2024湖北省A9高中联盟高一上学期期中联考数学试卷含解析

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试卷满分：150分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，仅有一项是符合题目要求的.
1. 下列各组对象不能构成集合的是（ ）
A. 参加杭州亚运会的全体乒乓球选手B. 小于5的正整数
C. 2023年高考数学难题D. 所有无理数
【答案】C
【解析】
【分析】根据集合的意义，逐项判断即可.
【详解】对于A，参加杭州亚运会的全体乒乓球选手明确可知，可以构成集合；
对于B，小于5正整数明确可知，可以构成集合；
对于C，2023年高考数学难题模棱两可，给定一个2023年高考数学题不能判断其是否是难题，不能构成集合；
对于D，无理数明确可知，可以构成集合.
故选：C
2. 下列关系中不正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据常见的数集及元素与集合的关系判断即可.
【详解】因为为自然数集，所以，，故A、D正确；
为实数集，所以，故B错误；
有理数集，所以，故C正确；
故选：B
3. 集合的子集个数是（ ）
A 1B. 2C. 3D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】先求得集合A，根据元素的个数，即可求得子集的个数，即可得答案.
【详解】由，解得，
所以集合，含有2个元素
所以集合A的子集个数为.
故选：D
4. 下列“若p，则q”形式的命题中，q是p的必要条件的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若为无理数，则为无理数
D. 若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是菱形
【答案】A
【解析】
【分析】根据充分条件的定义依次判断每个选项即可.
【详解】对选项A：若则，故是的必要条件，故A正确；
对选项B：若，时，不能得到，故B错误；
对选项C：取，满足为无理数，为有理数，故C错误；
对选项D：四边形的对角线互相垂直，则这个四边形不一定是菱形，故D错误；
故选：A
5. 命题“，”的否定是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题即可得解.
【详解】因为全称量词命题的否定为存在量词命题，
所以命题“，”的否定是，.
故选：C.
6. 已知函数是定义在区间上的奇函数，则（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】根据奇函数得到，，解得答案，再验证即可.
【详解】函数是定义在区间上的奇函数，
则，解得，定义域为，，则，
，定义域为，，函数为奇函数，满足，
故.
故选：C
7. 已知函数，，则函数（ ）
A. 有最小值，无最大值B. 有最大值，无最小值
C. 既有最小值又有最大值D. 既无最小值，又无最大值
【答案】D
【解析】
【分析】画出函数图像，根据图像得到答案.
【详解】函数的图像时是由向右平移1个单位形成，
画出函数图像，如图所示：
根据图像知，函数在上既无最小值，又无最大值.
故选：D
8. 下列不等关系中，填“”的是（ ）
A 若且，则___0B. 若且，则___0
C. 若，则___D. 若，则___
【答案】C
【解析】
【分析】应用不等式的性质及作差法判断即可.
【详解】对A，若且，当时，满足条件，但，A错误；
对B，若且，则，则，B错误；
对C，若，，C正确；
对D，若，，D错误.
故选：C
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9. 下列函数中，与不是同一函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据函数的解析式和定义域是否相同，依次判断即可.
【详解】函数的定义域为，
对选项A：定义域为，不是同一函数；
对选项B：，解析式不同，不是同一函数；
对选项C：，定义域为，是同一函数；
对选项D：定义域为，不是同一函数；
故选：ABD.
10. 若集合，，则能使成立的的值可能为（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】CD
【解析】
【分析】确定，根据得到，对比选项得到答案.
【详解】，，，故.
故选：CD.
11. 已知函数在上具有单调性，下列说法正确的有（ ）
A. B. C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】根据函数单调性得到或，解得答案.
【详解】函数在上具有单调性，则或，
解得或.
故选：BC
12. 下列说法正确的是（ ）
A. 不等式的解集为或
B. 不等式的解集为
C. 不等式的解集为R
D. 不等式的解集为
【答案】ABD
【解析】
【分析】直接解不等式即可.
【详解】对选项A：等式的解集为或，故A正确；
对选项B：不等式的解集为，故B正确；
对选项C：不等式的解集为，故C错误；
对选项D：不等式，即，解集为，故D正确；
故选：ABD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 函数的定义域是______.
【答案】
【解析】
【分析】根据函数定义域的求法求得正确答案.
【详解】依题意，解得且，
所以的定义域为.
故答案为：
14. “不等式对一切实数都成立”，则的取值范围为________.
【答案】
【解析】
【分析】对二次项系数分成等于0和不等于0两种情况进行讨论，对时，利用二次函数的图象进行分析求解.
【详解】当时，不等式对一切实数都成立，
所以成立；
当时，由题意得解得：；
综上所述：.
15. 若，，且，则的最小值是____________．
【答案】
【解析】
【分析】利用基本不等式得，再解不等式可得结果.
【详解】因为（当且仅当时，等号成立），
所以，
所以，所以，所以，
所以的最小值为.
故答案为：
16. 函数的函数值表示不超过的最大整数，例如，，.当时，的值域为______.
【答案】
【解析】
【分析】设，其中是的整数部分，是的小数部分，，得到答案.
【详解】设，其中是的整数部分，是的小数部分，，，
.
故答案为：.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知全集，集合，.
（1）求；
（2）求.
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）直接计算并集即可.
（2）确定或，再计算交集得到答案.
【小问1详解】
，，；
【小问2详解】
，，或，
又，或.
18. 已知函数
（1）分别求,,的值；
（2）若，求a的值.
【答案】（1），，
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意，由分段函数解析式，代入计算，即可得到结果；
（2）根据题意，由分段函数解析式，分别讨论，代入计算，即可得到结果.
【小问1详解】
由题意可得，，，
因为，所以，
因为，所以，
因为，所以.
【小问2详解】
当时，由，可得，则（舍），
当时，由，可得，解得或（舍），
当时，由，可得，则（舍），
综上，.
19. 已知集合，或，为实数集．
（1）若，求实数的取值范围；
（2）若“”是“”的充分不必要条件，且，求实数的取值范围．
【答案】19.
20.
【解析】
【分析】（1）确定，根据得到，解得答案.
（2）确定是的非空真子集，得到，解得答案.
【小问1详解】
由不等式，解得，则，
或，，则，解得，
即实数的取值范围为.
【小问2详解】
或，，
若“”是“”的充分不必要条件，则是的真子集，
又由题意知，所以是的非空真子集，，
解得，所以实数的取值范围为.
20. 已知函数
（1）判断函数的奇偶性，并证明.
（2）若，根据函数单调性的定义证明函数在区间的单调性.
【答案】（1）奇函数，证明见解析
（2）单调递增，证明见解析
【解析】
【分析】（1）确定函数定义域，计算得到证明.
（2）根据得到，设，计算得到证明.
【小问1详解】
函数为奇函数，
函数的定义域为，，
所以函数为奇函数.
【小问2详解】
函数在区间上单调递增，
，所以，，
设，则
，所以，，，
于是，故，
所以函数在区间上单调递增.
21. 给定函数.

