2017年湖北省咸宁市中考数学真题及答案

这是一份2017年湖北省咸宁市中考数学真题及答案，共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）下表是我市四个景区今年2月份某天6时的气温，其中气温最低的景区是（ ）
A．潜山公园B．陆水湖C．隐水洞D．三湖连江
2．（3分）在绿满鄂南行动中，咸宁市计划2015年至2017年三年间植树造林1210000亩，全力打造绿色生态旅游城市，将1210000用科学记数法表示为（ ）
A．121×104B．12.1×105C．1.21×105D．1.21×106
3．（3分）下列算式中，结果等于a5的是（ ）
A．a2+a3B．a2•a3C．a5÷aD．（a2）3
4．（3分）如图是某个几何体的三视图，该几何体是（ ）
A．三棱柱B．三棱锥C．圆柱D．圆锥
5．（3分）由于受H7N9禽流感的影响，我市某城区今年2月份鸡的价格比1月份下降a%，3月份比2月份下降b%，已知1月份鸡的价格为24元/千克．设3月份鸡的价格为m元/千克，则（ ）
A．m=24（1﹣a%﹣b%）B．m=24（1﹣a%）b%C．m=24﹣a%﹣b%D．m=24（1﹣a%）（1﹣b%）
6．（3分）已知a、b、c为常数，点P（a，c）在第二象限，则关于x的方程ax2+bx+c=0根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根D．无法判断
7．（3分）如图，⊙O的半径为3，四边形ABCD内接于⊙O，连接OB、OD，若∠BOD=∠BCD，则的长为（ ）
A．πB．C．2πD．3π
8．（3分）在平面直角坐标系xOy中，将一块含有45°角的直角三角板如图放置，直角顶点C的坐标为（1，0），顶点A的坐标为（0，2），顶点B恰好落在第一象限的双曲线上，现将直角三角板沿x轴正方向平移，当顶点A恰好落在该双曲线上时停止运动，则此时点C的对应点C′的坐标为（ ）
A．（，0）B．（2，0）C．（，0）D．（3，0）

二、填空题（每小题3分，共24分）
9．（3分）8的立方根是 ．
10．（3分）化简：÷= ．
11．（3分）分解因式：2a2﹣4a+2= ．
12．（3分）如图，直线y=mx+n与抛物线y=ax2+bx+c交于A（﹣1，p），B（4，q）两点，则关于x的不等式mx+n＞ax2+bx+c的解集是 ．
13．（3分）小明的爸爸是个“健步走”运动爱好者，他用手机软件记录了某个月（30天）每天健步走的步数，并将记录结果绘制成了如下统计表：
在每天所走的步数这组数据中，众数和中位数分别是 ．
14．（3分）如图，点O是矩形纸片ABCD的对称中心，E是BC上一点，将纸片沿AE折叠后，点B恰好与点O重合．若BE=3，则折痕AE的长为 ．
15．（3分）如图，边长为4的正六边形ABCDEF的中心与坐标原点O重合，AF∥x轴，将正六边形ABCDEF绕原点O顺时针旋转n次，每次旋转60°．当n=2017时，顶点A的坐标为 ．
16．（3分）如图，在Rt△ABC中，BC=2，∠BAC=30°，斜边AB的两个端点分别在相互垂直的射线OM、ON上滑动，下列结论：
①若C、O两点关于AB对称，则OA=2；
②C、O两点距离的最大值为4；
③若AB平分CO，则AB⊥CO；
④斜边AB的中点D运动路径的长为；
其中正确的是 （把你认为正确结论的序号都填上）．

