(适用辅导班)2023-2024年高二数学寒假讲义+分层练习（基础班）2.7《函数与方程》 (2份打包，原卷版+教师版)

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1.通过判断具体函数零点的个数或零点所在区间，凸显数学运算、直观想象的核心素养．
2．通过函数零点或方程根的存在情况求参数的取值范围，凸显直观想象、逻辑推理和数学运算的核心素养．
[理清主干知识]
1．函数的零点
(1)函数零点的定义
对于函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．
(2)几个等价关系
方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．
(3)函数零点的判定(零点存在性定理)
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．
2．二次函数图象与零点的关系
[澄清盲点误点]
一、关键点练明
1．函数f(x)＝ln x﹣eq \f(2,x)的零点所在的大致范围是( )
A．(1，2) B．(2，3) C.(eq \f(1,e)，1)和(3，4) D．(4，＋∞)
2．函数f(x)＝ex＋3x的零点个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
3．函数f(x)＝(x2﹣2)(x2﹣3x＋2)的零点为________．
二、易错点练清
1．给出下列命题：
①函数f(x)＝x2﹣1的零点是(﹣1，0)和(1，0)；
②函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则一定有f(a)·f(b)<0；
③二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2﹣4ac<0时没有零点；
④若函数f(x)在(a，b)上单调且f(a)·f(b)<0，则函数f(x)在[a，b]上有且只有一个零点．
其中正确的是________(填序号)．
2．函数f(x)＝kx＋1在[1，2]上有零点，则k的取值范围是________．
考点一 函数零点所在区间的判断
[典例] 函数f(x)＝x＋ln x﹣3的零点所在的区间为( )
A．(0，1) B．(1，2) C．(2，3) D．(3，4)
[方法技巧]
判断函数零点(方程的根)所在区间的方法
[针对训练]
1．方程(eq \f(1,3))x＝x的解所在的区间是( )
A.(0，eq \f(1,3)) B.(eq \f(1,3)，eq \f(1,2)) C.(eq \f(1,2)，eq \f(2,3)) D．(eq \f(2,3)，1)
2．已知函数f(x)＝ln x＋2x﹣6的零点在(eq \f(1,2)k，eq \f(1,2)k+eq \f(1,2))(k∈Z)内，那么k＝________.
考点二 函数零点个数的判断
[典题例析]
(1)函数f(x)＝2sin x﹣sin 2x在[0，2π]的零点个数为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
(2)函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ln x－x2＋2x，x>0，,2x＋1，x≤0))的零点个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
(3)设函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝ex＋x﹣3，则f(x)的零点个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
[方法技巧] 判断函数零点个数的方法
[针对训练]
1．函数f(x)＝2x|lg0.5x|﹣1的零点个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
2．已知定义在R上的奇函数f(x)满足：当x>0时，f(x)＝2x＋2x﹣4，则f(x)的零点个数是( )
A．2 B．3 C．4 D．5
考点三 函数零点的应用问题
考法(一) 根据函数零点个数求参数
[例1]已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x3，x≥0，,－x，x<0.))若函数g(x)＝f(x)﹣|kx2﹣2x|(k∈R)恰有4个零点，则k的取值范围是( )
A.(﹣∞，﹣eq \f(1,2))∪(2eq \r(2)，＋∞) B.(﹣∞，﹣eq \f(1,2))∪(0，2eq \r(2))
C．(﹣∞，0)∪(0，2eq \r(2)) D．(﹣∞，0)∪(2eq \r(2)，＋∞)
考法(二) 根据函数零点存在情况求参数
[例2] 已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(0，x≤0，,ex，x>0，))则使函数g(x)＝f(x)＋x﹣m有零点的实数m的取值范围是______________．
考法(三) 根据零点的范围求参数
[例3] 若函数f(x)＝(m﹣2)x2＋mx＋(2m＋1)的两个零点分别在区间(﹣1，0)和区间(1，2)内，则m的取值范围是________．
[方法技巧] 由函数零点求参数范围的方法
[针对训练]
1．函数f(x)＝2x﹣eq \f(2,x)﹣a的一个零点在区间(1，2)内，则实数a的取值范围是( )
A．(1，3) B．(1，2) C．(0，3) D．(0，2)
2．(多选)已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－2，x∈－∞，0，,ln x，x∈0，1，,－x2＋4x－3，x∈[1，＋∞，))若函数g(x)＝f(x)﹣m恰有2个零点，则实数m可以是( )
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
3．方程lg (a﹣2x)＝2＋x有解，则a的最小值为________．
创新思维角度——融会贯通学妙法
应用“三招五法”，轻松破解含参零点问题
根据函数的零点情况，讨论参数的范围是高考的重点和难点．对于此类题目，我们常利用零点定理、数形结合、函数单调性与分离参数等思想方法来求解．
[典例] 已知函数f(x)＝ax3﹣3x2＋1，若f(x)存在唯一的零点x0，且x0＞0，则a的取值范围为( )
A．(2，＋∞) B．(﹣∞，﹣2) C．(1，＋∞) D．(﹣∞，﹣1)
[方法演示]
本题的实质是函数f(x)存在唯一的零点x0∈(0，＋∞)，因此可利用其代数特征转化为方程有唯一的正根来构思解析，也可以从零点本身的几何特征入手，将其转化为曲线的交点问题来突破，还可以利用选项的唯一性选取特例求解．
法一 单调性法：利用函数的单调性求解
由已知得，a≠0，f′(x)＝3ax2﹣6x，
令f′(x)＝0，得x＝0或x＝eq \f(2,a).
