山东省东营市垦利区2023-2024学年八年级上册期中数学试题（含解析）

这是一份山东省东营市垦利区2023-2024学年八年级上册期中数学试题（含解析），共14页。试卷主要包含了计算的结果为，代数式，，，，中分式有，若分式有意义，则的取值范围是，已知，则的值是等内容，欢迎下载使用。

（考试时间：120分钟 分值：120分）
第I卷（选择题 共30分）
一．选择题（共10小题，每题3分，共30分）
1．计算的结果为（ ）
A．B．C．D．
2．代数式，，，，中分式有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
3．下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是（ ）
A．B．
C．D．
4．陈芋汐在2023年杭州亚运会女子十米跳台项目中获得了亚军，其中第五轮跳水的7个成绩分别是（单位：分）：，，，，，，，这组数据的众数和中位数分别是（ ）
A．；B．；C．；D．；
5．若分式有意义，则的取值范围是（ ）
A．全体实数B．C．D．
6．已知，则的值是（ ）
A．6B．C．1D．
7．如果把分式中的x和y都扩大3倍，那么分式的值（ ）
A．扩大3倍B．缩小3倍C．扩大9倍D．不变
8．在一对组样本数据进行分析时，佳琪列出了方差的计算公式：，由公式提供的信息，则下列说法错误的是（ ）
A．样本的平均数是4B．样本的众数是4
C．样本的中位数是4D．样本的总数
9．如图，把图1中的②部分剪下来，恰好能拼在①的位置处，构成图2中的图形，形成一个大长方形（实线围成的图形）．根据图形的变化过程写出的一个正确的等式是（ ）
A．B．
C．D．
10．已知关于的分式方程有增根，则k＝（ ）．
A．－3B．－2C．2D．3
第II卷（非选择题 共90分）
二．填空题（共8小题，11-14每题3分，15-18每题4分，共28分）
11．分解因式：= ．
12．计算的结果是 ．
13．如果一组数据4，x，2，3，6的平均数是4，那么这组数据的中位数是 ．
14．在一次数学测验中，随机抽取了份试卷，其成绩如：则这组数据的标准差为 ．
15．某工厂接到加工600件衣服的订单，预计每天做25件，正好按时完成，后因客户要求提前3天交货，工人则需要提高每天的工作效率，设工人每天应多做件，依题意列方程正确的是 .
16．已知，则 ．
17．若关于的分式方程有正数解，求的取值范围 ．
18．已知一列均不为1的数满足如下关系：，，，⋯，，若，则的值是 ．
三．解答题（本大题共7小题，共62分。解答要写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤。）
19．分解因式：
（1）
（2）
解方程：
（3）
（4）
20．若a，b，c分别为三边的长，且满足，试判断的形状，并说明理由．
21．先化简，再求值：，然后从，0，1，3中选一个合适的数作为x的值代入求值．
22．为积极落实“双减”政策，让作业布置更加精准高效，我校现对八年级部分学生每天完成作业所用的时间进行调查，并用得到的数据绘制了如下不完整的统计图，根据图中信息完成下列问题：
(1)本次共调查了___________名学生，并补全上面条形统计图：
(2)本次抽查学生每天完成作业所用时间的中位数为___________；众数为___________；
(3)我校八年级有1200名学生，请你估计八年级学生中，每天完成作业所用时间为小时的学生有多少人？
23．观察下列等式：
，，
将以上三个等式两边分别相加得：
(1)猜想并写出：______．
(2)解分式方程．
24．某校在商场购进A、B两种品牌的篮球，购买A品牌篮球花费了2500元，购买B品牌篮球花费了2000元，且购买A品牌篮球的数量是购买B品牌篮球数量的2倍，已知购买一个B品牌篮球比购买一个A品牌篮球多花30元．
(1)问购买一个A品牌、一个B品牌的篮球各需多少元？
(2)该校决定再次购进A、B两种品牌篮球共50个，恰逢商场对两种品牌篮球的售价进行调整，A品牌篮球售价比第一次购买时提高了8%，B品牌篮球按第一次购买时售价的9折出售，如果该校此次购买A、B两种品牌篮球的总费用不超过3060元，那么该校此次最多可购买多少个B品牌篮球？
25．阅读材料：
利用公式法，可以将一些形如的多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法，运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解．例如．
根据以上材料，解答下列问题．
(1)用配方法分解因式：；
(2)求多项式的最小值；
(3)已知，，是的三边长，且满足，求的周长．
参考答案与解析
1．C
【分析】根据分式的加法运算可进行求解．
【详解】解：原式；
故选C．
【点睛】本题主要考查分式的运算，熟练掌握分式的运算是解题的关键．
2．B
【分析】根据分式的定义逐一判断即可．
【详解】解：，，是分式，
故选：B．
【点睛】本题考查了分式的定义，掌握分式的定义是解题的关键．一般地，如果A、B（B不等于零）表示两个整式，且B中含有字母，那么式子就叫做分式，其中A称为分子，B称为分母．
3．C
【分析】根据因式分解的定义：将一个多项式分解成几个整式的积的形式，叫做因式分解，进行判断即可．熟练掌握因式分解的定义是解题的关键．
【详解】解：A．不是因式分解，故选项错误，不符合题意；
B．是多项式乘法，不是因式分解，故选项错误，不符合题意；
C．是因式分解，故选项正确，符合题意；
D．不是因式分解，故选项错误，不符合题意．
故选：C．
4．B
【分析】根据中位线和众数的定义进行判断即可．
【详解】解：这组数据中出现最多的是，因此众数是；
将这组数据从小到大进行排序，排在中间位置的一个数为，因此中位数是．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了中位线和众数，解题的关键是熟练掌握中位数和众数的定义，将一组数据从小到大或从大到小进行排序，排在中间位置的一个数或两个数的平均数，叫做这组数据的中位数；在一组数据中出现次数最多的数，叫做这组数据的众数．
5．D
【分析】根据分式有意义的条件，分母不能为零即可解答．
【详解】解：要使分式有意义，
，
即，
故选：D
【点睛】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0，即可解决此类问题．
6．B
【分析】本题考查因式分解，代数式求值，将进行因式分解后，再利用整体代入法求解即可.