三、解答题（本大题共8小题，满分72分）
17．（8分）（1）计算：|﹣|﹣+20170；
（2）解方程：=．
18．（7分）如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB=DF，AC=DF，BE=FC．
（1）求证：△ABC≌△DFE；
（2）连接AF、BD，求证：四边形ABDF是平行四边形．
19．（8分）咸宁市某中学为了解本校学生对新闻、体育、动画、娱乐四类电视节目的喜爱情况，随机抽取了部分学生进行问卷调查，根据调查结果绘制了如图所示的两幅不完整统计图，请你根据图中信息解答下列问题：
（1）补全条形统计图，“体育”对应扇形的圆心角是 度；
（2）根据以上统计分析，估计该校2000名学生中喜爱“娱乐”的有 人；
（3）在此次问卷调查中，甲、乙两班分别有2人喜爱新闻节目，若从这4人中随机抽取2人去参加“新闻小记者”培训，请用列表法或画树状图的方法求所抽取的2人来自不同班级的概率．
20．（8分）小慧根据学习函数的经验，对函数y=|x﹣1|的图象与性质进行了探究．下面是小慧的探究过程，请补充完整：
（1）函数y=|x﹣1|的自变量x的取值范围是 ；
（2）列表，找出y与x的几组对应值．
其中，b= ；
（3）在平面直角坐标系xOy中，描出以上表中对对应值为坐标的点，并画出该函数的图象；
（4）写出该函数的一条性质： ．
21．（9分）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O与边BC、AC分别交于D、E两点，过点D作DF⊥AC，垂足为点F．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）若AE=4，csA=，求DF的长．
22．（10分）某公司开发出一款新的节能产品，该产品的成本价为6元/件，该产品在正式投放市场前通过代销点进行了为期一个月（30天）的试营销，售价为8元/件，工作人员对销售情况进行了跟踪记录，并将记录情况绘成图象，图中的折线ODE表示日销售量y（件）与销售时间x（天）之间的函数关系，已知线段DE表示的函数关系中，时间每增加1天，日销售量减少5件．
（1）第24天的日销售量是 件，日销售利润是 元．
（2）求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；
（3）日销售利润不低于640元的天数共有多少天？试销售期间，日销售最大利润是多少元？
23．（10分）定义：
数学活动课上，李老师给出如下定义：如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半，那么称这个三角形为“智慧三角形”．
理解：
（1）如图1，已知A、B是⊙O上两点，请在圆上找出满足条件的点C，使△ABC为“智慧三角形”（画出点C的位置，保留作图痕迹）；
（2）如图2，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，且CF=CD，试判断△AEF是否为“智慧三角形”，并说明理由；
运用：
（3）如图3，在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，点Q是直线y=3上的一点，若在⊙O上存在一点P，使得△OPQ为“智慧三角形”，当其面积取得最小值时，直接写出此时点P的坐标．
24．（12分）如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其对称轴交抛物线于点D，交x轴于点E，已知OB=OC=6．
（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；
（2）连接BD，F为抛物线上一动点，当∠FAB=∠EDB时，求点F的坐标；
（3）平行于x轴的直线交抛物线于M、N两点，以线段MN为对角线作菱形MPNQ，当点P在x轴上，且PQ=MN时，求菱形对角线MN的长．

2017年湖北省咸宁市中考数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．（3分）（2017•咸宁）下表是我市四个景区今年2月份某天6时的气温，其中气温最低的景区是（ ）
A．潜山公园B．陆水湖C．隐水洞D．三湖连江
【分析】将几个有理数比较后即可确定正确的选项．
【解答】解：∵﹣2＜﹣1＜0＜2，
∴隐水洞的气温最低，
故选C．
【点评】本题考查了有理数的大小比较的知识，解题的关键是能够了解正数大于0，负数小于0，两个负数比较绝对值大的反而小，难度不大．

2．（3分）（2017•咸宁）在绿满鄂南行动中，咸宁市计划2015年至2017年三年间植树造林1210000亩，全力打造绿色生态旅游城市，将1210000用科学记数法表示为（ ）
A．121×104B．12.1×105C．1.21×105D．1.21×106
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，据此判断即可．
【解答】解：1210000=1.21×106．
故选：D．
【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，确定a与n的值是解题的关键．

3．（3分）（2017•咸宁）下列算式中，结果等于a5的是（ ）
A．a2+a3B．a2•a3C．a5÷aD．（a2）3
【分析】根据合并同类项对A进行判断；根据同底数幂的乘法对B进行判断；根据同底数幂的除法对C进行判断；根据幂的乘方对D进行判断．
【解答】解：A、a2与a3不能合并，所以A选项错误；
B、原式=a5，所以B选项正确；
C、原式=a4，所以C选项错误；
D、原式=a6，所以D选项错误．
故选B．
【点评】本题考查了同底数幂的除法：底数不变，指数相减．也考查了同底数幂的乘法和幂的乘方．

