上海市2020-2021学年高二上学期9月月考数学试题人教A版

这是一份上海市2020-2021学年高二上学期9月月考数学试题人教A版，共8页。试卷主要包含了填空题，单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 函数在处取得最大值，则________

2. 已知等差数列{an}满足a1＝1，a3＝5，那么数列{an}的前8项和S8＝________．

3. 已知向量,为单位向量，且夹角为60∘,则________.

4. 若增广矩阵的线性方程组的解为，则实数________

5. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则的面积为________.

6. 在中,,,为斜边上靠近点的三等分点,为边的中点,则的值为________.

7. 已知，，，均为锐角，则________.

8. 圆O为△ABC的外接圆，半径为2，若，且，则向量在向量方向上的投影为________.

9. 方程所有解的和为________

10. 设函数的图象关于直线对称，它的周期为，则下列说法正确是________（填写序号）
①的图象过点；
②在上单调递减；
③的一个对称中心是；
④将的图象向右平移个单位长度得到函数的图象.

11. 如图所示，正方形上连接等腰直角三角形，直角三角形上再连接正方形……如此无限重复下去，设正方形面积为，三角形面积为.当第一个正方形的边长为2时，则这些正方形和三角形的面积的总和为________.


12. 在平面凸四边形ABCD中，，点M，N分别是边AD，BC的中点，且，若，，则的值为________.
二、单选题

已知，，且 // ，那么( )
A.10B.5C.D.

已知，则的值为( )
A.B.C.D.

如图所示，在中，点D是边上任意一点，M是线段的中点，若存在实数和，使得，则( )

A.B.C.D.

在平面直角坐标系中，定义（）为点到点的变换，我们把它称为点变换，已知，，，是经过点变换得到一组无穷点列，设，则满足不等式最小正整数的值为( )
A.9B.10C.11D.12
三、解答题

关于的方程组请对方程组解的情况进行讨论.

已知，且向量与不共线.
（1）若与的夹角为，求；

（2）若向量与的夹角的钝角，求实数的取值范围.

数列满足，，.
（1）证明：数列是等差数列；

（2）设，求数列的前项和.

已知，，函数．
（1）求的最小正周期；

（2）求在内的零点的个数；

（3）将的图像先向下平移个单位，再把横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，其中，得到的图像，若在上恒满足，求所有可取的值．

