广东省汕头市澄海中学2023-2024学年八年级上学期期中数学试题（含解析）

这是一份广东省汕头市澄海中学2023-2024学年八年级上学期期中数学试题（含解析），共17页。

2.学生将答案写在答题卡相应的位置上，不按要求作答不得分．
3.交卷只交答题卡，题卷不用交，学生保存，评卷时带回．
一、选择题（本大题共10小题，每题3分，共30分）
1．誉为全国第三大露天碑林的“浯溪碑林”，摩崖上铭刻着500多方古今名家碑文，其中悬针篆文具有较高的历史意义和研究价值，下面四个悬针篆文文字明显不是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．如图的伸缩门，其原理是（ ）

A．三角形的稳定性B．四边形的不稳定性
C．两点之间线段最短D．两点确定一条直线
3．如图，两个三角形是全等三角形，那么x的值是（ ）
A．30°B．45°C．50°D．85°
4．如图，要测量河两岸相对的两点、间的距离，先在垂直于的河岸上作出线段，并在延长线上取一点，使，再过点作垂线段，使点，，在一条直线上，则可判断的理由是
A．B．C．D．
5．下列说法中，正确的是（ ）
A．等腰三角形底边上的中线就是底边的垂直平分线
B．等腰三角形的对称轴是底边上的高
C．一条线段可看做是以它的垂直平分线为对称轴的轴对称图形
D．等腰三角形的对称轴就是顶角平分线
6．如图，已知，添加以下条件，不能判定的是（ ）
A．B．
C．D．
7．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，且分别交BC，AC于点D和E，∠B＝60°，∠C＝25°，则∠BAD为（ ）
A．50°B．70°C．75°D．80°
8．如图所示，在△ABC中，∠A＝∠B＝50°，AK＝BN，AM＝BK，则∠MKN的度数是（ ）
A．50°B．60°C．70°D．100°
9．如图，已知△ABC≌△A′BC′，AA′∥BC，∠ABC=70°，则∠CBC′的度数是（ ）
A．40°B．35°C．55°D．20°
10．如图，已知OP平分∠AOB，∠AOB=60°，PE=2，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E，如果点M是OP的中点，则DM的长是（ ）
A．1B．2C．3D．4
二、填空题（本大题共6小题，每题3分，共18分）
11．若一个正边形的内角和等于它外角和的倍，则 ．
12．从平面镜子中看到镜子对面电子钟示数的像如图所示，这时的时刻应是 ．

13．已知射线．以点为圆心，任意长为半径画弧，与射线交于点，再以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，画射线，如图所示，则 度．
14．已知等腰三角形的一个外角为，则它的顶角的度数为 ．
15．如图，△ABC中，AB的垂直平分线交BC于点D，AC的垂直平分线交BC于点E，若∠DAE=28°，则∠BAC= .
16．如图，在中，，，，，是的角平分线，于点，则长是 ．

三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题6分，共18分）
17．如图所示的“钻石”型网格（由边长都为1个单位长度的等边三角形组成），其中已经涂黑了3个小三角形（阴影部分表示），请你分别在甲、乙、丙三个图中涂黑一个小三角形，使它与阴影部分合起来所构成的图形是一个轴对称图形．
18．两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，B，C，E在同一条直线上，连接DC．
（1）求证：△ABE≌△ACD；
（2）求证：DC⊥BE．
19．如图，等边三角形ABC中，D为AC上一点，E为AB延长线上一点，DE⊥AC交BC于点F，且DF=EF．
(1)求证：CD=BE；
(2)若AB=12，试求BF的长．
五、解答题（三）（本大题共3小题，每小题10分，共30分）
20．如图，在中，是高，是角平分线．