4．（3分）（2017•咸宁）如图是某个几何体的三视图，该几何体是（ ）
A．三棱柱B．三棱锥C．圆柱D．圆锥
【分析】根据三棱柱的特点求解即可．
【解答】解：主视图是三角形，俯视图是两个矩形，左视图是矩形，得
几何体是三棱柱，
故选：A．
【点评】本题考查了三视图，利用三棱柱的特点得出几何体是解题关键．

5．（3分）（2017•咸宁）由于受H7N9禽流感的影响，我市某城区今年2月份鸡的价格比1月份下降a%，3月份比2月份下降b%，已知1月份鸡的价格为24元/千克．设3月份鸡的价格为m元/千克，则（ ）
A．m=24（1﹣a%﹣b%）B．m=24（1﹣a%）b%C．m=24﹣a%﹣b%D．m=24（1﹣a%）（1﹣b%）
【分析】首先求出二月份鸡的价格，再根据三月份比二月份下降b%即可求出三月份鸡的价格．
【解答】解：∵今年2月份鸡的价格比1月份下降a%，1月份鸡的价格为24元/千克，
∴2月份鸡的价格为24（1﹣a%），
∵3月份比2月份下降b%，
∴三月份鸡的价格为24（1﹣a%）（1﹣b%），
故选D．
【点评】本题主要考查了列代数式的知识，解题的关键是掌握每个月份的数量增长关系．

6．（3分）（2017•咸宁）已知a、b、c为常数，点P（a，c）在第二象限，则关于x的方程ax2+bx+c=0根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根D．无法判断
【分析】先利用第二象限点的坐标特征得到ac＜0，则判断△＞0，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．
【解答】解：∵点P（a，c）在第二象限，
∴a＜0，c＞0，
∴ac＜0，
∴△=b2﹣4ac＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选B．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．

7．（3分）（2017•咸宁）如图，⊙O的半径为3，四边形ABCD内接于⊙O，连接OB、OD，若∠BOD=∠BCD，则的长为（ ）
A．πB．C．2πD．3π
【分析】由圆内接四边形的性质和圆周角定理求出∠A=60°，得出∠BOD=120°，再由弧长公式即可得出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠BCD+∠A=180°，
∵∠BOD=2∠A，∠BOD=∠BCD，
∴2∠A+∠A=180°，
解得：∠A=60°，
∴∠BOD=120°，
∴的长==2π；
故选：C．
【点评】本题考查了弧长公式、圆内接四边形的性质、圆周角定理；熟练掌握圆内接四边形的性质和圆周角定理，求出∠BOD=120°是解决问题的关键．

8．（3分）（2017•咸宁）在平面直角坐标系xOy中，将一块含有45°角的直角三角板如图放置，直角顶点C的坐标为（1，0），顶点A的坐标为（0，2），顶点B恰好落在第一象限的双曲线上，现将直角三角板沿x轴正方向平移，当顶点A恰好落在该双曲线上时停止运动，则此时点C的对应点C′的坐标为（ ）
A．（，0）B．（2，0）C．（，0）D．（3，0）
【分析】过点B作BD⊥x轴于点D，易证△ACO≌△BCD（AAS），从而可求出B的坐标，进而可求出反比例函数的解析式，根据解析式与A的坐标即可得知平移的单位长度，从而求出C的对应点．
【解答】解：过点B作BD⊥x轴于点D，
∵∠ACO+∠BCD=90°，
∠OAC+ACO=90°，
∴∠OAC=∠BCD，
在△ACO与△BCD中，
∴△ACO≌△BCD（AAS）
∴OC=BD，OA=CD，
∵A（0，2），C（1，0）
∴OD=3，BD=1，
∴B（3，1），
∴设反比例函数的解析式为y=，
将B（3，1）代入y=，
∴k=3，
∴y=，
∴把y=2代入y=，
∴x=，
当顶点A恰好落在该双曲线上时，
此时点A移动了个单位长度，
∴C也移动了个单位长度，
此时点C的对应点C′的坐标为（，0）
故选（C）
【点评】本题考查反比例函数的综合问题，涉及全等三角形的性质与判定，反比例函数的解析式，平移的性质等知识，综合程度较高，属于中等题型．

