(适用辅导班)2023-2024年高二数学寒假讲义+分层练习（基础班）2.1《函数及其表示》 (2份打包，原卷版+教师版)

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核心素养立意下的命题导向
1.以指数函数、对数函数、分式函数及带二次根号的函数为载体，考查函数的定义域，凸显数学运算的核心素养．
2．考查换元法、待定系数法、解方程组法等在求函数解析式中的应用，凸显数学运算的核心素养．
3．与不等式、方程、指数函数、对数函数相结合考查分段函数求值或求参数问题，凸显分类讨论思想的应用及数学运算的核心素养．
[理清主干知识]
1．函数的概念
2．函数的有关概念
(1)函数的定义域、值域：在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．
(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．
(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．
3．函数的表示方法
函数的表示方法有三种，分别为解析法、列表法和图象法．同一个函数可以用不同的方法表示．
4．分段函数
若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．
5．分段函数的相关结论
(1)分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．
(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集．
[澄清盲点误点]
一、关键点练明
1．下列f(x)与g(x)表示同一函数的是( )
A．f(x)＝eq \r(x2－1)与g(x)＝eq \r(x－1)·eq \r(x＋1)
B．f(x)＝x与g(x)＝eq \f(x3＋x,x2＋1)
C．y＝x与y＝(eq \r(x))2
D．f(x)＝eq \r(x2)与g(x)＝eq \r(3,x3)
2．函数f(x)＝eq \r(2x－1)＋eq \f(1,x－2)的定义域为________________．
3．已知函数f(x)＝2x－3，x∈{x∈N|1≤x≤5}，则函数f(x)的值域为____________．
4．已知f(x)是一次函数，满足3f(x＋1)＝6x＋4，则f(x)＝________.
5．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(lg2x，x>0，,3x＋1，x≤0，))则f(f(eq \f(1,4)))的值是________．
二、易错点练清
1．已知集合P＝{x|0≤x≤4}，Q＝{y|0≤y≤2}，下列从P到Q的各对应关系f不是函数的是( )
A．f：x→y＝eq \f(1,2)x B．f：x→y＝eq \f(1,3)x
C．f：x→y＝eq \f(2,3)x D．f：x→y＝eq \r(x)
2．设函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋12，x<1，,4－\r(x－1)，x≥1，))则使得f(x)≥1的自变量x的取值范围为________．
3．已知f(eq \r(x))＝x－1，则f(x)＝________.
考点一 函数的定义域
考法(一) 求函数的定义域
[例1] (1)函数f(x)＝eq \f(lnx＋3,\r(1－2x))的定义域是( )
A．(－3,0) B．(－3,0]
C．(－∞，－3)∪(0，＋∞) D．(－∞，－3)∪(－3,0)
(2)已知函数f(x)的定义域是[0,2]，则函数g(x)＝f(x+eq \f(1,2))＋f(x-eq \f(1,2))的定义域是( )
A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1)) B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，2)) C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(3,2))) D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1，\f(3,2)))
[方法技巧]
1．根据具体的函数解析式求定义域的策略
已知解析式的函数，其定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合，求解时只要根据函数解析式列出自变量满足的不等式(组)，得出不等式(组)的解集即可．
2．求抽象函数的定义域的策略
(1)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出；
(2)若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]上的值域．
3．求函数定义域应注意的问题
(1)不要对解析式进行化简变形，以免定义域发生变化；
(2)定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．