(1)若，求的度数．
(2)若，则_______．
(3)若．则的度数_______（结果用含的代数式表示）．
21．“转化”是数学中的一种重要思想，即把陌生的问题转化成熟悉的问题，把复杂的问题转化成简单的问题，把抽象的问题转化为具体的问题．
(1)请你根据已经学过的知识求出下面星形图(1)中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数；
(2)若对图(1)中星形截去一个角，如图(2)，请你求出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数；
(3)若再对图(2)中的角进一步截去，你能由题(2)中所得的方法或规律，猜想图3中的∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠M+∠N的度数吗？只要写出结论，不需要写出解题过程)
22．如图△ABC为等边三角形，直线a∥AB，D为直线BC上一点，∠ADE交直线a于点E，且∠ADE=60°．
（1）若D在BC上（如图1）求证CD+CE=CA；
（2）若D在CB延长线上，CD、CE、CA存在怎样数量关系，给出你的结论并证明．
参考答案与解析
1．C
【分析】根据轴对称图形的概念逐一进行判断即可．
【详解】A、是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B、是轴对称图形，故此选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，故此选项符合题意；
D、是轴对称图形，故此选项不符合题意，
故选C.
【点睛】本题考查的是轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．
2．B
【分析】根据四边形的不稳定性，可得答案．
【详解】解：如图的伸缩门，其原理是四边形的不稳定性，
故选：B．
【点睛】本题考查了多边形，利用四边形的性质是解题关键．
3．C
【分析】根据三角形内角和定理、全等三角形的性质解答．
【详解】解:180°﹣85°﹣45°=50°，
∵两个三角形是全等三角形，
∴x=50°，
故选C．
【点睛】考查三角形的内角和定理以及全等三角形的性质，全等三角形的对应角相等．
4．D
【分析】根据、，即可得出，再结合以及相等的对顶角，即可利用全等三角形的判定定理证出，由此即可得出结论．
【详解】解：，，
．
在与中，
．
故选：D．
【点睛】本题考查了全等三角形的应用，解题的关键是如何将实际问题与数学知识有机的结合在一起．
5．C
【详解】A、三角形中，中线是连接一个顶点和它所对边的中点的连线段，而线段的垂直平分线是直线，故A错误；
B、三角形的高对应的是线段，而对称轴对应的是直线，故B错误；
C、线段是轴对称图形，对称轴为垂直平分线，故C正确；
D、角平分线对应的是射线，而对称轴对应的是直线，故D错误，
故选：C．
6．C
【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据选项逐项分析判断即可求解．
【详解】解：∵在和中，，
A.添加，可以根据证明，不符合题意；
B. 添加，可以根据证明，不符合题意；
C. 添加，只有两个条件，不能证明，符合题意；
D. 添加，可以根据证明，不符合题意．
故选：C．
7．B
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到DA=DC，根据等腰三角形的性质得到∠DAC=∠C，根据三角形内角和定理求出∠BAC，计算即可．
【详解】∵DE是AC的垂直平分线，
∴DA=DC，
∴∠DAC=∠C=25°，
∵∠B=60°，∠C=25°，
∴∠BAC=95°，
∴∠BAD=∠BAC-∠DAC=70°，
故选B．
【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
8．A
【分析】根据题意利用三角形全等证明∠MKA＝∠KNB，再利用角度转换即可解答.
【详解】解：已知∠A＝∠B，AK＝BN，AM＝BK，
可得△AMK≌BNK，
