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    2023-2024学年山东省烟台市部分学校联考高二上学期学业水平诊断数学试题(含解析)
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    2023-2024学年山东省烟台市部分学校联考高二上学期学业水平诊断数学试题(含解析)

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    这是一份2023-2024学年山东省烟台市部分学校联考高二上学期学业水平诊断数学试题(含解析),共20页。试卷主要包含了已知圆C,已知直线l,关于空间向量,以下说法正确的是等内容,欢迎下载使用。

    A. -2B. 2C. -12D. 12
    2.经过点A0,1,B-2,5两点的直线的方向向量为1,m,则m的值为
    ( )
    A. 2B. -2C. 3D. -3
    3.在三棱锥O-ABC中,D,E分别为BC,OA的中点,设OA=a,OB=b,OC=c,则下列向量中与DE相等的向量是
    ( )
    A. -12a+12b+12cB. 12a+12b-12cC. 12a+12b+12cD. 12a-12b-12c
    4.求圆心在直线2x+y-1=0上,且与直线x+y-2=0相切于点2,0的圆的方程是
    ( )
    A. x-12+y+12=2B. x2+y-12=2
    C. x-12+y+12=4D. x2+y-12=4
    5.已知空间向量a,b,c满足a=2,b=3,c= 7且a+b+c=0,则a与b的夹角大小为
    ( )
    A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°
    6.如图,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AB=1,AA1=2,则直线DB1与平面ACD1所成角的正弦值为
    ( )
    A. 13B. 63C. 33D. 2 23
    7.已知圆C:x-32+y-42=r2上总存在两个点到原点的距离为2,则圆C半径r的取值范围是
    ( )
    A. 3,5B. 5,7C. 3,7D. 3,+∞
    8.过直线2x-y+1=0上一点P作圆x-22+y2=4的两条切线PA,PB,若PA⊥PB,则点P的横坐标为
    ( )
    A. ± 133B. ± 153C. ± 135D. ± 155
    9.已知直线l:x-my-2m+1=0,则
    ( )
    A. 直线l的倾斜角可以为π2B. 直线l的倾斜角可以为0
    C. 直线l恒过-1,-2D. 原点到直线l距离的最大值为5
    10.关于空间向量,以下说法正确的是( )
    A. 若空间向量a=1,0,1,b=0,1,-1,则a在b上的投影向量为0,-12,12
    B. 若对空间中任意一点O,有OP=23OA-16OB+12OC,则P,A,B,C四点共面
    C. 若空间向量a,b满足a⋅b>0,则a与b夹角为锐角
    D. 若直线l的方向向量为m=2,4,-2,平面α的一个法向量为n=-1,-2,1,则l⊥α
    11.已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的棱长都为2,∠A1AB=∠A1AD=60∘,∠BAD=90∘,O为底面ABCD中心,则下列结论正确的有
    ( )
    A. AC1=2 6
    B. A1B与AD1所成角的余弦值为 33
    C. A1O⊥平面ABCD
    D. 已知N为BB1上一点,则AN+NC1最小值为2 7
    12.米勒问题是指德国数学家米勒1471年向诺德尔教授提出的问题:在地球表面的什么部位,一根垂直的悬杆呈现最长(即可见角最大),米勒问题的数学模型如下:如图,设M,N是锐角∠ABC的一边BA上的两个定点,点P是边BC上的一动点,则当且仅当▵PMN的外接圆与BC相切于点P时,∠MPN最大.若M0,3,N 3,4,点P在x正半轴上,则当∠MPN最大时,下列结论正确的有
    ( )
    A. 线段MN的中垂线方程为 3x+y-5=0
    B. P的坐标为 3,0
    C. 过点M与圆相切的直线方程为 3x-y+3=0
    D. ∠MPN=60∘
    13.若直线3x+4y+1=0与直线mx+8y+7=0平行,则这两条直线间的距离为______.
    14.已知直线x-my+1=0与圆C:x-12+y2=4交于A,B两点,写出满足条件“sin∠ACB= 32”的m的一个值______.
