人教A版高中数学选择性必修第一册第3章微专题5圆锥曲线中的综合问题学案

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微专题5　圆锥曲线中的综合问题圆锥曲线的综合问题是高考考查的重点、热点和难点，涉及的知识面广，题目综合性强，对思维能力要求比较高．解决的基本思路是利用代数法，从分析问题的数量关系入手，利用直线系或曲线系方程或函数方程思想，通过联想与类比，使问题获解．解答过程中主要注意以下三点：(1)根据条件设出合适的直线方程，当不知道直线是否有斜率时，需要分两种情况讨论；(2)具体求解时，常用到“根与系数的关系”及“设而不求，整体代入”的方法；(3)不要忽视判别式的作用，在解题过程中，判别式起到了限制参数范围的作用． 类型1　范围与最值问题【例1】　(2021·全国乙卷)已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点F到准线的距离为2.(1)求C的方程；(2)已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足PQ＝9QF，求直线OQ斜率的最大值．[解]　(1)由抛物线的定义可知，焦点F到准线的距离为p，故p＝2，所以C的方程为y2＝4x.(2)由(1)知F(1，0)，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则PQ＝(x2－x1，y2－y1)，QF＝(1－x2，－y2)，因为PQ＝9QF，所以x2-x1=91-x2，y2-y1=-9y2， 可得x1=10x2-9，y1=10y2， 又点P在抛物线C上，所以y12＝4x1，即(10y2)2＝4(10x2－9)，化简得y22＝25x2－925，则点Q的轨迹方程为y2＝25x－925.设直线OQ的方程为y＝kx，易知当直线OQ与曲线y2＝25x－925相切时，斜率可以取最大，联立y＝kx与y2＝25x－925并化简，得k2x2－25x＋925＝0，令Δ＝-252－4k2·925＝0，解得k＝±13，所以直线OQ斜率的最大值为13. 类型2　定点与定值问题【例2】　设抛物线E：y2＝2px(p>0)的焦点为点F，过点F作直线l交抛物线E于A，B两点．当l与x轴垂直时，△AOB的面积为8，其中O为坐标原点．(1)求抛物线E的标准方程；(2)若l的斜率存在且为k1，点P(3，0)，直线AP与抛物线E的另一交点为C，直线BP与抛物线E的另一交点为D，设直线CD的斜率为k2，证明：k2k1为定值．[解]　(1)由题意当l与x轴垂直时，不妨设Ap2，p，Bp2，-p，∴12·2p·p2＝8，解得p＝4.则抛物线E的标准方程为y2＝8x.(2)[证明]　设A．(x1，y1)，B．(x2，y2)，C．(x3，y3)，D．(x4，y4)，则k1＝y1-y2x1-x2＝y1-y218y12-y22＝8y1+y2，同理k2＝8y3+y4，∴直线l的方程为y－y1＝8y1+y2(x－x1)．即(y1＋y2)y－y1y2＝8x.∵抛物线E的焦点F(2，0)在直线l上，∴－y1y2＝16.设直线BD的方程为x＝ty＋3.联立得方程组x=ty+3，y2=8x， 消去x并整理得y2－8ty－24＝0，∴y2y4＝－24.同理可得y1y3＝－24.∴k2k1＝y1+y2y3+y4＝y1+y2-24y1+-24y2＝y1y2-24＝-16-24＝23.故k2k1为定值． 类型3　探索性问题【例3】　如图，在平面直角坐标系中，点F(－1，0)，过直线l：x＝－2右侧的动点P作PA⊥l于点A，∠APF的平分线交x轴于点B，|PA|＝2|BF|.(1)求动点P的轨迹C的方程；(2)过点F的直线q交曲线C于M，N两点，x轴正半轴上是否存在点E，直线EM，EN分别交直线l于R，S两点，使∠RFS为直角？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．[解]　(1)设P(x，y)，x>－2.由PA⊥l，PB为∠APF的平分线可知|PF|＝|BF|，故PFPA＝BFPA＝22，即x+12+y2x+2＝22，化简得x22＋y2＝1，所以动点P的轨迹C的方程为x22＋y2＝1(x≠±2)．(2)假设满足条件的点E(n，0)(n>0)存在．设直线q的方程为x＝my－1，M(x1，y1)，N(x2，y2)，R(－2，y3)，S(－2，y4)．