高二上学期数学核心专题12. 面积与面积比问题

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直线与圆锥曲线相交，弦和某个定点所构成的三角形的面积，处理方法：
1.一般方法：（其中为弦长，为顶点到直线AB的距离），设直线为斜截式.
进一步，==
2.特殊方法：拆分法,可以将三角形沿着轴或者轴拆分成两个三角形，不过在拆分的时候给定的顶点一般在轴或者轴上，此时，便于找到两个三角形的底边长.

3.坐标法.设，则.
4.面积比的转化.
三角形的面积比及其转化有一定的技巧性，一般的思路就是将面积比转化为可以利用设线法完成的线段之比或者设点法解决的坐标形式，通常有以下类型：
① 两个三角形同底，则面积之比转化为高之比，进一步转化为点到直线距离之比
② 两个三角形等高，则面积之比转化为底之比，进一步转化为长度（弦长之比）
③利用三角形面积计算的正弦形式，若等角转化为腰长之比
④ 面积的割补和转化
5.四边形的面积计算
在高考中，四边形一般都比较特殊，常见的情况是四边形的两对角线相互垂直，此时我们借助棱形面积公式，四边形面积等于两对角线长度乘积的一半；当然也有一些其他的情况，此时可以拆分成两个三角形，借助三角形面积公式求解.
6.注意某条边过定点的三角形和四边形
当三角形或者四边形某条边过定点时，我们就可以把三角形，四边形某个定顶点和该定点为边，这样就转化成定底边的情形，最终可以简化运算.当然，你需要把握住一些常见的定点结论，才能察觉出问题的关键.
二．典例分析
【题型1】.三角形面积公式及应用
例1．已知过点（0，1）的直线与椭圆交于、两点，三角形面积的最大值是（ ）
A．B．C．D．1
解析：显然直线斜率存在，设过的直线方程为：，联立方程组
消去，并整理得，设，，则恒成立,
，，
，O到直线的距离为，
，
令，则，当时等号成立.故选:.
例2.（2022新高考1卷）已知点在双曲线上，直线交于，两点，直线，的斜率之和为0．
（1）求的斜率；
（2）若，求的面积．
解析：（1）故双曲线方程为．．
（2）由，得，不妨设直线的倾斜角为锐角且为，
当均在双曲线的左支时，，得到，
此时与渐近线平行，与双曲线左支无交点。
当均在双曲线的右支时，由，得，即，
联立及得，进而解出：，
，代入直线得，故，，
而，，由，
故.
【题型2】.四边形面积计算
例3．已知抛物线，点为上一点，且到的准线的距离等于其到坐标原点的距离.
（1）求的方程；
（2）设为圆的一条不垂直于轴的直径，分别延长交于两点，求四边形面积的最小值.
解析：（1）故抛物线的标准方程为.
（2）由题意，直线斜率存在且不为0，设直线的方程为：，设点
，，联立得：，由，得
，联立得：，由，得
因为，用代替，得.
故四边形面积.
令.
设函数，故单调递增.
故当，即时，取到最小值16，所以四边形面积的最小值是16.
【题型3】.等高求底型面积问题
例4．已知椭圆：，以椭圆的右焦点为焦点的抛物线的顶点为原点，点是抛物线的准线上任意一点，过点作抛物线的两条切线、，其中、为切点，设直线，的斜率分别为，.
（1）求抛物线的方程及的值；
（2）求证：直线过定点，并求出这个定点的坐标；
（3）若直线交椭圆于、两点，分别是、的面积，求的最小值.
解析：（1）依题意椭圆：的右焦点为，可得抛物线的焦点坐标为，
所以抛物线的方程为..
（2）直线恒过定点.
（3）设点到直线的距离为，则，
因为直线恒过定点，且斜率不为零，故设直线的方程为.
联立,得，，则，
则；
联立，得， ，
设，，则 ，
则，
，故当时，有最小值.
【题型4】.等底求高型面积问题
例5．如图，已知椭圆E：的离心率为，A，B是椭圆的左右顶点，P是椭圆E上异于A，B的一个动点，直线过点B且垂直于x轴，直线AP与交于点Q，圆C以BQ为直径.当点P在椭圆短轴端点时，圆C的面积为.
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）设圆C与PB的另一交点为点R，记△AQR的面积为，△BQR的面积为，试
判断是否为定值，若是定值，求出这个定值，若不是定值，求的取值范围.
解析：（1）椭圆的标准方程为：；
（2）设，则①.
A，B的坐标分别为(-2，0)，(2，0)，直线AP；，
令，则，又，点R在圆上，所以QR⊥BR，因此，
所以直线RQ的方程为：，即，
由①式得到，代入直线RQ的方程，化简为：，
设A，B两点到直线RQ的距离分别为，则，为定值.
【题型5】.等角转化为腰长
例6．已知圆心在x轴上移动的圆经过点A（-4，0），且与x轴、y轴分别交于点B（x，0），C（0，y）两个动点，记点D（x，y）的轨迹为曲线.
（1）求曲线的方程；
（2）过点F（1，0）的直线l与曲线交于P，Q两点，直线OP，OQ与圆的另一交点分别为M，N（其中O为坐标原点），求△OMN与△OPQ的面积之比的最大值.
解析：（1）的方程为 ；
（2）设过F点的直线方程为 ，显然m是存在的，联立方程：
，得 ， ①， ②
设 ，代入①②得 …③
则直线OP的方程为 ，直线OQ的方程为 ，联立方程：
，解得 ，同理 ，
， ，
，
④，
由③得 ，代入④得：，
显然当m=0时最大，最大值为 ；
综上， 的方程为， 与 的面积之比的最大值为.
【题型6】.某边过定点的三角形面积计算
例7.已知椭圆C：经过点，其右顶点为.
（1）求椭圆C的方程；
（2）若点P，Q在椭圆C上，且满足直线AP与AQ的斜率之积为.求面积的最大值.
解析：（1）椭圆C的方程为．
(2)结合，可找到的关系，从而可知直线PQ经过定点，于是△APQ面积等于，即可求出其最大值．
易知直线AP与AQ的斜率同号，所以直线不垂直于轴，
故可设，，，
由可得，，
所以，，，
而，即，化简可得，①，
因为，
所以，令可得，②，
令可得：
把②③代入①得，，化简得，
所以，或，所以直线或，
因为直线不经过点，所以直线经过定点．设定点，
所以，
，因为，所以，
设，所以，当且仅当即时取等号，即△APQ面积的最大值为．
【题型7】.某边过定点的四边形面积计算
例8. 在平面直角坐标系xOy中，已知，，动点P满足.
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）若轨迹C的左，右顶点分别为，，点为轨迹C上异于，的一个动点，直线，分别与直线相交于S，T两点，以ST为直径的圆与x轴交于M，N两点，求四边形SMTN面积的最小值.
解析：（1）由动点P满足，得动点的轨迹是以为焦点的双曲线的右支，且，所以，所以，
故动点P的轨迹C方程为：；
（2）由（2）知，，
所以直线的方程为，即，
与直线的交点S的坐标为，直线的方程为，即，与直线的交点T的坐标为，设以ST为直径的圆的方程为，令，则，所以，，令，则，设，则，
所以，
又点在双曲线上，所以，故，又，
所以
，当且仅当即时等号成立，所以四边形面积的最小值为6.
【题型8】面积的割补：2019年浙江卷
21．（绵阳三诊）过点的直线与抛物线交于点(在第一象限),当直线的倾斜角为时,.
(1)求抛物线的方程;
(2)已知,延长交抛物线于点,当面积最小时,求点的横坐标.