    15.如图,在正四棱台ABCD-A1B1C1D1中,AB=6,A1B1=4,AA1= 6,则该棱台的体积为 ,点B1到面ACD1的距离为 .(本小题第一空2分,第二空3分)
    16.平面直角坐标系xOy中,圆C的方程为x-m2+y-2m+32=2m∈R,若对于点P-2,2,圆C上总存在点M,使得MP=MO,则实数m的取值范围为______.
    17.已知直线l过点1,2,求满足下列条件的直线l的方程.
    (1)在两坐标轴上的截距相等;
    (2)A-1,-1,B3,1到直线l距离相等.
    18.如图,在边长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是DD1,CD的中点.
    (1)求证:BF//平面AB1E;
    (2)求四面体AECB1的体积.
    19.已知点A0,0,B3,0,动点P满足PAPB=12,设P的轨迹为C.
    (1)求C的轨迹方程;
    (2)若过点A的直线与C交于M,N两点,求BM⋅BN取值范围.
    20.如图,直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD为等腰梯形,其中AD//BC,AA1=BC=4,AB=AD=2,MB1=3MB,N为DD1中点.
    (1)若平面CMN交侧棱AA1于点P,求证:MC//PN,并求出AP的长度;
    (2)求平面CMN与底面ABCD所成角的余弦值.
    21.如图,ABCD为边长是2的菱形,∠BAD=60∘,BE⊥平面ABCD,DF⊥平面ABCD,BE=DF=1,P为边BC上一点(与B,C两点不重合),使得EP与平面AEF所成的角为60∘.
    (1)求BP的长;
    (2)求平面AEF与平面DPE所成角的余弦值.
    22.已知O0,0,A6,0,P点满足OP⊥AP.
    (1)求点P的轨迹Γ的方程,并说明是何图形;
    (2)设T为直线x=-1上一点,直线TO,TA分别与Γ相交于点B,C,求四边形OBAC面积S的最大值.
    答案和解析
    1.【答案】D
    【解析】【分析】根据纵截距求解出 m 的值,然后由直线方程求解出斜率.
    解:因为 x+my+4=0 的纵截距为 2 ,所以直线经过 0,2 ,
    所以 2m+4=0 ,所以 m=-2 ,
    所以斜率 k=-1m=12 ,
    故选:D.
    2.【答案】B
    【解析】【分析】利用两点式求斜率,即可得直线的一个方向向量,进而确定参数值.
    解:由题设 kAB=5-1-2-0=-2 ,故对应直线的一个方向向量为 (1,-2) ,
    所以 m=-2 .
    故选:B
    3.【答案】D
    【解析】【分析】由空间向量的位置关系,结合向量加减、数乘的几何意义用 OA=a , OB=b , OC=c 表示出 DE 即可.
    解:由 DE=DA+AE=12AO-AD=12AO-12(AB+AC)=-12OA-12(OB+OC-2OA)
    =12OA-12OB-12OC=12a-12b-12c .
    故选:D
    4.【答案】A
    【解析】【分析】设出圆心坐标,根据圆心到直线 x+y-2=0 的距离等于圆心到 2,0 的距离求解出圆心坐标,从而半径可求,则圆的方程可知.
    解:因为圆心在直线 2x+y-1=0 上,所以设圆心 a,1-2a ,
    因为圆与直线 x+y-2=0 相切于点 2,0 ,
    所以 a+1-2a-2 1+1= a-22+1-2a-02 ,解得 a=1 ,
    所以圆心为 1,-1 ,半径为 1-22+-1-02= 2 ,
    所以圆的方程为 x-12+y+12=2 ,
    故选:A.
    5.【答案】C
    【解析】【分析】由 c=-(a+b) ,利用向量数量积的运算律有 c2=a2+2a⋅b+b2 ,即可求 a 与 b 的夹角大小.