由x2+2y2=2，x=my-1 消去x，得(m2＋2)y2－2my－1＝0，Δ>0，根据一元二次方程根与系数的关系有y1＋y2＝2mm2+2，y1y2＝－1m2+2，所以x1x2＝(my1－1)(my2－1)＝m2y1y2－m(y1＋y2)＋1＝－m2m2+2－2m2m2+2＋1＝2-2m2m2+2，x1＋x2＝m(y1＋y2)－2＝2m2m2+2－2＝－4m2+2.由kME＝kRE，知y1x1-n＝y3-2-n，则y3＝－2+ny1x1-n.同理y4＝－2+ny2x2-n.kRF＝y3-2+1＝－y3，kSF＝y4-2+1＝－y4.因为∠RFS为直角，所以kRF·kSF＝y3y4＝－1，所以(2＋n)2y1y2＝－[x1x2－n(x1＋x2)＋n2]，即(2＋n)21m2+2＝2-2m2m2+2＋4nm2+2＋n2，所以(n2－2)(m2＋1)＝0，解得n＝2或－2(舍)，故满足条件的点E存在，其坐标为(2，0)．微专题强化练(五)　圆锥曲线中的综合问题一、选择题1．抛物线y2＝4x上不同两点A，B(异于原点O)，若直线OA，OB斜率之和为1，则直线AB必经过定点(　　)A．(0，2) B．(0，4)C．(－4，0) D．(－2，0)B　[设直线AB的方程为x＝ty＋b(b≠0)，代入抛物线，消去x得y2－4ty－4b＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝4t，y1y2＝－4b，∴kOA＋kOB＝y1x1＋y2x2＝y1x2+y2x1x1x2＝y1ty2+b+y2ty1+bty1+bty2+b＝2ty1y2+by1+y2t2y1y2+bty1+y2+b2＝-4btb2＝-4tb＝1，∴b＝－4t，∴直线AB的方程为x＝t(y－4)，过定点(0，4)，故选B．]2．已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的短轴长为2，上顶点为A，左顶点为B，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，且△F1AB的面积为2-32，点P为椭圆上的任意一点，则1PF1＋1PF2的取值范围为(　　)A．[1，2] B．[2，3]C．[2，4] D．[1，4]D　[由椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的短轴长为2b＝2，得b＝1，又S△F1AB＝12(a－c)b＝2-32，解得a－c＝2－3，∴a＝2，c＝3，|PF1|＋|PF2|＝2a＝4，设|PF1|＝x，则|PF2|＝4－x，x∈[a－c，a＋c]，即x∈[2－3，2＋3]，∴1PF1＋1PF2＝1x＋14-x＝44-x-22∈[1，4]．]3．已知F1，F2分别为双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线的左、右两支分别交于A，B两点．若△ABF2为等边三角形，则b2＋1a2的最小值为(　　)A．63 B．6＋63C．6＋26 D．26D　[画出符合题意的图形，如图．由双曲线定义知|BF1|－|BF2|＝2a.又|BA|＝|BF2|，故|AF1|＝2a.由双曲线定义知|AF2|－|AF1|＝2a，得|AF2|＝4a．在△AF1F2中，|AF1|＝2a，|AF2|＝4a，|F1F2|＝2c，∠F1AF2＝2π3，由余弦定理得(2c)2＝(2a)2＋(4a)2－2×2a·4a·cos 2π3，化简得c2＝7a2，∴b2＝c2－a2＝6a2，∴b2＋1a2＝6a2＋1a2≥26，当且仅当6a2＝1a2，即a2＝66时取等号．故选D．]4．(2021·全国乙卷)设B是椭圆C：x25＋y2＝1的上顶点，点P在C上，则|PB|的最大值为(　　)A．52 　　　B．6　　　C．5 　　　D．2A　[法一：(消元转化法)设点P(x，y)，则根据点P在椭圆x25＋y2＝1上可得x2＝5－5y2.易知点B(0，1)，所以根据两点间的距离公式得|PB|2＝x2＋(y－1)2＝5－5y2＋(y－1)2＝－4y2－2y＋6＝254－2y+122.当2y＋12＝0，即y＝－14(满足|y|≤1)时，|PB|2取得最大值254，所以|PB|max＝52.故选A．