山东省临沂市沂水、平邑2023-2024学年高一上学期期中考试数学模拟试题（含答案）

这是一份山东省临沂市沂水、平邑2023-2024学年高一上学期期中考试数学模拟试题（含答案），共17页。试卷主要包含了本试卷分第Ⅰ卷两部分，5##等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
1.本试卷共4页，满分150分，考试用时120分钟.
2.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
3.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.
4.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．若集合，则（ ）
A．B．
C．D．
2．已知集合，，且，则（ ）
A．B．C．D．
3．函数的定义域是（ ）
A．B．
C．D．
4．函数（）的最小值为（ ）
A．1B．3C．5D．9
5．已知不等式的解集是或，则（ ）
A．B．C．1或D．或
6．下图的四个图象中，与下述三件事均不吻合的是（ ）
（1）我骑着车离开家后一路匀速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间；（2）我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是返回家里找到了作业本再上学；（3）我从家出发后，心情轻松，一路缓缓加速行进.
A．B．
C．D．
7．已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
8．已知，则的最小值是（ ）
A．1B．2C．3D．4
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．已知，，下列关系正确的是（ ）
A．B．C．D．
10．命题：“，”的否定为真命题的一个充分条件是（ ）
A．B．C．D．
11．已知正实数，，满足，则（ ）
A．B．C．D．
12．对于定义域为的函数，若同时满足下列条件：
①，；②，，，则称函数为“函数”.则（ ）
A．若为“函数”，则其图像恒过定点
B．定义在上的函数上不是“函数”
C．定义在上的函数上是“函数”（表示不大于的最大整数）
D．若为“函数”，则一定是上的增函数
第Ⅱ卷（选择题 共90分）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．已知，则 .
14．已知幂函数的定义域为，则实数 .
15．为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”.计费方法如下表：
若某户居民本月交纳的水费为69元，则此户居民本月用水量是 .
16．根据下述事实，写出一个含有量词的全称量词真命题或存在量词的真命题：
，
，
，
……
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．已知集合，.
(1)若，求；
(2)若，求实数的取值范围.
18．已知函数.
(1)判断函数的奇偶性；
(2)画出函数与的大致图象，判断两个函数图象是否相交，二者的位置关系的变化趋势如何？并说明理由.
19．已知函数（），其中.
(1)若，求函数的最小值；
(2)若，讨论并证明函数的单调性.
20．已知二次函数的图象经过点和，且函数在上的最大值为4.
(1)求函数的解析式；
(2)若不等式对于一切实数x均成立，求实数m的取值范围.
21．已知克糖水中含有克糖（），再添加克糖（）（假设全部溶解），糖水变甜了.
(1)请将这一事实表示为一个不等式，并加以证明；
(2)已知，小明同学判断添加克糖前后的两杯糖水中的含糖浓度值之差的绝对值肯定小于，判断是否正确，并说明理由.（）
22．如图，等腰直角中，，，记位于直线（）左侧的图形的面积为.
(1)试求函数的解析式；
(2)已知函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.已知函数的定义域为，且.根据上述推论判断：函数的图象是否存在对称中心；若存在，求出与对称中心坐标；若不存在，请说明理由.
每户每月用水量
水价
不超过的部分
3元
超过但不超过的部分
6元
超过的部分
9元
1．A
【分析】化简集合，然后根据交集的定义运算即得.
【详解】因为，
所以.
故选：A.
2．D
【分析】先求得，然后根据包含关系求得正确答案.
【详解】依题意，而，所以.
故选：D
3．D
【分析】求函数的定义域，注意偶次根式被开方数不能为负，分母不能为.
【详解】根据偶次根式被开方数不能为负，分母不能为有：
，，解得函数的定义域为.
故选：D
4．C
【分析】利用均值不等式求最小值即可.
【详解】，当且仅当，即时等号成立，
故选：C
5．A
【分析】根据不等式的解集确定不等式的形式为一元二次不等式，再利用根与系数关系求解.
【详解】根据不等式解集可确定，不等式为一元二次不等式，且，
令，方程两根，，
根据根与系数关系有，，
则有解得，所以.
故选：A
6．D
【分析】根据题意，结合条件对图像逐一分析，即可得到结果.
【详解】（1）我骑着车离开家后一路匀速行驶，此时对应的图像为直线递增图像，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间，此时离家距离为常数，然后为递增图像，对应图像A；
（2）我离开家不久，此时离家距离为递增图像，发现自己把作业本忘在家里了，于是返回家里找到了作业本再上学，此时离开家的距离递减到0，然后再递增，对应图像C；
（3）我从家出发后，心情轻松，一路缓缓加速行进，此时图像为递增图像，对应图像B；
故选：D
7．B
从充分性和必要性两方面进行讨论即可.
【详解】充分性：当，时充分性不成立；
必要性：由可得，即，
所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：B
本题主要考查充要条件的判定，涉及到不等式的性质，属于基础题.
8．C
【分析】利用基本知识点“1”的妙用，可得答案.
【详解】由，且，易知，，则
，
当且仅当，即时，等号成立.
故选：C.
9．BCD
【分析】明确集合A，B分别是数集和点集，根据集合的相等的概念以及元素和集合的关系，一一判断各选项，即得答案.
【详解】由题意知，A表示的为数集，
表示的是点集，
则，A错误；
，故，B正确；
1是一个数，B代表点集，故，C正确；
由于，故，D正确，
故选：BCD
10．AB
【分析】先求出命题的否定，再判断取值范围即可得出结果.
【详解】命题：“，”的否定为“，”，
当时，恒成立，符合题意；
当时，，
综上，，
故选：AB
11．BD
【分析】应用不等式的性质即可判断.
