辽宁省抚顺二中、沈阳二中等2020-2021学年高二上学期期末考试数学试题

辽宁省抚顺二中、沈阳二中等2020-2021学年高二上学期期末考试数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知X的分布列为：

设，则Y的数学期望的值是（    ）

A． B． C．1 D．

2．某批数量很大的产品的次品率为，从中任意取出件，则其中恰好含有件次品的概率是（    ）

A． B． C． D．

3．若是正奇数，则被9除的余数为（    ）

A． B． C． D．

4．设随机变量，若，则

A．0.6 B．0.4 C．0.3 D．0.2

5．已知A(1,0,0)，B(0，－1,1)，O(0,0,0)，与的夹角为120°，则λ的值为(    )

A．± B． C．－ D．±

6．现有4名男生，2名女生．从中选出3人参加学校组织的社会实践活动，在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率为（    ）

A． B． C． D．

7．要排出高三某班一天中，语文、数学、英语各节，自习课节的功课表，其中上午节，下午节，若要求节语文课必须相邻且节数学课也必须相邻（注意：上午第五节和下午第一节不算相邻），则不同的排法种数是（    ）

A． B． C． D．

8．已知双曲线（，）的左、右焦点分别为、，圆与双曲线在第一象限和第三象限的交点分别为，，四边形的周长与面积满足，则该双曲线的离心率为（    ）

A． B． C． D．

二、多选题

9．在的展开式中，下列说法正确的有（    ）

A．展开式中所有项的系数和为  B．展开式中所有奇数项的二项式系数和为128

C．展开式中二项式系数的最大项为第五项 D．展开式中含项的系数为

10．下列命题中，正确的命题是(    )

A．已知随机变量服从，若，则

B．已知，则

C．设随机变量服从正态分布，若，则

D．某人在次射击中，击中目标的次数为，则当时概率最大

11．已知曲线的方程为，则下列结论正确的是（    ）

A．当时，曲线为圆

B．当时，曲线为双曲线，其渐近线方程为

C．“”是“曲线为焦点在轴上的椭圆”的充分而不必要条件

D．存在实数使得曲线为双曲线，其离心率为

12．如图，正三棱柱中，、点为中点，点为四边形内（包含边界）的动点则以下结论正确的是

A．

B．若平面，则动点的轨迹的长度等于

C．异面直线与，所成角的余弦值为

D．若点到平面的距离等于，则动点的轨迹为抛物线的一部分

三、填空题

13．第一届“一带一路”国际合作高峰论坛于2017年5月14日至15日在北京举行，为了保护各国国家元首的安全，某部门将5个安保小组安排到指定的三个区域内工作，且每个区域至少有一个安保小组，则这样的安排方法共有________．

14．将杨辉三角中的奇数换成，偶数换成，便可以得到如图的“三角”在“三角”中，从第行起，设第次出现全行为时，的个数为，则等于_______．

15．将名支教教师安排到所学校任教，每校至多人的分配的方法总数为，则二项式的展开式中含项的系数为__________．(用数字作答)

16．已知，为抛物线上两点，为坐标原点，且，则的最小值为______.

四、解答题

17．（1）某地区空气质量监测资料表明，某天的空气质量为优良的概率为，连续两天为优良的概率为，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是多少？

（2）有一批同一型号的产品，已知其中由一厂生产的占，二厂生产的占35%，三厂生产的占，又知这三个厂的产品次品率分别为，问从这批产品中任取一件是次品的概率是多少？

18．（1）直线在两坐标轴上的截距相等，且点到直线的距离为，求直线的方程．（2）圆心在直线上，且与直线相切于点，求圆的方程．

19．甲、乙去某公司应聘面试.该公司的面试方案为:应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，按照答对题目的个数为标准进行筛选.已知6道备选题中应聘者甲有4道题能正确完成，2道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是，且每题正确完成与否互不影响.

(1)分别求甲、乙两人正确完成面试题数的分布列，并计算其数学期望;

(2)请分析比较甲、乙两人谁的面试通过的可能性较大?

20．计算机考试分理论考试与实际操作两部分，每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考试都“合格”者，则计算机考试“合格”，并颁发合格证书甲、乙、丙三人在理论考试中“合格”的概率依次为，，，在实际操作考试中“合格”的概率依次为，，，所有考试是否合格相互之间没有影响.

（1）假设甲、乙、丙三人同时进行理论与实际操作两项考试，谁获得合格证书的可能性最大？

（2）这三人进行理论与实际操作两项考试后，求恰有两人获得合格证书的概率.

21．如图，在四棱锥中，底面，底面是直角梯形，，，，是上的中点.二面角的余弦值为.

（1）求直线与平面所成角的正弦值；（2）求点到平面的距离.

