2024济宁兖州区高三上学期期中考试数学含解析

这是一份2024济宁兖州区高三上学期期中考试数学含解析，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知全集为，集合，满足，则下列运算结果为的是（ ）
A B. C. D.
2. 命题p：，，则命题p的否定为（ ）
A ，B. ，
C. ，D. ，
3. 函数的单调递增区间为（ ）
A. B. C. D.
4. 已知O，N，P在所在平面内，且，且，则点O，N，P依次是的
（注：三角形的三条高线交于一点，此点为三角型的垂心）
A. 重心外心垂心B. 重心外心内心
C. 外心重心垂心D. 外心重心内心
5. 2023年8月6日2时33分，山东平原县发生里氏5.5级地震，8月8日3时28分，菏泽市牡丹区发生2.6级地震，短时间内的两次地震引起了人们对地震灾害和避险方法的关注.地震发生时会释放大量的能量，这些能量是造成地震灾害的元凶.研究表明地震释放的能量E（单位：焦耳）的常用对数与震级M之间满足线性关系，若4级地震所释放的能量为焦耳，6级地震所释放的能量为焦耳，则这次平原县发生的地震所释放的能量约为（ ）（参考数据：，）
A. 焦耳B. 焦耳
C. 焦耳D. 焦耳
6. 记为数列的前项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列，则（ ）
A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件
B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件
C. 甲是乙的充要条件
D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
7. 已知的定义域为为奇函数，为偶函数，若当时，，则（ ）
A. B. 0C. 1D. e
8. 已知是正整数，函数在内恰好有4个零点，其导函数为，则的最大值为（ ）
A. 2B. C. 3D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 已知复数（是虚数单位），则下列命题中正确的是（ ）
A. B. 在复平面上对应点在第二象限
C. D. 的虚部为
10. 下列命题中正确的是（ ）
A. 若向量，，则可作为平面向量的一组基底
B. 若四边形为平行四边形，且，则顶点坐标为
C. 若是等边三角形，则．
D. 已知向量满足，，且，则在上的投影向量的坐标为
11. 若，则下列说法不成立的是（ ）
A. 若且，则B. 若且，则
C. 若，则D. 若，则
12. 已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A. 当时，有两个极值点
B. 当时，的图象关于中心对称
C. 当，且时，可能有三个零点
D. 当上单调时，
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13 已知，则___________.（用 表示）
14. 曲线在点处的切线方程为__________．
15. 如图，是九个相同的正方形拼接而成的九宫格中的两个角，则______.

16. 如图，已知正方形ABCD的边长为2，点E为AB的中点．以A为圆心，AE为半径，作圆弧交AD于点F，若P为劣弧EF上的动点，则的最小值为__________．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知不等式的解集为集合，集合．
（1）若，求；
（2）若，求实数的取值范围．
18. 已知、是非零向量， ， 且 、．
（1）求与的夹角；
（2）求．
19.
已知，其中向量,
（1）求的最小正周期和最小值；
（2）在△中，角A、B、C的对边分别为、、，若，，，求边长的值.
20. 已知数列的前项和,.
（1）求的通项公式；
（2）设，数列的前项和为,若对恒成立，求实数的最大值.
21. 摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色，如下图，某摩天轮最高点距离地面高度为，转盘直径为，均匀设置了依次标号为号的48个座舱.开启后摩天轮按照逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，开始转动后距离地面的高度为，转一周需要.
（1）求在转动一周的过程中，关于的函数解析式；
（2）若甲、乙两人分别坐在1号和9号座舱里，在运行一周的过程中，求两人距离地面的高度差（单位：）关于的函数解析式，并求高度差的最大值.
（参考公式：）
22. 已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）证明：当时，．2023-2024学年第一学期期中质量检测
高三数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知全集为，集合，满足，则下列运算结果为的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题意作出Venn图，再由集合的运算逐一判断即可
【详解】全集，集合，满足，绘制Venn图，如下：

对于A：，A错误；
对于B：，B错误；
对于C：，C错误；
对于D：，D正确.
