）|x|∈（0，1]可知，f（x）＝﹣（）|x|∈[﹣1，0），
令t＝2x，当0≤x≤2π时，t，
则y＝2sint，t∈[，]，
当t或t时，y1，
则当k∈[﹣1，0）时，y＝k与y＝2sint在区间[，]上有且仅有4个交点，
所以g（x）＝2sin（2x）（0≤x≤2π）是f（x）＝﹣（）|x|的“4重覆盖函数”．
（2）f（x）＝lg2lg2（1）的定义域为R，
因为1∈（1，2），
所以f（x）＝lg2∈（0，1），
由题意可得g（x）＝k，k∈（0，1），有两个不相等的实数根，
当x＞1时，g（x）＝lg2x单调递增且lg2x∈（0，+∞），
所以g（x）＝k在（1，+∞）上有且仅有一个实数根，
当﹣2≤x≤1时，ax2+（2a﹣3）x+1＝k，k∈（0，1）有且仅有一个实数根，
令h（x）＝ax2+（2a﹣3）x+1﹣k，
只需h（x）在[﹣2，1]上有唯一零点，
因为h（﹣2）＝7﹣k＞0，
由零点的存在定理可知，h（﹣2）h（1）≤0，
即h（1）＝3a﹣2﹣k≤0，3a﹣2≤kmin，
所以3a﹣2≤0，
解得a，
综上所述，a的取值范围为（﹣∞，]．
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