    解:由题设 c=-(a+b) ,则 c2=(a+b)2=a2+2a⋅b+b2=4+2×2×3×csa,b+9=7 ,
    所以 csa,b=-12 ,又 a,b∈(0,π) ,可得 a,b=2π3 ,即 a,b=120∘ .
    故选:C
    6.【答案】B
    【解析】【分析】构建空间直角坐标系,应用向量法求线面角的正弦值.
    解:构建如下图的空间直角坐标系 D-xyz ,则 A(1,0,0),C(0,1,0),D(0,0,0),B1(1,1,2),D1(0,0,2) ,
    所以 DB1=(1,1,2) , AD1=(-1,0,2) , AC=(-1,1,0) ,
    若 m=(x,y,z) 是面 ACD1 的一个法向量,则 m⋅AD1=-x+2z=0m⋅AC=-x+y=0 ,
    取 z=1 ,则 m=(2,2,1) ,
    所以 csm,DB1=|m⋅DB1|m||DB1||=63× 6= 63 ,
    则直线 DB1 与平面 ACD1 所成角的正弦值为 63 .
    故选:B
    7.【答案】C
    【解析】【分析】由原点到 C(3,4) 的距离 d=5 ,讨论原点与圆的位置关系,结合题设条件求半径的范围.
    解:由圆心为 C(3,4) ,半径为 r>0 ,则原点到 C(3,4) 的距离 d=5 ,
    要使总存在两个点到原点的距离为2,
    若原点在圆外,则 d>rd-r<2⇒3若原点在圆上,即 r=d=5 ,满足;
    若原点在圆内,则 d综上,圆C半径r的取值范围是 3,7 .
    故选:C
    8.【答案】D
    【解析】【分析】令已知圆的圆心 C(2,0) ,由题设易知四边形 PACB 为正方形且边长为 r=2 ,进而求得直线 PC 与直线 2x-y+1=0 夹角余弦值为 csθ= 64 ,根据直线所过点 D(0,1) 并设 P(x,2x+1) ,应用向量夹角坐标表示列方程求P的横坐标.
    解:由题设,已知圆的圆心 C(2,0) ,四边形 PACB 为正方形且边长为 r=2 ,
    所以 |PC|=2 2 ,而 C 到直线 2x-y+1=0 的距离 d= 5 ,如下图,
    令直线 PC 与直线 2x-y+1=0 夹角为 θ ,则 csθ= 8-52 2= 64 ,
    又直线 2x-y+1=0 过 D(0,1) ,令 P(x,2x+1) ,则 PD=(-x,-2x),PC=(2-x,-2x-1) ,
    所以 csθ=|PC⋅PD|PC||PD||=|5x2 5x× (x-2)2+(2x+1)2|=|x2x× x2+1|= 64 ,
    则 x2x2+1=38⇒5x2=3⇒x=± 155 .
    故选:D
    9.【答案】AC
    【解析】【分析】根据直线方程判断直线倾斜角可知A、B正误;由x+1-m(y+2)=0确定定点判断C;根据原点与(-1,-2)所成直线与直线l垂直时,原点到直线l距离的最大判断D.
    解:A:当m=0,则直线l:x+1=0,此时倾斜角为π2,对;
    B:无论m为何值,直线l的斜率不可能为0,故倾斜角不可能为0,错;
    C:由x+1-m(y+2)=0恒过(-1,-2),对;
    D:原点与(-1,-2)所成直线与直线l垂直时,原点到直线l距离最大为 5,错.
    故选:AC
    10.【答案】ABD
    【解析】【分析】A投影向量定义求a在b上的投影向量;B由空间向量共面的推论判断;C由a,b同向共线即可判断;D由m=-2n即可判断.
    解:A:a在b上的投影向量为a⋅b|b|⋅b|b|=-12b=0,-12,12,对;
    B:在OP=23OA-16OB+12OC中23-16+12=1,故P,A,B,C四点共面,对;
    C:当a,b同向共线时a⋅b>0也成立,但a与b夹角不为锐角,错;
    D:由m=-2n,即m//n,故l⊥α,对.
