2023-2024年人教A版2019必修第一册 专题练习3.5.5 抽象函数 (学生版+教师版)

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抽象函数1概念我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数，题目中往往只给出函数的特殊条件或特征.2 常见抽象函数模型【题型一】求值问题【典题1】已知函数f(x)是定义在(0 ,+∞)上的函数，且对任意x ,y∈(0 ,+∞)，都有f(xy)=f(x)+f(y)，f(2)=1，求f(4) ,f(8).【解析】∵对任意x，y∈(0 ,+∞)，都有f(xy)=f(x)+f(y)，f(2)=1，∴f(4)=f(2×2)=f(2)+f(2)=2，f(8)=f(2×4)=f(2)+f(4)=3．【点拨】① 对于抽象函数求值问题，可大胆取特殊值求解；② 抽象函数f(xy)=f(x)+f(y)是对数函数fx=logax型，由f(2)=1可知fx=log2x，则易得f4=2，f8=3，作选填题可取.又如f(x+y)=f(x)f(y)且f(1)=2，求f(3)；由f(x+y)=f(x)f(y)可令fx=ax，又因f(1)=2，得fx=2x，故易得f3=8.故要对常见抽象函数对应的函数模型比较熟悉.【典题2】对任意实数x , y，均满足fx+y2=fx+2fy2且f(1)≠0， 则f(2001)=_______.【解析】令x=y=0，得f(0)=0，令x=n , y=1，得fn+1=fn+2f12 令n=1，得f1=f0+2f12=2f12， ∴f1=12， ∴fn+1-fn=12，∴fn=n2，即f2001=20012.【点拨】① 常常需要赋予一些特殊值(如取x=0等)或特殊关系(如取y=x， y=-x等)，要观察等式方程的特点寻找目标，也要大胆下笔多些尝试找些规律；② 比如本题中所求的f(2001)中自变量的取值2001较大，往往要从周期性或者函数的解析式的方向入手.【题型二】单调性问题设函数y=f(x)是定义在R+上的函数，并且满足下面三个条件①对任意正数x , y，都有f(xy)=f(x)+f(y)；②当x>1时，f(x)<0；③f3=-1．(1)求f(1) , f(19)的值；(2)证明f(x)在R+是减函数；(3)如果不等式f(x)+f(2-x)<2成立，求x的取值范围．【解析】(1)令x=y=1，∴f1=f1+f1， ∴f1=0，令x=y=3，∴f9=f3+f3=-1-1=-2，且f(9)+f(19)=f(1)=0 , 得f(19)=2．(2) (利用函数单调性的定义证明)取x2>x1>0，则x2x1>1 ∴由②得 f(x2x1)<0∵f(xy)=f(x)+f(y)∴fx2-f(x1)=f(x2x1)<0 ∴f(x)在R+上为减函数．(3)由条件①得f[x(2-x)]<2 , (凑项fm=2，再利用单调性求解)由f19=2得fx2-x19又∵x>0，2-x>0，(注意函数定义域)解得x的范围是(1-223 , 1+223)．【点拨】① 抽象函数的单调性常用单调性定义证明任取x1 , x2∈D，且x10，选填题可用.【题型四】周期性问题奇函数f (x)定义在R上，且对常数T>0，恒有f (x + T ) = f (x)，则在区间[0 , 2T]上，方程f (x) = 0根的个数最小值为 .【解析】∵函数f(x)是定义在R上的奇函数，故f(0)=0，又∵f(x+T)=f(x)，即周期为T，∴f(2T)=f(T)=f(0)=0，又由f(-T2)=f(-T2+T)=f(T2)，且f-T2=-f(T2)∴f(T2)=0，∴f(3T2)=f(T2)=0，故在区间[0 , 2T]，方程f(x)=0根有x=0，T2，T，3T2，2T，个数最小值是5个，【点拨】 抽象函数的周期性常与奇偶性，对称性放在一起，记住有关周期性和对称性的结论，做题时常画图像更容易找到思路.巩固练习1(★★) f(x)的定义域为(0 , +∞)，对任意正实数x , y都有f(xy)=f(x)+f(y) 且f(4)=2，则f(2)= . 【答案】 12 【解析】取x=y=2，得f(4)=f(2)+f(2)⇔ f(2)=1；取x=y=2，得f(2)=f(2)+f(2) ⇔ f(2)=12；2(★★★)已知f(x)是定义在R上的偶函数，对任意x∈R都有fx+2-12=2f(x)-f2(x)，则f(2019)=　 　．【答案】 1±22【解析】根据题意，f(x)为偶函数且f(x)满足fx+2-12=2f(x)-f2(x)，变形可得fx+2-12+[f2(x)-2f(x)+1]=1，即fx+2-12+fx-12=1，令x=-1可得f-1-12+f1-12=1，即2f1-12=1，解可得：f(1)=f(-1)=1±22， 又由f(x)满足fx+2-12+fx-12=1，则有fx+4-12+fx+2-12=1，联立可得：fx+4-12=fx-12，变形可得：f(x+4)=f(x)或f(x+4)+f(x)=2，若f(x+4)=f(x)，则有f(2019)=f(-1+505×4)=f(-1)=1±22，此时有f(2019)=1±22，若f(x+4)+f(x)=2，即f(x+4)=2-f(x)，则有f(x+8)=2-f(x+4)=f(x)，则有f(2019)=f(3+2016)=f(3)，则f(3)=2-f(-1)=1±22，综合可得：f(2019)=1±22，故答案为：1±22．