天津市河西区2023届高三二模数学试题

天津市河西区2023届高三二模数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．设集合S={x|x＞﹣2}，T={x|x2+3x﹣4≤0}，则（∁RS）∪T=（　　）

A．（﹣2，1] B．（﹣∞，﹣4] C．（﹣∞，1] D．[1，+∞）

2．设命题：，，则为（    ）

A．， B．，

C．， D．，

3．函数在的图像大致为

A． B． C． D．

4．为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa）的分组区间为[12,13),[13,14),[14,15),[15,16),[16,17],将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，，第五组，如图是根据试验数据制成的频率分布直方图，已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为

A．6 B．8 C．12 D．18

5．已知，，，则（    ）

A． B． C． D．

6．已知双曲线的一条渐近线方程是y=,它的一个焦点在抛物线的准线上，则双曲线的方程为

A． B．

C． D．

7．在三棱锥中，平面，，，，则三棱锥外接球的表面积为（    ）

A． B． C． D．

8．已知函数，则下列结论中正确个数为（    ）

①函数为偶函数

②函数的最小正周期为

③函数在区间上的最大值为1

④函数的单调递增区间为

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

9．，若有且只有两个零点，则实数m的取值范围是（    ）

A．或 B．或

C．或 D．或

二、填空题

10．若复数满足，则的虚部为______.

11．若的展开式中的系数为7，则实数______.

12．写出过点且被圆截得的弦长为的一条直线的方程___________.

13．已知，，，则的最小值为_____．

三、双空题

14．设甲､乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为.假定甲､乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立.用表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，则随机变量的数学期望为___________；设为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2”，则事件发生的概率为___________.

15．窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图l是一个正八边形窗花隔断，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．如图2，正八边形ABCDEFGH中，若，则的值为______；若正八边形ABCDEFGH的边长为2，P是正八边形ABCDEFGH八条边上的动点，则的取值范围是______．

四、解答题

16．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足．

(1)求角A的值；

(2)若，，

（ⅰ）求的值；

（ⅱ）求的值．

17．如图，在直三棱柱中，M为棱的中点，，．

(1)求证：平面AMC；

(2)求异面直线AM与所成角的余弦值；

(3)求平面AMC与平面的夹角的余弦值．

18．已知椭圆过点，且离心率为

(1)求椭圆E的标准方程；

(2)若直线l与椭圆E相切，过点作直线l的垂线，垂足为N，O为坐标原点，证明：为定值.

19．已知数列是等差数列，数列是等比数列，且满足，，．

(1)求数列和的通项公式；

(2)记为的前n项和，求证：；

(3)记，数列的前项和为，求证：．

20．已知函数，．

(1)若，求函数的最小值及取得最小值时的值；

(2)求证：；

(3)若函数对恒成立，求实数a的取值范围．

参考答案：

1．C

【详解】∵集合S={x|x＞﹣2}，

∴∁RS={x|x≤﹣2}

由x2+3x﹣4≤0得：T={x|﹣4≤x≤1}，

故（∁RS）∪T={x|x≤1}

故选C．

2．B

【分析】根据全称命题的否定为特称命题可得结论.

【详解】因为命题为，，

所以命题为，.

故选：B.

3．B

【分析】由分子、分母的奇偶性，易于确定函数为奇函数，由的近似值即可得出结果．

【详解】设，则，所以是奇函数，图象关于原点成中心对称，排除选项C．又排除选项D；，排除选项A，故选B．

【点睛】本题通过判断函数的奇偶性，缩小考察范围，通过计算特殊函数值，最后做出选择．本题较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查．

4．C

【详解】试题分析：由直方图可得分布在区间第一组与第二组共有20人，分布在区间第一组与第二组的频率分别为0．24，0．16，所以第一组有12人，第二组8人，第三组的频率为0．36，所以第三组的人数：18人，第三组中没有疗效的有6人，第三组中有疗效的有12人．

考点：频率分布直方图

5．D

【分析】利用对数换底公式及对数运算性质变形，再利用对数函数和指数函数单调性即可作答.

【详解】依题意，，，

显然函数在上单调递增，而，即，

又在R上单调递增，于是得，即，

所以有.

故选：D

6．B

【详解】试题分析：由渐近线是y=x得，抛物线y2=24x的准线为，

，方程为

考点：双曲线标准方程及性质

点评：双曲线抛物线几何性质的综合考查

7．C

【分析】三棱锥补成长方体，计算出长方体的体对角线长，即为三棱锥的外接球直径长，再利用球体表面积公式可求得结果.