    故选:ABD
    11.【答案】BCD
    【解析】【分析】A.利用空间向量表示出AC1,然后根据数量积运算求解出AC1;
    B.利用向量法求解出A1B,AD1夹角的余弦值,则结果可判断;
    C.通过证明A1O,BD的位置关系、A1O,AO的位置关系,结合线面垂直的判定定理进行判断;
    D:将平面AA1B1B与平面BB1C1C展开成一个平面,利用三点共线求解出AN+NC1的最小值.
    解:设AB=a,AD=b,AA1=c,如下图:
    对于A:因为AC1=a+b+c,
    所以AC1=a+b+c= a+b+c2= a2+b2+c2+2a⋅b+2a⋅c+2b⋅c,
    所以AC1= 4+4+4+0+4+4=2 5,故 A错误;
    对于B:A1B=AB-AA1=a-c,AD1=AD+AA1=b+c,
    所以A1B⋅AD1=a-c⋅b+c=a⋅b+a⋅c-b⋅c-c2=0+2-2-4=-4,
    所以A1B=a-c= a2-2a⋅c+c2=2,AD1=b+c= b2+2b⋅c+c2=2 3,
    所以csA1B,AD1=A1B⋅AD1A1BAD1=-42×2 3=- 33,
    所以A1B与AD1所成角的余弦值为 33,故 B正确;
    对于C:因为∠BAD=90∘,AB=AD=2,所以▵ABD为等腰直角三角形,
    所以BD= AB2+AD2=2 2,AO=12BD= 2,
    因为∠A1AB=∠A1AD=60∘,且AA1=AB=AD,
    所以▵A1AD,▵A1AB均为边长为2的等边三角形,所以A1B=A1D=2,
    所以A1B2+A1D2=BD2,所以▵A1BD为等腰直角三角形,
    又因为O为底面ABCD的中心,所以O为BD中点,所以A1O⊥BD且A1O=12BD= 2,
    所以AO2+A1O2=AA12,所以A1O⊥AO,
    又因为AO∩BD=O,AO,BD⊂平面ABCD,所以A1O⊥平面ABCD,故 C正确;
    对于D:将平面AA1B1B与平面BB1C1C展开成一个平面,如下图所示:
    当且仅当A,N,C1三点共线时AN+NC1有最小值,
    此时AC=4,CC1=2,∠ACC1=120∘,所以AC12=AC2+CC12-2AC×CC1×cs120∘,
    所以AC12=16+4-2×4×2×-12=28,所以AC1=2 7,
    所以AN+NC1的最小值为2 7,故 D正确;
    故选:BCD.
    12.【答案】ABC
    【解析】【分析】构建直角坐标系,根据已知确定MN中点为( 32,72),kMN= 33,进而写出线段MN的中垂线方程,由题设∠MPN最大▵PMN的外接圆与x轴相切于点P,设P(a,0),易知E(a,5- 3a),又EP⊥x轴,进而求参数a,注意分析是否符合题设,再写出过点M与圆相切的直线方程,最后由N,E,P共线,即|NP|=4为直径且NP⊥x轴,求∠MPN判断各项正误.
    解:由题设,构建如下图示直角坐标系,MN中点( 32,72),kMN= 33,故中垂线的斜率为- 3,
    所以中垂线方程为y-72=- 3(x- 32),即 3x+y-5=0,A对;
    由题意,∠MPN最大,则▵PMN的外接圆与x轴相切于点P,
    若P(a,0),则外接圆圆心在x=a上,又圆心在 3x+y-5=0上,
    所以圆心坐标为E(a,5- 3a),又EP⊥x轴,故r=|5- 3a|,
    所以a2+(2- 3a)2=(5- 3a)2,则a2+6 3a-21=(a- 3)(a+7 3)=0,故a= 3或a=-7 3,
    由A分析,易知直线MN:x- 3y+3 3=0,则B(-3 3,0),
    若a=-7 3,即P(-7 3,0),此时P不是锐角∠ABC的边BC上动点,不合题意,
    显然a= 3时,符合题设,故P的坐标为 3,0,B对;

    由B分析,圆心E( 3,2),则kEM=-1 3,故过点M与圆相切的直线斜率为 3,
    所以过点M与圆相切的直线方程为y-3= 3x,即 3x-y+3=0,C对;
    由上分析知:N,E,P共线,即|NP|=4为直径且NP⊥x轴,
    所以,在中sin∠MPN=|MN||NP|=12,故∠MPN=30∘,D错.