对于数列，若存在，使得对任意都成立，则称数列为“折叠数列”.
（1）若，，判断数列、是否是“折叠数列”，如果是，指出的值；如果不是，请说明理由；

（2）若，求所有的实数，使得数列是折叠数列；

（3）给定常数，是否存在数列，使得对所有，都是折叠数列，且的各项中恰有个不同的值，证明你的结论.
参考答案与试题解析
上海市2020-2021学年高二上学期9月月考数学试题
一、填空题
1.
【答案】
________，√,2
【考点】
三角函数中的恒等变换应用
辅助角公式
【解析】
由辅助角公式化简函数式，结合题意在x=θ处取得最大值，知sinθ+π4=1即可求出θ，进而求sinθ
【解答】
y=sinx+csx=2sinxcsπ4+csxsinπ4=2sinx+π4
在x=θ处取得最大值，即sinθ+π4=1
θ+π4=2kπ+π2，有θ=2kπ+π4
则
故答案为：22
2.
【答案】
64
【考点】
等差数列的通项公式
【解析】
先求得d，再求得S．
【解答】
依颢意d=马∼ai_2−+=2．所以S．=8×1+=×2=64．
3—122
故答案为：64
3.
【答案】
、5
【考点】
向量的模
【解析】
由题意可得|e→1|=1|e2→|=1,e1→⋅e1→=12，再代入向量的模长计算公式即可．
【解答】
因为向量为单位向量，所以|e1→|=|1.|e2→|=1，所以e1→⋅e2→||e1|→||e2→||cs60∘=12
故答案为：3
4.
【答案】
2
【考点】
集合的确定性、互异性、无序性
区间与无穷的概念
不等式的基本性质
【解析】
根据增广矩阵的概念直接求解．
________．(237)
【解答】
由增广矩阵为01mⅠ的线性方程组的解为x=2y=1,
则0×2+2×1=m
得m=2
故答案为：2．
5.
【答案】
3−、5
【考点】
正弦定理
解三角形
【解析】
先利用三角形内角和为π，根据sinA=sinB+C可以求出sinA，再由正弦定理求出b，即可利用三角形面积公式
S=12absinC求出．
【解答】
由题可知，在△ABC中，
sinA=sinB+C=sinπ3+π4=sinπ3csπ4+csπ3sinπ4=32×22+12×22=6+24
由正弦定理可得asinA=bsinB
b=asinA×sinB=26+24×32=32−6
S=12absinC=12×2×32−6×22=3−3
故答案：3−3
6.
【答案】
________、18
3
【考点】
平面向量的基本定理及其意义
【解析】
由已知条件，先线性表示向量AP→,AO→，再由向量的数量积的运算律运算可得答案
【解答】
由已知可知：AC→=0,AO→=12AB→+AC→AP→=AB→+BP→=AB→+13BC→=AB→+13AC→−AB→=23AB→+13AC→
所以AP→⋅AO→=23AB→+13AC→⋅12AB→+AC→=13AB→2+16AC→2+12AB→⋅AC→=13×42+13×22=183
故答案为：183
7.
【答案】
________，10、5−12,39
【考点】
方根与根式及根式的化简运算
区间与无穷的概念
不等式的基本性质
【解析】
通过已知角的余弦函数值，求出对应角的正弦函数值，再利用两角和差的余弦公式即可．
【解答】
因为α,β均为锐角，所以α+β∈0,π2a∈0,π，由csα+β=−13cs2α=−513
易知sinα+β=1−−132=223
sin2α=1−−5132=1213
所以
故答案为：102−1239
8.
【答案】
3
【考点】
平面向量数量积
向量加减混合运算及其几何意义
【解析】
根据向量关系，即可确定⋅ABC的形状，再根据向量投影的计算公式，即可求得结果
【解答】
因为圆O为△ABC的外接圆，半径为2，若AB→+AC→=2AO→
故可得4BC是以角A为直角的直角三角形．
又因为|OA→|=|AC→|，且外接圆半径是2，
故可得BC=20A=2AC=4
则AB=BC2−AC2=23cs∠ABC=ABBC=32
故向量BA→在向量BC→方向上的投影为AB×cs∠ABC=23×32=3
