高考数学二轮复习大题专项练02数列（含答案）

2020年高考数学二轮复习大题专项练02

数列

1.已知等差数列{an}满足a2=2,a1+a4=5.

(1)求数列{an}的通项公式;

(2)若数列{bn}满足:b1=3,b2=6,{bn-an}为等比数列,求数列{bn}的前n项和Tn.

2.已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn=an-a1(n∈N*),且a1-1,2a2,a3+7成等差数列.

(1)求数列{an}的通项公式;

(2)令bn=2log9an(n∈N*),求数列{}的前n项和Tn.

3.已知公差不为零的等差数列{an}中,a3=7,且a1,a4,a13成等比数列.

(1)求数列{an}的通项公式;

(2)记数列{an·2n}的前n项和为Sn,求Sn.

4.已知{an}为等差数列,且a3=-6,a6=0.

(1)求{an}的通项公式;

(2)若等比数列{bn}满足b1=-8,b2=a1+a2+a3,求{bn}的前n项和.

5.已知数列{an}满足a1=1,且an=2an-1+2n(n≥2,且n∈N*),

(1)求证:数列是等差数列;

(2)求数列{an}的通项公式;

(3)设数列{an}的前n项之和为Sn,求证:>2n-3.

6.已知正项等比数列{an}中,a1+a2=6,a3+a4=24.

(1)求数列{an}的通项公式;

(2)数列{bn}满足bn=log2an,求数列{an+bn}的前n项和Tn.

7.已知数列{an}的前n项和Sn=2n+1+n-2.

(1)求数列{an}的通项公式;

(2)设bn=log2(an-1),求Tn=+++…+.

8.已知{an}是各项均为正数的等差数列,且数列{}的前n项和为,n∈N*.

(1)求数列{an}的通项公式;

(2)若数列{an}的前n项和为Sn,数列{}的前n项和Tn,求证Tn<.

参考答案

1.解:

(1)等差数列{an}满足a2=2,a1+a4=5,

则解得a1=d=1,

所以an=1+(n-1)=n.

(2)因为b1=3,b2=6,{bn-an}为等比数列,设公比为q,

所以b1-a1=3-1=2,b2-a2=6-2=4,

所以q=2,

所以bn-an=2×2n-1=2n,

所以bn=n+2n,

所以数列{bn}的前n项和Tn=(1+2+3+…+n)+(2+22+…+2n)

=+=+2n+1-2.

2.解:

(1)由Sn=an-a1得2Sn=3an-a1,

由作差得an=3an-1(n≥2),

又2(a1+a2)=3a2-a1,则a2=3a1.

所以数列{an}是公比为3的等比数列,

又a1-1,2a2,a3+7成等差数列,4a2=a1+a3+6,

即12a1=a1+9a1+6,解得a1=3,所以an=3n.

(2)由(1)得bn=2log93n=n,所以=-,

所以Tn=1-+-+…+-=.

3.解:

(1)设等差数列{an}的公差为d(d≠0),

由a3=7,且a1,a4,a13成等比数列,得

解得a1=3,d=2.

所以an=3+2(n-1)=2n+1.

(2)因为an·2n=(2n+1)·2n,

所以数列{an·2n}的前n项和Sn=3·21+5·22+…+(2n+1)·2n,

2Sn=3·22+5·23+…+(2n-1)·2n+(2n+1)·2n+1,

所以-Sn=6+23+24+…+2n+1-(2n+1)·2n+1=6+-(2n+1)·2n+1

=-2+(1-2n)×2n+1,

所以Sn=2-(1-2n)×2n+1.

4.解:

(1)在等差数列{an}中,由a3=-6,a6=0,得d===2,

所以an=a6+(n-6)d=2n-12.

(2)在等比数列{bn}中,b1=-8,b2=a1+a2+a3=-10+(-8)+(-6)=-24,

所以q===3,所以{bn}的前n项和Sn==4×(1-3n).

5.解答：

(1)证明:因为an=2an-1+2n(n≥2,且n∈N*),

所以=+1,即-=1(n≥2,且n∈N*),

所以数列{}是等差数列,公差d=1,首项为=.

(2)解:由(1)得=+(n-1)×1=n-,所以an=(n-)·2n.

(3)证明:因为Sn=·21+·22+·23+…+(n-)·2n,①

所以2Sn=·22+·23+·24+…+(n-)·2n+1,②

①-②得-Sn=1+22+23+…+2n-(n-)·2n+1=2+22+23+…+2n-(n-)·2n+1-1

=-(n-)·2n+1-1=(3-2n)·2n-3.

Sn=(2n-3)·2n+3,则=(2n-3)+>2n-3,

所以>2n-3.

6.解:

(1)设数列{an}的首项为a1,公比为q(q>0).

则解得

所以an=2×2n-1=2n.

(2)由(1)得bn=log22n=n,

Tn=(a1+b1)+(a2+b2)+…+(an+bn)

=(a1+a2+…+an)+(b1+b2+…+bn)

=(2+22+…+2n)+(1+2+…+n)

=+=2n+1-2+n2+n.

7.解:

(1)由n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n+1+n-2-(2n+n-1-2)=2n+1,

当n=1时,a1=S1=3,符合上式,所以an=2n+1.

(2)由(1)知bn=log2(an-1)=log22n=n,

所以==-,

Tn=+++…+

=1-+-+…+-

=1-

=.

8.解:

(1) {an}是各项均为正数的等差数列,且数列{}的前n项和为,n∈N*,

当n=1时,可得==,①  当n=2时,可得+==,②

②-①得=,所以a1·(a1+d)=6,③    (a1+d)(a1+2d)=12.④

由③④解得  所以数列{an}的通项公式为an=n+1.

(2)证明:由(1)可得Sn=,那么==(-).

所以数列{}的前n项和Tn=(1-+-+-+-+…+-)

=(1++---)=(---)

=-(++),n∈N*,

所以Tn<.