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安徽省阜阳市重点中学2019-2020学年高二上学期期末考试 数学（理）试题
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这是一份安徽省阜阳市重点中学2019-2020学年高二上学期期末考试 数学（理）试题，共9页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
时间：120分钟 总分：150分
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设集合，，则（ ）
B. C. D.
2.为虚数单位，则（ ）
A.2B. C. 3D.
3.命题“对任意的”的否定是（ ）
A.不存在 B.存在
C.存在 D. 对任意的
4.若函数 QUOTE ，则（ ） QUOTE
A. B. 2C. D. 4
5.方程 QUOTE 表示椭圆的必要不充分条件是（ ）
A. QUOTE B. QUOTE
C. QUOTE D. QUOTE
6．以下四个命题中正确的是( )
A．空间的任何一个向量都可用其他三个向量表示
B．若{a，b，c}为空间向量的一组基底，则{a＋b，b＋c，c＋a}构成空间向量的另一组基底
C. △ABC为直角三角形的充要条件是＝0
D．任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一个基底
7.某班有60名学生，一次考试的成绩 QUOTE 服从正态分布，若 QUOTE ，估计该班数学成绩在100分以上的人数为（ ）
A. 12B. 20C. 30D. 40
8.点 QUOTE 到抛物线准线的距离为1，则的值为（ ）
A.或B. 或C.-4或-12D. 4或12
9.某研究机构在对具有线性相关的两个变量x和y进行统计分析时，得到如下数据：
由表中数据求得y关于x的回归方程为 QUOTE ，则在这些样本点中任取一点，该点落在回归直线下方的概率为（ ）
A. QUOTE B. QUOTE C. QUOTE D. QUOTE
10.安排5名学生去3个社区进行志愿服务，且每人只去一个社区，要求每个社区至少有一名学生进行志愿服务，则同学甲单独去一个社区不同的安排方式有（ ）
A. 100种B. 60种C. 42种D. 25种
11. 我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“ ”和阴爻“— —”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有2个阳爻的概率是（ ）
A．B． C． D．
12. 设函数在R上存在导数，，有，在上，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题；本大题共4小题，每小题5分，共20分，第16题第一空2分，第二空3分.
13.= QUOTE ______ ．
14. QUOTE 的展开式中，的系数为______．
15. 已知为双曲线的左焦点，为上的点，若 的长等于虚轴长的2倍，点在线段，则的周长为 ．
16.“斐波那契”数列由十三世纪意大利数学家斐波那契发现．数列中的一系列数字常被人们称之为神奇数．具体数列为：，即从该数列的第三项数字开始，每个数字等于前两个相邻数字之和．已知数列为“斐波那契”数列，为数列的前项和，则
（Ⅰ）__________； （Ⅱ）若，则__________．（用表示）
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答过程写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
17.（满分10分） 设P：函数在上单调递增，Q：关于x的不等式的解集为R。
（1）如果“P且Q”为真，求a的取值范围．
（2）如果P和Q有且仅有一个正确，求a的取值范围．
18.（满分12分）设函数，
（1）求函数在上的值域
（2）设，若方程有两个不相等的实数根，求实数的取值范围。
19. （满分12分） 如图，在四棱锥中，平面平面，
，，，．
（1）证明：；
（2）求二面角的大小．
20. （满分12分）受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业生产每辆轿车的利润与该
轿车首次出现故障的时间有关，某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年，
现从该厂已售出的两种品牌轿车中各随机抽取50辆，统计数据如下：
将频率视为概率，解答下列问题：
（1）从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求其首次出现故障发生在保修期内的概率；
（2）若该厂生产的轿车均能售出，记生产一辆甲品牌轿车的利润为，生产一辆乙品牌轿车的利润为，分别求,的分布列；
（3）该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌的轿车，若从经济效益的角度考虑，你认为应该生产哪种品牌的轿车？说明理由．
21. （满分12分）如图，椭圆经过点，且离心率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）经过点，且斜率为的直线与椭圆交于不同两点（均异于点），直线与的斜率之和是否为定值，若是求出定值，若不是，说明理由.