故答案为：3．
9.
【答案】
4
【考点】
余弦函数的图象
【解析】
先令fx=csπxgx=|lg2|x−1|，求出fx的周期和对称轴，gx的对称轴，画出图像，观察交点个数，利用
对称性即可得解．
【解答】
令fx=csπx，则其周期为2ππ=2，其中一个对称轴为x=1
令gx=lg2|x−1|，则其对称轴为x=1，画出fx,gx的图像如下：
风
观察图像可得：函数fx和函数gx有4个交点，
并且都关于x=1对称分布，所以原方程所有跟的和为4．
故答案为：4．
10.
【答案】
③
【考点】
函数的概念及其构成要素
函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】
先根据对称轴及最小正周期，求得函数fx的解析式．再结合正弦函数的图象与性质，判断点是否在函数图象上，求得函数的
单调区间及对称中心判断选项，由平移变换求得变化后的解析式并对比即可．
【解答】
函数fx=2sinωx+φω>0,φ∈0,π2的最小正周期是π，所以ω=2ππ=2，则fx=2sin2x+φ
又fx=2sin2x+φ图象关于直线x=2π3对称，
所以对称轴为2x+φ=π2+kπ,k∈Z，代入可得2×2π3+φ=π2+kπ,k∈Z，解得φ=−5π6+kπ,k∈Z
因为ρ∈0,π2，所以当k=1时，φ=π6，则fx=2sin2x+π6
对于○，当x=0时，f0=2sinπ6=1fx的图象不过点0,32，所以⑩不正确；
对于②，fx=2sin2x+π6的单调递减区间为π2+2kπ≤2x+π6≤3π2+2kπ,k∈Z，解得π6+kπ≤x≤2π3+kπ,λ∈Z
当k=0时π6≤x≤2π3，又因为π12÷π6，则fx在π12:2π3上不是减函数，所以②错误；
对于③，fx=2sin2x+π6的对称中心为2x+π6=kπ,λ∈Z，解得x=−π12+kπ2,k∈Z，当k=1时，x=5π12，所
以5π12,0是fx的一个对称中心，所以③正确；
对于④，将fx=2sin2x+π6向右平移π6个单位长度，可得y=2sin2x−π6+π6=2sin2x−π6，所以不能得到
y=2sin2x的图象，所以④错误
综上可知，正确的为③．
故答案为：③．
11.
【答案】
10
【考点】
数列的求和
数列的极限
【解析】
先由题意，求出S1,T1，得到正方形的面积构成以4为首项，以12为公比的等比数列，三角形的面积
T1,T2,T3,⋯,Tn构成以1为首项，以12为公比的等比数列，根据等比数列的前”项和公式，以及极限的运算法则，即可得
出结果．
【解答】
因为第一个正方形的边长为2，所以S1=22=4
因此第一个三角形的直角边长为2，其面积为：T1=12×22=1
由题意，正方形的面积S1,S2,S,⋯,Sn构成以4为首项，以12为公比的等比数列；
所以其前：项和为4×1−12n−1=81−12n−1=8−12n−1
三角形的面积T1,T2,T3,⋯,Tn,⋯构成以1为首项，以12为公比的等比数列；
所以其前几项和为11|1−12n−11−12=2−12n−2
因此这些正方形和三角形的面积的总和为：
故答案为：10．
12.
【答案】
′2
【考点】
平面向量的基本定理及其意义
向量加减混合运算及其几何意义
【解析】
通过表示MN→=12AB→+DC→，再利用MN→⋅AD→−BC→=32可计算出CD→2=1，再计算出AB→−CD→2可得答案
【解答】
由于M，N分别是边AD，BC的中点，故MN→=12AB→+DC→AD→−BC→=AD→+CB→=CD→+AB→，所以
MN→⋅AD→−BC→)=12(AB→−CD→)⋅(AB→+CD→)=32，所以AB→2−CD→2=3，所以CD→2=1，而2MN→=AB→−CD→，所以
2MN¯2=AB→−CD→2，即4=4+1−2AB→⋅CD→，故AB→⋅CD→=12，故答案为12
1点加青】本题主要考查向量的基底表示，数量积运算，意在考查学生的空间想象能力，运算能力，逻辑分析能力，难度较大
二、单选题
【答案】
D