当a>0时，x∈(﹣∞，0)，f′(x)>0；x∈(0，eq \f(2,a))，f′(x)<0；x∈（eq \f(2,a)，＋∞），f′(x)>0.
所以函数f(x)在(﹣∞，0)和（eq \f(2,a)，＋∞）上单调递增，在（0，eq \f(2,a)）上单调递减，且f(0)＝1>0，
故f(x)有小于零的零点，不符合题意．
当a<0时，x∈（﹣∞，eq \f(2,a)），f′(x)<0；x∈（eq \f(2,a)，0），f′(x)>0；x∈(0，＋∞)，f′(x)<0.
所以函数f(x)在（﹣∞，eq \f(2,a)）和(0，＋∞)上单调递减，在（eq \f(2,a)，0）上单调递增，
所以要使f(x)有唯一的零点x0且x0>0，只需f（eq \f(2,a)）>0，即a2>4，解得a<﹣2.
法二 数形结合法：转化为直线与曲线的位置关系求解
由ax3﹣3x2＋1＝0可知x≠0，可得ax＝3﹣eq \f(1,x2)，作出y＝3﹣eq \f(1,x2)的图象如图所示，转动直线y＝ax，显然a>0时不成立；当a<0，直线y＝ax与左边的曲线相切时，设切点为（t，3﹣eq \f(1,t2)），其中t<0，则切线方程为y﹣（3﹣eq \f(1,t2)）＝eq \f(2,t3)(x﹣t)．
又切线过原点，则有0﹣（3﹣eq \f(1,t2)）＝eq \f(2,t3)(0﹣t)，解得t＝﹣1(t＝1舍去)，此时切线的斜率为﹣2，
由图象可知a<﹣2符合题意．
法三 数形结合法：转化为两曲线的交点问题求解
令f(x)＝0，得ax3＝3x2﹣1.问题转化为g(x)＝ax3的图象与h(x)＝3x2﹣1的图象存在唯一的交点，且交点横坐标大于零．
当a＝0时，函数g(x)的图象与h(x)的图象存在两个交点；
当a>0时，如图(1)所示，不合题意；
当a<0时，由图(2)知，可先求出函数g(x)＝ax3与h(x)＝3x2﹣1的图象有公切线时a的值．由g′(x)＝h′(x)，g(x)＝h(x)，得a＝﹣2.由图形可知当a<﹣2时，满足题意．
法四 分离参数法：参变分离，演绎高效
易知x≠0，令f(x)＝0，则a＝eq \f(3,x)﹣eq \f(1,x3)，记g(x)＝eq \f(3,x)﹣eq \f(1,x3)，g′(x)＝﹣eq \f(3,x2)＋eq \f(3,x4)＝eq \f(－3x2－1,x4)，可知g(x)在(﹣∞，﹣1)和(1，＋∞)上单调递减，在(﹣1，0)和(0，1)上单调递增，且g(﹣1)＝﹣2，画出函数大致图象如图所示，平移直线y＝a，结合图象，可知a<﹣2.
法五 特例法：巧取特例求解
取a＝3，则f(x)＝3x3﹣3x2＋1.由于f(0)＝1，f(﹣1)<0，从而f(x)在(﹣∞，0)上存在零点，排除A、C.
取a＝﹣eq \f(4,3)，则f(x)＝﹣eq \f(4,3)x3﹣3x2＋1.由于f(0)＝1，f(﹣eq \f(3,2))<0，从而f(x)在(﹣∞，0)上存在零点，排除D，故选B.
[答案] B
[名师微点]
函数的含参零点问题是高考热门题型，既能很好地考查函数、导数、方程与不等式等基础知识，又能考查分类讨论、数形结合、转化与化归等思维能力，所以此类题往往能较好地体现试卷的区分度．
由本题的五种方法，可知破解含参零点问题常有“三招”.