二、填空题（每小题3分，共24分）
9．（3分）（2017•咸宁）8的立方根是 2 ．
【分析】利用立方根的定义计算即可得到结果．
【解答】解：8的立方根为2，
故答案为：2．
【点评】此题考查了立方根，熟练掌握立方根的定义是解本题的关键．

10．（3分）（2017•咸宁）化简：÷= x﹣1 ．
【分析】原式利用除法法则变形，约分即可得到结果．
【解答】解：原式=
=x﹣1
故答案为：x﹣1．
【点评】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

11．（3分）（2017•咸宁）分解因式：2a2﹣4a+2= 2（a﹣1）2 ．
【分析】原式提取2，再利用完全平方公式分解即可．
【解答】解：原式=2（a2﹣2a+1）
=2（a﹣1）2．
故答案为：2（a﹣1）2．
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．

12．（3分）（2017•咸宁）如图，直线y=mx+n与抛物线y=ax2+bx+c交于A（﹣1，p），B（4，q）两点，则关于x的不等式mx+n＞ax2+bx+c的解集是 x＜﹣1或x＞4 ．
【分析】观察两函数图象的上下位置关系，即可得出结论．
【解答】解：观察函数图象可知：当x＜﹣1或x＞4时，直线y=mx+n在抛物线y=ax2+bx+c的上方，
∴不等式mx+n＞ax2+bx+c的解集为x＜﹣1或x＞4．
故答案为：x＜﹣1或x＞4．
【点评】本题考查了二次函数与不等式，根据两函数图象的上下位置关系找出不等式的解集是解题的关键．

13．（3分）（2017•咸宁）小明的爸爸是个“健步走”运动爱好者，他用手机软件记录了某个月（30天）每天健步走的步数，并将记录结果绘制成了如下统计表：
在每天所走的步数这组数据中，众数和中位数分别是 1.4，1.35 ．
【分析】把这组数据按照从小到大的顺序排列，第15、16个数的平均数是中位数，在这组数据中出现次数最多的是1.4，得到这组数据的众数．
【解答】解：要求一组数据的中位数，
把这组数据按照从小到大的顺序排列，第4、5个两个数的平均数是（1.3+1.4）÷2=1.35，
所以中位数是1.35，
在这组数据中出现次数最多的是1.4，
即众数是1.4．
故答案为：1.4；1.35．
【点评】本题考查一组数据的中位数和众数，在求中位数时，首先要把这列数字按照从小到大或从的大到小排列，找出中间一个数字或中间两个数字的平均数即为所求．

14．（3分）（2017•咸宁）如图，点O是矩形纸片ABCD的对称中心，E是BC上一点，将纸片沿AE折叠后，点B恰好与点O重合．若BE=3，则折痕AE的长为 6 ．
【分析】由折叠的性质及矩形的性质得到OE垂直平分AC，得到AE=EC，根据AB为AC的一半确定出∠ACE=30°，进而得到OE等于EC的一半，求出EC的长，即为AE的长．
【解答】解：由题意得：AB=AO=CO，即AC=2AB，
且OE垂直平分AC，
∴AE=CE，
设AB=AO=OC=x，
则有AC=2x，∠ACB=30°，
在Rt△ABC中，根据勾股定理得：BC=x，
在Rt△OEC中，∠OCE=30°，
∴OE=EC，即BE=EC，
∵BE=3，
∴OE=3，EC=6，
则AE=6，
故答案为：6
【点评】此题考查了中心对称，矩形的性质，以及翻折变换，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．

15．（3分）（2017•咸宁）如图，边长为4的正六边形ABCDEF的中心与坐标原点O重合，AF∥x轴，将正六边形ABCDEF绕原点O顺时针旋转n次，每次旋转60°．当n=2017时，顶点A的坐标为 （2，2） ．
【分析】将正六边形ABCDEF绕原点O顺时针旋转2017次时，点A所在的位置就是原F点所在的位置．
【解答】解：2017×60°÷360°=336…1，即与正六边形ABCDEF绕原点O顺时针旋转1次时点A的坐标是一样的．
当点A按顺时针旋转60°时，与原F点重合．
连接OF，过点F作FH⊥x轴，垂足为H；
由已知EF=4，∠FOE=60°（正六边形的性质），
∴△OEF是等边三角形，
∴OF=EF=4，
∴F（2，2），即旋转2017后点A的坐标是（2，2），
故答案是：（2，2）．
【点评】此题主要考查了正六边形的性质，坐标与图形的性质﹣旋转．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．

