高中考试数学单元质检卷(一)——集合、常用逻辑用语与不等式

这是一份高中考试数学单元质检卷(一)——集合、常用逻辑用语与不等式，共5页。

(时间:45 分钟ꢀ满分:80 分)
一、选择题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项
是符合题目要求的.
1
.(2020 全国 1,文 1)已知集合 A={x|x2-3x-4<0},B={-4,1,3,5},则 A∩B=( )
A.{-4,1}
B.{1,5}
D.{1,3}
C.{3,5}
.(2020 山东济宁二模,1)已知集合 A={x|x2-2x-3<0},B= x|
2푥
1
2
,则“x∈B”是“x∈A”的( )
2
≥
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
3
.已知集合 A 是奇函数集,B 是偶函数集.若命题 p:∀f(x)∈A,|f(x)|∈B,则¬p 为( )
A.∀f(x)∈A,|f(x)|∉B
B.∀f(x)∉A,|f(x)|∉B
C.∃f(x)∈A,|f(x)|∉B
D.∃f(x)∉A,|f(x)|∉B
4
.(2020 河北保定二模,文 3,理 3)在△ABC 中,“퐴퐵·퐵퐶>0”是“△ABC 是钝角三角形”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
5
.给出以下 3 个命题:
2
푥
①
若 x>0,则函数 f(x)=2x+ 的最小值为 4;
②
命题“∀x>1,x2-1>0”的否定形式是“∃x>1,x2-1≤0”;
x>2 是 x2>1 的充分不必要条件.
③
其中正确命题的个数为( )
A.0
C.2
B.1
D.3
6
.若关于 x 的不等式(a-2)x2+2(a-2)x-4<0 对一切实数 x 恒成立,则实数 a 的取值范围是( )
A.(-∞,2]
C.(-2,2)
B.(-∞,-2)
D.(-2,2]
4
푎
1
푚
푎 + 4푏
7
.已知 a>0,b>0,若不等式 +
≥
恒成立,则 m 的最大值为( )
푏

A.9
B.12
D.10
C.16
8
.已知 f(x)=x2+2x+1+a,∀x∈R,f(f(x))≥0 恒成立,则实数 a 的取值范围为( )
5
2
- 1,+∞
A.
5
2
- 3,+∞
B.
C.[-1,+∞)
D.[0,+∞)
二、选择题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.在每小题给出的选项中,有多项符合题
目要求.全部选对的得 5 分,有选错的得 0 分,部分选对的得 3 分.
9
.(2020 海南期末,9)已知实数 a,b 满足 a>b>0,则下列不等式一定成立的有( )
A.a2B.-a<-b
푏
푎
푎
C. + >2
푏
D.a+b>ab
0.关于函数 f(x)= - 푥2 + 2푥 + 3的结论正确的是( )
1
A.定义域、值域分别是[-1,3],[0,+∞)
B.单调递增区间是(-∞,1]
C.定义域、值域分别是[-1,3],[0,2]
D.单调递增区间是[-1,1]
1
1.已知函数 f(x)=x2+ax+b(a>0)有且只有一个零点,则( )
A.a2-b2≤4
1
B.a2+ ≥4
푏
C.若不等式 x2+ax-b<0 的解集为(x ,x ),则 x x >0
1
2
1
2
D.若不等式 x2+ax+b1
2
1
2
1
2.(2020 山东潍坊二模,10)若 a0,则下列不等式中一定成立的是( )
1
푎
1
A.a- >b-
푏
1
1
푎
B.a- 푏
C.ln(b-a)>0
푎
푏
푏
푎
D.
c>
c
三、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.
1
3.(2020 江苏镇江三模,1)已知集合 A={1,2},B={-1,a2},若 A∩B={a},则实数 a= .