即∠MKA＝∠KNB，
可得∠MKA＝∠KNB，
因此∠MKA＋∠NKB＝∠KNB＋∠NKB＝180°－50°＝130°.
∠MKN＝180°－130°＝50°.
故选A.
【点睛】本题考查三角形全等，掌握全等证明条件是解题关键.
9．A
【分析】根据平行线的性质得到∠BAA′=∠ABC=70°，根据全等三角形的性质、等腰三角形的性质计算即可．
【详解】∵AA′∥BC，
∴∠BAA′=∠ABC=70°，
∵△ABC≌△A′BC′，
∴BA=BA′,∠A′BC′=∠ABC=70°，
∴∠BAA′=∠BA′A=70°，
∴∠A′BA=40°，
∴∠ABC′=30°，
∴∠CBC′=40°，
故选A.
【点睛】本题考查的是三角形，熟练掌握全等三角形的性质好平行的性质是解题的关键.
10．B
【分析】根据角平分线的性质得到PD=PE=2，根据直角三角形中，30°的直角边是斜边的一半、直角三角形斜边上的中线是斜边的一半得到DM=DP，得到答案．
【详解】∵OP平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，
∴PD=PE=2，
∵OP平分∠AOB，∠AOB=60°，
∴∠POD=30°，
∵PD⊥OA，
∴PD=OP，
∵PD⊥OA，点M是OP的中点，
∴DM=OP，
∴DM=DP=2，
故选B．
【点睛】本题考查的是角平分线的性质、直角三角形的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
11．
【分析】根据多边形内角和公式和外角和为可得方程，再解方程即可．
【详解】解：由题意得：，
解得：，
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了多边形内角和与外角和，要结合多边形的内角和公式与外角和的关系来寻求等量关系，构建方程即可求解．
12．
【分析】本题考查镜面对称，关于镜子的像，实际数字与原来的数字关于竖直的线对称，根据相应数字的对称性可得实际数字．
【详解】∵是从镜子中看，
∴对称轴为竖直方向的直线，
∵5的对称数字为2，2的对称数字是5，镜子中数字的顺序与实际数字顺序相反，
∴这时的时刻应是．
故答案为：．
13．
【分析】根据作图可得，则是等边三角形，根据等边三角形的性质，即可求解．
【详解】解：如图所示，连接，
，
是等边三角形，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质与判定，熟练掌握基本作图，等边三角形的性质与判定是解题的关键．
14．或
【分析】等腰三角形的一个外角等于130°，则等腰三角形的一个内角为50°，但已知没有明确此角是顶角还是底角，所以应分两种情况进行分类讨论即可得．
【详解】∵等腰三角形的一个外角为，
∴与130°相邻的内角为50°，
当为顶角时，其他两角都为、，
当为底角时，其他两角为、，
所以等腰三角形的顶角为或，
故答案为或．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理，在解决与等腰三角形有关的问题，由于等腰所具有的特殊性质，很多题目在已知不明确的情况下，要进行分类讨论，才能正确解题．
15．104°
【分析】根据线段垂直平分线的性质和三角形的内角和定理，求出∠B+∠C的值，然后根据再根据三角形的内角和定理求出∠BAC的度数即可.
【详解】∵AB的垂直平分线交BC于点D，AC的垂直平分线交BC于点E，
∴DA=DB，EA=EC，
∴∠B=∠DAB，∠C=∠EAC，
∵∠B+∠C+∠BAC=180°，
∠DAE=28°，
∴2∠B+2∠C+∠DAE=180°，
∴∠B+∠C=76°，
∴∠BAC=180°-76°=104°.
故答案为：104°.
【点睛】此题主要考查了线段垂直平分线的性质、三角形的内角和定理等知识，关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题.
16．##
【分析】本题考查了三角形的中线的性质；作 于，利用角平分线的性质证得，由的三边长，根据三角形的面积公式得 ，代入数值计算即可求得的值．
【详解】解：作 于 ，