故选：D
2. 命题p：，，则命题p的否定为（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】由存在量词命题的否定为全称量词命题，判断命题p的否定形式.
【详解】存在量词命题的否定为全称量词命题，所以命题p的否定应该为，．
故选：C．
3. 函数的单调递增区间为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由根式性质求定义域，结合二次函数和幂函数的性质确定增区间.
【详解】由题意，令，即或，
根据二次函数性质知：在上递减，在上递增
又在定义域上递增，故的单调递增区间为.
故选：C
4. 已知O，N，P在所在平面内，且，且，则点O，N，P依次是的
（注：三角形的三条高线交于一点，此点为三角型的垂心）
A. 重心外心垂心B. 重心外心内心
C. 外心重心垂心D. 外心重心内心
【答案】C
【解析】
【详解】试题分析：因为，所以到定点的距离相等，所以为的外心，由，则，取的中点，则，所以，所以是的重心；由，得，即，所以，同理，所以点为的垂心，故选C.

考点：向量在几何中的应用.
5. 2023年8月6日2时33分，山东平原县发生里氏5.5级地震，8月8日3时28分，菏泽市牡丹区发生2.6级地震，短时间内的两次地震引起了人们对地震灾害和避险方法的关注.地震发生时会释放大量的能量，这些能量是造成地震灾害的元凶.研究表明地震释放的能量E（单位：焦耳）的常用对数与震级M之间满足线性关系，若4级地震所释放的能量为焦耳，6级地震所释放的能量为焦耳，则这次平原县发生的地震所释放的能量约为（ ）（参考数据：，）
A. 焦耳B. 焦耳
C. 焦耳D. 焦耳
【答案】D
【解析】
【分析】根据对数的运算性质即可代入数据求解,进而可求解.
【详解】由题意可设，则，解得，
所以，所以，
所以当时，焦耳.
故选:D.
6. 记为数列的前项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列，则（ ）
A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件
B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件
C. 甲是乙充要条件
D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】利用充分条件、必要条件的定义及等差数列的定义，再结合数列前n项和与第n项的关系推理判断作答.，
【详解】方法1，甲：为等差数列，设其首项为，公差为，
则，
因此为等差数列，则甲是乙的充分条件；
反之，乙：为等差数列，即为常数，设为，
即，则，有，
两式相减得：，即，对也成立，
因此为等差数列，则甲是乙的必要条件，
所以甲是乙的充要条件，C正确.
方法2，甲：为等差数列，设数列的首项，公差为，即，
则，因此为等差数列，即甲是乙的充分条件；
反之，乙：为等差数列，即，
即，，
当时，上两式相减得：，当时，上式成立，
于是，又为常数，
因此为等差数列，则甲是乙的必要条件，
所以甲是乙的充要条件.
故选：C
7. 已知的定义域为为奇函数，为偶函数，若当时，，则（ ）
A. B. 0C. 1D. e
【答案】C
【解析】
【分析】根据函数的奇偶性可以求出函数的周期，利用周期运用代入法进行求解即可.
【详解】为奇函数，即，
所以关于中心对称，则，
为偶函数，即，
所以，
故，即是周期为8的周期函数，
所以，
故选：C
【点睛】关键点睛：本题的关键是利用函数的奇偶性求出函数的周期.
8. 已知是正整数，函数在内恰好有4个零点，其导函数为，则的最大值为（ ）
A. 2B. C. 3D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据函数零点的定义，导数的运算公式，结合正弦型函数的最值性质进行求解即可.
【详解】因为在内恰好有4个零点，
所以，即，
所以，又，所以，
所以，，
所以，其中．
故选：B
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 已知复数（是虚数单位），则下列命题中正确的是（ ）
A. B. 在复平面上对应点在第二象限
C. D. 的虚部为
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用复数的除法化简复数，利用复数的模长公式可判断A选项；利用复数的几何意义可判断B选项；利用共轭复数的定义可判断C选项；利用复数的概念可判断D选项.