    故选:ABC
    13.【答案】12
    【解析】【分析】由两线平行求得 m=6 ,再应用平行线的距离公式求两条直线间的距离.
    解:由两线平行知: m3=84≠71⇒m=6 ,即直线 6x+8y+2=0 与 6x+8y+7=0 平行,
    所以它们的距离为 7-2 62+82=12 .
    故答案为: 12
    14.【答案】 3
    【解析】【分析】根据 sin∠ACB= 32 确定出 ∠ACB 的大小,然后求解出圆心到直线的距离,由此求解出 m 的值.
    解:圆 C 的圆心 C1,0 ,半径 r=2 ,
    因为 sin∠ACB= 32 ,所以 ∠ACB=π3 或 ∠ACB=2π3
    当 ∠ACB=π3 时,此时圆心到直线的距离 d=r×csπ6= 3 ,如下图所示:

    所以 1+0+1 1+m2= 3 ,解得 m=± 33 ;
    当 ∠ACB=2π3 时,此时圆心到直线的距离 d=r×csπ3=1 ,如下图所示:

    所以 1+0+1 1+m2=1 ,解得 m=± 3 ;
    故答案为: 3 (答案不唯一).
    15.【答案】1523;4 63
    【解析】【分析】过点A1作A1E⊥AC交AC于E点,根据几何体的结构特点分析出A1E即为正四棱台的高,然后根据体积公式求出体积;过点B1作B1M⊥D1O交D1O于M点,根据几何关系证明出B1M的长即为所求点面距离,再根据线段长度求出结果.
    解:连接A1C1∩B1D1=O1,AC∩BD=O,连接OO1,过点A1作A1E⊥AC交AC于E点,如下图所示:
    因为几何体为正四棱台,所以OO1⊥平面ABCD,
    又因为A1E⊥AC,OO1⊥AC,所以A1E//OO1,所以A1E为正四棱台的高,
    又因为AB=6,A1B1=4,
    所以AE=AC-A1C12=6 2-4 22= 2,
    所以A1E= AA12-AE2=2,
    所以棱台的体积为:13×2×16+36+ 16×36=1523;
    连接D1O,B1O,过点B1作B1M⊥D1O交D1O于M点,如下图所示:
    因为OO1⊥AC,AC⊥BD,OO1∩BD=O,
    所以AC⊥平面DD1B1B,所以AC⊥B1M,
    又因为B1M⊥D1O,D1O∩AC=O,
    所以B1M⊥平面ACD1,所以B1M的长度即为点B1到面ACD1的距离,
    由对称性可知:D1O=B1O= D1O12+OO12= 8+4=2 3,
    所以sin∠B1D1O=OO1D1O=22 3= 33,
    所以B1M=B1D1×sin∠B1D1O=4 2× 33=4 63,
    所以点B1到面ACD1的距离为4 63,
    故答案为:1523;4 63.
    16.【答案】3≤m≤7
    【解析】【分析】根据题设,只需保证 OP 的中垂线与圆 C 有交点,应用点斜式写出 OP 中垂线,再由点线距离公式有圆心 C 到直线 x-y+2=0 的距离 d≤ 2 ,即可求参数范围.
    解:由题设,圆心 C(m,2m-3) ,半径 r= 2 ,
    要使圆C上总存在点M,使得 MP=MO ,即 OP 的中垂线与圆 C 有交点,
    如上图, OP 的中点 B(-1,1) ,且 kOP=-1 ,故 OP 中垂线为 y-1=x+1⇒x-y+2=0 ,
    所以圆心 C 到直线 x-y+2=0 的距离 d=|5-m 2|≤ 2 ,即 -2≤5-m≤2 ,
    所以 3≤m≤7 .