考法(二) 已知函数的定义域求参数
[例2] 若函数f(x)＝eq \r(mx2＋mx＋1)的定义域为一切实数，则实数m的取值范围是( )
A．[0,4) B．(0,4) C．[4，＋∞) D．[0,4]
[方法技巧]
已知函数的定义域求参数问题的解题步骤
(1)调整思维方向，根据已知函数，将给出的定义域问题转化为方程或不等式的解集问题；
(2)根据方程或不等式的解集情况确定参数的取值或范围．
[针对训练]
1．函数y＝eq \f(\r(－x2＋2x＋3),lgx＋1)的定义域为( )
A．(－1,3] B．(－1,0)∪(0,3] C．[－1,3] D．[－1,0)∪(0,3]
2．若函数f(x＋1)的定义域是[－1,1]，则函数f(lgx)的定义域为________．
3．已知函数y＝eq \f(1,kx2＋2kx＋3)的定义域为R，则实数k的取值范围是________．
考点二 求函数解析式
[典题例析]
(1)已知f(eq \f(2,x)＋1)＝lg x，求f(x)的解析式．
(2)已知f(x)是二次函数，且f(0)＝0，f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，求f(x)的解析式．
(3)已知函数f(x)满足f(－x)＋2f(x)＝2x，求f(x)的解析式．
[方法技巧] 求函数解析式的常用方法
[针对训练]
1.已知函数f(x－1)＝eq \f(x,x＋1)，则函数f(x)的解析式为( )
A．f(x)＝eq \f(x＋1,x＋2) B．f(x)＝eq \f(x,x＋1) C．f(x)＝eq \f(x－1,x) D．f(x)＝eq \f(1,x＋2)
2．已知二次函数f(2x＋1)＝4x2－6x＋5，求f(x)的解析式．
3．已知f(x)满足2f(x)＋f(eq \f(1,x))＝3x，求f(x)的解析式．
考点三 分段函数
考法(一) 分段函数求值
[例1] (1)设函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2－2x，x≤0，,fx－3，x>0，))则f(5)的值为( )
A．－7 B．－1 C．0 D.eq \f(1,2)
(2)已知f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(lg3x，x>0，,ax＋b，x≤0))(0A．－2 B．2 C．3 D．－3
[方法技巧]
分段函数求值的解题思路
求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．
考法(二) 分段函数与方程、不等式结合
[例2] (1)已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\r(x＋1)，－1A．2 B．4 C．6 D．8
(2)已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(lg2x，x≥1，,\f(1,1－x)，x<1，))则不等式f(x)≤1的解集为( )
A．(－∞，2] B．(－∞，0]∪(1,2]
C．[0,2] D．(－∞，0]∪[1,2]
[方法技巧]
解分段函数与方程或不等式问题的策略
求解与分段函数有关的方程或不等式问题，主要表现为解方程或不等式．应根据每一段的解析式分别求解．若自变量取值不确定，则要分类讨论求解；若自变量取值确定，则只需依据自变量的情况直接代入相应的解析式求解．解得值(范围)后一定要检验是否符合相应段的自变量的取值范围．
[针对训练]
1．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋1，x≤0，,1－lg2x，x>0，))则f(f(3))＝( )
A.eq \f(4,3) B.eq \f(2,3) C．－eq \f(4,3) D．－3
2．(多选)已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2－1，x≤0，,2x－1，x>0))且f(a)＝1，则实数a的值等于( )
A．1 B.eq \r(2) C．－1 D．－eq \r(2)
3．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋x，x≥0，,－3x，x<0，))若a[f(a)－f(－a)]>0，则实数a的取值范围为( )
A．(1，＋∞) B．(2，＋∞)
C．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
创新考查方式——领悟高考新动向
1．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数．例如：[－2.1]＝－3，[3.1]＝3，已知函数f(x)＝eq \f(2x＋3,2x＋1)，则函数y＝[f(x)]的值域为( )
A．{0,1,2,3} B．{0,1,2} C．{1,2,3} D．{1,2}
2．如下折线图统计了2020年2月27日至2020年3月11日共14天全国(不含湖北)新冠肺炎新增确诊人数和新增疑似人数．
记2020年2月27日至2020年3月11日的日期为t(t∈N*)，t的取值如右表.
