专题9.1三视图及面积体积问题（原卷版）教案

三视图及面积体积问题

一、          学习目标：

1.了解常见几何体的概念及其表面积，体积计算公式；

2.了解几何体直观图的画法；

3.会解基本的三视图及表面积，体积问题。

二、          教学过程

（一）必备知识：

1．棱柱、棱锥、棱台的概念

(1)棱柱：有两个面互相______，其余各面都是________，并且每相邻两个四边形的公共边都互相______，由这些面所围成的多面体叫做棱柱．

注：棱柱又分为斜棱柱和直棱柱．侧棱与底面不垂直的棱柱叫做斜棱柱；

侧棱与底面垂直的棱柱叫做直棱柱；底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱．

(2)棱锥：有一个面是________，其余各面都是有一个公共顶点的__________，由这些面所围成的多面体叫做棱锥．

注：如果棱锥的底面是正多边形，且它的顶点在过底面中心且与底面垂直的直线上，则这个棱锥叫做正棱锥．

(3)棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分，叫做棱台．

注：由正棱锥截得的棱台叫做正棱台．

2.棱柱、棱锥、棱台的性质

(1)棱柱的性质:

侧棱都相等，侧面是______________；两个底面与平行于底面的截面是__________的多边形；

过不相邻的两条侧棱的截面是___________；直棱柱的侧棱长与高相等且侧面、对角面都是________．

(2)正棱锥的性质:

侧棱相等，侧面是全等的__________；棱锥的高、斜高和斜高在底面上的射影构成一个__________；棱锥的高、侧棱和侧棱在底面上的射影也构成一个____________；

斜高、侧棱及底面边长的一半也构成一个____________；

侧棱在底面上的射影、斜高在底面上的射影及底面边长的一半也构成一个____________．

(3)正棱台的性质:

侧面是全等的____________；斜高相等；棱台的高、斜高和两底面的边心距组成一个____________；

棱台的高、侧棱和两底面外接圆的半径组成一个____________；棱台的斜高、侧棱和两底面边长的一半也组成一个____________．

3．圆柱、圆锥、圆台

(1)圆柱、圆锥、圆台的概念

分别以______的一边、__________的一直角边、________中垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周而形成的曲面所围成的几何体分别叫做圆柱、圆锥、圆台．

(2)圆柱、圆锥、圆台的性质

圆柱、圆锥、圆台的轴截面分别是________、________、________；平行于底面的截面都是________．

4．球

(1)球面与球的概念

以半圆的______所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球．

半圆的圆心叫做球的________．

(2)球的截面性质

球心和截面圆心的连线________截面；

球心到截面的距离d与球的半径R及截面圆的半径r的关系为______________．

5．平行投影:

在一束平行光线照射下形成的投影，叫做__________．平行投影的投影线互相__________．

6．空间几何体的三视图、直观图

(1)三视图

①空间几何体的三视图是用正投影得到的，在这种投影下，与投影面平行的平面图形留下的影子与平面图形的形状和大小是完全相同的．三视图包括__________、__________、__________．

②三视图尺寸关系口诀：“长对正，高平齐，宽相等．”

长对正指正视图和俯视图长度相等，

高平齐指正视图和侧(左)视图高度要对齐，

宽相等指俯视图和侧(左)视图的宽度要相等．

(2)直观图:空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是：

①在已知图形所在空间中取水平面，在水平面内作互相垂直的轴Ox，Oy，再作Oz轴，使∠xOz＝_______且∠yOz＝________．

②画直观图时，把Ox，Oy，Oz画成对应的轴O′x′，O′y′，O′z′，使∠x′O′y′＝____________，

∠x′O′z′＝____________．x′O′y′所确定的平面表示水平面．

③已知图形中，平行于x轴、y轴或z轴的线段，在直观图中分别画成____________x′轴、y′轴或z′轴的线段，并使它们和所画坐标轴的位置关系与已知图形中相应线段和原坐标轴的位置关系相同．

④已知图形中平行于x轴和z轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于y轴的线段，长度为原来的______．

⑤画图完成后，擦去作为辅助线的坐标轴，就得到了空间图形的直观图．

自查自纠：

1．(1)平行　四边形　平行　(2)多边形　三角形

 2．(1)平行四边形　全等　平行四边形　矩形 (2)等腰三角形　直角三角形　直角三角形　直角三角形　直角三角形 (3)等腰梯形　直角梯形　直角梯形　直角梯形

3．(1)矩形　直角三角形　直角梯形 (2)矩形　等腰三角形　等腰梯形　圆

4．(1)直径　球心　(2)垂直于　d＝

5．平行投影　平行 6．(1)①正(主)视图　侧(左)视图　俯视图 (2)①90°　90°　②45°(或135°)　90°　③平行于  ④一半

（二）题组训练：

题组一：

例1.如图，在下列正方体、圆锥、正三棱台和正四棱锥等四个几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（  ）