    故答案为: 3≤m≤7
    17.【答案】解:(1)若直线过原点,令 l:y=kx ,则 k=2 ,故直线为 l:2x-y=0 ;
    若截距不为0,令 l:xa+ya=1 ,则 a=3 ,故直线为 l:x+y-3=0 ;
    综上,直线方程为 2x-y=0 或 x+y-3=0 .
    (2)若 A-1,-1 , B3,1 在直线 l 的同一侧,即直线 AB// 直线 l ,
    而 kAB=1-(-1)3-(-1)=12 ,故直线 l 为 y-2=12(x-1) ,则 x-2y+3=0 ;
    若 A-1,-1 , B3,1 分别在直线 l 的两侧,即 A,B 关于直线 l 上一点对称,
    所以 AB 中点 (1,0) 在直线 l 上,又直线l过点 1,2 ,故直线 l 为 x=1 ;
    综上,直线l的方程为 x=1 或 x-2y+3=0 .

    【解析】【分析】(1)讨论截距是否为0,求对应直线方程;
    (2)讨论两点与直线 l 的位置,利用直线平行、点对称求直线方程.
    18.【答案】解:(1)连接 BA1 交 AB1 于 O ,连接 CD1,EF ,由E,F分别是 DD1 ,CD的中点,
    则 EF//CD1 且 EF=12CD1=12BA1 ,
    由正方体性质: O 为 BA1 中点,故 OB=12BA1 ,则 OB=EF
    又 CD1//BA1 ,即 CD1//OB ,故 OB//EF ,
    所以 OBFE 为平行四边形,则 OE//BF ,
    OE⊂ 面 AB1E , BF⊄ 面 AB1E ,则 BF// 平面 AB1E .
    (2)过 C 作 CG//BF 交 AB 延长线于 G ,又 AB=CD ,
    故 CFBG 为平行四边形,则 BG=CF=1 ,故 AG=3 ,
    又 BF// 平面 AB1E ,所以 CG// 平面 AB1E ,
    故 C 到面 AB1E 的距离等于 G 到面 AB1E 的距离,
    所以 VC-AEB1=VG-AEB1=VE-AGB1=13×2×12×2×3=2 .

    【解析】【分析】(1)连接 BA1 交 AB1 于 O ,连接 CD1,EF ,结合已知证 OBFE 为平行四边形,则 OE//BF ,由线面平行的判定证结论;
    (2)过 C 作 CG//BF 交 AB 延长线于 G ,证 CFBG 为平行四边形,进而有 AG=3 、 CG// 平面 AB1E ,再由 VC-AEB1=VG-AEB1=VE-AGB1 ,应用锥体体积公式求四面体 AECB1 的体积.
    19.【答案】解:(1)设 Px,y ,因为 PAPB=12 ,
    所以 x2+y2 x-32+y2=12 ,所以 4x2+y2=x-32+y2 ,
    化简得: x+12+y2=4 ,
    所以 C 的轨迹方程为: x+12+y2=4 ;
    (2)当直线斜率不存在时,直线方程为 x=0 ,代入 C 的轨迹方程可得 y=± 3 ,
    不妨令 M0, 3,N0,- 3 ,所以 BM=-3, 3,BN=-3,- 3 ,
    所以 BM⋅BN=9-3=6 ;
    当直线斜率存在时,设 MN:y=kx , Mx1,y1,Nx2,y2 ,
    联立 y=kxx+12+y2=4 ,可得 1+k2x2+2x-3=0 ,
    所以 x1+x2=-21+k2,x1x2=-31+k2 ,
    又 BM=x1-3,y1,BN=x2-3,y2 ,
    所以 BM⋅BN=x1-3x2-3+kx1⋅kx2=1+k2x1x2-3x1+x2+9 ,
    所以 BM⋅BN=1+k2-31+k2-3-21+k2+9=6+61+k2 ,
    因为 1+k2∈1,+∞ ,所以 61+k2∈0,6 ,所以 6+61+k2∈6,12 ,所以 BM⋅BN∈6,12 ;
    综上可知, BM⋅BN 的取值范围为 6,12 .

