[数学]河南省南阳市六校联考2023-2024学年高二下学期期中考试试题(解析版)

这是一份[数学]河南省南阳市六校联考2023-2024学年高二下学期期中考试试题(解析版)，共13页。试卷主要包含了故选等内容，欢迎下载使用。

考生注意：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．回答选择题时，选出每小题后，用铅笔把答题卡对应题目的标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他标号．回答非选择题时，将写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 曲线在点处的切线的斜率为（ ）
A. -2B. -1C. 1D. 2
【答案】B
【解析】因为，所以,
即曲线在点处的切线的斜率为-1，
故选：B
2. 已知数列的首项，当时，，若，则的值可以是（ ）
A. 2022B. 2023C. 2024D. 2025
【答案】C
【解析】由已知可得：，
故数列的周期为3，
因为，所以可以为2024．故选：C
3. 下列求导错误的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】对于A，，故A正确；
对于B，，故B正确；
对于C，，故C正确；
对于D，，故D错误．
故选：D
4. 具有线性相关关系的变量的样本数据如下：
其回归直线方程为，则回归直线经过（ ）
A. 第一、二、三象限B. 第二、三、四象限
C. 第一、二、四象限D. 第一、三、四象限
【答案】A
【解析】由表中的数据知正相关．所以，
又，，
即点在回归直线上，且在第二象限，
所以回归直线经过第一、二、三象限，
故选：A
5. 在数列中，若，则（ ）
A. 1012B. 1013C. 2023D. 2024
【答案】B
【解析】因为，
所以，
所以，
所以是常数列，所以，
又，所以．
故选：B
6. 已知数列满足，其前项和为，若，则（ ）
A. 8B. 9C. 10D. 11
【答案】C
【解析】因为，
所以，
所以数列是以2为公比的等比数列，
又因为，所以，
所以，即，
所以．
由题意可得，
解得．
故选：C
7. 设点到直线的距离为，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】点到直线的距离为，
或，
令，则，
当时，，此时单调递减，
当时，，此时单调递增，
从而，
首先这意味着方程无解，
现在我们来研究方程的根的情况，
一方面注意到，且在上单调递增，
从而方程在上有唯一解，
另一方面有，令，可知
，且函数的图象连续不断，
并注意到在上单调递减，即在上单调递减，
从而由零点存在定理可知，在上，存在唯一的零点，
也就是说方程在上有唯一解且，
综上所述或，其中，
所以在大前提“点到直线的距离为”成立的情况下有，
“”是“”的充分不必要条件.
故选：A．
8. 已知，在数列的每相邻两项与之间插人个1，使它们和原数列的项构成一个新的数列，记新数列的前项和为，则（ ）
A. 150B. 151C. 170D. 171
【答案】C
【解析】由题意知之间插入1个之间插人2个之间插人4个之间插入8个1，
之间插入16个之间插入32个之间插入64个1，
由于，
故数列的前100项含有的前7项和93个1，
故．
故选：C
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列结论中正确的是（ ）
A. 由样本数据得到的回归直线必过点
B. 样本相关系数越大，两个变量的线性相关程度越强，反之，线性相关程度越弱
C. 若变量与之间的相关系数，则与正相关
D. 若样本数据的对应样本点都在直线上，则这组样本数据的相关系数为－1
【答案】ACD
【解析】对于A，回归直线必过点，故A正确；
对于B，越接近1，两个变量的线性相关程度越强，越接近0，线性相关程度越弱，故B错误；
对于C，若变量与之间的相关系数，则与正相关，故C正确；
对于D，样本数据的对应样本点都在直线上，说明是负相关且为线性函数，所以这组样本数据的相关系数为－1，故D正确．
故选：
10. 已知是等差数列，是其前项和，则下列结论中正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若和都为递增数列，则
【答案】BC
【解析】对于A中，由，可得，所以，
又由，所以A错误；
对于B中，由，所以B正确；
对于C中，由，所以，
又因为，可得，所以，所以C正确；
对于D中，因为为递增数列，可得公差，
因为为递增数列，可得，
所以对任意的，但的正负不确定，所以D错误．
故选：BC.
11. 已知直线与曲线和都相切，切点分别为，则（ ）
A. B.
C. 满足条件的直线有2条D. 满足条件的直线只有1条
【答案】AC