|
1
2
1
4.已知关于 x 的不等式(ax-1)(x+1)>0.若此不等式的解集为 x -
-
,则实数 a 的值
1
< 푥 <
为 .
5.某班 50 名学生中,会讲英语的有 36 人,会讲日语的有 20 人,既会讲英语又会讲日语的有 14 人,则
1
既不会讲英语又不会讲日语的有 人.
π
1
6.若命题“∀x∈ 0,3 ,1+tan x≤m”的否定是假命题,则实数 m 的取值范围是 .
参考答案
单元质检卷一 集合、
常用逻辑用语与不等式
1
2
.D 由不等式 x2-3x-4<0,解得-1.B 由题意,A={x|-1以“x∈B”是“x∈A”的必要不充分条件,故选 B.
3
4
.C 命题是全称量词命题,则命题的否定为:∃f(x)∈A,|f(x)|∉B,故选 C.
.A 在△ABC 中,由퐴퐵·퐵퐶>0,得角 B 的外角为锐角,则角 B 为钝角,则△ABC 是钝角三角
形;若△ABC 是钝角三角形,如果角 A 为钝角,则角 B 为锐角,则퐴퐵·퐵퐶<0,故选 A.
2
푥
2
푥
5
.D 对于①,当 x>0 时,f(x)=2x+
2
2=4,当且仅当 2x= ,即 x=1 时取等号,正确;对
≥
2푥·
푥
于②,命题“∀x>1,x2-1>0”的否定形式是“∃x>1,x2-1≤0”,正确;对于③,x>2 能推出 x2>1,但
x2>1,解得 x<-1 或 x>1 不能推出 x>2,正确,故选 D.
6
.D 不等式(a-2)x2+2(a-2)x-4<0 恒成立的条件:当 a=2 时,-4<0 恒成立;当 a≠2 时,
푎 < 2,
,解得-2( - )2- ( - ) (- )
푎 2 4 푎 2 × 4 < 0
4
.C 因为 a>0,b>0,所以 a+4b>0,所以不等式4
1
푏
푚
푎 + 4푏
恒成立,即可转化为
4
푎
1
푏
7
+
≥
+
푎
4
푎
1
푏
4
푎
1
푏
16푏
푎
푎
푏
(a+4b)≥m 恒成立,即
(a+4b) min≥m,因为
(a+4b)=8+
8+2
+ ≥
+
+
1
푎
6푏 푎=16,当且仅当 a=4b 时取等号,所以 16≥m,即 m 的最大值为 16,故选 C.
·
푏
8
.B 设 t=f(x)=(x+1)2+a≥a,∴f(t)≥0 对任意 t≥a 恒成立,即(t+1)2+a≥0 对任意 t∈
[a,+∞)都成立,当 a≤-1 时 f(t)min=f(-1)=a,即 a≥0,与 a≤-1 矛盾,当 a>-1
时,f(t)min=f(a)=a2+3a+1,则 a2+3a+1≥0,解得 a ≥ - 3,故选 B.
5
2

9
.BC 因为 a>b>0,于是 a2>b2,A 选项错误;由 a>b>0 得-a<-b,B 选项正确;由均值不等式
푏
푎
可知 + ≥ 2,因为 a≠b,所以等号取不到,所以 C 选项正确;当 a=3,b=2 时,D 选项错误.故
푎
푏
选 BC.
1
0.CD f(x)= - 푥2 + 2푥 + 3,则定义域满足-x2+2x+3≥0,解得-1≤x≤3,即定义域为[-
,3],考虑函数 y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4 在-1≤x≤3 上有最大值 4,最小值 0.在区间[-1,1]上
1
单调递增,在区间(1,3]上单调递减.故 f(x)= - 푥2 + 2푥 + 3的值域为[0,2],在区间[-1,1]上
单调递增,在区间(1,3]上单调递减.故选 CD.
1
1.ABD 因为 f(x)=x2+ax+b(a>0)有且只有一个零点,得 Δ=a2-4b=0,即 a2=4b>0.对选项
1
푏
1
푏
A:a2-b2≤4 等价于 b2-4b+4≥0,显然(b-2)2≥0,故选项 A 正确;对选项 B:a2+ =4b+
2
≥
1
푏
=4,故选项 B 正确;对选项 C:因为不等式 x2+ax-b<0 的解集为(x ,x ),故可得 x x =-
1 2
4
푏·
1
2
b<0,故选项 C 错误;对选项 D:由题意得方程 x2+ax+b-c=0 的两根为 x ,x ,故可得|x -x |=
1
2
1
2
(푥1 + 푥2)2- 4푥 푥 = 푎 4 푏 푐 = 4푐
2- ( - )
=2 푐=4,c=4,故选项 D 正确.故选 ABD.
1 2
1
푏
1
푎
1
푎
1
푏
1
푎
1
푏
1
푥
1
2.BD 由 a,即- <- ,则 a- <
1
푎
1
푏
1
푏
1
푎
区间(-∞,-1)上单调递增,当 aa0,但不确定 b-a 与 1 的大小关系,故 ln(b-a)与 0 的大小关系不确定,故选项 C
푎
푏
푏
푎
푎
푏
푏
푎
错误;由 a1,0< <1,而 c>0,则
c>1>
c>0,故选项 D 正确.故选 BD.
1
1
3.1 由题意,当 a=1 时,满足题意,当 a=2 时,集合 B={-1,4},则 A∩B=⌀,不合题意.
|
1
2
4.-2 ∵不等式(ax-1)(x+1)>0 的解集为 x -
-
,∴方程(ax-1)(x+1)=0 的两根
1
< 푥 <
1
2
1
2
是-1,- ,∴- a-1=0,∴a=-2.
1
5.8 设全集 U={某班 50 名学生},A={会讲英语的学生},B={会讲日语的学
生},A∩B={既会讲英语又会讲日语的学生},则由维恩图知,既不会讲英语又不会讲日语
的学生有 50-22-14-6=8(人).
1
6.[1+ 3,+∞)ꢀ因为该命题的否定是假命题,所以原命题为真命题,即不等式 1+tan
π
x≤m 对∀x∈ 0,3 恒成立,

π
π
3
又 y=1+tan x 在 x∈ 0,3 上单调递增,所以(1+tan x)max=1+tan =1+ 3,即 m≥1+ 3.
故实数 m 的取值范围是[1+ 3,+∞).