    【解析】【分析】(1)设出 P 点坐标,根据距离公式以及 PAPB=12 得到 x,y 的等量关系即为轨迹方程;
    (2)分类讨论直线的斜率是否存在,斜率不存在时直接计算即可,斜率存在时联立直线与轨迹方程,利用坐标法结合不等式完成计算.
    20.【答案】解:(1)由 AD//BC , AD⊄ 面 BCC1B1 , BC⊂ 面 BCC1B1 ,则 AD// 面 BCC1B1 ,
    由 AA1//BB1 , AA1⊄ 面 BCC1B1 , BB1⊂ 面 BCC1B1 ,则 AA1// 面 BCC1B1 ,
    AD∩AA1=A , AD,AA1⊂ 面 ADD1A1 ,故面 ADD1A1// 面 BCC1B1 ,
    由平面 CMN 交侧棱 AA1 于点P,N为 DD1 中点,故 P,N∈ 面 ADD1A1 ,
    故面 CMN∩ 面 ADD1A1=PN ,又面 CMN∩ 面 BCC1B1=MC ,
    综上, MC//PN .
    过 N 作 NE//AD//BC ,则 E 为 AA1 的中点,
    易知 ▵BCM∼▵ENP ,即 ENBC=EPBM⇒24=EP1⇒EP=12 ,
    所以 AP=AE+EP=52 .
    (2)将 PM,AB 延长交于 F ,连接 FC,AC ,则平面 CMN∩ 底面 ABCD=FC ,
    由 AD//BC , AA1=BC=4 , AB=AD=2 ,
    故在等腰梯形 ABCD 中 ∠BAD=∠CDA=120∘ ,且 ∠CAD=30∘ ,
    所以 ∠BAC=90∘ ,且 AC=2 3 ,
    由 Rt▵FBM∼Rt▵FAP ,则 FBFA=FBFB+AB=BMAP=25⇒FB=43 ,所以 AF=103 ,
    在 Rt▵FAC 中 tan∠AFC=ACAF=3 35 ,则 sin∠AFC=3 32 13 ,
    过 A 作 AG⊥FC 于 G ,则 AG=AFsin∠AFC=103×3 32 13=5 3 13 ,
    连接 PG ,又 PA⊥ 面 ABCD , FC⊂ 面 ABCD ,则 PA⊥FC ,
    AG∩PA=A , AG,PA⊂ 面 PAG ,则 FC⊥ 面 PAG , PG⊂ 面 PAG ,
    所以 PG⊥FC , AG⊂ 面 ABCD ,故 ∠PGA 为平面 CMN 与底面 ABCD 所成角平面角,
    所以 tan∠PGA=APAG=52× 135 3= 132 3 ,则 cs∠PGA=2 3 12+13=2 35 .
    综上,平面 CMN 与底面 ABCD 所成角的余弦值为 2 35 .

    【解析】【分析】(1)线面平行的判定证得 AD// 面 BCC1B1 、 AA1// 面 BCC1B1 ,再由面面平行的判定证面 ADD1A1// 面 BCC1B1 ,再由面面平行的性质证结论,最后根据已知求AP的长度;
    (2)将 PM,AB 延长交于 F ,连接 FC,AC ,易知平面 CMN∩ 底面 ABCD=FC ,根据已知求得 sin∠AFC=3 32 13 ,过 A 作 AG⊥FC 于 G 求 AG ,连接 PG ,应用线面垂直的性质、面面角的定义得 ∠PGA 为平面 CMN 与底面 ABCD 所成角平面角,进而求其余弦值即可.