【详解】在三棱锥中，平面，，，，

将三棱锥补成长方体，如下图所示，

所以，三棱锥的外接球直径即为长方体的体对角线长，

设三棱锥的外接球直径为，则，则，

因此，三棱锥外接球的表面积为.

故选：C.

8．C

【分析】化简得到，根据三角函数的奇偶性，单调性和值域得到①③④正确，确定得到②错误，得到答案.

【详解】，

对①：，为偶函数，正确；

对②：，

故是的周期，错误；

对③：，则，函数的最大值为，正确；

对④：取，解得，

故函数的单调递增区间为，正确.

故选：C

9．D

【分析】当时，求导得到单调区间，根据平移和翻折得到函数图像，变换得到，根据函数图像得到或，解得答案.

【详解】当时，，，

当时，，函数单调递增；

当，，函数单调递减，，

当时， ，其图像可以由向左平移一个单位，

再向下平移个单位，再把轴上方的图像翻折到下方得到，

画出函数图像，如图所示：

，当时，，无零点；

当时，，即，

函数有两个零点，即函数图像有两个交点，

根据图像知：或，解得或.

故选：D.

【点睛】关键点睛：本题考查了利用导数解决函数的零点问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中画出函数图像，将零点问题转化为函数图像的交点问题是解题的关键，数形结合的思想需要熟练掌握.

10．.

【解析】根据复数的除法与模长公式求解再得出虚部即可.

【详解】由题.故虚部为.

故答案为：

【点睛】本题主要考查了复数的除法与模长的计算和虚部的概念等.属于基础题型.

11．

【分析】利用二项式展开式的通项公式，根据系数，即可求得参数值.

【详解】的通项公式，

令，解得.

故可得，解得.

故答案为：.

【点睛】本题考查利用二项式展开式的通项公式由项的系数求参数值，属简单题.

12．（只需填其中的一个即可）

【分析】将圆的方程化为标准方程，求出圆心、半径.根据弦长，得出圆心到直线的距离.先判断斜率不存在时是否满足，然后设出斜率，得出直线方程，表示出圆心到直线的距离，得出方程，即可解出的值.

【详解】圆的方程可化为，圆心为，半径，

由弦长为可得，圆心到直线的距离.

当直线斜率不存在时，直线方程为，此时圆心在直线上，弦长为，不满足题意，所以直线的斜率存在.

设直线的斜率为，则直线的方程为，即，

此时圆心到直线的距离，解得.

所以，直线的方程为或.

故答案为：.

13．4

【分析】首先分析题目由已知x＞0，y＞0，x+2y+2xy=8，求x+2y的最小值，猜想到基本不等式的用法，利用a+b≥2 代入已知条件，转化为解不等式求最值．

【详解】∵2xy＝x·(2y)≤2，

∴8＝x＋2y＋2xy≤x＋2y＋2，

即(x＋2y)2＋4(x＋2y)－32≥0.

∵x＞0，y＞0，∴x＋2y≥4，当且仅当x＝2，y＝1时取等号，即x＋2y的最小值是4.

【点睛】此题主要考查基本不等式的用法，对于不等式a+b≥2在求最大值、最小值的问题中应用非常广泛，需要同学们多加注意．

14．     2    

【分析】由题设知，根据二项分布的期望公式求期望，应用独立事件乘法公式及互斥事件的加法公式求为事件的概率.

【详解】由题意知：，且服从，

∴.

甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2的基本事件有{甲3天乙1天，甲2天乙0天}，又，，，，

∴.

故答案为：2，.

【点睛】关键点点睛：由题设确定服从的二项分布，进而求期望，求各可能值的概率，结合独立事件乘法公式及互斥事件的加法公式求概率.

15．         

【分析】以点为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立平面直角坐标系，由，列出方程组，求得，从而得到；设，则，由线性规划可求得的取值范围.

【详解】

，以点为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立平面直角坐标系，

正八边形内角和为，则，

所以，,

,

因为，则，

所以，解得，

所以；

设，则，则，

令，即，由线性规划知平行移动直线，当此直线经过时有最小值, 当此直线经过时有最大值,

所以， 取值范围 .

故答案为：，.

【点睛】方法点睛：在解决向量数量积、向量的模、向量的夹角等有关问题，以及在求有关最大、最小值问题时，常常会碰到某些难以突破的几何关系.在题目所给出的几何条件、几何关系或所隐藏的几何关系相对较难寻找的情况下，运用数量积的定义、向量的几何意义难以完成解题思路时，可建立直角坐标系、运用坐标法解决问题的意识、运用向量的坐标运算、寻找出变量与变量之间的关系、运用函数与方程求最值的方法、基本不等式等解决问题的方法是一种非常好的思想方法.

