(适用辅导班)2023-2024年高二数学寒假讲义+分层练习（基础班）1.1《集合》 (2份打包，原卷版+教师版)

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核心素养立意下的命题导向
1.与方程、函数、不等式等相结合考查集合元素的性质，凸显数学抽象的核心素养.
2.与不等式相结合考查集合的基本关系，凸显数学运算、逻辑推理的核心素养.
3.与不等式、数轴、Venn图等相结合考查集合的运算，凸显数学运算、直观想象的核心素养.
[理清主干知识]
1．集合的有关概念
(1)集合元素的特性：确定性、互异性、无序性．
(2)集合与元素的关系：若a属于集合A，记作a∈A；若b不属于集合A，记作b∉A.
(3)集合的表示方法：列举法、描述法、图示法．
(4)五个特定的集合：
2．集合间的基本关系
3．有限集的子集个数
设集合A是有n(n∈N*)个元素的有限集，即card(A)＝n.
(1)A的子集个数是2n；
(2)A的真子集个数是 2n﹣1；
(3)A的非空子集个数是2n﹣1；
(4)A的非空真子集个数是2n﹣2.
4．集合的三种基本运算
5.集合基本运算的性质
(1)A∩A＝A，A∩∅＝∅.
(2)A∪A＝A，A∪∅＝A.
(3)A∩∁UA＝∅，A∪∁UA＝U，∁U(∁UA)＝A.
(4)A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔∁UA⊇∁UB⇔A∩(∁UB)＝∅.
[澄清盲点误点]
一、关键点练明
1．已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为( )
A．9 B．8 C．5 D．4
2．(并集与交集的运算)设集合A＝{﹣1,1,2,3,5}，B＝{2,3,4}，C＝{x∈R|1≤x<3}，则(A∩C)∪B＝( )
A．{2} B．{2,3} C．{﹣1,2,3} D．{1,2,3,4}
3．设全集为R，集合A＝{x|0A．{x|04．设集合M＝{1，x，y}，N＝{x，x2，xy}，且M＝N，则x2 023＋y2 022＝________.
二、易错点练清
1．已知集合A＝{1,3，eq \r(m)}，B＝{1，m}，若B⊆A，则m＝( )
A．1 B．0或1或3 C．0或3 D．1或3
2．已知集合M＝{x|x﹣a＝0}，N＝{x|ax﹣1＝0}，若M∩N＝N，则实数a的值是( )
A．﹣1 B．1 C．﹣1或1 D．0或1或﹣1
3．已知集合A＝{x|x≥3}，B＝{x|x≥m}，且A∪B＝A，则实数m的取值范围是________．
考点一 集合的基本概念
[典例] (1)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为( )
A．9 B．8 C．5 D．4
(2)设A＝{2，3，a2﹣3a，a＋eq \f(2,a)＋7}，B＝{|a﹣2|,3}，已知4∈A且4∉B，则a的取值集合为________．
[方法技巧]
与集合元素有关问题的解题策略
(1)研究集合问题时，首先要明确构成集合的元素是什么，即弄清该集合是数集、点集，还是其他集合；然后再看集合的构成元素满足的限制条件是什么，从而准确把握集合的含义．
(2)利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时，要注意检验集合是否满足元素的互异性．
[针对训练]
1．(多选)实数1是下面哪个集合中的元素( )
A．整数集Z B.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x|x＝|x|)) C.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x∈N|－12．已知集合A＝{1，x2}．若x2∈{1,3,9，x}，则x＝________.