16．（3分）（2017•咸宁）如图，在Rt△ABC中，BC=2，∠BAC=30°，斜边AB的两个端点分别在相互垂直的射线OM、ON上滑动，下列结论：
①若C、O两点关于AB对称，则OA=2；
②C、O两点距离的最大值为4；
③若AB平分CO，则AB⊥CO；
④斜边AB的中点D运动路径的长为；
其中正确的是 ①②③ （把你认为正确结论的序号都填上）．
【分析】①先根据直角三角形30°的性质和勾股定理分别求AC和AB，由对称的性质可知：AB是OC的垂直平分线，所以OA=AC；
②当OC经过AB的中点E时，OC最大，则C、O两点距离的最大值为4；
③如图2，根据等腰三角形三线合一可知：AB⊥OC；
④如图3，半径为2，圆心角为90°，根据弧长公式进行计算即可．
【解答】解：在Rt△ABC中，∵BC=2，∠BAC=30°，
∴AB=4，AC==2，
①若C、O两点关于AB对称，如图1，
∴AB是OC的垂直平分线，
则OA=AC=2；
所以①正确；
②如图1，取AB的中点为E，连接OE、CE，
∵∠AOB=∠ACB=90°，
∴OE=CE=AB=2，
当OC经过点E时，OC最大，
则C、O两点距离的最大值为4；
所以②正确；
③如图2，同理取AB的中点E，则OE=CE，
∵AB平分CO，
∴OF=CF，
∴AB⊥OC，
所以③正确；
④如图3，斜边AB的中点D运动路径是：以O为圆心，以2为半径的圆周的，
则：=π．
所以④不正确；
综上所述，本题正确的有：①②③；
故答案为：①②③．
【点评】本题是三角形的综合题，考查了直角三角形30°的性质、直角三角形斜边中线的性质、等腰三角形的性质、轴对称的性质、线段垂直平分线的性质、动点运动路径问题、弧长公式，熟练掌握直角三角形斜边中线等于斜边一半是本题的关键，难度适中．

三、解答题（本大题共8小题，满分72分）
17．（8分）（2017•咸宁）（1）计算：|﹣|﹣+20170；
（2）解方程：=．
【分析】（1）根据实数的运算法则，零指数幂的性质计算即可；
（2）根据分式方程的解法即可得到结论．
【解答】解：（1）：|﹣|﹣+20170=﹣4+1=1﹣3；
（2）方程两边通乘以2x（x﹣3）得，x﹣3=4x，
解得：x=﹣1，
检验：当x=﹣1时，2x（x﹣3）≠0，
∴原方程的根是x=﹣1．
【点评】本题考查了解分式方程，实数的运算，熟练掌握实数的运算法则是解题的关键．

18．（7分）（2017•咸宁）如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB=DF，AC=DF，BE=FC．
（1）求证：△ABC≌△DFE；
（2）连接AF、BD，求证：四边形ABDF是平行四边形．
【分析】（1）由SSS证明△ABC≌△DFE即可；
（2）连接AF、BD，由全等三角形的性质得出∠ABC=∠DFE，证出AB∥DF，即可得出结论．
【解答】证明：（1）∵BE=FC，
∴BC=EF，
在△ABC和△DFE中，，
∴△ABC≌△DFE（SSS）；
（2）解：连接AF、BD，如图所示：
由（1）知△ABC≌△DFE，
∴∠ABC=∠DFE，
∴AB∥DF，
∵AB=DF，
∴四边形ABDF是平行四边形．
【点评】本题考查了平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质、平行线的判定；熟练掌握平行四边形的判定方法，证明三角形全等是解决问题的关键．