3(★★) f(x)是定义在R上的以3为周期的奇函数，且f(2)=0，则方程f(x)=0在区间[-6 , 6]内解的个数的最小值是 . 【答案】 13 【解析】∵f(x)是定义在R上的以3为周期的奇函数，∴f(x+3)=f(x)，且f(－x)=－f(x)，则f(0)=0，则f3=f6=f-6=f0=0，f-3=-f(3)=0，∵f(2)=0，∴f(5)=f(-1)=f(-4)=0，f(-5)=0，f(1)=0，f(4)=0，f(－2)=0，方程的解可能为0，3，6，－6，－3，2，5，-5，-2，－1，1，4，-4共13个，故选：D．4 (★★★) 已知定义在(-∞ , 0)∪(0 , +∞)上的函数f(x)满足①对任意x , y∈(-∞ , 0)∪(0 , +∞)，都有f(xy)=f(x)+f(y)；‚②当x>1时，f(x)>0且f(2)=1；(1)试判断函数f(x)的奇偶性；(2)判断函数f(x)在区间[-4 , 0)∪(0 , -4]上的最大值；(3)求不等式f(3x-2)+f(x)≥4的解集． 【答案】(1)偶函数 (2)2 (3)x≤-2或x≥83【解析】 (1)∵f(xy)=f(x)+f(y)；令x=y=a，则f(a2)=f(a)+f(a)=2f(a)，令x=y=-a，则f(a2)=f(-a)+f(-a)=2f(-a)，即f(a)=f(-a)，故函数f(x)是偶函数，(2)任取00，∵f(xy)=f(x)+f(y)；∴f(xy)－f(x)=f(y)；∴f(x2)－f(x1)=f(x2x1)∵x2x1>1，x>1时，f(x)>0，∴f(x2)－f(x1)=f(x2x1)>0，得到f(x1)0．(1)证明：当x>1时，f(x)<0；(2)判断函数f(x)的单调性并加以证明；(3)如果对任意的x、y∈(0 , +∞)，f(x2+y2)≤f(a)+f(xy)恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1) 略 (2)减函数，函数单调性定义证明 (3) (0 , 2] 【解析】(1)∵f(xy)=f(x)+f(y)，令x=y=1，则f(1)=f(1)+f(1)，所以f(1)=0，再令y=1x，则f(1)=f(x)+f(1x)=0，当x>1时，0<1x<1．∵f(1x)>0．∴f(x)=－f(1x)<0(2)任取x1，x2∈(0，+∞)，且x11，则f(x2x1)<0，f(x2)0对x∈(-∞ , 1]恒成立，求t的取值范围．【答案】 (1) 0 (2)略，定义证明 (3) t>-1【解析】 (1)令x=y=0，则f(0)=f(0)+f(0)，∴f(0)=0．(2)令y=－x，则f(0)=f(x)+f(－x)，∵f(0)=0，∴f(－x)=－f(x)，∴f(x)为奇函数．(3)∵f(t•3x)>－f(1+2x)，∴f(t•3x)>f(－1－2x)，∴t•3x>－1－2x ∴t>-(13)x-(23)x恒成立，而-(13)x-(23)x单调递增，∴-(13)x-(23)x≤-1 从而t>－1． 挑战学霸已知fx是定义在R上不恒为0的函数，满足对任意x , y∈R，fx+y=fx+fy， f(xy)=f(x)f(y)．(1)求f(x)的零点；(2)判断f(x)的奇偶性和单调性，并说明理由；(3)①当x∈Z时，求f(x)的解析式；②当x∈R时，求f(x)的解析式.【解析】(1)记f(x+y)=f(x)+f(y) ①，f(xy)=f(x)f(y) ②在①中取y=0得f(0)=0.若存在x≠0，使得f(x)=0，则对任意y∈R，f(y)=f(x⋅yx)=f(x)f(yx)=0，与f(x)不恒为0矛盾．所以x≠0时，f(x)≠0，所以函数的零点是0.(2)在①中取y=-x得f(x)+f(-x)=f(0)=0，即f-x=-f(x)，所以f(x)是奇函数．x , y∈R， y>x时，f(y)-f(x)=f(y)+f(-x)=f(y-x)=(f(y-x))2>0，可得fy>f(x)．所以函数f(x)在R上递增．(3)①由f(xy)=f(x)f(y)中取x , y=1得f1=f21．因为f(1)≠0，所以f(1)=1，对任意正整数n，由①得f(n)=f(1)+⋯+f(1)n个=n×1=n，f-n=-fn=-n，又因为f(0)=0，所以x∈N时，f(x)=x；对任意有理数mn(m∈N*，n∈N*)，由①，f(m)=f(n⋅mn)=f(mn)+⋯+f(mn)=nf(mn)n个 ，所以f(mn)=f(m)n=mn，即对一切x∈Z , f(x)=x．②若存在x∈R，使得f(x)≠x，不妨设f(x)>x(否则以-f(-x)代替f(x)，-x代替x即可)，则存在有理数α，使得x<αα=f(α)，与f(x)的递增性矛盾．所以x∈R时，f(x)=x． 特殊模型抽象函数正比例函数fx=kx(x≠0)fx+y=fx+f(y)幂函数fx=xαfxy=fxf(y)或fxy=fxfy指数函数fx=ax (a>0且a≠1)fx+y=fxf(y)或fx-y=fxfy对数函数fx=logax (a>0且a≠1)fxy=fx+f(y)或fxy=fx-f(y)