【详解】解：因为，
所以
，
故选：B．
7．A
【分析】把分式中的x和y都扩大3倍，就是用x变成3x，y变成3y，用3x，3y代替式子中的x、y，看所得的式子与原式之间的关系．
【详解】解：分别用3x，3y代替式子中的x、y，
得，
即分式的值扩大3倍．
故选：A．
【点睛】本题主要考查分式的化简，是一个中考中经常出现的问题．
8．B
【分析】根据方差的计算公式：一组数据的每一个数分别减去这组数据的平均数的差的平方和，除以数据的个数，进行判断即可．
【详解】解：由：可知：
这组数据为：，平均数为4，
∴这组数据的中位数为：；样本的总数；众数为：；
∴，选项正确，不符合题意；选项错误，符合题意；
故选B．
【点睛】本题考查平均数，中位数，众数和方差．正确理解方差的计算公式，是解题的关键．
9．D
【分析】由图1可得，边长为a的正方形面积减去边长为b的正方形面积，由图2可得，图中的面积为长为，宽为的长方形面积，图1和图2面积相等，即可得出答案．
【详解】解：根据题意可得，
图1中的面积为：，
图2中的面积为：，
则可得，．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了平方差公式的几何背景，熟练掌握平方差公式的几何背景计算方法进行求解是解决本的关键．
10．A
【分析】先化成整式方程，把代入整式方程，确定的值即可．
【详解】∵，
∴，
∵关于x的分式方程有增根，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握分式方程的增根的意义是解题的关键．
11．x（x+2）（x﹣2）
【分析】先提取公因式，再根据平方差公式分解因式即可．
【详解】解：
=
=x（x+2）（x﹣2）．
故答案为：x（x+2）（x﹣2）．
【点睛】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，掌握a2-b2=（a+b）（a-b）是解题的关键．
12．
【分析】根据分式的除法法则计算即可．
【详解】解：
，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是分式的乘除法，掌握分式的除法法则是解题的关键．
13．4
【分析】先根据平均数的定义求出x的值，再依据中位数的定义可得答案.
【详解】解：由题意知，，
解得，
∴这组数据为2，3，4，5，6，
∴这组数据的中位数是4，
故答案为：4.
【点睛】本题主要考查了平均数和中位数，属于基础题，要灵活运用.