新增确诊人数记为f(t)(图中粗线)，新增疑似人数记为g(t)(图中细线)，则下列结论正确的是( )
A．f(t)与g(t)的值域相同 B．f(9)>g(10)
C．∃t0∈N*，使f(t0)＝g(t0) D．∀t∈N*，f(t)3．定义新运算“★”：当m≥n时，m★n＝m；当m4．若函数y＝f(x)的图象上存在不同的两点M，N关于原点对称，则称点对(M，N)是函数y＝f(x)的一对“和谐点对”．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ex，x<0，,x2－4x，x>0，))则此函数的“和谐点对”有________对．
eq \a\vs4\al([课时跟踪检测])
1．(多选)下面各组函数中是同一函数的是( )
A．y＝eq \r(－2x3)与y＝xeq \r(－2x) B．y＝eq \r(x2)与y＝|x|
C．y＝eq \r(x＋1)·eq \r(x－1)与y＝eq \r(x＋1x－1) D．f(x)＝x2－2x－1与g(t)＝t2－2t－1
2．若函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ex－1，x≤1，,5－x2，x>1，))则f(f(2))＝( )
A．1 B．4 C．0 D．5－e2
3．函数y＝eq \f(lg1－x2,2x2－3x－2)的定义域为( )
A．(－∞，1] B．[－1,1]
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，－\f(1,2)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，1)) D.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，－\f(1,2)))∪eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，1))
4．已知函数f(x＋1)的定义域为(－2,0)，则f(2x－1)的定义域为( )
A．(－1,0) B．(－2,0) C．(0,1) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，0))
5．设函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2－1，x≥2，,lg2x，0A．－2 B．8 C．1 D．2
6．若函数f(x)满足f(3x＋2)＝9x＋8，则f(x)的解析式是( )
A．f(x)＝9x＋8 B．f(x)＝3x＋2
C．f(x)＝－3x－4 D．f(x)＝3x＋2或f(x)＝－3x－4
7．(多选)具有性质：f(eq \f(1,x))＝－f(x)的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数．给出下列函数，其中满足“倒负”变换的函数是( )
A．y＝ln eq \f(1－x,1＋x) B．y＝eq \f(1－x2,1＋x2) C．y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x，01)) D．y＝sin eq \f(1－x2,1＋x2)
8．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(lg2x＋1，x≥1，,1，x<1，))则满足f(2x＋1)A．(－∞，0] B．(3，＋∞) C．[1,3) D．(0,1)
9．已知函数f(2x)＝lg2x＋x，则f(4)＝________.
10.若函数f(x)在闭区间[－1,2]上的图象如图所示，则此函数的解析式为_____________．
11．设函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ax＋b，x<0，,2x，x≥0，))且f(－2)＝3，f(－1)＝f(1)．
(1)求f(x)的解析式；
(2)画出f(x)的图象．
12．设函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋12，x≤－1，,2x＋2，－11，求a的取值范围．
13.行驶中的汽车在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离．在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离y(米)与汽车的车速x(千米/时)满足下列关系：y＝eq \f(x2,200)＋mx＋n(m，n是常数)．如图是根据多次实验数据绘制的刹车距离y(米)与汽车的车速x(千米/时)的关系图．
(1)求出y关于x的函数表达式；
(2)如果要求刹车距离不超过25.2米，求行驶的最大速度．
函数
两集合A，B
设A，B是两个非空的数集
对应关系
f：A→B
如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应
名称
称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数
记法
y＝f(x)，x∈A
待定
系数法
当函数的特征已经确定时，一般用待定系数法来确定函数解析式
换元法
如果给定复合函数的解析式，求外函数的解析式，通常用换元法将内函数先换元，然后求出外函数的解析式
配凑法
将f(g(x))右端的代数式配凑成关于g(x)的形式，进而求出f(x)的解析式
解方程
组法
如果给定两个函数的关系式，可以通过变量代换建立方程组，再通过方程组求出函数解析式
日期
2.27
2.28
2.29
3.01
3.02
3.03
3.04
t
1
2
3
4
5
6
7
日期
3.05
3.06
3.07
3.08
3.09
3.10
3.11
t
8
9
10
11
12
13
14