22. （满分12分）已知函数，曲线在处的切线方程为.
（1）求 （2）证明：
（3）证明：当时，
2019—2020学年第一学期高二年级期末考试
数学试卷（理科）参考答案
一、选择题
DBCCB,BACAC,CB
二、填空题
13. e 14. 40 15. 44 16. 33；m-1（第一空2分，第二空3分）
三、解答题
17.解：
(1) 当“P且Q”为真时，即P为真，Q为真，所以
(2) 当P和Q有且仅有一个正确时，即P真Q假或P假Q真，所以
18.解：（1），令，则
当
当，因为，，
所以函数的最小值为，最大值为0
（2）由知：，显然是其一个根，所以方程有两个不相等的实数根等价于方程有且仅有一个根且不为0，令
，易知
并且当当所以若方程有且仅有一个根且不为0，则
19.解：（1）在直角梯形中，由，得，，
由，则，即，
又平面平面，从而平面.
（2）以为原点，分别以射线为轴的正半轴，建立空间直角坐标系如图所示，由题意可知各点坐标如下：
，
设平面的法向量为，平面的法向量为，
可算得，，
由得，，可取，
由得，，可取，
于是，由题意可知，
所求二面角是锐角，故二面角的大小是．
20.解：（1）设“甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内”为事件A
则
（2）依题意的分布列为:
（3）
,应生产甲品牌轿车.
21.解：（1）由题意知，由，解得，
所以椭圆的方程为；
（2）设，由题设知，直线的方程为，
联立方程组化简得，
则，并且
因为直线与的斜率之和
化简得=
22.解：（1）由题意知：即，解得
（2）令，则，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，
于是，即，故
（3）由（1）知，令
因为，当时，，所以在上单调递增，于是，即
故当时，，即.
由（2）知：.
综上知：当时，
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x
4
6
8
10
12
y
1
2
3
5
6
品牌
甲
乙
首次出现故
障时间(年)
轿车数量(辆)
2
3
45
5
45
每辆利润(万元)
1
2
3
1.8
2.9
1
2
3
1.8
2.9
时间：120分钟 总分：150分
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设集合，，则（ ）
B. C. D.
2.为虚数单位，则（ ）
A.2B. C. 3D.
3.命题“对任意的”的否定是（ ）
A.不存在 B.存在
C.存在 D. 对任意的
4.若函数 QUOTE ，则（ ） QUOTE
A. B. 2C. D. 4
5.方程 QUOTE 表示椭圆的必要不充分条件是（ ）
A. QUOTE B. QUOTE
C. QUOTE D. QUOTE
6．以下四个命题中正确的是( )
A．空间的任何一个向量都可用其他三个向量表示
B．若{a，b，c}为空间向量的一组基底，则{a＋b，b＋c，c＋a}构成空间向量的另一组基底
C. △ABC为直角三角形的充要条件是＝0
D．任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一个基底
7.某班有60名学生，一次考试的成绩 QUOTE 服从正态分布，若 QUOTE ，估计该班数学成绩在100分以上的人数为（ ）
A. 12B. 20C. 30D. 40
8.点 QUOTE 到抛物线准线的距离为1，则的值为（ ）
A.或B. 或C.-4或-12D. 4或12
9.某研究机构在对具有线性相关的两个变量x和y进行统计分析时，得到如下数据：
由表中数据求得y关于x的回归方程为 QUOTE ，则在这些样本点中任取一点，该点落在回归直线下方的概率为（ ）
A. QUOTE B. QUOTE C. QUOTE D. QUOTE
10.安排5名学生去3个社区进行志愿服务，且每人只去一个社区，要求每个社区至少有一名学生进行志愿服务，则同学甲单独去一个社区不同的安排方式有（ ）
A. 100种B. 60种C. 42种D. 25种
11. 我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“ ”和阴爻“— —”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有2个阳爻的概率是（ ）
A．B． C． D．
12. 设函数在R上存在导数，，有，在上，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题；本大题共4小题，每小题5分，共20分，第16题第一空2分，第二空3分.