【详解】因为.
对于A选项，，A对；
对于B选项，在复平面上对应点的坐标为，位于第四象限，B错；
对于C选项，，C对；
对于D选项，的虚部为，D对.
故选：ACD.
10. 下列命题中正确的是（ ）
A. 若向量，，则可作为平面向量的一组基底
B. 若四边形为平行四边形，且，则顶点的坐标为
C. 若是等边三角形，则．
D. 已知向量满足，，且，则在上的投影向量的坐标为
【答案】ABD
【解析】
【分析】对于A，由基底的定义分析判断，对于B，由可求出点的坐标，对于C，由向量夹角的定义分析判断，对于D，由数量积的几何意义分析判断.
【详解】对于A，因为，，且满足，所以不共线，
所以可作为平面向量的一组基底，所以A正确，
对于B，设，因为四边形为平行四边形，所以，
所以，解得，所以顶点的坐标为，所以B正确，
对于C，因为是等边三角形，所以，所以C错误，
对于D，因为向量满足，，且，
所以在上的投影向量的坐标为，所以D正确，
故选：ABD
11. 若，则下列说法不成立的是（ ）
A. 若且，则B. 若且，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】ABD
【解析】
【分析】A.由判断；B.由判断；C.作差法判断；D作差法判断.
【详解】A.若得不到，故错误；
B.若时，不成立，故错误；
C.因为，所以，故正确；
D. ，所以，故错误；
故选：ABD.
12. 已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A. 当时，有两个极值点
B. 当时，的图象关于中心对称
C. 当，且时，可能有三个零点
D. 当在上单调时，
【答案】BC
【解析】
【分析】特殊值法可排除A项，利用函数的对称性可判定B，取特殊值结合导数研究函数的单调性、极值与最值可判定C，利用导函数非负结合判别式可判定D.
【详解】对于A，当时，，，
若时，，则在定义域内单调递增，无极值点，故A错误；
对于B，当时，，，则，所以的图象关于中心对称，故B正确；
对于C项，当时，，
，
取，即时，此时，
所以当时，，所以在上单调递增，
当时，，所以在上单调递减，
当时，，所以在上单调递增，
所以函数极小值为，函数极大值为，
即，所以在有一个零点，
又因，，
所以在有一个零点，在有一个零点，
即当时，有三个零点，故C正确；
对于D项，若在定义域上是单调函数，
则恒成立，所以，解得，所以D错误，
故选：BC．
【点睛】关键点睛：本题C项，利用导数研究函数的零点个数，结合极大小值的正负及取特殊点判断函数值符合是关键.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知，则___________.（用 表示）
【答案】##
【解析】
【分析】根据指数式与对数式的互化，求出，结合对数的运算法则化简，即可得答案.
【详解】因为，所以，
故，
故答案为：
14. 曲线在点处的切线方程为__________．
【答案】
【解析】
【分析】先验证点在曲线上，再求导，代入切线方程公式即可．
【详解】由题，当时，，故点在曲线上．
求导得：，所以．
故切线方程为．
故答案为：．
15. 如图，是九个相同的正方形拼接而成的九宫格中的两个角，则______.

【答案】
【解析】
【分析】结合图形，可得，利用正切的和角公式,即可得出答案.
【详解】由图得：，所以，又因为为锐角，从而.
故答案为：.
16. 如图，已知正方形ABCD的边长为2，点E为AB的中点．以A为圆心，AE为半径，作圆弧交AD于点F，若P为劣弧EF上的动点，则的最小值为__________．
【答案】
【解析】
【分析】建立直角坐标系，设，利用坐标运算求出，再利用辅助角公式即可求解.
【详解】解：如图所示：建立平面直角坐标系，
则，，
由题意可设：，
则，，
，其中，∴的最小值为.
