天津市2023届高三二模数学试题(含答案)

这是一份天津市2023届高三二模数学试题(含答案)，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1、集合，，，则( )
A.B.C.D.
2、已知，，如果p是q的充分不必要条件，则实数k的取值范围是( )
A.B.C.D.
3、已知一组样本数据，现有一组新的数据，，则与原样本数据相比，下列新的样本数据中不变的是( )
A.平均数B.中位数C.极差D.方差
4、函数的图像大致为( )
A.B.
C.D.
5、设正实数a，b，c分别满足，，，则a，b，c的大小关系为( )
A.B.C.D.
6、已知双曲线的右焦点为F，虚轴的上端点为B，P为左支上的一个动点，若周长的最小值等于实轴长的3倍，则该双曲线的离心率为( )
A.B.C.D.
7、已知直线与圆相交于A，C两点，点B，D分别在圆上运动，且位于直线两侧，则四边形面积的最大值为( )
A.B.C.D.
8、如图所示，有一个棱长为4的正四面体容器，D是PB的中点，E是CD上的动点，则下列说法正确的是( )
①若E是的中点，则直线与所成角为
②的周长最小值为
③如果在这个容器中放入1个小球（全部进入），则小球半径的最大值为
④如果在这个容器中放入10个完全相同的小球（全部进入），则小球半径的最大值为
A.①②B.①③C.②④D.①③④
9、已知函数，若有两个零点，，则的取值范围是( )
A.B.C.D.
二、填空题
10、若复数，，其中i是虚数单位，则_______.
11、若的展开式中所有项系数的绝对值之和为1024，则该展开式中的常数项是_______.
12、已知正数x，y满足，则当_____时，的最大值为_______.
13、已知函数图象上相邻的两个最高点为P，R，点Q为P，R之间的最低点，且，若在和上单调递增，在上单调递减，且，则的值为_______.
三、双空题
14、已知一个袋子中装有4个红球和2个白球，假设每一个球被摸到的可能性是相等的，若从袋子中摸出3个球，记摸到的白球的个数为，则的概率是__________；随机变量期望是_________.
15、如图，在中，D是BC上的一点，满足.M在AD上且，延长BM交AC于点H，，，则__________，___________.
四、解答题
16、在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
（1）求的值；
（2）若，求的取值范围.
17、如图甲所示的平面五边形中，，，，，，现将图甲所示中的沿边折起，使平面平面得如图乙所示的四棱锥.在如图乙所示中，
（1）求证：平面；
（2）求二面角的大小；
（3）在棱上是否存在点M使得与平面所成的角的正弦值为?
并说明理由.
18、已知椭圆的离心率，椭圆上的点到左焦点的距离的最大值为.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）已知直线与椭圆C交于M、N两点.在y轴上是否存在点，使得且，若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，说明理由.
19、已知等差数列的前n项和为，并且，，数列满足：，，记数列的前n项和为.
（1）求数列的通项公式及前n项和公式；
（2）求数列的通项公式及前n项和公式；
（3）记集合，，若M的子集个数为16，求实数的取值范围.
20、已知函数，.
（1）若直线与函数的图象相切，求实数a的值；
（2）若存在，，使，且，求实数a的取值范围；
（3）当时，求证：.
参考答案
1、答案：D
解析：由题意得，所以，
所以，
故选：D.
2、答案：B
解析：由题意可得或，由p是q的充分不必要条件，得，选B.
3、答案：A
解析：对于A项，新数据的总数为，
与原数据总数一样，且数据数量不变都是n，故平均数不变，故A正确；
对于B项，不妨设原数据为：1，2.5，3，中位数为2.5，
则新数据为，，2，中位数为2，显然中位数变了，故B错误；
对于C项，原数据极差为：，新数据极差为：，
因为，极差变小了，故C错误；
对于D项，由于两组数据的平均数不变，而极差变小，说明新数据相对原数据更集中于平均数，故方差变小，即D错误.
故选：A.
4、答案：C
解析：
结合图象可排除A，B，D，
故选：C.
5、答案：C
解析：在同一坐标系中，作出，，，的图象，
由图象得，.
故选：C.

6、答案：A
解析：由题意可得，
设，由双曲线的定义可得，，
，则的周长为，当且仅当B，P，共线，
取得最小值，且为，
由题意可得，即，即，
则，
故选A.
7、答案：A
解析：把圆化为标准方程，
圆心，半径，
直线与圆相交，由点到直线的距离公式的弦心距，
由勾股定理的半弦长为，弦长为，
又B，D两点在圆上，并且位于直线l的两侧，四边形的面积可以看出是两个三角形和的面积之和，
如图所示，当B，D为如图所示的位置，即为弦的垂直平分线时（即为直径时），两三角形的面积之和最大，即四边形的面积最大，
最大面积为，
故选：A.
8、答案：D
解析：对于①：连接，
在正四面体中，D是PB的中点，所以，.