（1）在同一直角坐标系中画出函数的图像；
（2） 表示中的较大者，记为.结合图像写出函数的解析式，并求的最小值.
【答案】（1）图象见解析
（2），
【解析】
【分析】（1）根据函数解析直接画图象即可；
（2）先求出两函数图象的交点坐标，再根据图象可求出的解析式和其最小值.
【小问1详解】
对于，过作一条直线即可得到的图象，
对于是对称轴为，开口向上的抛物线，过作平滑曲线可得的图象，图象如图所示，
【小问2详解】
由，得或，结合图象，可得的解析式为
，
结合图象可知，当时，.
22. 设矩形ABCD（AB＞AD）的周长为24cm，把△ABC沿AC向△ADC折叠，AB折过去后交DC于点P，设AB＝xcm，DP＝ycm．

（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）求△ADP的最大面积及相应x的值．
【答案】（1）
（2）最大面积为，
【解析】
【分析】（1）设AB＝x，则，进而，结合勾股定理计算即可求解；
（2）由题意可得，结合基本不等式计算即可求解.
【小问1详解】
设AB＝x，则，
∵AB＞AD，
∴x＞12﹣x，解得x＞6，
∴6＜x＜12，
由题意可知，，
则，
在△ADP中，由勾股定理可得，，
故，
故y与x之间的函数关系式为．
【小问2详解】
,
当且仅当即时，等号成立，