苏科版九年级数学上册同步精品讲义 第06讲 圆的对称性（学生版+教师版）

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知识精讲
知识点01 弧、弦、圆心角的关系
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．
2、在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
【微点拨】
圆心角的度数与它所对的弧的度数相等.
(1)一个角要是圆心角，必须具备顶点在圆心这一特征；
(2)注意关系中不能忽视“同圆或等圆”这一前提.
【即学即练1】如图，在⊙O中，=∠B=70°，求∠A的度数．
知识点02 垂径定理
1.垂径定理 ：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.
2.推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.
【微点拨】
1.根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论：
平分弦（该弦不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；
平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.
2.在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径）
【即学即练2】如图，AB为⊙O的一条弦．
(1)用尺规作图：过点O作OC⊥AB，垂足为点C，交于点D(保留作图痕迹，不写作法)；
(2)若(1)中的CD的长为2，BD的长为，求⊙O的半径．
能力拓展
考法01 弧、弦、圆心角的关系
【典例1】如图，在半径为5的中，弦BC，DE所对的圆心角分别是，．若，，则弦BC的弦心距为（ ）.
A．B．C．4D．3
考法02 垂径定理
【典例2】如图，AB是的弦，半径于点D，若，，则OB的长是（ ）
A．3B．4C．5D．6
分层提分
题组A 基础过关练
1．下列语句不正确的有（ ）个．
①直径是弦；②优弧一定大于劣弧；③长度相等的弧是等弧；④半圆是弧．
A．1B．2C．3D．4
2．圆的一条弦把圆分为度数比为的两条弧，则弦心距与弦长的比为（ ）
A．B．C．D．
3．如图以CD为直径的⊙O中，弦AB⊥CD于M．AB=16，CM=16．则MD的长为（ ）
A．2B．4C．6D．8
4．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为点E，连接AC，∠CAB=22.5°，AB=12，则CD的长为（ ）
A．3B．6C．6D．6
5．如图，DC是⊙O的直径，弦AB⊥CD于M，则下列结论不一定成立的是（ ）
A．AM=BMB．CM=DMC．D．
6．如图，OE⊥AB于E，若⊙O的半径为10，OE＝6，则AB＝_______．
7．如图，在半径为10cm的⊙O中，AB＝16cm，弦OC⊥AB于点C，则OC等于______cm．
8．如图，在⊙O中，弦AB⊥OC于E点，C在圆上，AB＝8，CE＝2，则⊙O的半径AO＝___________．
9．如图，在⊙O中，弧AB＝弧BC＝弧CD，连接AC，CD，则AC______2CD（填“＞”、“＜”或“＝”）
题组B 能力提升练
1．下列命题是真命题的是（ ）
A．在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等，所对的弧也相等
B．平分弦的直径垂直于弦
C．一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形
D．两条直线被第三条直线所截，内错角相等
2．如图，⊙O的半径为9，AB是弦，OC⊥AB于点C，将劣弧AB沿弦AB折叠交OC于点D，若OD=DC，则弦AB的长为（ ）
A．B．C．D．
3．如图，是的直径，弦于点，如果，，那么线段OE的长为（ ）
A．4B．6C．8D．9
4．如图，的外接圆半径为5，其圆心O恰好在中线上，若，则的面积为（ ）
A．36B．32C．24D．18
5．如图，AB为⊙O的弦，点C在AB上，AC＝4，BC＝2，CD⊥OC交⊙O于点D，则CD的长为（ ）
A．B．3C．D．
6．如图，A、B、C是上的点，，垂足为点D，且D为OC的中点，若，则BC的长为___________．
7．如图，在⊙O中，AB为直径，弦于点H，若，则⊙O的半径长为______．
8．如图，定长弦CD在以AB为直径的⊙O上滑动(点C、D与点A、B不重合)，M是CD的中点，过点C作CP⊥AB于点P，若CD=3，AB=8，，则的最大值是_________．
9．如图，BC是的弦，AD过圆心O，且．若，则的度数为______．
10．如图，AB是的弦，OC交AB于点D，点D是弦AB（AB不是直径）的中点，若，，的半径
11．已知：如图，在中，为互相垂直的两条弦，，D、E为垂足．
(1)若，求证：四边形为正方形．
(2)若，判断与的大小关系，并证明你的结论．
12．如图，已知C，D是以AB为直径的⊙O上的两点，连接BC，OC，OD，若OD//BC，求证：D为的中点．
13．已知：如图，直线l，和直线外一点P．
求作：过点P作直线PC，使得PC∥l，
作法：①在直线l上取点O，以点O为圆心，OP长为半径画圆，交直线l于A，B两点；
②连接AP，以点B为圆心，AP长为半径画弧，交半圆于点C；
③作直线PC．
直线PC即为所求作．
(1)使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
(2)完成下面的证明：
证明：连接BP．
∵BC＝AP，
∴ ．
∴∠ABP＝∠BPC（ ）（填推理依据）．
∴直线PC∥直线l．
题组C 培优拔尖练
1．如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，BC＝OD＝2，DC的长等于（ ）
A．2B．4C．D．2
2．已知的直径，是的弦，，垂足为，且，则的长为（ ）
A．B．C．或D．或
3．如图，在△ABC中，，点D是AB的中点，将△ACD沿CD对折得△A′CD．连接，连接AA′交CD于点E，若，，则CE的长为（ ）
A．4cmB．5cmC．6cmD．7cm
4．下列命题中真命题的个数是（ ）
①在函数（m为常数）中，当时，
②相等的圆心角所对的弧相等；
③三角形的内心到三边的距离相等；
④顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形；
⑤对于任意实数m，关于x的方程有两个不相等的实数根．
A．2B．3C．4D．5
5．如图，AB是⊙的直径，点D是弧AC的中点，过点D作于点E，延长DE交⊙于点F，若，⊙的直径为10，则AC长为（ ）
A．5B．6C．7D．8
6．如图，已知半圆直径，点C、D三等分半圆弧，那么的面积为________．
7．如图，的直径AB与弦CD相交于点P，且，若，则的半径为______．
8．如图，在平面直角坐标系中，、、．
（1）经过、、三点的圆弧所在圆的圆心的坐标为______；
（2）这个圆的半径为______；
（3）点与的位置关系为点在______（填内、外、上）．
9．在《折叠圆形纸片》综合实践课上，小东同学展示了如下的操作及问题：
(1)如图1，的半径为4cm，通过折叠圆形纸片，使得劣弧AB沿弦AB折叠后恰好过圆心，求AB长；
(2)如图2，弦AB，垂足为点C，劣弧AB沿弦AB折叠后经过的中点D，，求的半径．
10．已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，D为弧BC的中点．
（1）如图①，连接AC，AD，OD，求证：ODAC；
（2）如图②，过点D作DE⊥AB交⊙O于点E，直径EF交AC于点G，若G为AC的中点，⊙O的半径为2，求AC的长．
课程标准
课标解读
探索并证明垂径定理∶垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧。
1、由实验得到同一个圆中，圆心角、弧、弦三者之间的关系。
2、运用同一个圆中，圆心角、弧、弦三者之间的关系解决问题。
3、通过探索、观察、归纳、类比，总结出垂径定理等概念 ，在类比中理解深刻认识圆中的圆心角、弧、弦三者之间的关系；