【考点】
二次函数的应用
函数的最值及其几何意义
勾股定理
【解析】
根据向量平行，利用向量共线的坐标表示即可求k．
【解答】
由a→⋅b→知：4×5+2k=0，解得k=−10
故选：D
【答案】
B
【考点】
二倍角的正弦公式
三角函数中的恒等变换应用
【解析】
根据诱导公式、倍角正弦公式得sinπ2−α⋅csπ2+α=−sin2α2，结合万能公式求出sin2α即可求最终值．
【解答】
sinπ2−α⋅csπ2+α=−sin2α2
sin2α=2tanα1+tan2α=35
∴ slnπ2−α⋅csπ2+α=−310
故选：B
【答案】
B
【考点】
向量加减混合运算及其几何意义
向量的减法及其几何意义
向量的加法及其几何意义
【解析】
由题意结合中点的性质和平面向量基本定理首先表示出向量BD→,BM→，然后结合平面向量的运算法则即可求得最终结果．
【解答】
如图所示，因为点D在线段BC上，所以存在t∈R，使得BD→=tBC→=tAC→−AB→
因为M是线段AD的中点，所以：
又BM→=λAB→−μAC→，所以λ=−12t+1μ=12t
所以λ+μ=−12
故选：B．
【答案】
C
【考点】
数量积的坐标表达式
【解析】
可以先求得a1（当然可求得a2,a3,a4,⋯，然后归纳出an，对填空、选择题这是不错的解法），然后求得an=xx2+yn2，从而
可以得an−1=2an，说明数列an是等比数列，求得通项公式an后求和，由Sn>2020得解．
【解答】
由定义知x1=1y1=0,x2=1y2=1x3=0,y3=2，即P21,1,P30,2
a1=P1P2¯⋅P1P3¯=0,1⋅−1,1=1
观察可得，an=PnPn+1¯⋅Pn−1Pn+2¯=xn+1−xn,yn+1−yn⋅xn+2−xn+1,yn+2−yn+1
=−yn,xn⋅−yn+1,xn+1=ynynyn+1+xnxn+1=ynxn+yn+xnxn−yn=xn2+yn2+yn2
an+1=xn+12+yn+12=xn−yn2+xn+yn2=2xx2+yn2=2an
…数列an是等比数列，公比为2，首项为1．∴ an=2r−1
a1+a2+⋯+an=1+2+22+⋯+2n−1=2n−1，由2n−1>2020，解得n≥11．即Р的最小值为11.
故答案为：C
三、解答题
【答案】
当m≠−1且m≠3时，方程组有唯一解，即x=−2m+3n+1,y=−4m+1,当m=3时，方程组有无穷多解；即x=−3t−6y=tt∈R；当
m=−1时，此方程组无解
【考点】
数学归纳法
根的存在性及根的个数判断
分段函数的应用
【解析】
分情况m=−1,m=3m≠−1且m≠3三种情形进行讨论，计算即可．
【解答】
解：根据题意，方程组x+my=−6m−2x+3y+2m=0的解，
D=|1−2−2m|=−2m+6n−2=4m−12=4m−3
所以，当m=−1时，D=0Dx≥0，方程组无解；
当m=3时，D=Dx=D1=0，方程组有无穷多个解，即x=−3t−6,y=tt∈R
当m≠−1且m≠3时，D≠0，方程组有唯一的解x=2n+3m+1y=−2m+1
【答案】
（1）
（2）÷1【考点】
平面向量数量积的运算
【解析】
（1）因为a→与b→的夹角为45∘，所以可求得a→⋅b→=22．展开2a→−b→⋅a→+b→代入a→⋅b→=22即可求得结果．
（2）由向量
ka→+b→与a−b→的夹角的钝角，可得ka→+b→⋅a→a→b→<0且不反向共线，展开解k即可．
【解答】
（1）：⋅a→与b¯的夹角为45∘
a→⋅b→=|a→|||→|cs45∘=1×22=22
．2a→−b→⋅a→+b→=2a→2+a→⋅b→−b→2=2+22−1=1+22
（2）：向量ka→+b→与ka→−b→的夹角为钝角，
ka→+bka→⋅b→<，且不能反向共线，
k2a→2−b→2=k2−1<0，解得−1实数k的取值范围是−1【答案】
（1）证明见解析；
（2）Sn=2n−1⋅3n−14
【考点】
由递推关系证明数列是等差数列
数列的求和
【解析】