3．设集合A＝{﹣4,2a﹣1，a2}，B＝{9，a﹣5,1﹣a}，且A，B中有唯一的公共元素9，则实数a的值为________．
考点二 集合间的基本关系
[典例] (1)已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣3≤0，x∈N*}，则集合A的真子集的个数为( )
A．7 B．8 C．15 D．16
(2)已知集合A＝{x|﹣2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m﹣1}，若B⊆A，则实数m的取值范围为________．
[方法技巧] 解决有关集合间的基本关系问题的策略
(1)一般利用数轴法、Venn图法以及结构法判断两集合间的关系，如果集合中含有参数，需要对式子进行变形，有时需要进一步对参数分类讨论．
(2)确定非空集合A的子集的个数，需先确定集合A中的元素的个数．
[提醒] 不能忽略任何非空集合是它自身的子集．
(3)根据集合间的关系求参数值(或取值范围)的关键是将条件转化为元素满足的式子或区间端点间的关系，常用数轴法、Venn图法．
[针对训练]
1．已知集合M＝{x|y＝eq \r(1－x2)，x∈R}，N＝{x|x＝m2，m∈M}，则集合M，N的关系是( )
A．M⫋N B．N⫋M C．M⊆∁RN D．N⊆∁RM
2．已知集合A＝{x|x2﹣3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0A．1 B．2 C．3 D．4
考点三 集合的基本运算
考法(一) 集合间的交、并、补运算
[例1] (1)(多选)设全集U＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(0，1，2，3，4))，集合A＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(0，1，4))，B＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(0，1，3))，则( )
A．A∩B＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(0，1)) B．∁UB＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(4))
C．A∪B＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(0，1，3，4)) D．集合A的真子集个数为8
(2)已知M，N均为R的子集，且∁RM⊆N，则M∪(∁RN)＝( )
A．∅ B．M C．N D．R
[方法技巧] 解决集合运算问题3个技巧
考法(二) 利用集合的运算求参数
[例2] (1)设集合A＝{x|x2﹣4≤0}，B＝{x|2x＋a≤0}，且A∩B＝{x|﹣2≤x≤1}，则a＝( )
A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．4
(2)集合A＝{0,2，a}，B＝{1，a2}，若A∪B＝{0,1,2,4,16}，则a的值为________．
[方法技巧]
利用集合的运算求参数的值或取值范围的方法
(1)与不等式有关的集合，一般利用数轴解决，要注意端点值能否取到．
(2)若集合能一一列举，则一般先用观察法得到不同集合中元素之间的关系，再列方程(组)求解．
[提醒] 在求出参数后，注意结果的验证(满足互异性)．
[针对训练]
1．设集合A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|2A．{x|22．已知集合A＝{x|﹣1A．(﹣1,0] B．[﹣1,2) C．[1,2) D．(1,2]
3．已知集合A＝{x|x<3}，B＝{x|x>a}，若A∩B≠∅，则实数a的取值范围为( )
A．[3，＋∞) B．(3，＋∞) C．(﹣∞，3) D．(﹣∞，3]
一、创新命题视角——学通学活巧迁移
集合中的新定义问题
类型(一) 定义新运算
[例1] 定义集合A与B的运算“*”为：A*B＝{x|x∈A或x∈B，但x∉(A∩B)}．设X是非负偶数集，Y＝{1,2,3,4,5}，则(X*Y)*Y＝( )
A．X B．Y C．X∩Y D．X∪Y
[名师微点]
正确分析新运算法则，把新运算法则所表达的数学本质弄清楚，进而转化成熟悉的数学情境．注意结合集合的基础知识解答．
类型(二) 定义新概念
[例2] 已知集合A0＝{x|0(1)具有性质“∅”的一个一次函数的解析式可以是________．
(2)给出下列函数：①y＝eq \f(1,x)；②y＝x2＋1；③y＝cseq \f(π,2)x＋2.其中具有性质“∅”的函数的序号是________．
[名师微点] 解决集合创新型问题的方法
二、创新考查方式——领悟高考新动向
1．现有100名携带药品出国的旅游者，其中75人带有感冒药，80人带有胃药，那么对既带感冒药又带胃药的人数统计中，下列说法正确的是( )
A．最多人数是55 B．最少人数是55
C．最少人数是75 D．最多人数是80
2．中国古代重要的数学著作《孙子算经》下卷有题：今有物，不知其数．三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩二．问：物几何？现有如下表示：已知A＝{x|x＝3n＋2，n∈N*}，B＝{x|x＝5n＋3，n∈N*}，C＝{x|x＝7n＋2，n∈N*}，若x∈(A∩B∩C)，则整数x的最小值为( )
A．128 B．127 C．37 D．23
3．若集合{a，b，c，d}＝{1,2,3,4}，且下列四个关系：①a＝1；②b≠1；③c＝2；④d≠4有且只有一个是正确的．请写出满足上述条件的一个有序数组(a，b，c，d)＝________，符合条件的全部有序数组(a，b，c，d)的个数是________．
4．已知U＝{a1，a2，a3，a4}，集合A是集合U中的两个元素所组成的集合，且同时满足下列三个条件：①若a1∈A，则a2∈A；②若a3∉A，则a2∉A；③若a3∈A，则a4∉A.求集合A.
