高二上学期数学核心专题15.数列放缩与恒成立中的五个视角

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类型1.利用单调性放缩
例1．已知数列满足，
（1）设，证明：是等比数列，并求的通项公式；
（2）证明：．
解析：（1）∵，则，即，又∵，所以是首项为，公比为3的等比数列，∴，故的通项公式为.
（2）由（1）知，即是首项为，公比为的等比数列，
∴，又∵数列单调递增，
∴，故.
类型2. 先求和再放缩
先求和再放松实质上是一类很常见的题目，这类放缩实质在考察数列求和，放缩的结果也很松，下面通过两个例子简单说明即可，分别是利用裂项相消求和与错位相减求和后放缩.
例2.记为数列的前项和，已知，是公差为的等差数列．
（1）求得通项公式；
（2）证明：．
解析：（1），所以，所以是首项为，公差为的等差数列，
所以，所以．当时，，所以，即（）；
累积法可得：（），又满足该式，所以得通项公式为．
（2）
．
注：，则：.可以看到，裂项后一定可以得到一个估计.
例3．已知等比数列为递增数列，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，数列的前n项和为，证明：．
解析：（1）由题意，，解得或，因为等比数列为递增数列，所以，所以.
由（1）知数列的前n项和为：
①，②，两式相减可得：，
所以，又因为，所以，所以.
类型3.先放缩通项再求和
这一类是数列放缩问题的常考类型，相较于类型2而言，这一部分对放缩对象的处理需要一定的技巧，因而对很多学生来说具有挑战性，是数列放缩中的难点. 此节中，我将分为如下几个点展开：第一，将通项放缩为可裂项的结构，然后裂项求和；第二，将通项放缩为等比结构（等差比结构）然后错位相减求和，总之，处理的基本原则就是将不可求和放缩成可求和再求和放缩. 当然，下面的这些常见的裂项公式与放缩公式需要注意.
1．常见的裂项公式：
例如：或者等
2.一个重要的指数恒等式：
次方差公式
这样的话，可得：，就放缩出一个等比数列.
3.糖水不等式：设，则.
下面来看上面这些基本的放缩结构的应用.
例4.（2013年广东）
设数列的前项和为.已知,,.
（1）求的值；
（2）求数列的通项公式；
（3）证明:对一切正整数,有.
解析：（2）当时,,
两式相减得
整理得,即,又
故数列是首项为,公差为的等差数列,所以,所以
.
（3）当时,；当时,；
当时,,此时
，综上,对一切正整数,有
下面我们再看将通项放缩成等比（等差比数列）再求和完成放缩证明.
例5.（2014全国2卷）已知数列满足=1，.
（1）证明是等比数列，并求的通项公式；
（2）证明：.
解析：（1）证明：由得，又，所以是首项为，公比为3的等比数列，，因此的通项公式为
（2）由（1）知，因为当时，，所以
于是.
所以.
注：此处便是利用了重要的恒等式：次方差公式：
当然，利用糖水不等式亦可放缩：，请读者自行尝试.
类型4. 基于递推结构的放缩
1.型：取倒数加配方法.
例6．（2021浙江卷）已知数列满足.记数列的前n项和为，则（ ）
A．B．C．D．
解析：由
，即根据累加法可得，，当且仅当时取等号，.
一方面：. 另一方面，由累乘法可得，当且仅当时取等号，由裂项求和法得：所以
，即．故选：A．
2.二次递推型：.
，然后裂项即可完成放缩，我们以2015浙江卷为例予以说明.
例7.（2015浙江卷）已知数列满足=且=-（）
（1）证明：1（）；
（2）设数列的项和为,证明（）.
分析：，累加，则可证得.
解析：（1）由题意得，即，故.
由得，由得
，即.
（2）由题意得,所以①,由和得
所以，因此②
由①②得：.
类型5. 数列中的恒成立
例8．已知数列中，，满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）设为数列的前项和，若不等式对任意正整数恒成立，求实数的取值范围.
解析：(1)，
所以是以为首项，公比为的等比数列，
所以，所以.
(2) ，
若对于恒成立，即，
可得即对于任意正整数恒成立，
所以，令，则，
所以，可得，所以，
所以的取值范围为.