专题2.1 轴对称图形与轴对称的性质（知识梳理与考点分类讲解）-2023-2024学年八年级数学上册专题讲与练（苏科版）

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【知识点1】轴对称图形
一个图形沿着某直线折叠，直线两旁的部分能完全重合，这个图形就叫做轴对称图形，该直线就是它的对称轴.
特别提醒：
轴对称图形是指一个图形，图形被对称轴分成的两部分能够互相重合．对称轴有可能不只一条
【知识点2】轴对称
1.轴对称定义
把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称（或说这两个图形成轴对称），这条直线叫做对称轴．折叠后重合的点是对应点，也叫做对称点
特别提醒：
轴对称指的是两个图形的位置关系，两个图形沿着某条直线对折后能够完全重合．成轴对称的两个图形一定全等.
2.轴对称与轴对称图形的区别与联系
轴对称与轴对称图形的区别主要是：轴对称是指两个图形，而轴对称图形是一个图形；轴对称图形和轴对称的关系非常密切，若把成轴对称的两个图形看作一个整体，则这个整体就是轴对称图形；反过来，若把轴对称图形的对称轴两旁的部分看作两个图形，则这两个图形关于这条直线（原对称轴）对称.
【知识点3】轴对称与轴对称图形的性质
轴对称、轴对称图形的性质
轴对称的性质：若两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；
轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
【考点一】轴对称➼➻轴对称图形的识别
【例1】以下四个标志中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【分析】根据轴对称图形的定义逐项分析即可，一个图形的一部分，沿着一条直线对折后两部分能够完全重合，那么这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
解：A.找不到一条直线，沿该直线折叠后使两边重合，所以不是轴对称图形，故不符合题意；
B. 找不到一条直线，沿该直线折叠后使两边重合，所以不是轴对称图形，故不符合题意；
C. 找不到一条直线，沿该直线折叠后使两边重合，所以不是轴对称图形，故不符合题意；
D.能 找到一条直线，沿该直线折叠后使两边重合，所以是轴对称图形，故符合题意；
故选D．
【点拨】本题考查了轴对称图形的定义，熟练掌握轴对称图形的定义是解答本题的关键．
【举一反三】
【变式】下面四个图形分别是绿色食品、低碳、节能和节水标志，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【分析】根据轴对称图形的概念逐项分析判断即可，轴对称图形的概念：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形．解：选项B、C、D均不能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合的图形，所以不是轴对称图形；
选项A能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合的图形，所以是轴对称图形；
故选：A．
【点拨】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
【考点二】轴对称➼➻成轴对称两个图形的识别
【例2】下列图形中，与关于直线成轴对称的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】认真观察各选项给出的图形，根据轴对称的性质，对称轴垂直平分对应点的连线进行判断．
解：根据轴对称的性质，结合四个选项，只有B选项中对应点的连线被对称轴MN垂直平分，所以B是符合要求的．
故选：B．
【点拨】本题考查轴对称的性质；应用对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分解题是正确解题的关键．
【举一反三】
【变式】如图，线段AB与（）不关于直线l成轴对称的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据轴对称的性质仔细观察各选项图形即可得解．
解：观察可知，B选项中，线段AB与A′B′（AB=A′B′）不关于直线l成轴对称，
A、C、D选项线段AB与A′B′（AB=A′B′）都关于直线l成轴对称．
故选：B．
【点拨】此题考查轴对称的性质，熟记轴对称的性质并准确识图是解题的关键．
【考点三】轴对称➼➻由轴对称图形的特征进行判断
【例3】如图所示，与关于直线成轴对称，则线段与直线的关系正确的是（ ）

A．直线被线段垂直平分 B．线段被直线垂直平分
C．直线经过线段中点，但不垂直D．直线与线段垂直，但不经过线段中点
【答案】B
【分析】成轴对称图形的性质：对应点的连线被对称轴垂直平分，据此即可得到答案．
解：∵与关于直线成轴对称，
∴线段被直线垂直平分．
故选：B
【点拨】此题考查了成轴对称图形的性质，熟练掌握“成轴对称图形的对应点的连线被对称轴垂直平分”是解题的关键．
【举一反三】
【变式】如图，与关于直线l对称，下列结论中：①；②；③l垂直平分；④与的延长线的交点不一定在l上．其中正确的有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【答案】B
【分析】根据轴对称的性质，对选项逐个判断即可．
解：根据轴对称的定义可得，与关于直线l对称，则①正确．
因为如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线(中垂线)；轴对称图形的对应线段、对应角相等，
故②，③l垂直平分，正确．
因为成轴对称的两个图形对应线段或延长线如果相交，那么，交点一定在对称轴上，故④与 的延长线的交点不一定在l上，错误．
正确的有3个，
故选：B
【点拨】此题考查了轴对称的性质，解题的关键是掌握轴对称的性质，如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线（中垂线）；轴对称图形的对应线段、对应角相等．
【考点四】轴对称➼➻由轴对称图形的特征求解
【例4】如图，和关于直线对称，和的交点在直线上．
图中点的对应点是点___ ，的对应角是___；
若，，求的长；
连接和，判断和的位置关系，并说明理由．
【答案】(1)；； (2)； (3）平行，理由见分析
【分析】（1）如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线，根据对应的性质即可得出结论；
（2）根据对称的性质可得到，再根据即可得出结论；
（3）根据对称的性质可得，，由平行线的判定即可得出结论．
（1）解：∵和关于直线对称，和的交点在直线上，
∴图中点的对应点是点，的对应角是，
故答案为：；；
（2）∵，，点的对应点是点，和的交点在直线上，
∴，
∴，
∴的长为；
（3）平行．理由如下：
∵和关于直线对称，和的交点在直线上，
∴，，
∴，
∴和的位置关系为：平行．