22．在平面直角坐标系中，设椭圆（）的离心率是e，定义直线为椭圆的“类准线”，已知椭圆C的“类准线”方程为，长轴长为8.（1）求椭圆C的标准方程；（2）O为坐标原点，A为椭圆C的右顶点，直线l交椭圆C于E，F两不同点（点E，F与点A不重合），且满足，若点P满足，求直线的斜率的取值范围.

参考答案

1．B

【分析】

根据分布列的性质，求得，得到，再由，即可求得随机变量的期望.

【详解】

由题意，根据分布列的性质，可得，解得，

所以随机变量的期望为，

又由，所以随机变量的期望为

故选：B.

【点睛】

本题主要考查了离散型随机变量的分布列的性质，以及期望的计算及性质的应用，其中解答中熟记分布列的性质和期望的公式是解答的关键，着重考查运算与求解能力.

2．C

【分析】

本题可通过次独立重复试验中恰好发生次的概率的求法得出结果.

【详解】

因为次品率为，从中任意取出件，

所以恰好含有件次品的概率为，

故选：C.

3．C

【分析】

由题意可得，此题求得是被9除的余数，利用二项式定理展开，可得结论

【详解】

解：因为是正奇数，则

，

所以它被9除的余数为，即它被9除的余数为7，

故选：C

4．A

【详解】

因为随机变量，所以,因为，所以,故选A.

5．C

【分析】

首先求出向量的坐标，及向量的模，再利用空间向量的夹角余弦公式列方程求解即可．

【详解】

因为，，

所以，，，，，

，

，

，

所以 ，

所以，

且

解得，故选C．

【点睛】

本题考查的知识要点：空间向量的数量积，空间向量的模及夹角的运算，意在考查综合应用所学知识解答问题的能力，属于基础题．

6．D

【分析】

设男生甲被选中为事件，女生乙也被选中为事件，分别求得，，再结合条件概率的计算公式，即可求解.

【详解】

由题意，从现有4名男生，2名女生选出3人参加学校组织的社会实践活动，

设男生甲被选中为事件，其概率为，

设女生乙也被选中为事件，其概率为，

所以在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率为.

故选：D.

【点睛】

本题主要考查了条件概率的求解，其中解答中正确理解题意，熟练应用条件概率的计算公式求解是解答的关键，着重考查推理与计算能力.

7．C

【分析】

根据题意，分两种情况进行讨论：①语文和数学都安排在上午；②语文和数学一个安排在上午，一个安排在下午.分别求出每一种情况的安排方法数目，由分类加法计数原理可得答案．

【详解】

根据题意，分两种情况进行讨论：

①语文和数学都安排在上午，要求节语文课必须相邻且节数学课也必须相邻，将节语文课和节数学课分别捆绑，然后在剩余节课中选节到上午，由于节英语课不加以区分，此时，排法种数为种；

②语文和数学都一个安排在上午，一个安排在下午.

语文和数学一个安排在上午，一个安排在下午，但节语文课不加以区分，节数学课不加以区分，节英语课也不加以区分，此时，排法种数为种.

综上所述，共有种不同的排法.

故选：C．

【点睛】

本题考查排列、组合的应用，涉及分类计数原理的应用，属于中等题．

8．C

【分析】

由双曲线的定义知，结合四边形的周长知，得到，的长度，从而得到矩形的面积，再利用化简整理，借助勾股定理得到关系，即可求得离心率.

【详解】

由双曲线的定义可知，

又，，可知四边形是平行四边形，所以

联立解得，，

又线段为圆的直径，由双曲线的对称性可知四边形为矩形，所以四边形的面积，

又，所以，即，解得，

由，得，即，即.

故选：C.

【点睛】

关键点点睛：本题考查求双曲线的离心率，解题关键是找到关于的等量关系，考查了学生的运算求解能力，逻辑推理能力，属于中档题．

9．BCD

【分析】

由二项展开式的性质逐个判断即可.

【详解】

对于A，令，可知展开式中所有项的系数和为1，错误；

对于B，展开式中奇数项的二项式系数和为，B正确；

对于C，易知展开式中二项式系数的最大项为第五项，C正确；

对于D，展开式中含的项为，D正确.

故选：BCD.

【点睛】

本题考查二项展开式的相关性质，属于基础题.

10．BCD

【分析】

选项A：利用二项分布期望、方差公式计算判断；

选项B：由互斥事件概率的加法公式计算判断；

选项C：利用正态分布图象的对称性即可判断；

选项D：由独立重复实验的概率计算公式和组合数公式,求出，，时的概率，通过解不等式求出的范围即可判断.