（1）将所给的等式两边同时除以nn+1，再将所得到的等式变形即可完成证明；
（2）由（1）求解出an的通项公式，然后求解出bn的通项公式，最后利用错位相减法求解出Sn
【解答】
（1）因为nan+1=n+1an+nn+1，所以nan+1nn+1=n+1annn+1+nn+1nn+1
所以an+1n+1=ann+1，所以an+1n+1−ann=1，所以数列是等差数列；
所以ann=1+n−1⋅1=n，所以an=n2
所以
（2）bn=3a1=a1=1
所以Sn=1⋅31+2⋅32+3⋅33+…+n⋅3n，所以Sn=1⋅32+2⋅33+3334+…+n⋅3n−1
所以−2Sn=31+32+33+…+3n−n⋅3n+1，所以−2Sn=31−3n1−3−n⋅3n+1
所以Sn=31−3n4+n2⋅3n−1=34+2n−14⋅3n=2n−1n−1+34
【答案】
（1）π；
（2）13；
（3）0<≤________．或∞=8k+=e(keN)．
【考点】
数量积的坐标表达式
【解析】
（1）利用向量的数量积以及两角和与差的三角函数化简函数的解析式，然后利用周期公式求解即可．
（2）令fx=0，求解三角函数值，结合范围推出结果即可．
（3）利用函数的图象变换化简函数的解析式，利用函数的最值列出不等式求解即可．
【解答】
（1）因为a→=2sin2x+π6,1b→=12,sin2x−12cs2x，且fx=a→⋅b→所以
fx=sin2x+π6+sin2x−12cs2x=32sin2x+12cs2x+1−cs2x2−12cs2x
=32sin2x−12cs2x+12=sin2x−π6+12
∴ fx的最小正周期T=2π2=π
（2）令fx=0得sin2x−π6=−12，2x−π6=2kπ+7π6或2kπ−π6
．x=kπ+2π3或kk∈Z,x∈−10,10
当x=kπ时，k=−3,−2,⋯,2,3，有7个值
当x=kπ+2π3时，k=−3−2,…有6个值
即：fx在−10,10内的零点的个数为13．
（3）依题意，gx=sinωx−π6ω>0gπ4是gx在0,π4上的最大值
当0≤x≤π4时，−π6≤ωx−π6≤π4ω−π6，下面分情况讨论：
①当π4ω−π6≤π2，即0②当π4ω−π6>π2，即a>83时，为了满足题意，必须保证gπ4=1
π4ω−π6=2kπ+π2k>0,k∈Z
小ω=8k+83k∈N′
综上：②所有可取的值为0<ω≤83或ω=8k+83k∈N′
【答案】
（1）an是“m一折叠数列”，m=8bn不是“m一折叠数列”；
（2）q=0或q=1或q=−1；
（3）存在，证明见解
析．
【考点】
数列递推式
【解析】
（1）根据题设定义知“m一折叠数列”：数列在1≤n≤2m−1内关于n=m对称，即证明an=|25n−200|
bn=n2−2019n−1是否关于某一个正整数对称即可；
（2）由题意知q=q5q2=q5求解即可；（2）结合题设，应用三角函数
xB=csπp求证即可．
【解答】
（1）=m≤N，使得对任意1≤2m−1k∈N ast都成立，知：xn在1≤n≤2m−1内关于n=m对称即可
1、an=200−25n,1≤n<825n−200,n≥8n∈N′有an在1≤n≤2×8−1=15内关于=n=8对称，故m=8，即是“8−折叠数列
2、bn=n2−2019n−1n∈N ast有bn在1≤n≤2018内关于n=20192对称，m=20192∈N′，即不是“—折叠数列
（2）由（1）知：若xn=qnn∈N′是3一折叠数列，有：
q=q5q2=q3解之得：q=−1或q=0)或q=1
（3）给定________p=N′xn都是pm−折叠数列，即{xn有多条对称轴，其中关于n=pm对称，设xn=csπxp，即
πxp=mπ有对称轴为x=pmm∈N′且周期为2p
…在周期(1,2p]内，有对称轴x=p:(1,2p]与[p,2]]上值的个数相同，
而P,2p加xB=csπxp单调递增，则xn的各项中有p+1个不同的值，
…给定常数p∈N′存在数列xn，使得对所有m∈N′xn都是pm−折叠数列且xn的各项中恰有p+1个不同的值．