是 的角平分线， 于点 ，
，
为直角三角形，，，，
，

故答案为
17．见解析；
【分析】根据轴对称的性质进行作图即可．
【详解】如图所示：
【点睛】考查利用轴对称设计图案，熟练掌握轴对称图形的定义是解题的关键.
18．（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质，可以得出△ABE≌△ACD；
（2）由△ABE≌△ACD可以得出∠B=∠ACD﹣45°，进而得出∠DCB=90°，就可以得出结论．
【详解】证明：（1）∵△ABC与△AED均为等腰直角三角形，
∴AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠EAD=90°．∠ABC=∠ACB=45°，
∴∠BAC+∠CAE=∠EAD+∠CAE．
即∠BAE=∠CAD，
在△ABE与△ACD中，，
∴△ABE≌△ACD（SAS），
（2）证明：∵△ABE≌△ACD，
∴∠ACD=∠ABE=45°，
又∵∠ACB=45°，
∴∠BCD=∠ACB+∠ACD=90°，
∴DC⊥BE．
【点睛】此题主要考查了等腰直角三角形的性质以及全等三角形的性质与判定，根据等腰三角形的性质得出AC=AB，AD=AE，利用SAS证全等是解题关键．
19．（1）证明见解析；（2）4.
【分析】（1）先作DM∥AB，交CF于M，可得△CDM为等边三角形，再判定△DMF≌△EBF，最后根据全等三角形的性质以及等边三角形的性质，得出结论；
（2）根据CD⊥AC，∠A=60°=∠ABC，可得∠E=∠BFE=∠DFM=∠FDM=30°，由此得出CM=MF=BF=BC，最后根据AB=12即可求得BF的长．
【详解】（1）证明：如图，作DM∥AB，交CB于M，则∠DMF=∠EBF.
∵△ABC是等边三角形，
∴∠C=60°=∠CDM=∠CMD，
∴△CDM是等边三角形，
∴CD=DM.
在△DMF和△EBF中，
∠DMF=∠EBF，
∠DFM=∠EFB，
DF=EF，
∴△DMF≌△EBF（AAS）.
∴DM=BE，
∴CD=BE.
（2）解：∵ED⊥AC，∠A=60°=∠ABC，
∴∠E=∠BFE=∠DFM=∠FDM=30°，
∴BE=BF，DM=FM.
由（1）知△DMF≌△EBF，
∴MF=BF，
∴CM=MF=BF.
又∵AB=BC=12，
∴CM=MF=BF=4.
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质的综合应用，解决问题的关键是作平行线，构造等边三角形和全等三角形，根据全等三角形的性质以及等边三角形的性质进行求解．
20．(1)
(2)15
(3)
【分析】（1）根据垂直定义由得，再利用角平分线定义得，然后根据三角形内角和定理得，，则，把，代入中计算即可；
（2）把代入中计算即可；
（3）把代入中计算即可
【详解】（1）解：于，
，
平分，
，
而，
，
，
，
若，，
则；
（2）同理：若，
则；
（3）同理：若，
则．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，解题的关键是三角形内角和是．
21．（1）180°；（2）360°；（3）1080°．
【分析】（1）根据三角形外角的性质和三角形内角和定理可得∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数；
（2）根据三角形外角的性质和四边形内角和等于360°可得∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数；
（3）根据图中可找出规律∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°，并且每截去一个角则会增加180度，由此即可求出答案．
【详解】（1）∵∠1=∠2+∠D=∠B+∠E+∠D，∠1+∠A+∠C=180°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°；
（2））∵∠1=∠2+∠F=∠B+∠E+∠F，∠1+∠A+∠C+∠D=360°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°；
（3）观察可以发现图（1）到图（2）可以发现每截去一个角，则会增加180度，
所以当截去5个角时增加了180×5度，
则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠M+∠N=180×5+180=1080°．
【点睛】主要考查了多边形的内角与外角之间的关系．有关五角星的角度问题是常见的问题，其5个角的和是180度．解此题的关键是找到规律利用规律求解．
22．（1）证明见解析；（2）CD、CE、CA满足CE+CA=CD，证明见解析.
【分析】（1）实际上也就是求两条线段相等，在AC上取一点F，使CF＝CD，然后求证△ADF≌△EDC即可．
（2）归根究底仍是求两条线段的问题，通过求证全等，最终得出几条边之间的关系．
【详解】（1）证明：在AC上取点F，使CF＝CD，连接DF．
∵∠ACB＝60°，
∴△DCF为等边三角形．
∴∠3+∠4＝∠4+∠5＝60°．
∴∠3＝∠5．
∵∠1+∠ADE＝∠2+∠ACE，
∴∠1＝∠2．
在△ADF和△EDC中，
，
∴△ADF≌△EDC（AAS）．
∴CE＝AF．
∴CD+CE＝CF+AF＝CA．
（2）解：CD、CE、CA满足CE+CA＝CD；
证明：
在CA延长线上取CF＝CD，连接DF．
∵△ABC为等边三角形，
∴∠ACD＝60°，
∵CF＝CD，
∴△FCD为等边三角形．
∵∠1+∠2＝60°，
∵∠ADE＝∠2+∠3＝60°，
∴∠1＝∠3．
在△DFA和△DCE中
，
∴△DFA≌△DCE（ASA）．
∴AF＝CE．
∴CE+CA＝FA+CA＝CF＝CD．
注：证法（二）以CD为边向下作等边三角形，可证．
证法（三）过点D分别向CA、CE作垂线，也可证．

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质及等边三角形的性质；可围绕结论寻找全等三角形，运用全等三角形的性质判定线段相等，证得三角形全等是正确解答本题的关键．