法二：(利用椭圆的参数方程)因为点P在椭圆x25＋y2＝1上，所以可设点P(5cos θ，sin θ)．易知点B(0，1)，所以根据两点间的距离公式得|PB|2＝(5cos θ)2＋(sin θ－1)2＝4cos2θ－2sinθ＋2＝－4sin2θ－2sinθ＋6＝254－2sinθ+122.易知当2sin θ＋12＝0，即sin θ＝－14时，|PB|2取得最大值254，所以|PB|max＝52.故选A．]二、填空题5．已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的离心率为32，短轴长为2，F1，F2为椭圆的左、右焦点，点P为椭圆上任意一点，则1PF1＋4PF2的最小值是________．94　[由题意得ca＝32，b＝1，解得a＝2，c＝3，于是|PF1|＋|PF2|＝2a＝4，所以1PF1＋4PF2＝141PF1+4PF2·(|PF1|＋|PF2|)＝145+PF2PF1+4PF1PF2≥14(5＋24)＝94，当且仅当|PF2|＝2|PF1|，即|PF2|＝83，|PF1|＝43时等号成立．]6．如图，圆O与离心率为32的椭圆T：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)相切于点M(0，1)，过点M引两条互相垂直的直线l1，l2，两直线与两曲线分别交于点A，C与点B，D(均不重合)．若P为椭圆上任一点，记点P到两直线的距离分别为d1，d2，则d12+d22的最大值是________；此时P点坐标为________．163　±423，-13　[由题意知，ca＝32，b＝1，c2＋b2＝a2，解得a＝2，b＝1，c＝3，可知椭圆T的方程为x24＋y2＝1，圆O的方程为x2＋y2＝1.设P(x0，y0)，∵l1⊥l2，则d12+d22＝|PM|2＝x02＋(y0－1)2，∵x024+y02＝1，∴d12+d22＝4-4y02＋(y0－1)2＝－3y0+132＋163，∵－1≤y0≤1，∴当y0＝－13时，d12+d22取得最大值为163，此时点P±423，-13．]7．已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的离心率e＝12，A，B分别是椭圆的左、右顶点，点P是椭圆上不同于A，B的一点，直线PA，PB的倾斜角分别为α，β，则cosα+βcosα-β为定值________．7　[由已知得，A(－a，0)，B(a，0)．设P(x，y)，x≠±a，则tan α＝yx+a，tan β＝yx-a，∴tan αtan β＝yx+a·yx-a＝y2x2-a2.∵椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的离心率e＝12，∴a2-b2a2＝14，∴a2＝43b2，∴x243b2＋y2b2＝1，∴y2＝b2－3x24，∴y2x2-a2＝b2-3x24x2-43 b2＝－34，∴tan αtan β＝－34，∴cosα+βcosα-β＝cosαcosβ-sinαsinβcosαcosβ+sinαsinβ＝1-tanαtanβ1+tanαtanβ＝1+341-34＝7．]三、解答题8．(2022·华南师大附中高二上期中)已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)过点A(22，1)，焦距为25，B(0，b)．(1)求双曲线C的标准方程；(2)是否存在过点D-32，0的直线l与双曲线C交于M，N两点，使△BMN是以∠MBN为顶角的等腰三角形？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．[解]　(1)由题得c＝5.又点A(22，1)在双曲线上，所以a2+b2=5，8a2-1b2=1，得a2=4，b2=1，所以双曲线C的标准方程为x24－y2＝1.(2)由(1)知B(0，1)，直线l的斜率一定存在．当直线l的斜率为0时，直线l：y＝0，符合题意；当直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为y＝kx+32，M(x1，y1)，N(x2，y2)．由y=kx+32，x24-y2=1， 得(1－4k2)x2－12k2x－(9k2＋4)＝0.由题意，得1-4k2≠0， Δ=44-7k2>0，即k2