13.= QUOTE ______ ．
14. QUOTE 的展开式中，的系数为______．
15. 已知为双曲线的左焦点，为上的点，若 的长等于虚轴长的2倍，点在线段，则的周长为 ．
16.“斐波那契”数列由十三世纪意大利数学家斐波那契发现．数列中的一系列数字常被人们称之为神奇数．具体数列为：，即从该数列的第三项数字开始，每个数字等于前两个相邻数字之和．已知数列为“斐波那契”数列，为数列的前项和，则
（Ⅰ）__________； （Ⅱ）若，则__________．（用表示）
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答过程写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
17.（满分10分） 设P：函数在上单调递增，Q：关于x的不等式的解集为R。
（1）如果“P且Q”为真，求a的取值范围．
（2）如果P和Q有且仅有一个正确，求a的取值范围．
18.（满分12分）设函数，
（1）求函数在上的值域
（2）设，若方程有两个不相等的实数根，求实数的取值范围。
19. （满分12分） 如图，在四棱锥中，平面平面，
，，，．
（1）证明：；
（2）求二面角的大小．
20. （满分12分）受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业生产每辆轿车的利润与该
轿车首次出现故障的时间有关，某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年，
现从该厂已售出的两种品牌轿车中各随机抽取50辆，统计数据如下：
将频率视为概率，解答下列问题：
（1）从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求其首次出现故障发生在保修期内的概率；
（2）若该厂生产的轿车均能售出，记生产一辆甲品牌轿车的利润为，生产一辆乙品牌轿车的利润为，分别求,的分布列；
（3）该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌的轿车，若从经济效益的角度考虑，你认为应该生产哪种品牌的轿车？说明理由．
21. （满分12分）如图，椭圆经过点，且离心率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）经过点，且斜率为的直线与椭圆交于不同两点（均异于点），直线与的斜率之和是否为定值，若是求出定值，若不是，说明理由.
22. （满分12分）已知函数，曲线在处的切线方程为.
（1）求 （2）证明：
（3）证明：当时，
2019—2020学年第一学期高二年级期末考试
数学试卷（理科）参考答案
一、选择题
DBCCB,BACAC,CB
二、填空题
13. e 14. 40 15. 44 16. 33；m-1（第一空2分，第二空3分）
三、解答题
17.解：
(1) 当“P且Q”为真时，即P为真，Q为真，所以
(2) 当P和Q有且仅有一个正确时，即P真Q假或P假Q真，所以
18.解：（1），令，则
当
当，因为，，
所以函数的最小值为，最大值为0
（2）由知：，显然是其一个根，所以方程有两个不相等的实数根等价于方程有且仅有一个根且不为0，令
，易知
并且当当所以若方程有且仅有一个根且不为0，则
19.解：（1）在直角梯形中，由，得，，
由，则，即，
又平面平面，从而平面.
（2）以为原点，分别以射线为轴的正半轴，建立空间直角坐标系如图所示，由题意可知各点坐标如下：
，
设平面的法向量为，平面的法向量为，
可算得，，
由得，，可取，
由得，，可取，
于是，由题意可知，
所求二面角是锐角，故二面角的大小是．
20.解：（1）设“甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内”为事件A
则
（2）依题意的分布列为:
（3）
,应生产甲品牌轿车.
21.解：（1）由题意知，由，解得，
所以椭圆的方程为；
（2）设，由题设知，直线的方程为，
联立方程组化简得，
则，并且
因为直线与的斜率之和
化简得=
22.解：（1）由题意知：即，解得
（2）令，则，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，
于是，即，故
（3）由（1）知，令
因为，当时，，所以在上单调递增，于是，即
故当时，，即.
由（2）知：.
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1
2
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6
品牌
甲
乙
首次出现故
障时间(年)
轿车数量(辆)
2
3
45
5
45
每辆利润(万元)
1
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3
1.8
2.9
1
2
3
1.8
2.9
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