河南省南阳市六校2023-2024学年高一上学期期中考试数学试卷(含答案)

这是一份河南省南阳市六校2023-2024学年高一上学期期中考试数学试卷(含答案)，共11页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1、已知集合，，则( )
A.B.C.D.
2、已知a，，则下列选项中，使成立的一个充分不必要条件是( )
A.且
B.且
C.且
D.且
3、若关于x的不等式的解集是，则关于x的不等式的解集为( )
A.
B.
C.
D.
4、已知幂函数在区间上单调递增，则函数的图象过定点( )
A.B.C.D.
5、已知函数的定义域为，则函数的定义域为( )
A.
B.
C.
D.
6、设，，则( )
A.B.C.D.
7、已知函数，则( )
A.是偶函数，且在区间和上单调递减
B.是偶函数，且在区间上单调递减
C.是奇函数，且在区间上单调递减
D.是奇函数，且在区间和上单调递减
8、已知函数，则使得成立的x的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
二、多项选择题
9、已知，则( )
A.B.C.D.
10、下列各组中两个函数是同一函数的是( )
A.和
B.和
C.和
D.和
11、若函数的图象上存在不同的两点A，B到直线l的距离均为1，则l的解析式可以是( )
A.B.C.D.
12、已知，则( )
A.
B.
C.
D.
三、填空题
13、已知集合，，则中元素的个数为______.
14、已知函数在区间上的最大值为M，最小值为m，则______.
15、若函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围是______.
16、已知函数，则满足的x的取值范围是______.
四、解答题
17、计算：
（1）；
（2）.
18、已知集合，.
（1）若，求；
（2）若是成立的充分不必要条件，求m的取值范围.
19、已知函数且的图象经过点.
（1）求a的值；
（2）比较与的大小；
（3）求函数的值域.
20、（1）若关于x的不等式的解集非空，求实数m的取值范围；
（2）若，不等式恒成立，求实数m的取值范围.
21、近年来，共享单车的出现为市民“绿色出行”提供了极大的方便，某共享单车公司计划在甲、乙两座城市共投资200万元，每个城市都至少要投资70万元，由前期市场调研可知：在甲城市的收益P（单位：万元）与投入a（单位：万元）满足，在乙城市的收益Q（单位：万元）与投入a（单位：万元）满足.
（1）当在甲城市投资125万元时，求该公司的总收益；
（2）试问：如何安排甲、乙两个城市的投资，才能使总收益最大？
22、已知定义域为R的函数是奇函数.
（1）求m，n的值；
（2）判断的单调性并用定义证明；
（3）若当时，恒成立，求实数k的取值范围.
参考答案
1、答案：C
解析：由题意可得，所以.
故选：C.
2、答案：B
解析：选项A，C，D都既不是充分条件也不是必要条件，
对于B，由且可得，反过来推不出，所以B符合条件.
故选：B.
3、答案：D
解析：由于关于x的不等式的解集是，
所以，则有且，
则等价于，解得，
即不等式的解集为.
故选：D.
4、答案：A
解析：因为是幂函数，所以，解得或.
当时，在上单调递增，
当时，在上单调递减，故.
此时，当时，，即的图保过定点.
故选：A.
5、答案：C
解析：要使函数有意义，则，故或，
所以的定义域为.
故选：C.
6、答案：A
解析：因为，，，所以.
故选：A.
7、答案：D
解析：由题意得，画出函数的大致图象，如图，
观察图象可知，函数的图象关于原点对称，故函数为奇函数，
单调递减区间是和.
故选：D.
8、答案：C
解析：易知函数的定义域为R，且为偶函数.
当时，，易知此时单调递增，
所以，所以，解得或.
故选：C.
9、答案：ABD
解析：由，得，则，A成立；
由两边同时乘以b，不等号反向，得，B成立；
由两边同时除以，得，C不成立；
由可得，同除以，可得，D成立.
故选：ABD.
10、答案：BC
解析：A，D中函数的定义域不同.
故选：BC.
11、答案：AD
解析：分别作出相应的图象，如图.
对于A，容易看出的图象上存在两点与到直线的距离均为1，
故A正确；
对于B，的图象在直线上方的部分仅存在一点到直线的距离为1，
在直线下方的部分满足，到直线的距离均小于1，
故不存在符合条件的两点，故B错误；
对于C，因为，故其图象上所有点到直线的距离均大于1，故C错误；
对于D，利用几何知识可以算得点到直线的距离为，
由指数函数的图象可知，在点的两边各存在一点到直线的距离为1，故D正确.
故选：AD.
12、答案：ABD
解析：对于A，因为，所以，，
所以，，所以，
所以，所以，故A正确；
对于B，因为，又，所以，所以，
所以，故B正确；
对于C，因为，所以，故C错误；
对于D，设，则，所以，故D正确.
故选：ABD.
13、答案：4
解析：因为，
所以满足的自然数对有，，，，
即中的元素有4个.
14、答案：
解析：设函数，则的最大值为，最小值为，
容易判断是奇函数，所以，所以.
15、答案：
解析：函数，由时，
单调递减，得，解得.
16、答案：
解析：由题意知，当时，恒成立；
当时，恒成立；
当时，由，解得，所以.
综上，x的取值范围是.
17、答案：（1）100
（2）12
解析：（1）原式.
（2）原式
.
18、答案：（1）
（2）m的取值范围是
解析：（1）由得，故，
由得，，
因为，故.
若，则，所以.
（2）若是成立的充分不必要条件，则，
则有解得，此时满足，
所以m的取值范围是.
19、答案：（1）
（2）
（3）的值域为
解析：（1）因为的图象经过点，
所以，又且，所以.
（2）因为，所以在R上单调递增.
又因为，所以，
所以.
（3）当时，，
所以，即，
所以的值域为.
20、答案：（1）实数m的取值范围是
（2）实数m的取值范围是
解析：（1）当时，显然，满足题意；
若，显然满足题意；
若，则需，解得.
综上，实数m的取值范围是.
（2）由题可知，当时，恒成立.
因为，
所以等价于.
因为在区间上的最小值为，
所以只需即可，
所以实数m的取值范围是.
21、答案：（1）63.75万元
（2）当在甲城市投资80万元，乙城市投资120万元时，总收益最大，且最大总收益为65万元
解析：（1）当在甲城市投资125万元时，在乙城市投资75万元，
所以总收益为（万元）.
（2）设在甲城市投资x万元，则在乙城市投资万元，
总收益为，
依题意得，解得.
故.
令，则，
所以，
因为该二次函数的图象开口向下，且对称轴，
所以当，即时，y取得最大值65，
所以当在甲城市投资80万元，乙城市投资120万元时，总收益最大，且最大总收益为65万元.
22、答案：（1），
（2）函数在R上是增函数
（3）k的取值范围为
解析：（1）因为在定义域R上是奇函数，所以，所以.
又由，可得，
经检验知，当，时，原函数是奇函数.
（2）由（1）知，在R上是增函数.
证明：任取，，设，
则，
因为，所以，又，所以，
即，所以函数在R上是增函数.
（3）因为是奇函数，
所以不等式等价于，
因为在R上是增函数，所以，
即对任意，都有成立.
设，令，，则有，，
所以，
所以，即k的取值范围为.