故答案：.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知不等式的解集为集合，集合．
（1）若，求；
（2）若，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）可得出时，可得出集合，然后进行并集的运算即可；
（2）根据，并且即可得出或，从而可得出的取值范围．
【小问1详解】
时，解得，
，且，
∴；
【小问2详解】
由解得，
，，且，
或，
或，
∴实数的取值范围为或．
18. 已知、是非零向量， ， 且 、．
（1）求与的夹角；
（2）求．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）依题意可得，根据数量积的运算律求出，再根据计算可得；
（2）根据及数量积的运算律计算可得；
【小问1详解】
解：因为，所以，即，即，
所以，因为，所以；
【小问2详解】
解：
19.
已知，其中向量,
（1）求的最小正周期和最小值；
（2）在△中，角A、B、C的对边分别为、、，若，，，求边长的值.
【答案】（1）最小正周期为π，最小值为. （2）2或6．
【解析】
【分析】（1）利用向量的数量积化简的解析式，进而可得的最小正周期和最小值；
（2）先由求得，再利用余弦定理列方程，即可求得边长的值.
【详解】（1）

则的最小正周期，最小值为.
（2），则，
又 ，则，故，解之得
又，，由余弦定理得，
即，解之得或.经检验，均符合题意.
20. 已知数列的前项和,.
（1）求的通项公式；
（2）设，数列的前项和为,若对恒成立，求实数的最大值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）首先求得的值，然后利用与的关系推出数列的通项公式；
（2）首先结合（1）求得的表达式，然后用裂项法求得，再根据数列的单调性求得的最大值．
【小问1详解】
当时，由；
当时，，
又满足上式，
所以的通项公式为.
【小问2详解】
由 ，可得，
则.
因为，
所以，所以数列是递增数列，
所以，所以实数的最大值是.
21. 摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色，如下图，某摩天轮最高点距离地面高度为，转盘直径为，均匀设置了依次标号为号的48个座舱.开启后摩天轮按照逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，开始转动后距离地面的高度为，转一周需要.
（1）求在转动一周的过程中，关于的函数解析式；
（2）若甲、乙两人分别坐在1号和9号座舱里，在运行一周的过程中，求两人距离地面的高度差（单位：）关于的函数解析式，并求高度差的最大值.
（参考公式：）
【答案】（1），
（2）， ；45m
【解析】
【分析】（1）设，根据所给条件求出、、、；
（2）由题意得：号与号座舱的角度差为，不妨假设1号座舱出发早于9号座舱，min 时1号与9号的高度分别为，即可得到，再由和差化积公式得到，，最后根据余弦函数的性质计算可得.
【小问1详解】
设，则，
令时，，，
又，
所以，.
【小问2详解】
由题意得：号与号座舱的角度差为.
不妨假设1号座舱出发早于9号座舱，min 时1号与9号的高度分别为，
则 ，，
所以高度
，
由参考公式得，上式为，
从而高度差为，；
当，即，，解得，，又，
所以min或min，此时高度差的最大值为45m.
22. 已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）证明：当时，．
【答案】（1）答案见解析
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）先求导，再分类讨论与两种情况，结合导数与函数单调性的关系即可得解；
（2）方法一：结合（1）中结论，将问题转化为的恒成立问题，构造函数，利用导数证得即可.
方法二：构造函数，证得，从而得到，进而将问题转化为的恒成立问题，由此得证.
【小问1详解】
因为，定义域为，所以，
当时，由于，则，故恒成立，
所以在上单调递减；
当时，令，解得，
当时，，则在上单调递减；
当时，，则在上单调递增；
综上：当时，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
【小问2详解】
方法一：
由（1）得，，
要证，即证，即证恒成立，
令，则，
令，则；令，则；
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，则恒成立，
所以当时，恒成立，证毕.
方法二：
令，则，
由于在上单调递增，所以在上单调递增，
又，
所以当时，；当时，；
所以在上单调递减，在上单调递增，
故，则，当且仅当时，等号成立，
因为，
当且仅当，即时，等号成立，
所以要证，即证，即证，
令，则，
令，则；令，则；
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，则恒成立，
所以当时，恒成立，证毕