A．①②         B．①③          C．①④         D．②④

例2．将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图（1）示，则该几何体的正视图为（  ）

A．  B．   C．   D．

例3．某几何体的正视图和侧视图均如图1所示，则该几何体的俯视图不可能是（    ）

课堂练习： 

1．如图为某几何体的三视图，根据三视图可以判断这个几何体为（  ）

A．圆锥          B．三棱锥      C．三棱柱      D．三棱台

2.如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是（  ）

A．三棱锥         B．三棱柱         C．四棱锥            D．四棱柱

3．若某几何体的三视图如图所示，则这几何体的直观图可能是（    ）

4．如图几何体的主（正）视图和左（侧）视图都正确的是（    ）

5．一个几何体的正视图和侧视图都是面积为１的正方形，则这个几何体的俯视图一定不是（  ）

6．如图是一正方体被过棱的中点M、N和顶点A、D、C1的两个截面截去两个角后所得的几何体，则该几何体的正视图为（     ）

7．将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为（  ）

8．如图所示的一个几何体，在图中是该几何体的俯视图的是（  ）

题组二：

例1．如图所示，一个几何体的正视图和侧视图都是边长为2的正方形，俯视图是一个直径为2的圆，则这个几何体的全面积是　　

A．     B．     C．     D．

例2．设某几何体的三视图如下（尺寸的长度单位为），则该几何体的体积为         ．

例3．若某几何体的三视图如下图所示，则此几何体的体积是        ．

课堂练习： 

1．如图为一个几何体的三视图，正视图和侧视图均为矩形，俯视图为正三角形，尺寸如图，则该几何体的全面积为（    ）

 A．             B．      C．                D．

2．几何体的三视图如图所示，若从该几何体的实心外接球中挖去该几何体，则剩余几何体的表面积是（注：包括外表面积和内表面积）（  ）

A．133          B．100         C．66           D．166

3．一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（  ）

A．         B．        C．       D．

4．已知某几何体的三视图(单位:Cm)如图所示,则该几何体的体积是（  ）

A．108Cm3          B．100 Cm3          C．92Cm3          D．84Cm3

5．某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为的正方形，两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是（　　）

A.      B.      C.       D.

6．已知某几何体的三视图如图，其中正视图中半圆的半径为1，则该几何体的体积为（  ）

A．24－π      B．24－       C．24－π           D．24－

7．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（     ）

A．6          B．8           C．10            D．12

8．一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积是 （    ）

（A）64     （B）72     （C）80   （D）112  

题组三：

例1．某四面体的三视图如下图所示，该四面体的体积是(　　)

A． 8    B．     C． 10    D．

例2．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线是一个棱锥的三视图，则此棱锥的表面积为 （    ）

A．     B．     C．     D．

例3．如图，网格纸上小正方形的边长为，粗实线及粗虚线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为（   ）

A．     B．     C．     D．

课堂练习：

1．一个几何体的三视图如图所示，已知这个几何体的体积为，则（   ）

A．     B．     C．     D．

2．如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（  ）

A．     B．     C．     D．

3．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（   ）

A． 35    B．     C．     D．

4．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线条画出的是一个三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为(    )

A．     B．     C．     D．

5．如图是一个四面体的三视图，这三个视图均是腰长为2的等腰直角三角形，正视图和俯视图中的虚线是三角形的中线，则四面体的体积为（   ）

A．     B．     C．     D． 2

6．九章算术是我国古代数学名著，在九章算术中将底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”，若某阳马”的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该“阳马”的表面积为　　

A．  B．  C．  D．

课外作业一：

1．某几何体的主视图与左视图都是边长为1的正方形，且体积为，则该几何体的俯视图可以是（  ）

2．已知某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积是（   ）

A．     B．     C．     D．

3.《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，已知某“堑堵”的三视图如图所示，则该“堑堵”的表面积为（   ）

A． 4    B．     C．     D． 2

4．某几何体由圆柱挖掉半个球和一个圆锥所得，三视图中的正视图和侧视图如图所示，求该几何体的表面积 （    ）

A．     B．     C．     D．

5．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为

（A）    （B）     （C）90      （D）81

6．圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为）组成一个几何体，该几何体的三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为，则 (    )

A．    B．    C．    D．

7．如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（   ）

（A）20π      （B）24π       （C）28π     （D）32π

8．一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如下图,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（   ）

A.        

9．如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是，则它的表面积是

A．17π    B．18π    C．20π    D．28π

10．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为（   ）

A．         B．         C．        D．

11．中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是

A．  B．   C．   D．

12．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图所示，圆柱表面上的点在正视图上的对应点为，圆柱表面上的点在左视图上的对应点为，则在此圆柱侧面上，从到的路径中，最短路径的长度为（  ）

A．    B．    C．    D．2

课外作业二：

1．一个棱长为1的正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图所示，则该几何体的体积为（   ）

A．     B．     C．     D．

2．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥四个面的面积中最大的是 （     ）

A．     B．     C．     D． 3

3．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（   ）

A．     B．     C．     D．

4．如右图是一个四棱锥的三视图,则该几何体的体积为（    ）

A．     B．     C．     D．

5．某几何体的三视图如图所示，数量单位为，它的体积是（     ）

A．     B．     C．     D．

6．某几何体的三视图如图所示，则此几何体（   ）

A． 有四个两两全等的面  B． 有两对相互全等的面 C． 只有一对相互全等的面 D． 所有面均不全等

7．已知四棱锥P﹣ABCD的三视图如图所示，则此四棱锥的侧面积为（   ）
 

A． 6+4    B． 9+2    C． 12+2    D． 20+2

8．如图是某几何体的三视图，其中正视图和侧视图为正方形，俯视图是腰长为的等腰直角三角形，则该几何体的体积是（     ）

A．     B．     C．     D．