eq \a\vs4\al([课时跟踪检测])
一、综合练——练思维敏锐度
1．求下列函数的零点，可以用二分法的是( )
A．f(x)＝x4 B．f(x)＝tan x＋2(eq \f(π,2)C．f(x)＝cs x﹣1 D．f(x)＝|2x﹣3|
2．函数f(x)＝x﹣(eq \f(1,2))x的零点个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
3．设函数y＝lg2x﹣1与y＝22﹣x的图象的交点为(x0，y0)，则x0所在的区间是( )
A．(0，1) B．(1，2) C．(2，3) D．(3，4)
4．已知函数f(x)＝x﹣eq \r(x)(x>0)，g(x)＝x＋ex，h(x)＝x＋ln x的零点分别为x1，x2，x3，则( )
A．x15．(多选)已知f(x)是定义域为R的偶函数，在(﹣∞，0)上单调递减，且f(﹣3)·f(6)<0，那么下列结论中正确的是( )
A．f(x)可能有三个零点 B．f(3)·f(﹣4)≥0 C．f(﹣4)6．(多选)定义域和值域均为[﹣a，a](常数a＞0)的函数y＝f(x)和y＝g(x)的图象如图所示，则下列说法正确的有( )
A．方程f(g(x))＝0有两正数解和一负数解
B．方程g(f(x))＝0最多只有三个解
C．方程f(f(x))＝0可能存在五个解
D．方程g(g(x))＝0有且仅有一个解
7．对于实数a，b定义运算“D○×”：aD○×b＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(b－a，aA．(0，3) B．(﹣1，0) C．(﹣∞，0) D．(﹣3，0)
8．若函数f(x)＝ax＋1﹣2a在区间(﹣1，1)上存在一个零点，则实数a的取值范围是________．
9．若函数f(x)＝x2＋ax＋b的两个零点是﹣2和3，则不等式af(﹣2x)>0的解集是__________．
10．函数f(x)＝(eq \f(1,2))|x﹣1|＋2cs πx(﹣4≤x≤6)的零点个数为________；所有零点之和为________．
11．已知函数f(x)＝﹣x2﹣2x，g(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,4x)，x>0，,x＋1，x≤0.))
(1)求g(f(1))的值；
(2)若方程g(f(x))﹣a＝0有4个不同的实数根，求实数a的取值范围．
12．已知当x∈[0，1]时，函数y＝(mx﹣1)2的图象与y＝eq \r(x)＋m 的图象有且只有一个交点，求正实数m的取值范围．
二、自选练——练高考区分度
1．若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且当x∈[0，1]时，f(x)＝x，则函数y＝f(x)﹣lg3|x|的零点有( )
A．多于4个 B．4个 C．3个 D．2个
2．对于函数f(x)和g(x)，设α∈{x|f(x)＝0}，β∈{x|g(x)＝0}，若存在α，β，使得|α﹣β|≤1，则称f(x)与g(x)互为“零点相邻函数”．若函数f(x)＝ex﹣1＋x﹣2与g(x)＝x2﹣ax﹣a＋3互为“零点相邻函数”，则实数a的取值范围是( )
A．[2，4] B．[2，eq \f(7,3)] C.[eq \f(7,3)，3] D．[2，3]
3．已知f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ax2＋2x＋ax≤0，,ax－3x>0))有且只有1个零点，则实数a的取值范围是________．
4．已知函数f(x)＝(2﹣a)·(x﹣1)﹣2ln x．若函数f(x)在(0，eq \f(1,2))上无零点，求a的最小值．
Δ＝b2﹣4ac
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象
与x轴的交点
(x1，0)，(x2，0)
(x1，0)
无
零点个数
_2_
_1_
_0_
解方程法
当对应方程易解时，可通过解方程确定方程是否有根落在给定区间上
定理法
利用零点存在性定理进行判断
数形结合法
画出相应的函数图象，通过观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断，或者转化为两个函数图象在给定区间上是否有交点来判断
直接法
直接求零点，令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个不同的解就有几个零点
定理法
利用零点存在性定理，不仅要求函数的图象在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点
图象法
利用图象交点的个数，画出函数f(x)的图象，函数f(x)的图象与x轴交点的个数就是函数f(x)的零点个数；或将函数f(x)拆成两个函数h(x)和g(x)的差，根据f(x)＝0⇔h(x)＝g(x)，则函数f(x)的零点个数就是函数y＝h(x)和y＝g(x)的图象的交点个数
性质法
利用函数性质，若能确定函数的单调性，则其零点个数不难得到；若所考查的函数是周期函数，则只需解决在一个周期内的零点的个数
直接法
直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围
分离参数法
先将参数分离，转化成求函数值域的问题再求解即可
数形结合法
先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中作出函数的图象，然后数形结合求解
第一招 带参讨论
当我们无法通过等价转化的思想将原问题转化为相对容易的问题时，我们要根据题设要求直接研究函数的性质．由于函数含有参数，通常需要合理地对参数的取值进行分类，并逐一求解．(如本例法一)
第二招 数形结合
由两个基本初等函数组合而得的超越函数f(x)＝g(x)﹣h(x)的零点个数，等价于方程g(x)﹣h(x)＝0的解的个数，亦即g(x)＝h(x)的解的个数，进而转化为基本初等函数y＝g(x)与y＝h(x)的图象的交点个数．(如本例法二和法三)
第三招 分离参数
通过将原函数中的参数进行分离后变形成g(x)＝l(a)，则原函数的零点问题化归为与x轴平行的直线y＝l(a)和函数g(x)的图象的交点问题．(如本例法四)