【解析】由题可知直线与曲线相切于点，又，
所以直线的斜率，则在点处的切线方程为，
即，
直线与曲线相切于点
，则在点处的切线方程为，
即．
因为直线与两条曲线都相切，所以两条切线相同，
则且，
则，即，
可得，解得，故A正确，B错误；
把代入，得，
在同一坐标系中，作出函数的图象，如图所示：
由图象知：的值有两个，故C正确，D错误．
故选：AC
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知等比数列的前项和为，且，则_______．
【答案】32
【解析】设等比数列的公比为，则，解得，
又因为，得，解得，所以．
故答案为：32.
13. 已知变量和之间关系可以用模型来拟合．设，若根据样本数据计算可得，且与的线性回归方程为，则_______．（参考数据：）
【答案】0.3
【解析】由题意知，解得，
所以，
由，得，所以，
则．
故答案为：0.3
14. ChatGPT爆火以来，各种人工智能平台如雨后春笋般层出不穷．某人工智能服务商提供了两种会员服务套餐，购买会员服务的既有个人用户也有公司用户．后台随机调取名会员的基本信息，统计发现购买B套餐的用户数占总用户数的，购买B套餐的用户中公司用户数是个人用户数的倍，购买套餐的用户中公司用户数是个人用户数的一半．根据独立性检验，有的把握认为购买的套餐类型与用户类型有关系，则的最小值为_______．
附：．
【答案】170
【解析】由题意可得用户类型与购买的套餐类型列联表如下：
，
解得，又因为必须是10的倍数，所以的最小值为170．
故答案为：170
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. （1）若函数有三个零点1，2，4，求；
（2）若曲线在点处的切线方程为，求实数和的值．
解：（1）由题意知，
所以．
（2），题意知，
即，解得
16. 某运动服饰公司对产品研发的年投资额（单位：十万元）与年销售量（单位：万件）的数据进行统计，整理后得到如下统计表：
（1）求和的样本相关系数（精确到0.01），并推断和的线性相关程度；（若，则线性相关程度很强；若则线性相关程度一般；若则线性相关程度很弱）
（2）求年销售量关于年投资额的回归直线方程，并据此预测年投资额为60万元时的年销售量．
参考数据：．
参考公式：相关系数；
回归直线方程中，．
解：（1）由题可知，
，
所以，
因为，所以变量和的线性相关程度很强．
（2），
．
所以关于的回归直线方程为．
当时，，
所以研发的年投资额为60万元时，预测产品的年销售星为75.5万件．
17. 已知数列的前项和为，且为等差数列．
（1）证明：为等差数列；
（2）若，数列满足，且，求数列的前项和．
解：（1）因为为等差数列，设其公差为，
所以，
又因为，所以．
当时，，
又因为适合上式，所以．
所以，
所以为等差数列．
（2）因为，由（1）知，
得，所以．
所以，
当时，，
因为满足上式，
所以．
所以．
18. “村BA”是由贵州省台盘村“六月六”吃新节篮球赛发展而来的赛事，比赛由村民组织，参赛者以村民为主，极具乡村气息．某学校为了研究不同性别的学生对该赛事的了解情况，进行了一次抽样调查，分别随机抽取男生和女生各80名作为样本，设事件“了解村BA”，“学生为女生”，据统计．
（1）根据已知条件，作出列联表，并判断是否有的把握认为该校学生对“村”的了解情况与性别有关；
（2）现从该校不了解“村BA”的学生中，采用分层随机抽样的方法抽取10名学生，再从这10名学生中随机抽取4人，设抽取的4人中男生的人数为，求的分布列和数学期望．
附：．
解：（1）因为，
所以对“村BA”了解的女生人数为，
了解“村BA”的学生人数为，
结合男生和女生各80名，作出列联表为：
，
因此，有的把握认为该校学生对“村BA”的了解情况与性别有关．
（2）由（1）知，采用分层随机抽样的方法抽取10名学生，
其中男生人数为，
女生人数为．
随机变量的所有可能取值为0，1，2，3，4．
故随机变量的分布列如下：
则．
19. 记数列的前项和为，已知，且．
（1）令，求数列的通项公式；
（2）若对于任意恒成立，求实数的取值范围．
解：（1）令，则①，
令，则②，
②－①，得，
又因为，所以可得，
代入①式，得，所以．
（2），其中，
，
所以．
由，可得恒成立．
设，则，
当，即时，，
当，即时，，
所以，故，所以，
即实数的取值范围为．
－2
－4
－6
－8
17.4
13
8.2
5

0.050
0.010
0.005
0.001
3.841
6.635
7.879
10.828
总计
个人用户
公司用户
总计
1
2
3
4
5
35
40
50
55
70

0.050
0.010
0.005
0.001

3.841
6.635
7.879
10.828
了解
不了解
总计
男生
30
50
80
女生
5
75
80
总计
35
125
160
0
1
2
3
4