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    苏科版九年级数学上册同步精品讲义 第12讲 圆锥的侧面积(学生版+教师版)
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    苏科版九年级数学上册同步精品讲义 第12讲 圆锥的侧面积(学生版+教师版)

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    目标导航
    知识精讲
    知识点01 圆锥的侧面积和全面积
    连接圆锥顶点和底面圆上任意一点的线段叫做圆锥的母线.
    圆锥的母线长为l,底面半径为r,侧面展开图中的扇形圆心角为n°,则
    圆锥的侧面积?侧=???2360=???,
    圆锥的全面积:S全=S侧+S底=πrl+πr2.
    【微点拨】
    扇形的半径就是圆锥的母线,扇形的弧长就是圆锥底面圆的周长.因此,要求圆锥的侧面积就是求展开图扇形面积,全面积是由侧面积和底面圆的面积组成的.
    【即学即练1】若圆锥的底面半径为3cm,母线长为4cm,则这个圆锥的侧面积为( )
    A.2cm2B.24cm2C.D.
    【答案】C
    【解析】解:∵圆锥底面半径为3cm,母线长为4cm,
    ∴圆锥的侧面积为.
    故选:C.
    【即学即练2】如图,一个圆锥形漏斗的底面半径OA=5cm,高OC=12cm.则它的侧面积是( )
    A.130cm2B.65cm2C.60cm2D.30cm2
    【答案】B
    【解析】解:Rt△AOC中,AC=,
    圆锥侧面积,
    故选: B.
    能力拓展
    考法 圆锥侧面积的有关计算
    【典例1】如图,从半径为9cm的圆形纸片剪去圆周的一个扇形,将留下的扇形围成一个圆锥(接缝处不重叠),那么这个圆锥的高为多少?
    【答案】cm
    【解析】解:设圆锥的底面圆的半径为r cm,
    根据题意得2πr=,
    解得r=6,
    所以这个圆锥的高=(cm).
    【典例2】如图,有一直径是的圆形铁皮,现从中剪出一个圆周角是90°的最大扇形ABC.
    (1)求AB的长;
    (2)用该扇形铁皮围成一个圆锥,求所得圆锥的底面圆的半径.
    【答案】(1)1;(2)
    【解析】(1)连接BC,如图
    ∵,
    ∴BC为⊙O的直径,其,
    ∴;
    (2)设所得圆锥的底面圆的半径为r,根据题意得,
    解得:.
    分层提分
    题组A 基础过关练
    1.一个圆锥的底面半径是2,母线长是4,则这个圆锥的表面积为( )
    A.4πB.20π
    C.8πD.12π
    【答案】D
    【解析】圆锥的表面积为:,
    故选:D.
    2.某圆锥母线长为60,其侧面展开图是圆心角为108°的扇形,则该圆锥的底面圆的半径为( )
    A.36B.18C.D.
    【答案】B
    【解析】设圆锥的底面圆半径为rcm,
    根据题意得,
    解得r=18,
    即圆锥的底面圆半径为18cm.
    故选 B.
    3.底面半径为3,高为4的圆锥侧面积为( )
    A.15πB.20πC.25πD.30π
    【答案】A
    【解析】∵圆锥的底面半径为3,高为4
    ∴母线长为
    ∴圆锥侧面积.
    故本题选A
    4.若圆锥的侧面展开图是一个半圆,该半圆的直径是4cm,则圆锥底面的半径是( )
    A.0.5cmB.1cmC.2cmD.4cm
    【答案】B
    【解析】解:由题意,底面圆的周长为:,
    ∴底面圆的半径为:(cm),
    故选:B
    5.已知圆锥的母线长为6,侧面展开图的面积是12π,则这个圆锥底面圆的半径是( )
    A.1B.2C.3D.4
    【答案】B
    【解析】解:∵母线为6,设圆锥的底面半径为x,
    ∴圆锥的侧面积=π6x=12π.
    解得:x=2.
    故选:B.
    6.为了给同学庆祝生日,小明自己动手用扇形纸片制作了一顶圆锥形生日帽,生日帽的底面圆半径为,高为,则该扇形纸片的面积为________.
    【答案】
    【解析】解:生日帽的底面圆半径为,高为,
    ∴圆锥的母线长为,
    ∵底面圆半径为,
    ∴底面周长为,
    ∴该扇形纸片的面积为:.
    故答案为:.
    7.第十四届全运会在陕西西安开幕,九年级(2)班李明同学利用扇形彩色纸,制作了一个圆锥形火炬模型,如图是火炬模型的侧面展开图(接痕忽略不计),已知扇形彩色纸的半径为45cm,圆心角为40°,则这个圆锥的侧面积_______.(结果保留)
    【答案】225π
    【解析】解:∵扇形的面积=().
    ∴圆锥的侧面积为225π,
    故答案为:225π.
    8.若一个圆锥的底面圆的半径是2,侧面展开图的圆心角的度数是,则该圆锥的母线长为________.
    【答案】4
    【解析】解:设该圆锥的母线长为l,根据题意得:

    解得:,
    即该圆锥的母线长为4.
    故答案为:4
    9.若圆锥的底面圆半径为2cm,母线长是5cm,则它的侧面展开图的面积为______.
    【答案】10π
    【解析】解:这个圆锥侧面展开图的面积=•2π•2•5=10π.
    故答案为:10π.
    10.如图,在△BOC中,∠COB=90°,OC=12,OB=5,将△BOC绕边OC所在直线旋转一周得到圆锥,则该圆锥的全面积是________.
    【答案】90π
    【解析】解:由已知得,母线长l=13,半径r为5,
    ∴圆锥的侧面积是s=πrl=5×13×π=65π,
    底面积是πr2=52π=25π,
    ∴全面积为65π+25π=90π,
    故答案为:90π.
    题组B 能力提升练
    1.一个圆锥的底面直径是8,母线长是9,则圆锥侧面展开图的面积是( )
    A.B.C.D.
    【答案】C
    【解析】解:根据题意得:圆锥侧面展开图的弧长为,
    ∴圆锥侧面展开图的面积是.
    故选:C
    2.如图,圆锥底面圆半径为7cm,高为24cm,则它侧面展开图的面积是( )
    A.cm2B.cm2C.cm2D.cm2
    【答案】C
    【解析】解:在中,
    cm,
    ∴它侧面展开图的面积是cm2.
    故选:C
    3.如图,斗笠是一种遮挡阳光和蔽雨的编结帽,它可近似看成一个圆锥,已知该斗笠的侧面积为550πcm2,AB是斗笠的母线,长为25cm,AO为斗笠的高,BC为斗笠末端各点所在圆的直径,则OC的值为( )
    A.22B.23C.24D.25
    【答案】A
    【解析】解:∵侧面积为550π cm2,母线长为25cm,
    ∴×l×25=550π解得l=44π,
    ∵2πr=44π,
    ∴OC=r=22,
    故选:A.
    4.已知圆锥的底面半径为,高线长为,则这个圆锥的侧面积为( )
    A.B.C.D.
    【答案】C
    【解析】解:∵圆锥底面半径为3cm,高线长为4cm,
    ∴圆锥的母线长为:
    ∴圆锥的侧面积为
    故选:C.
    5.若一个圆锥的母线长为5cm,它的侧面展开图的圆心角为120°,则这个圆锥的底面半径为________cm.
    【答案】
    【解析】解:设圆锥底面半径为rcm,
    则圆锥底面周长为:cm,
    ∴侧面展开图的弧长为:cm,
    ∴,
    解得:r=,
    故答案为:.
    6.已知圆锥的母线长为5,底面半径为3,则圆锥的侧面展开图的面积为________.
    【答案】
    【解析】解:∵圆锥的侧面展开图是扇形,
    ∴,
    ∴该圆锥的侧面展开图的面积为.
    故答案为:.
    7.如图,圆锥的母线长,底面圆的直径,则该圆锥的侧面积等于________.(结果用含的式子表示)
    【答案】
    【解析】解:根据题意,
    ∵圆锥的母线长,底面圆的直径,
    ∴圆锥的侧面积为:

    故答案为:;
    8.某中学开展劳动实习,学生到教具加工厂制作圆锥,他们制作的圆锥,母线长为30cm,底面圆的半径为10 cm,这种圆锥的侧面展开图的圆心角度数是_____.
    【答案】
    【解析】解: 设这种圆锥的侧面展开图的圆心角度数为n°,
    故答案为:.
    9.如图所示,扇形OAB的面积为4π cm2,∠AOB=90°,用这个扇形围成一个圆锥的侧面.求这个圆锥的底面圆的半径.
    【答案】
    【解析】解:设这个圆锥的底面半径为,
    由题意得,解得,
    所以,解得.
    所以这个圆锥的底面半径为.
    10.如图,圆锥的底面半径,高,求该圆锥的侧面积.
    【答案】
    【解析】解:由题意得,
    在中,
    答:该圆锥的侧面积为.
    题组C 培优拔尖练
    1.已知圆锥的底面半径为5,高为12,则它的侧面展开图的面积是( )
    A.B.C.D.
    【答案】B
    【解析】解:由题意知,圆锥侧面展开图的半径即圆锥的母线长为,
    ∴圆锥侧面展开图的面积为,
    故选B.
    2.如图所示,圆锥形烟囱帽的底面半径为,侧面展开图为半圆形,则它的母线长为( )
    A.B.C.D.
    【答案】D
    【解析】解:根据题意,
    圆锥形烟囱帽的底面周长为:;
    ∵圆锥的侧面展开图为半圆形,
    ∴,
    ∴;
    ∴它的母线长为;
    故选:D
    3.如图,是的外接圆,,若扇形OBC(图中阴影部分)正好是一个圆锥的侧面展开图,则该圆锥的高为( )
    A.B.C.D.
    【答案】D
    【解析】解:根据圆的性质,
    ∵,



    ∴圆锥底面圆的半径为:
    ∴圆锥的高
    故选:D
    4.已知圆锥的底面积为,高为,则圆锥的侧面积是( )
    A.B.C.D.
    【答案】B
    【解析】解:设底面半径为r,
    由题意得:,
    解得:r=3(负值舍去),
    ∴圆锥的底面半径是3cm,
    ∴圆锥母线长为:(cm),
    ∴圆锥的侧面展开图的面积为:(cm2).
    故选:B
    5.若圆锥底面的半径为3,它的侧面展开图的面积为,则它的母线长为_______.
    【答案】
    【解析】设圆锥的母线长为,由题意可知展开扇形的弧长,



    故答案为:.
    6.已知圆锥的高为8,母线长为10,则其侧面展开图的面积为_______.
    【答案】60πcm2
    【解析】解:圆锥的高为8cm,母线长为10cm,由勾股定理得,底面半径=6cm,底面周长=12πcm,
    侧面展开图的面积=×12π×10=60πcm2.
    故答案为:60πcm2.
    7.如图,正六边形ABCDEF的边长为4,以A为圆心,AC的长为半径画弧,得,连接AC、AE,用图中阴影部分作一个圆锥的侧面,则这个圆锥的底面半径为______.
    【答案】
    【解析】解:∵正六边形ABCDEF的边长为4,
    ∴AB=BC=4,

    ∵∠ABC+∠BAC+∠BCA=180°,
    ∴,
    如图,过B作BHAC于H,
    ∴AH=CH=AC,

    在RtABH中,

    ∴,
    同理可求∠EAF=30°,
    ∴,
    ∴,
    ∴,
    ∵,
    ∴,
    ∴r=,
    故答案为:.
    8.如图,正方形的边长为8,以点A为圆心,长为半径画圆弧得到扇形(阴影部分,点在对角线上).若扇形正好是一个圆锥的侧面展开图,则该圆锥的底面半径是_________.
    【答案】1
    【解析】解:∵正方形的边长为8

    ∵是正方形的对角线


    ∴圆锥底面周长为,解得
    ∴该圆锥的底面圆的半径是1
    故答案为:1
    9.如图所示,D是线段BC的中点,分别以点B,C为圆心,BC长为半径画弧,两弧相交于点A,连结AB,AC,AD,E为AD上一点,连结BE,CE.
    (1)求证:BE = CE.
    (2)以点E为圆心作与BC相切,分别交BE,CE于点F,G.若BC = 4,∠EBD = 30°,求扇形FEG的面积
    (3)若用扇形FEG围成一个圆锥的侧面,求这个圆锥的底面圆的半径.
    【答案】(1)见解析(2)扇形FEG的面积为.(3)圆锥的底面圆的半径为.
    【解析】(1)证明:由题意可知:,为等边三角形,
    点是BC的中点,
    是等边的中线,且,