eq \a\vs4\al([课时跟踪检测])
1．(多选)若集合M⊆N，则下列结论正确的是( )
A．M∩N＝M B．M∪N＝N C．M⊆(M∩N) D．(M∪N)⊆N
2．设全集U＝{﹣3，﹣2，﹣1,0,1,2,3}，集合A＝{﹣1,0,1,2}，B＝{﹣3,0,2,3}，则A∩(∁UB)＝( )
A．{﹣3,3} B．{0,2} C．{﹣1,1} D．{﹣3，﹣2，﹣1,1,3}
3．已知集合A＝{x|﹣11}，则A∪B＝( )
A．(﹣1,1) B．(1,2) C．(﹣1，＋∞) D．(1，＋∞)
4．已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|y＝x}，则A∩B中元素的个数为( )
A．3 B．2 C．1 D．0
5．设集合A＝{1,2,4}，B＝{x|x2﹣4x＋m＝0}．若A∩B＝{1}，则B＝( )
A．{1，﹣3} B．{1,0} C．{1,3} D．{1,5}
6．集合A＝{3,2a}，B＝{a，b}．若A∩B＝{4}，则A∪B＝( )
A．{2,3,4} B．{1,3,4} C．{0,1,2,3} D．{1,2,3,4}
7．已知全集U＝{x|﹣1A．{a|a<9} B．{a|a≤9} C．{a|a≥9} D．{a|18．已知集合A＝{﹣1,0,1}，B＝{x|x2﹣3x＋m＝0}，若A∩B＝{0}，则B的子集有( )
A．2个 B．4个 C．8个 D．16个
9．(多选)已知全集U＝R，函数y＝ln(x﹣2)的定义域为M，集合N＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x|x2－2x>0))，则下列结论正确的是( )
A．M∩N＝M B．M∩(∁UN)＝∅ C．M∪N＝U D．M＝∁UN
10．设集合A＝{x|y＝lg(﹣x2＋x＋2)}，B＝{x|x﹣a>0}，若A⊆B，则实数a的取值范围是( )
A．(﹣∞，﹣1) B．(﹣∞，﹣1]
C．(﹣∞，﹣2) D．(﹣∞，﹣2]
11.如图，已知I是全集，A，B，C是它的子集，则阴影部分所表示的集合是( )
A．[(∁IA)∩B]∩C B．[(∁IB)∪A]∩C
C．(A∩B)∩(∁IC) D．[A∩(∁IB)]∩C
12．已知集合A＝{x|x＝k＋eq \f(1,6)，k∈N}，B＝{x|x＝eq \f(1,2)m﹣eq \f(1,3)，m∈N}，C＝{x|x＝eq \f(1,2)n＋eq \f(1,6)，n∈N}，则集合A，B，C的关系是( )
A．A⫋C⫋B B．C⫋A⫋B C．A⫋B＝C D．A⫋B⫋C
13．已知集合P＝{y|y2﹣y﹣2>0}，Q＝{x|x2＋ax＋b≤0}，若P∪Q＝R，P∩Q＝(2,3]，则a＋b＝________.
14．若集合{x|x2＋2kx＋1＝0}中有且仅有一个元素，则满足条件的实数k的取值集合是________．
15．对于任意两集合A，B，定义A﹣B＝{x|x∈A且x∉B}，A*B＝(A﹣B)∪(B﹣A)，记A＝{y|y≥0}，B＝{x|﹣3≤x≤3}，则A*B＝________________.
16．设集合A＝{x|x＋m≥0}，B＝{x|﹣2集合
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号
N
N*或N＋
Z
Q
R
表示
关系
文字语言
记法
集合间的基本关系
子集
集合A中任意一个元素都是集合B中的元素
A⊆B或B⊇A
真子集
集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A
AB或BA
相等
集合A中的每一个元素都是集合B中的元素，集合B中的每一个元素也都是集合A中的元素
A⊆B且B⊆A⇔A＝B
空集
空集是任何集合的子集
∅⊆A
空集是任何非空集合的真子集
∅B且B≠∅
符号表示
图形表示
符号语言
集合的
并集
A∪B
A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}
集合的
交集
A∩B
A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}
集合的
补集
若全集为U，则集合A的补集为∁UA
∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}
看元素
构成
集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的关键
对集合
化简
有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了、易于解决
应用数形
常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn图
紧扣
新定义
首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是解决新定义型问题的关键所在
用好集合
的性质
集合的性质(概念、元素的性质、运算性质等)是解决新定义集合问题的基础，也是突破口，在解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些信息，在关键之处用好集合的性质