16．(1)

(2)；

【分析】（1）由正弦定理化简已知式可得，由余弦定理即可求出；

（2）（ⅰ）由正弦定理可求出的值；（ⅱ）由同角三角函数的基本关系可求出，再由二倍角的正弦和余弦公式求出，最后由两角差的余弦公式求出的值．

【详解】（1）由正弦定理得：，化简得：，

由余弦定理得：，又，所以.

（2）（ⅰ）由（1）知，，又，，

由正弦定理可得：；

（ⅱ）因为，所以，

所以，，

所以

.

17．(1)证明见解析

(2)

(3)

【分析】（1）建立空间直角坐标系，得到各点坐标，确定，，得到证明.

（2）确定，，根据向量的夹角公式计算得到答案.

（3）确定平面的法向量和平面的法向量，根据向量的夹角公式计算得到答案.

【详解】（1）如图所示：以为轴建立空间直角坐标系，

则，，，，，，

则，，，

则，；

，.

，平面，故平面.

（2），，则.

故异面直线AM与所成角的余弦值为.

（3）设平面的法向量为，则，

取得到；

设平面的法向量为，则，

取得到；

平面AMC与平面的夹角的余弦值为.

18．(1)

(2)

【分析】（1）利用椭圆过点，得到，再由椭圆的离心率为，求出的值，从而求到椭圆的标准方程；

（2）对直线的斜率为0、斜率不存在及斜率存在且不为0三种情况讨论，从而求出，得到结论.

【详解】（1）因为椭圆过点，所以，

又，，所以，得到，

所以椭圆的标准方程为.

（2）当直线斜率存在且不为0时，设直线的方程为，

联立直线和椭圆的方程得，消去并整理，得，

因为直线与椭圆有且只有一个公共点，所以方程有两个相等的根，

，

化简整理得

因为直线与垂直，所以直线的方程为，

联立得，解得， ，

所以

把代入上式得，，所以，为定值；

当直线斜率为0时，直线，过点作直线的垂线，则垂线方程为，

此时或，，为定值；

当直线斜率不存在时，直线，过点作直线的垂线，则垂线方程为，

此时或，，为定值；

综上所述，，为定值.

19．(1)，；

(2)见解析

(3)见解析

【分析】（1）题意可得出，解方程求出，再由等差和等比数列的通项公式求解即可；

（2）由（1）可得：，证明即可；

（3）求出，设的前项和，奇数项和为，偶数项和为，由裂项相消法求出，可证得，对放缩可得，再由错位相减法可证得，即可证明.

【详解】（1）设数列的公差为，数列的公比为，

由，，可得：，

解得：或（舍去），则，

所以，；

（2）由（1）可得：，

，

即；

（3）由（1）知，，，所以，

设的前项和，奇数项和为，偶数项和为，

，，

当为奇数时，，

，

当为偶数时，，

，

设，

，

所以，

，

所以.

20．(1)时，；

(2)证明见解析；

(3)

【分析】（1）根据导数研究函数单调性求解函数最值即可；

（2）结合（1）将问题转化为证明，进而构造函数证明即可；

（3）由题知对恒成立，进而构造函数，结合函数性质，分当，，时三种情况讨论求解即可.

【详解】（1）解：当时，，定义域为，

所以，令得，

所以，当时，，单调递减；当时，，单调递增，

所以，函数在处取得最小值，.

（2）解：由（1）知，当时，，即，

所以，要证成立，只需证，

令，则，

所以，当时，恒成立，

所以，函数为单调递增函数，

所以，，即，

所以，

所以成立

（3）解：因为函数对恒成立

所以对恒成立，

令，则，

当时，，在上单调递增，

      所以，由可得，即满足对恒成立；

当时，则，，在上单调递增，

     因为当趋近于时，趋近于负无穷，不成立，故不满足题意；

当时，令得

令，恒成立，故在上单调递增，

因为当趋近于正无穷时，趋近于正无穷，当趋近于时，趋近于负无穷，

所以，使得，，

所以，当时，，单调递减，当时，，单调递增，

所以，只需即可；

所以，，，

因为，所以，

所以，解得，

所以，，

综上，实数a的取值范围为

【点睛】关键点点睛：本题第三问解题的关键在于讨论当时，结合函数的性质得，使得，，进而转化为解.