【详解】对A，因为，则，则，A错误；
对B，因为，则，则，B正确；
对C，因为,则，则，
则，C错误
对D，因为，则，
当且仅当时等号成立，因为，故等号不能取得，
则，D正确.
故选：BD
12．ABC
【分析】A选项，由②得，由①得，故，A正确；B选项，取，不满足，B错误；C选项，令，其中为整数部分，为小数部分，令，其中为整数部分，为小数部分，则，，若，则，若，则，满足①②，C正确；D选项，举出反例.
【详解】A选项，若为“函数”，
由②得，令得，，解得，
又由①得，故，则其图像恒过定点，A正确；
B选项，，，取，则，
故，，不满足，
故定义在上的函数上不是“函数”，B错误；
C选项，当时，，满足①，
不妨令，其中为整数部分，为小数部分，则，
再令，其中为整数部分，为小数部分，则，
若，则，
若，则，
从而有，满足②，
故定义在上的函数上是“函数”（表示不大于的最大整数），C正确；
D选项，，满足①②，为“函数”，但不是上的增函数，D错误.
故选：ABC
13．5
【分析】应用赋值法求函数值即可.
【详解】令
故答案为:5.
14．3
【分析】根据题意，由幂函数的定义以及性质，列出方程，代入计算，即可得到结果.
【详解】由题意可得，，解得或，
当时，，定义域为；
当时，，定义域为，不满足；
所以.
故3
15．17.5##
【分析】根据表格中的信息，把居民本月交纳的水费为y元关于每户每月用水量为xm3的分段函数关系系求出来，再分别代入到每段的解析式中，求出相应的x的值，进而求解出此户居民本月的用水量
【详解】设每户每月用水量为xm3，居民本月交纳的水费为y元
当时，
当时，
当时，
故
因为某户居民本月交纳的水费为69元，令，解得：，舍去
令，解得：，符合要求
令，解得：，舍去
故17.5.
16．，.
【分析】观察式子得从开始从小到大连续个奇数相加的和为，从而求解.
【详解】观察式子可知：从开始从小到大连续个奇数相加的和为，
故可得：，；
故，.
17．(1)或.
(2).
【分析】（1）化简集合，结合集合的补集和交集的运算即可；
（2）由，即，分，，结合数轴即可求解.
【详解】（1）当时，，所以或，
因为，
所以
所以或.
（2）因为，所以，
由（1）可知，且注意到，
①当时，，解得：；
②当时，由题意得：，解得.
综上所述，实数的取值范围为.
18．(1)函数为奇函数；
(2)答案见解析
【分析】（1）首先求出定义域，再计算，即可判断；
（2）根据解析式画出函数图象，再结合图象判断即可.
【详解】（1）函数定义域为
因为，都有
且
所以，函数为奇函数；
（2）函数与的图像如图所示，函数与的图像没有交点
在第一象限的图象始终在函数的图象的上方，且自左向右无限接近；
在第三象限的图像始终在函数的图象的下方，且自右向左无限接近；
理由如下：
令（），则，当时，
又函数在区间上单调递减，
因此在第一象限的图象始终在函数的图象的上方，且自左向右无限接近；
又（）为奇函数，
同理可证得两个函数图象在第三象限具有类似的位置关系.
19．(1)
(2)单调递减，证明见解析
【分析】（1）根据基本不等式即可得结果；
（2）利用定义证明单调性即可.
【详解】（1）因为，所以，满足，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
所以取得最小值.
（2）因为，所以
，，且，则
.
由，得，，
于是，即.
所以，函数在区间上单调递减.
20．(1)
(2).
【分析】（1）运用二次函数的图像及性质可求函数解析式，
（2）依题意，转化为一元二次不等式恒成立问题，结合一元二次函数图象即可解决.
【详解】（1）因为二次函数的图象经过点和，
所以函数的对称轴为，
又函数在上的最大值为4，所以函数的顶点坐标为，开口向下，
设（），把点代入得，解得，
所以.
（2）依题意：不等式对于一切实数x均成立，
即，即对于一切实数x均成立，
所以，即，
即，解得或，
所以m的取值范围为.
21．(1)不等式：已知，，则，证明见解析
(2)小明同学判断正确，理由见解析
【分析】（1）作差法比较两式的大小. （2）根据已知条件列式，代入，利用换元法构造函数，根据基本不等式求函数的最值，注意基本不等式成立的条件.
【详解】（1）不等式：已知，，则.
证明：，
因为，则，所以，即.
（2）答：小明同学判断正确，理由如下：
两杯糖水的含糖浓度值之差的绝对值，
不妨设（），记（），
化简得，又，
则，
当且仅当，即时，的最大值小于，
综上：添加克糖前后的两杯糖水的含糖浓度值之差的绝对值肯定小于.
22．(1)；
(2)不存在，理由见解析.
【分析】（1）根据直线（）的三种不同位置，将图形面积转化为成分段函数即可；
（2）先由题设条件，求出函数，再由函数图像中心对称的充要条件构造函数，由的奇函数特征，求出的值，最后由图像的对称性求出值进行检验即可.
【详解】（1）依题意得，直线：（）与分别交于点，点，
①当时，，，
的面积，；
②当时，，，
的面积，；
③当时，；
综上：
（2）函数的图象不存在对称中心，理由如下：
依题意，，
假设，为奇函数，
则，化简得（*），
故，
又因为，
所以，
化简求得代入（*）式，可得：
则，满足，都有，
根据题意中的推论，图象可能的对称中心为，
则，得，这与题设中的矛盾，
故函数的图象不存在对称中心.