    (2)解:如图所示:
    与BC相切,且,
    点是切点,并且是该扇形的半径,
    ,且,


    在中,,

    是BC的中点,

    在中,由勾股定理可知:,解得,
    扇形FEG的面积为.
    (3)解:设圆锥底面圆半径为,
    扇形FEG的弧长为: ,
    扇形FEG的弧长等于其围成的圆锥的底面圆的周长,
    ,解得 ,
    故圆锥的底面圆的半径为.
    10.如图,在单位长度为1的正方形网格中建立平面直角坐标系,一条圆弧经过网格点A(1,4)、B(﹣3,4)、C(﹣4,3),请在网格图中进行如下操作:
    (1)用直尺画出该圆弧所在圆的圆心M的位置,则圆心M点的坐标为 ;
    (2)若扇形MAC是一个圆锥的侧面展开图,求该圆锥底面半径r.
    【答案】(1)(1,1);(2)
    【解析】解:(1)如图,圆心M点的坐标为(-1,1).
    故答案为:(-1,1);
    (2)根据勾股定理可得,MA=MC=,
    AC=,
    ∴MA2+MC2=AC2,
    ∴△ACM为等腰直角三角形,∠AMC=90°,
    根据题意得2πr=,解得:r=,
    即该圆锥的底面圆的半径长r为.
    11.如图,有一四边形的铁片,,,,.以点为圆心,为半径作圆弧得一扇形.
    (1)求阴影部分的面积;
    (2)剪下该扇形并用它围成一圆锥的侧面,求该圆锥的底面圆半径.
    【答案】(1);(2)圆锥的底面圆半径为
    【解析】解:(1)在中,∵,,,
    ∴,
    ∴,
    ∴.
    ∵,
    ∴,
    ∵,
    ∴是等边三角形,
    ∴,.
    过点C作CE⊥BD于E,
    ∴,

    ∴;
    (2)由(1)知的长为,
    设该圆锥的底面圆半径为,则,
    解得.
    故该圆锥的底面圆半径为.
    12.在一次数学探究学习活动中,某数学兴趣小组计划制作一个圆锥体模型(尺寸大小如下图①,单位为cm),操作规则是:在一张正方形的纸片上剪出一个扇形和一个圆,使得扇形围成圆锥的侧面时,圆恰好是该圆锥的底面.经过初步商量后,兴趣小组设计了两种方案(如图),最后发现根据方案一无法制作出相关模型.(两方案的图中,两圆圆心、与正方形纸片的顶点C在同一条直线上)
    (1)请根据圆锥体模型的尺寸(如图①),求出该圆锥体的全面积.(结果保留)
    (2)请说明方案一不可行的理由.
    (3)兴趣小组根据方案二最终成功制作出圆锥体模型,求方案二中正方形纸片的边长.
    【答案】(1);(2)见详解;(3)正方形的边长为
    【解析】解:(1)由题意得:圆锥的母线长为16,底面圆的半径为4,
    ∴圆锥的全面积为:;
    (2)设圆与正方形相切于点E,连接,如图所示:
    ∴,
    ∵四边形ABCD是正方形,
    ∴,
    ∴,
    设,
    ∴,
    ∴,
    解得:,
    ∴的长为,圆的周长为,
    ∵,
    ∴方案一不可行;
    (3)设圆与正方形相切于点F,连接,如图所示:
    设,
    ∴由圆锥的侧面展开图的弧长等于底面圆的周长可得:,
    解得:,
    ∴,
    ∵四边形ABCD是正方形,
    ∴,
    ∴,
    ∴正方形的边长为.
    课程标准
    课标解读
    1.经历探索圆锥侧面积计算公式的过程,发展探究能力,空间想象能力,以及把空间问题转化为平面问题的能力.
    2.会运用圆锥侧面积计算公式解决有关问题
    掌握圆锥的侧面积计算公式的推导;并能应用所学公式解决相关问题。
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