19．（8分）（2017•咸宁）咸宁市某中学为了解本校学生对新闻、体育、动画、娱乐四类电视节目的喜爱情况，随机抽取了部分学生进行问卷调查，根据调查结果绘制了如图所示的两幅不完整统计图，请你根据图中信息解答下列问题：
（1）补全条形统计图，“体育”对应扇形的圆心角是 72 度；
（2）根据以上统计分析，估计该校2000名学生中喜爱“娱乐”的有 700 人；
（3）在此次问卷调查中，甲、乙两班分别有2人喜爱新闻节目，若从这4人中随机抽取2人去参加“新闻小记者”培训，请用列表法或画树状图的方法求所抽取的2人来自不同班级的概率．
【分析】（1）根据动画类人数及其百分比求得总人数，总人数减去其他类型人数可得体育类人数，用360度乘以体育类人数所占比例即可得；
（2）用样本估计总体的思想解决问题；
（3）根据题意先画出树状图，得出所有情况数，再根据概率公式即可得出答案．
【解答】解：（1）调查的学生总数为60÷30%=200（人），
则体育类人数为200﹣（30+60+70）=40，
补全条形图如下：
“体育”对应扇形的圆心角是360°×=72°，
故答案为：72；
（2）估计该校2000名学生中喜爱“娱乐”的有：2000×=700（人），
故答案为：700；
（3）将两班报名的学生分别记为甲1、甲2、乙1、乙2，树状图如图所示：
所以P（2名学生来自不同班）==．
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．

20．（8分）（2017•咸宁）小慧根据学习函数的经验，对函数y=|x﹣1|的图象与性质进行了探究．下面是小慧的探究过程，请补充完整：
（1）函数y=|x﹣1|的自变量x的取值范围是 任意实数 ；
（2）列表，找出y与x的几组对应值．
其中，b= 2 ；
（3）在平面直角坐标系xOy中，描出以上表中对对应值为坐标的点，并画出该函数的图象；
（4）写出该函数的一条性质： 函数的最小值为0（答案不唯一） ．
【分析】（1）根据一次函数的性质即可得出结论；
（2）把x=﹣1代入函数解析式，求出y的值即可；
（3）在坐标系内描出各点，再顺次连接即可；
（4）根据函数图象即可得出结论．
【解答】解：（1）∵x无论为何值，函数均有意义，
∴x为任意实数．
故答案为：任意实数；
（2）∵当x=﹣1时，y=|﹣1﹣1|=2，
∴b=2．
故答案为：2；
（3）如图所示；
（4）由函数图象可知，函数的最小值为0．
故答案为：函数的最小值为0（答案不唯一）．
【点评】本题考查的是一次函数的性质，根据题意画出函数图象，利用数形结合求解是解答此题的关键．

21．（9分）（2017•咸宁）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O与边BC、AC分别交于D、E两点，过点D作DF⊥AC，垂足为点F．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）若AE=4，csA=，求DF的长．
【分析】（1）证明：如图，连接OD，作OG⊥AC于点G，推出∠ODB=∠C；然后根据DF⊥AC，∠DFC=90°，推出∠ODF=∠DFC=90°，即可推出DF是⊙O的切线．
（2）首先判断出：AG=AE=2，然后判断出四边形OGFD为矩形，即可求出DF的值是多少．
【解答】（1）证明：如图，连接OD，作OG⊥AC于点G，
，
∵OB=OD，
∴∠ODB=∠B，
又∵AB=AC，
∴∠C=∠B，
∴∠ODB=∠C，
∵DF⊥AC，
∴∠DFC=90°，
∴∠ODF=∠DFC=90°，
∴DF是⊙O的切线．
（2）解：AG=AE=2，
∵csA=，
∴OA===5，
∴OG==，
∵∠ODF=∠DFG=∠OGF=90°，
∴四边形OGFD为矩形，
∴DF=OG=．
【点评】此题主要考查了切线的性质和应用，等腰三角形的性质和应用，以及解直角三角形的应用，要熟练掌握．