    21.【答案】解:(1)由 BE⊥ 面 ABCD , DF⊥ 面 ABCD 且 BE=DF=1 , ABCD 为边长是2的菱形, ∠BAD=60∘ ,
    将几何图形补全为直棱柱 ABCD-GEHF , Dx 垂直平分 AB ,构建如下空间直角坐标系,
    则 A( 3,-1,0),E( 3,1,1),F(0,0,1) ,设 BP=x>0 ,则 P( 3- 3x2,1+x2,0) ,
    所以 PE=( 32x,-12x,1) , FA=( 3,-1,-1) , FE=( 3,1,0) ,
    令 m=(x,y,z) 是面 AEF 的一个法向量,则 m⋅FA= 3x-y-z=0m⋅FE= 3x+y=0 ,
    取 x=1 ,则 m=(1,- 3,2 3) ,
    由EP与平面 AEF 所成的角为 60∘ ,故 |csm,PE|=|m⋅PE|m||PE||=| 3x+2 34× x2+1|= 32 ,
    所以 (x+2)2=4(x2+1) ,即 3x2-4x=0 ,可得 x=43 或 0 (舍),
    所以 BP=43 .
    (2)由(1)知: P( 33,53,0) ,则 DP=( 33,53,0) , DE=( 3,1,1) ,
    令 n=(a,b,c) 是面 DPE 的一个法向量,则 n⋅DP= 33a+53b=0n⋅DE= 3a+b+c=0 ,
    取 a=5 ,则 n=(5,- 3,-4 3) ,又 m=(1,- 3,2 3) 是面 AEF 的一个法向量,
    所以 |csm,n|=|m⋅n|m||n||=16 76×4=2 1919 ,
    故平面 AEF 与平面 DPE 所成角的余弦值 2 1919 .

    【解析】【分析】(1)根据题设将几何图形补全为直棱柱 ABCD-GEHF ,构建如下空间直角坐标系,设 BP=x>0 ,则 P( 3- 3x2,1+x2,0) ,应用向量法,结合线面角求参数x即可.
    (2)应用向量法求平面 AEF 与平面 DPE 所成角的余弦值.
    22.【答案】解:(1)设 Px,y ,因为 OP⊥AP ,
    所以 OP⋅AP=x,y⋅x-6,y=x2-6x+y2=0 ,
    故点P的轨迹 Γ 的方程为 x-32+y2=9 ,(除去 0,0,6,0 ),
    故轨迹为以 3,0 为圆心,3为半径的圆,除去 O0,0 , A6,0 ;
    (2)考虑对称性,不妨设 T-1,t,t>0 ,
    则直线 OT:y=-tx ,
    联立 x-32+y2=9 可得, 1+t2x2-6x=0 ,
    解得 xB=61+t2 ,所以 yB=-6t1+t2 ,
    直线 TA:y=-t7x-6 ,
    联立 x-32+y2=9 可得, 49+t2x2-12t2+294x+36t2=0 ,
    则 6xC=36t249+t2 ,解得 xC=6t249+t2 ,故 yC=-t76t249+t2-6=42t49+t2 ,
    故 S=12OAyC-yB=3×42t49+t2+6t1+t2=144tt2+7t2+72+36t2
    =24×6tt2+7t2+72+36t2≤24×t2+72+36t22t2+72+36t2=12 ,
    当且仅当 t2+7=6t ,即 t=3± 2 时,等号成立,
    故四边形 OBAC 面积S的最大值为12.

    【解析】【分析】圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法:
    (1)几何法,若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义,则考虑利用几何法来解决;
    (2)代数法,若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系,则可首先建立目标函数,再求这个函数的最值或范围.
    (1)设 Px,y ,根据垂直关系得到方程,求出轨迹方程,注意舍去不合要求的点,并得到轨迹图形;
    (2)设出 T-1,t,t>0 ,直线 OT:y=-tx ,直线 TA:y=-t7x-6 ,联立(1)中所求轨迹方程,得到 B,C 点的坐标,表达出 S=144tt2+7t2+72+36t2 ,利用基本不等式求出最值.
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