14．
【分析】先求出这组数据的平均数，再依据标准差的计算公式求解即可．
【详解】解：这组数据的平均数为，
这组数据的标准差为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查标准差，样本方差的算术平方根表示样本的标准差，它也描述了数据对平均数的离散程度．熟练掌握标准差的计算公式是解题关键．
15．
【分析】本题考查由实际问题抽象出分式方程，设工人每天应多做件，根据关键描述语“提前3天交货”得到等量关系为“原来所用的时间实际所用的时间”，由此列出方程即可．弄清题目中的等量关系时解答本题的关键．
【详解】解：设工人每天应多做件，则原来所用的时间为：天，实际所用的时间为：．
∴所列方程为：．
故答案为：．
16．3
【分析】先对所求式子进行化简，然后整体代入求值．
【详解】解：∵，
∴，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，注意整体思想的应用．
17．且
【分析】本题考查分式方程；掌握分式方程的求解方法，切勿遗漏分式方程的增根情况是解题的关键．解分式方程得到，结合已知可得，同时注意，分式方程中，，所以，则可求的取值范围．
【详解】解：分式方程两边同时乘以，得
，
整理，得，
解得，
方程有正数解，
，
解得，
，，
，
∴且，
的取值范围是且，
故答案为且．
18．
【分析】本题考查数字变化的规律，分别求出，根据发现的规律即可解决问题．
【详解】解：由题知，因为，
则，
，
，
，
…，
由此可见，这一列数按2，，，循环出现，
且，
所以．
故答案为：．
19．（1）；（2）；（3）无解；（4）
【分析】本题考查了提公因式法与公式法分解因式及解分式方程等知识点，
（1）原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可；
（2）先将分解成，前三项组成完全平方公式，再用平方差公式分解即可；
（3）方程两边都乘得到整式方程，解方程验根即可得解；
（4）两边乘 得到整式方程，解方程验根即可得解；
熟练掌握其法则是解决此题的关键，解分式方程一定要注意检验．
【详解】（1）
（2）
（3），
，
方程两边都乘得，
，
，
，
∴，
检验：当时，，
∴是原方程的增根，
∴原方程无解，
（4），
两边乘 得，
，
，
，
，
检验：当时，，
∴原方程的解为：
20．等腰三角形，理由见解析
【分析】首先将已知等式进行因式分解，然后由两数相乘为零必有一数为零，解其方程得到，即可判定．
【详解】∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵a，b，c分别为三边的长，
∴，，，
∴，
∴，
∴是等腰三角形．
【点睛】此题主要考查因式分解的应用，等腰三角形的判定，掌握因式分解是解题的关键．
21．；，原式=
【分析】利用分式的运算法则将原式进行化简，然后根据分式有意义的条件确定x的值，再将其代入化简结果计算即可．
【详解】解：原式
∵，，
∴，，，
∴，
∴原式．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键．
22．(1)100；条形统计图见详解；
(2)1.5，1.5；
(3)八年级学生中，每天完成作业所用时间为小时的学生有人
【分析】（1）根据条形统计图，扇形统计图中的数据计算出缺少的数据，并补全条形统计图即可；
（2）根据条形统计图分析出中位数和众数；
（3）根据样本计算出每天完成作业所用时间为小时的学生在样本的比例，根据比例估算出八年级学生中，每天完成作业所用时间为小时的学生．
【详解】（1）解：本次调查的人数为：（人），
完成作业时间为1.5小时的有：（人），
补全的条形统计图如图所示：
；
（2）解：由（1）中的条形统计图可知，抽查学生完成作业所用时间的众数是1.5小时，
∵，则中位数是1.5小时，
故答案为：1.5，1.5；
（3）解：，
（人），
答：八年级学生中，每天完成作业所用时间为小时的学生有人．
【点睛】本题考查条形统计图，扇形统计图，用样本估算整体，能够将条形统计图和扇形统计图相结合是解决本题的关键．
23．(1)
(2)
【分析】（1）观察前三个等式，即可得到规律；
（2）根据（1）得出的规律，可化为，解分式方程即可求解．
【详解】（1）解：∵，
，
，
，
∴，
故答案为：；
（2）解：，
将方程化为，即，
∴，
经检验，是方程的根，
∴原方程的解为．
【点睛】本题考查分式方程的解，数字类规律的探索，熟练掌握分式方程的解法，要对所求的根进行检验是解题的关键．
24．(1)购买一个A品牌的篮球需50元，购买一个B品牌的篮球需80元；
(2)该校此次最多可购买20个B品牌篮球．
【分析】（1）设购买一个A品牌的篮球需x元，则购买一个B品牌的篮球需（x+30）元，由题意：购买A品牌篮球花费了2500元，购买B品牌篮球花费了2000元，且购买A品牌篮球数量是购买B品牌篮球数量的2倍，列出分式方程，解方程即可；
（2）设该校此次可购买a个B品牌篮球，则购进A品牌篮球（50-a）个，根据购买A、B两种品牌篮球的总费用不超过3060元，列出不等式，解不等式即可．
【详解】（1）设购买一个A品牌的篮球需x元，则购买一个B品牌的篮球需（x+30）元，
由题意得：
，
解得：x=50，
经检验，x=50是原方程的解，且符合题意，
则x+30=80．
答：购买一个A品牌的篮球需50元，购买一个B品牌的篮球需80元．
（2）设该校此次可购买a个B品牌篮球，则购进A品牌篮球（50-a）个，
由题意得：50×（1+8%）（50-a）+80×0.9a≤3060，
解得：a≤20，
答：该校此次最多可购买20个B品牌篮球．
【点睛】此题考查分式方程的应用与一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式．
25．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据配方法配方，再运用平方差公式分解因式即可；
（2）根据配方法配方，再根据平方的非负性，可得答案；
（3）先因式分解已知等式，再根据平方的非负性，确定，，的值即可．
【详解】（1）解：
；
（2），
∵，
∴，
∴多项式的最小值为；
（3）∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，，
∴，，，
∵，
∴的周长为．
【点睛】本题考查因式分解的应用，完全平方公式，平方差公式，平方的非负性，掌握完全平方公式进行配方是解题关键．