辽宁省沈阳市法库县2023-2024学年九年级上学期期中数学试题（含解析）

这是一份辽宁省沈阳市法库县2023-2024学年九年级上学期期中数学试题（含解析），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题，本题10分等内容，欢迎下载使用。

1．若一元二次方程ax 2 +bx+c=0有一个根为－1，则（ ）
A．a+b+c=1B．a－b+c=0C．a+b+c=0D．a－b+c=1
2．一次掷两枚质地均匀的硬币，出现两枚硬币都正面朝上的概率是（ ）
A．B．C．D．
3．一元二次方程的根是（ ）
A．B．C．D．
4．下列长度的各组线段中，是比例线段的是（ ）
A．3，6，8，9B．3，5，6，9C．3，6，7，9D．3，6，9，18
5．关于频率和概率的关系，下列说法正确的是（ ）
A．当实验次数很大时，概率稳定在频率附近
B．实验得到的频率与概率不可能相等
C．当实验次数很大时，频率稳定在概率附近
D．频率等于概率
6．用配方法解方程时，配方结果正确的是（ ）
A．B．C．D．
7．下列命题是真命题的是（ ）
A．四个角都相等的四边形是菱形
B．四条边都相等的四边形是正方形
C．平行四边形、菱形、矩形都既是轴对称图形，又是中心对称图形
D．顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形
8．如图，在中，．将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ）
A． B．
C． D．
9．如图，在正方形中，，分别为，的中点，为对角线上的一个动点，则下列线段的长等于最小值的是（ ）
A．B．C．D．
10．已知线段，利用直尺和圆规作矩形．以下是甲乙两位同学的作法：
对于两人的作法，下列说法正确的是（ ）
A．两人都对B．两人都不对
C．甲对，乙不对D．甲不对，乙对
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．方程的两根分别为 ．
12．已知，则 ．
13．在一个不透明的箱子里装有红色、蓝色、黄色的球共个，除颜色外，形状、大小、质地等完全相同，小明通过多次摸球试验后发现摸到红色、黄色球的频率分别稳定在和，则箱子里蓝色球的个数很可能是 ．
14．关于的一元二次方程有两个不等实数根，则的取值范围是 ．
15．如图，以正方形的边作等边，则的度数是 ．
16．如图，菱形ABCD的两条对角线长分别为AC＝6，BD＝8，点P是BC边上的一动点，则AP的最小值为 ．
三、解答题（17题6分，18、19题每小题6分，共22分）
17．解方程．
18．我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用．
例如：求代数式的最小值．解答过程如下：
解：
∵
∴
∴当时，有最小值，是1
(1)仿照上述方法，求代数式的最小值；
(2)有最______（直接填“大”或“小”）值，是_______（直接填空）．
19．如图，有A、B两个可以自由转动的转盘，指针固定不动，转盘各被等分成三个扇形，并分别标上－1，2，3和－4，－6，8这六个数字．同时转动两个转盘各一次（指针落在等分线时重转），转盘自由停止后，A转盘中指针指向的数字记为，B转盘中指针指向的数字记为，点的坐标记为．
(1)用列表法或画树状图表示所有可能出现的结果．
(2)求出落在第四象限的概率．
四、（每小题8分，共16分）
20．某“综合与实践”小组开展了测量本校旗杆高度的实践活动，如图，他们在旗杆底部所在的平地上放置一个平面镜E来测量学校旗杆的高度，镜子中心E与旗杆的距离米，当镜子中心E与测量者的距离米时，测量者刚好从镜子中看到旗杆顶部的端点A．已知测量者的身高为1.6米，测量者的眼睛距地面的高度为1.5米．
(1)在计算过程中C、D之间的距离应是______米；
(2)根据以上测量结果，求出学校旗杆的高度．
21．求证：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
已知：如图1，在中，，点是的中点，求证：．
下面是证明该问题时的一种填辅助线的方法，请完成证明．
证明：如图2，取的中点，连接．
五、本题10分
22．如图，已知菱形ABCD，点E、F是对角线BD所在直线上的两点，且∠AED＝45°，DF＝BE，连接CE、AF、CF，得四边形AECF．