22．（10分）（2017•咸宁）某公司开发出一款新的节能产品，该产品的成本价为6元/件，该产品在正式投放市场前通过代销点进行了为期一个月（30天）的试营销，售价为8元/件，工作人员对销售情况进行了跟踪记录，并将记录情况绘成图象，图中的折线ODE表示日销售量y（件）与销售时间x（天）之间的函数关系，已知线段DE表示的函数关系中，时间每增加1天，日销售量减少5件．
（1）第24天的日销售量是 330 件，日销售利润是 660 元．
（2）求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；
（3）日销售利润不低于640元的天数共有多少天？试销售期间，日销售最大利润是多少元？
【分析】（1）根据第22天销售了340件，结合时间每增加1天日销售量减少5件，即可求出第24天的日销售量，再根据日销售利润=单件利润×日销售量即可求出日销售利润；
（2）根据点D的坐标利用待定系数法即可求出线段OD的函数关系式，根据第22天销售了340件，结合时间每增加1天日销售量减少5件，即可求出线段DE的函数关系式，联立两函数关系式求出交点D的坐标，此题得解；
（3）分0≤x≤18和18＜x≤30，找出关于x的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范围，有起始和结束时间即可求出日销售利润不低于640元的天数，再根据点D的坐标结合日销售利润=单件利润×日销售数，即可求出日销售最大利润．
【解答】解：（1）340﹣（24﹣22）×5=330（件），
330×（8﹣6）=660（元）．
故答案为：330；660．
（2）设线段OD所表示的y与x之间的函数关系式为y=kx，
将（17，340）代入y=kx中，
340=17k，解得：k=20，
∴线段OD所表示的y与x之间的函数关系式为y=20x．
根据题意得：线段DE所表示的y与x之间的函数关系式为y=340﹣5（x﹣22）=﹣5x+450．
联立两线段所表示的函数关系式成方程组，
得，解得：，
∴交点D的坐标为（18，360），
∴y与x之间的函数关系式为y=．
（3）当0≤x≤18时，根据题意得：（8﹣6）×20x≥640，
解得：x≥16；
当18＜x≤30时，根据题意得：（8﹣6）×（﹣5x+450）≥640，
解得：x≤26．
∴16≤x≤26．
26﹣16+1=11（天），
∴日销售利润不低于640元的天数共有11天．
∵点D的坐标为（18，360），
∴日最大销售量为360件，
360×2=720（元），
∴试销售期间，日销售最大利润是720元．
【点评】本题考查了一次函数的应用、待定系数法一次函数解析式以及解一元一次不等式，解题的关键是：（1）根据数量关系，列式计算；（2）利用待定系数法求出OD的函数关系式以及依照数量关系找出DE的函数关系式；（3）分0≤x≤18和18＜x≤30，找出关于x的一元一次不等式．

23．（10分）（2017•咸宁）定义：
数学活动课上，李老师给出如下定义：如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半，那么称这个三角形为“智慧三角形”．
理解：
（1）如图1，已知A、B是⊙O上两点，请在圆上找出满足条件的点C，使△ABC为“智慧三角形”（画出点C的位置，保留作图痕迹）；
（2）如图2，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，且CF=CD，试判断△AEF是否为“智慧三角形”，并说明理由；
运用：
（3）如图3，在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，点Q是直线y=3上的一点，若在⊙O上存在一点P，使得△OPQ为“智慧三角形”，当其面积取得最小值时，直接写出此时点P的坐标．
【分析】（1）连结AO并且延长交圆于C1，连结BO并且延长交圆于C2，即可求解；
（2）设正方形的边长为4a，表示出DF=CF以及EC、BE的长，然后根据勾股定理列式表示出AF2、EF2、AE2，再根据勾股定理逆定理判定△AEF是直角三角形，由直角三角形的性质可得△AEF为“智慧三角形”；
（3）根据“智慧三角形”的定义可得△OPQ为直角三角形，根据题意可得一条直角边为1，当斜边最短时，另一条直角边最短，则面积取得最小值，由垂线段最短可得斜边最短为3，根据勾股定理可求另一条直角边，再根据三角形面积可求斜边的高，即点P的横坐标，再根据勾股定理可求点P的纵坐标，从而求解．
【解答】解：（1）如图1所示：
（2）△AEF是否为“智慧三角形”，
理由如下：设正方形的边长为4a，
∵E是DC的中点，
∴DE=CE=2a，
∵BC：FC=4：1，
∴FC=a，BF=4a﹣a=3a，
在Rt△ADE中，AE2=（4a）2+（2a）2=20a2，
在Rt△ECF中，EF2=（2a）2+a2=5a2，
在Rt△ABF中，AF2=（4a）2+（3a）2=25a2，
∴AE2+EF2=AF2，
∴△AEF是直角三角形，
∵斜边AF上的中线等于AF的一半，
∴△AEF为“智慧三角形”；
（3）如图3所示：
由“智慧三角形”的定义可得△OPQ为直角三角形，
根据题意可得一条直角边为1，当斜边最短时，另一条直角边最短，则面积取得最小值，
由垂线段最短可得斜边最短为3，
由勾股定理可得PQ==2，
PM=1×2÷3=，
由勾股定理可求得OM==，
故点P的坐标（﹣，），（，）．
【点评】本题考查了圆的综合题，正方形的性质，勾股定理的应用，勾股定理逆定理的应用，用正方形的边长表示出△AEF的各边的平方，熟练掌握“智慧三角形”的定义是解题的关键．