【详解】

对于选项A：随机变量服从二项分布，，，可得，，则，选项A错误；

对于选项B：为必然事件，所以，而与互斥，

，选项B正确；

对于选项C：随机变量服从正态分布，则图象关于轴对称，若，则，，选项C正确；

对于选项D：因为在10次射击中，击中目标的次数为，，

当时，对应的概率，

所以当时，，

由得，即，

因为，所以且，又，

即时，概率最大，故选项D正确．

故选：BCD

【点睛】

二项分布的概率公式，可用作商法确定其中的最大值或最小值．

11．AB

【分析】

根据双曲线的标准方程及简单的几何性质，结合充分条件、必要条件的判定方法，逐项判定，即可求解.

【详解】

由题意，曲线的方程为，

对于A总，当时，曲线的方程为，此时曲线表示圆心在原点，半径为的圆，所以是正确的；

对于B中，当时，曲线的方程为，可得，此时双曲线渐近线方程为，所以是正确的；

对于C中，当曲线的方程为表示焦点在轴上的双曲线时，则满足，解得，所以 “”是“曲线为焦点在轴上的椭圆”的必要不充分条件，所以不正确；

对于D中，当曲线的方程为表示双曲线，且离心率为时，此时双曲线的实半轴长等于虚半轴长，此时，解得，此时方程表示圆，所以不正确.

故选：AB.

【点睛】

本题主要考查了双曲线的标准方程及其应用，其中解答中熟记双曲线的标准方程，以及双曲线的几何性质是解答的关键，着重考查推理与论证能力.

12．BCD

【分析】

根据空间向量的加减法运算以及通过建立空间直角坐标系求解，逐项判断，进而可得到本题答案.

【详解】

解析：对于选项A，，选项A错误；

对于选项B，过点作的平行线交于点．

以为坐标原点，分别为轴的正方向建立空间直角坐标系．

设棱柱底面边长为，侧棱长为，则，，，，所以，．

∵，∴，

即，解得．

因为平面，则动点的轨迹的长度等于．选项B正确．

对于选项C，在选项A的基础上，，，，，所以，，

因为，所以异面直线所成角的余弦值为，选项C正确．

对于选项D，设点E在底面ABC的射影为，作垂直于，垂足为F，若点E到平面的距离等于，即有，又因为在中，，得，其中等于点E到直线的距离，故点E满足抛物线的定义，另外点E为四边形内（包含边界）的动点，所以动点E的轨迹为抛物线的一部分,故D正确.

故选：BCD

【点睛】

本题主要考查立体几何与空间向量的综合应用问题，其中涉及到抛物线定义的应用.

13．

【分析】

将5个安保小组再分成三组，每组的安保小组个数为：或，利用平均分堆方法计算分组个数，再将分好的安保小组安排到指定的三个区域内，利用排列知识及分步计算原理得解．

【详解】

将5个安保小组再分成三组，每组的安保小组个数为：或.

这种分组方法一共有，

再将分好的安保小组安排到指定的三个区域内共有种不同的分法.

所以某部门将5个安保小组安排到指定的三个区域内工作，且每个区域至少有一个安保小组的安排方法共有种．

【点睛】

本题主要考查了平均分堆方法，还考查了分类思想及排列计算，属于中档题．

14．

【分析】

分析第、行各数，将所有的奇数全部转化为，确定第三次出现全为的情形所出现的行数，进而可求得的值.

【详解】

第行和第行全是，已经出现次，

依题意，第行原来的数是，为偶数，不合题意；

第行原来的数是，即、、、、、、、，一共有个，全部转化为，这是第三次出现全为的情形，所以，.

故答案为：.

【点睛】

关键点点睛：求解有关杨辉三角型数阵的推理，一般要观察行之间数据的特点，进而利用归纳推理求解.

15．

【分析】

根据排列、组合的定义，结合二项式的通项公式进行求解即可.

【详解】

由题意可知：，所以，

二项式的通项公式为：，

令，所以项的系数为，

故答案为：

16．16

【分析】

先设出直线的方程，联立抛物线方程，利用判别式大于0来确定的存在性，设，，将转化为向量相乘为0，利用根与系数的关系建立关系式，即可求出.

【详解】

设直线，代入，

得，

，即，

设，，

，

，

，

，

，故，

，

当且仅当时等号成立，

的最小值为16.

故答案为：16.

【点睛】

本题主要考查直线与抛物线的综合应用，这类综合应用题的特点是：计算过程特别复杂、繁琐，所以对计算能力要求较高.

17．（1）；（2）．

【分析】

（1）利用条件概率的计算公式算出即可；

（2）设事件为“任取一件为次品”，事件为“任取一件为厂的产品”，，任何利用算出即可.