因为平面，平面，，
所以直线平面，
因为平面，
所以，所以直线与所成角为，故①正确；
对于②，如图，把沿着CD展开与面同一个平面内，
则周长最小值为，
由，，，
所以
所以，所以，所以的周长最小值为不正确，故②错误；
对于③，要使小球半径最大，则小球与四个面相切，是正四面体的内切球，
设半径为R.
由等体积法可得，所以半径.
故③正确；
对于④，10个小球分三层（1个，3个，6个）放进去，要使小球半径要最大，则外层小球与四个面相切，设小球半径为r，四个角小球球心连线是棱长为的正四面体，其高为，由正四面体内切球的半径是高的得，
如图正四面体，
则，正四面体高为，得.故④正确.
故选：D.
9、答案：A
解析：当时，，；
当时，，，
综上，对，，.
有两个零点，，
即方程有两个根，，
即方程有两个根，，不妨设.
易知函数在上单调递减，在上单调递增，
当时，；当时，.
令，，.
，，，，
令，，
，令，.
时，；时，，
函数在上单调递减，在上单调递增，
当时，.
函数的值域为，即的取值范围是.
故选：A.
10、答案：
解析：
11、答案：-90
解析：二项式展开式的通项公式为
，
由于“的展开式中所有项系数的绝对值之和”等于“的展开式中所有项系数和”.
由，令，可得，解得.
所以二项式展开式的通项公式为，
令，解得.所以二项式展开式的常数项为.
故答案为：-90
12、答案：4；
解析：由得，
令，则，且，
又，当且仅当即时等号成立，
，即，化简得，
，或（舍去），
，
故答案为：4；.
13、答案：/
解析：令，解得：，
即最高点为，
不妨令P，R对应的k分别为0和1，即，；
为P，R之间的最低点，，，，
，又，，，
则最小正周期；
在和上单调递增，在上单调递减，
与分别为的相邻的最高点和最低点，，
，，
，
又，.
故答案为：.
14、答案：；1
解析：根据题意知0，1，2，
；
；
；
所以.
故答案为；1.
15、答案：/；
解析：，
由角平分线的性质定理知是的角平分线，.
，.
∵，可得，，
.
中，由余弦定理得：，
即，
.
在中，，.
是的角平分线，
＝，
，
.
由正弦定理得：，
，而，
.
取，为基底，则由H，M，B三点共线可得：①，
由C，D，B三点共线可得：；
即，，.
即②.
，，
①式可化为：，即③﹒
设，则，代入③：④.
②④对照得：，解得，即.
故答案为：；.
16、答案：（1）
（2）
解析：（1）因为，整理可得，，
由余弦定理可得，故，，所以；
（2）由正弦定理可得，，所以，，所以
，
因为，所以，所以，
故.
所以取值范围为.
17、答案：（1）证明见解析
（2）
（3）存在，理由见解析
解析：（1），，，
，
，
平面平面，平面平面，
∴平面，
又平面，
，
又，，
平面.
（2）取的中点O，连结，，
由平面平面知平面，
由知，
以O为坐标原点，所在的直线为x轴，所在的直线为y轴建立空间直角坐标系
如图所示，
则易得，，，，，
，，，
设平面的法向量为，
由，得，
令得，，
，
设二面角大小为，
则，
，
二面角的大小.
（3）假设点M存在，其坐标为，与平面所成的角为，
则存在，有，
即，，
则，
因为，
化简得，
解得
，
在棱上满足题意的点M存在.
18、答案：（1）
（2）
解析：（1）由题设条件可得，，
解得，，所以，，
椭圆的标准方程为：.
（2）设，，
则整理得：，
则，
则，，
假设存在点满足题意，，
则，
化简整理得，
此时判别式恒成立，
所以且，
设中点，则，，
由，则p在线段的中垂线上.
因为，直线的方程为：，
令，则
，，
.
或.
即：.
19、答案：（1）
（2）
（3）
解析：（1）设数列的公差为d，由题意得
，
（2）由题意得，
叠乘得
由题意得①
②
②-①得：
（3）由上面可得令
则，，，，，
下面研究数列的单调性，
时，即单调递减.
所以不等式，解的个数为4，.
20、答案：（1）
（2）
（3）详见解析
解析：（1）设切点坐标为，
由，得，
所以切线方程为：，
即.
因为直线与函数的图象相切，
所以，解得.
（2）设，则，令，得，
且当时，：当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以在时取得极小值为0，即.
由，可得，
所以即为，
由题意可得：函数在上有零点.
因为，
当时，，函数在上单调递增，
所以，函数在上无零点：
当时，令，得.
①若，即时，在上恒成立，
所以函数在上单调递减，
所以，函数在上无零点；
②若，即时，
当时，：当时，.
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以，
因为，所以函数在上无零点；
又，
令，
则在上恒成立，
所以在上单调递增，
所以，即，
所以，且在的图象连续不断，
所以函数在上有且只有一个零点，
即函数在上有零点.
综上所述，.
（3）当时，，
令，
则，
令，则当时，，
所以函数在区间上是增函数，
又，，
所以函数存在唯一的零点，
且当时，；当时，.
所以当时，；当时，.
所以函数在上递减，在上递增，
故，
由得：，
两边取对数得：，故，
所以，即.