24．（12分）（2017•咸宁）如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其对称轴交抛物线于点D，交x轴于点E，已知OB=OC=6．
（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；
（2）连接BD，F为抛物线上一动点，当∠FAB=∠EDB时，求点F的坐标；
（3）平行于x轴的直线交抛物线于M、N两点，以线段MN为对角线作菱形MPNQ，当点P在x轴上，且PQ=MN时，求菱形对角线MN的长．
【分析】（1）由条件可求得B、C坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式，进一步可求得D点坐标；
（2）过F作FG⊥x轴于点G，可设出F点坐标，利用△FAG∽△BDE，由相似三角形的性质可得到关于F点坐标的方程，可求得F点的坐标；
（3）可求得P点坐标，设T为菱形对角线的交点，设出PT的长为n，从而可表示出M点的坐标，代入抛物线解析式可得到n的方程，可求得n的值，从而可求得MN的长．
【解答】解：
（1）∵OB=OC=6，
∴B（6，0），C（0，﹣6），
∴，解得，
∴抛物线解析式为y=x2﹣2x﹣6，
∵y=x2﹣2x﹣6=（x﹣2）2﹣8，
∴点D的坐标为（2，﹣8）；
（2）如图1，过F作FG⊥x轴于点G，
设F（x，x2﹣2x﹣6），则FG=|x2﹣2x﹣6|，
在y=x2﹣2x﹣6中，令y=0可得x2﹣2x﹣6=0，解得x=﹣2或x=6，
∴A（﹣2，0），
∴OA=2，则AG=x+2，
∵B（6，0），D（2，﹣8），
∴BE=6﹣2=4，DE=8，
当∠FAB=∠EDB时，且∠FGA=∠BED，
∴△FAG∽△BDE，
∴=，即==，
当点F在x轴上方时，则有=，解得x=﹣2（舍去）或x=7，此进F点坐标为（7，）；
当点F在x轴上方时，则有=﹣，解得x=﹣2（舍去）或x=5，此进F点坐标为（5，﹣）；
综上可知F点的坐标为（7，）或（5，﹣）；
（3）∵点P在x轴上，
∴由菱形的对称性可知P（2，0），
如图2，当MN在x轴上方时，设T为菱形对角线的交点，
∵PQ=MN，
∴MT=2PT，
设PT=n，则MT=2n，
∴M（2+2n，n），
∵M在抛物线上，
∴n=（2+2n）2﹣2（2+2n）﹣6，解得n=或n=，
∴MN=2MT=4n=+1；
当MN在x轴下方时，同理可设PT=n，则M（2+2n，﹣n），
∴﹣n=（2+2n）2﹣2（2+2n）﹣6，解得n=或n=（舍去），
∴MN=2MT=4n=﹣1；
综上可知菱形对角线MN的长为+1或﹣1．
【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、相似三角形的判定和性质、菱形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识．在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）中证得△FAG∽△BDE，得到关于F点坐标的方程是解题的关键，注意分F点在x轴上方和下方两种情况，在（3）中用PT的长表示出M点的坐标是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．景区
潜山公园
陆水湖
隐水洞
三湖连江
气温
﹣1℃
0℃
﹣2℃
2℃
步数（万步）
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
天数
3
7
5
12
3
x
…
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
b
1
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景区
潜山公园
陆水湖
隐水洞
三湖连江
气温
﹣1℃
0℃
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步数（万步）
1.1
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天数
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