【详解】

设表示“某天的空气质量为优良”，设表示“随后一天的空气质量为优良”，由题意得

所以已知某天的空气质量为优良，随后一天的空气质量为优良的概率是

设事件为“任取一件为次品”，事件为“任取一件为厂的产品”，，两两互斥，且，

由全概率公式得

因为

故

所以从这批产品中任取一件是次品的概率是

18．（1）或或；（2）．

【分析】

（1）根据点到直线的距离公式，结合斜率存在情况，进行分类讨论，求得直线方程.
（2）两种方法，方法一：设圆的标准方程，分别满足题干中条件，求得参数即可；方法二：由过圆心及切点的直线与切线垂直，从而求得圆心坐标，两点间距离求得半径，从而求得圆的方程.

【详解】

（1）①当所求直线经过坐标原点且斜率不存在时，方程为，符合题意

②当所求直线经过坐标原点且斜率存在时，设其方程为，

由点到直线的距离公式可得

解得

故所求直线的方程为

当直线不经过坐标原点且斜率存在时，依题意设所求直线为

即

由题意可得

解得

故所求直线的方程为

综上可知，所求直线的方程或或

（2）法一：设圆的标准方程为

则有

解得

所求圆的方程为

法二：过切点且与垂直的直线

由，

得

所以圆心为

所以半径

所以所求圆的方程为

【点睛】

关键点点睛：（1）对斜率的存在情况分类讨论求解；（2）利用圆与切线的关系求得圆中参数.

19．(1) 甲、乙的分布列见解析；甲的数学期望2、乙的数学期望2； (2)甲通过面试的概率较大．

【分析】

（1）设出甲、乙正确完成面试题的数量分别为，，由于，，分别写出分布列，再求期望值均为；

（2）由于均值相等，可通过比较各自的方差.

【详解】

（1）设为甲正确完成面试题的数量，为乙正确完成面试题的数量，

依题意可得：，

∴，，，

∴X的分布列为：

∴．

，

∴，，

，，

∴Y的分布列为：

∴．

（2），

，

∵，

∴甲发挥的稳定性更强，则甲通过面试的概率较大．

【点睛】

本题考查超几何分布和二项分布的应用、期望和方差的计算，考查数据处理能力，求解时注意概率计算的准确性.

20．（1）丙；（2）

【分析】

（1）分别计算三者获得合格证书的概率，比较大小即可（2）根据互斥事件的和,列出三人考试后恰有两人获得合格证书事件，由概率公式计算即可求解.

【详解】

（1）设“甲获得合格证书”为事件A，“乙获得合格证书”为事件B，“丙获得合格证书”为事件C，则，，.

因为，所以丙获得合格证书的可能性最大.

（2）设“三人考试后恰有两人获得合格证书”为事件D，则.

【点睛】

本题主要考查了相互独立事件，互斥事件，及其概率公式的应用，属于中档题.

21．（1）；（2）.

【分析】

（1）建立空间坐标系，根据二面角大小计算，得出平面的法向量，计算与的夹角得出线面角的正弦值；

（2）计算与平面的夹角正弦值，再计算到平面的距离.

【详解】

（1）取的中点，连接，

，，，，

四边形是正方形，

，，

以为原点，以，，所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，

设，则，，，，

，， ，

设平面的一个法向量为，则，即，

令可得，

设平面的一个法向量为，

则，即，则，令，则，

，

二面角的余弦值为，，解得，

，，

，

直线与平面所成角的正弦值为；

（2）由（1）可得，则，

设直线与平面所成角为，则，

到平面的距离为.

【点睛】

本题主要考查求线面角的正弦值，考查求点到面的距离，利用空间向量的方法求解即可，属于常考题型.

22．（1）；（2）.

【分析】

（1）由题意列关于，，的方程，联立方程组求得，，，则椭圆方程可求；

（2）分直线轴与直线l不垂直于x轴两种情况讨论，当直线l不垂直于x轴时，设，，直线l：（，），联立直线方程与椭圆方程，消元由，得到，再列出韦达定理，由则，解得，再由，求出的坐标，则，再利用基本不等式求出取值范围；

【详解】

解：（1）由题意得：，，又，

联立以上可得：，，，椭圆C的方程为.

（2）由（1）得，当直线轴时，又，联立得，

解得或，所以，此时，直线的斜率为0.

当直线l不垂直于x轴时，设，，直线l：（，），

联立，整理得，

依题意，即（*）且，.

又，

，

，即，且t满足（*），

，，

故直线的斜率，

当时，，当且仅当，即时取等号，此时；

当时，，当且仅当，即时取等号，此时；

综上，直线的斜率的取值范围为.

【点睛】

本题考查利用待定系数法求椭圆方程，直线与椭圆的综合应用，属于难题.