【点拨】本题考查轴对称的性质，平行线的判定，掌握轴对称的性质是解题的关键．
【举一反三】
【变式1】如图，P在内，点M，N分别是点P关于的对称点，分别交于E，F．
若的周长是，求的长；
若，试求的度数．
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）由轴对称的性质可得，由三角形周长公式得到，则，即；
（2）根据轴对称的性质得到，进一步推出．
（1）解：∵点M，N分别是点P关于的对称点，
∴，
∵的周长是，
∴，
∴，即；
（2）解：如图所示，连接，
∵点M，N分别是点P关于的对称点，
∴，
∴ ．

【点拨】本题主要考查了轴对称图形的性质，正确得到，以、是解题的关键．
【变式2】如图1，点A、B两点在直线的同侧，点与A关于直线对称，连接交于点，设．

求；
若点是直线上异于点的任意一点．求证：；
如图2，在上求作一点，使最小．作法：

【答案】(1)；(2)见分析；(3)见分析
【分析】（1）利用轴对称性质得到边长关系即可求出；（2）利用轴对称换边，再使用三角形三边大小关系证明即可；（3）利用最短路径写出作法即可．
解：（1）点与A关于直线对称，
，
，
，
；
（2）连接，

点与A关于直线对称，
，，
，，
中，
；
（3）作点A关于直线对称点，连接交直线于点，如下图所示．

【点拨】本题考查最短路径的画法和证明，轴对称的性质为对称轴上的点到关于对称轴对称的两个对应点的距离相等．求解在直线上找一点使该点到直线同侧的两点的距离和最小，作法为作其中一点关于直线的对称点，连接另一点与直线的交点．
【考点五】轴对称➼➻轴对称性质的应用
【例5】已知：如图，是一个长方形的台球面，有、两球分别位于图中所在位置，试问怎样撞击球，才能使先碰到台边反弹后再击中球？在图中画出球的运动线路．

【分析】首先作出点A关于FC的对称点，再连接交FC于点P，连接AP，PB，可得A球的运动路线．
解：如图所示：运动路线：．
【点拨】本题主要考查生活中的轴对称现象，关键是掌握轴对称的性质．
【举一反三】
【变式】茅坪民族中学八（2）班举行文艺晚会，桌子摆成两直条（如图中的，），桌面上摆满了桔子，桌面上摆满了糖果，站在C处的学生小明先拿桔子再拿糖果，然后回到C处，请你在下图帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？

【分析】本题意思是在上找一点D，在上找一点E，使的周长最小．如果设点C关于 的对称点是M，关于的对称点是N，当点D、E在上时，的周长为，此时周长最小．
解：①分别作点C关于OA、OB的对称点是M、N，②连接MN，分别交OA于D，OB于E．
则C→D→E→C为所求的行走路线．

【点拨】本题考查了轴对称的性质，灵活运用对称性的基本性质是解题关键．
【考点五】轴对称➼➻轴对称性质➼➻折叠问题
【例6】如图所示，一个四边形纸片，，把纸片按如图所示折叠，使点B落在AD边上的点，是折痕．

试判断与的位置关系；
如果，求∠AEB的度数．
【答案】(1)，理由见分析；(2)
【分析】（1）根据折叠的性质可得，再由，可得，即可求解；
（2）由（1）得，，可得，再由折叠的性质可得，求出，即可求解．
解：（1）；
∵是的折叠后形成的，
∴，
∴；
（2）由（1）得，，
∴，
由折叠可知，
∴．
【点拨】本题主要考查了折叠的性质，平行线的性质和判定，熟练掌握折叠的性质，平行线的性质和判定是解题的关键．
【举一反三】
【变式】如图，在中，点D是边上的一点，将沿折叠得到，与交于点F．
若，，求的度数；
(2) 若，比大，，求的度数．
【答案】(1)； (2)
【分析】（1）根据折叠的性质得出，然后根据三角形的外角即可得出答案；
（2）根据平行线的性质得出，根据折叠的性质得出，进而求出，再根据题意求出，即可得出答案．
（1）解：∵沿折叠得到，
∴，
∵，，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∵沿折叠得到，
∴，
∴，
∴，
∵比大，，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点拨】本题考查折叠的性质，平行线的性质，三角形的外角，正确理解题意是解题的关键．