（1）求证四边形AECF是正方形；
（2）若BD＝4，BE＝3，求菱形ABCD的面积．
六、本题10分
23．某商店准备进一批季节性小家电，单价40元．经市场预测，销售定价为52元时，可售出180个，定价每增加1元，销售量净减少10个；定价每减少1元，销售量净增加10个．因受库存的影响，每批次进货个数不得超过180个，商店若将准备获利2000元，则应进货多少个？定价为多少元？
七、（本题12分）
24．如图1是小红家阳台上放置的一个晒衣架，如图2是晒衣架一端横切面的示意图，立杆相交于点两点立于地面，经测量；，，，现将晒衣架完全稳固张开，此时扣链成一条线段，．
(1)求证：．
(2)小红的连衣裙穿在衣架后的总长度达到，垂挂在晒衣架上是否会拖落到地面？请通过计算说明理由．
25．如图1，矩形在平面直角坐标系中的位置如图所示，点A，C分别在x轴，y轴上，点B的坐标为，点P，Q同时以相同的速度分别从点O，B出发，在边，上运动，连接，当点P到达A点时，运动停止．
（1）求证：在运动过程中，四边形是平行四边形．
（2）如图2，在运动过程中，是否存在四边形是菱形的情况？若存在，求出此时直线的解析式；若不存在，请说明理由．
（3）如图3，在（2）的情况下，直线上是否存在一点D，使得是直角三角形？如果存在，请直接写出点D的坐标；如果不存在，请说明理由．
含答案与解析
1．B
【分析】直接把x=-1代入方程即可．
【详解】解：把x=-1代入方程ax2+bx+c=0得a-b+c=0．
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
2．D
【分析】先列举出同时掷两枚质地均匀的硬币一次所有四种等可能的结果，然后根据概率的概念即可得到两枚硬币都是正面朝上的概率．
【详解】同时掷两枚质地均匀的硬币一次，共有正正、反反、正反、反正四种等可能的结果，两枚硬币都是正面朝上的占一种，所以两枚硬币都是正面朝上的概率=1÷4=．
故选：D．
考点：概率的计算．
【点睛】本题考查了用列表法与树状图法求概率的方法：先利用列表法与树状图法表示所有等可能的结果n，然后找出某事件出现的结果数m，最后计算P．
3．B
【分析】应用直接开平方法，求出一元二次方程x2-4=0的根是多少即可．
【详解】解：∵x2-4=0，
∴x2=4，
∴x=±=±2，
∴一元二次方程x2-4=0的根是x=±2．
故选B．
【点睛】此题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，解题关键是熟练掌握直接开方法解方程．
4．D
【分析】本题考查了比例线段．分别计算各组数中最大与最小数的积和另外两数的积，然后根据比例线段的定义进行判断．
【详解】解：A、∵，∴3，6，8，9不能构成比例线段，不符合题意；
B、∵，∴3，5，6，9不能构成比例线段，不符合题意；
C、∵，∴3，6，7，9不能构成比例线段，不符合题意；
D、∵，∴3，6，9，18能构成比例线段，符合题意；
故选：D．
5．C
【分析】大量反复试验时，某事件发生的频率会稳定在某个常数的附近，这个常数就叫做事件概率的估计值，而不是一种必然的结果．
【详解】解：A、概率是定值，故本选项错误，不符合题意；
B、可以相同，如“抛硬币实验”，可得到正面向上的频率为0.5，与概率相同，故本选项错误，不符合题意；
C、当实验次数很大时，概率稳定在频率附近，正确，故本选项符合题意；
D、频率只能估计概率，故本选项错误，不符合题意；
故选：C．
【点睛】此题考查利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．
6．D
【分析】先把常数项移到方程的右边，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，然后把方程左边利用完全平方公式写成平方形式即可．
【详解】解：，
，
，
，
故选：D．
【点睛】本题考查利用配方法对一元二次方程求解，解题的关键是：熟练运用完全平方公式进行配方．
7．D
【分析】根据正方形、菱形、矩形、平行四边形的判定和性质一一判断即可
【详解】解：A、若四个角都相等，则这四个角都为直角，有三个角是直角的四边形是矩形，故A选项为假命题，不符合题意；
B、四条边都相等的四边形是菱形，故B选项为假命题，不符合题意；
C、平行四边形是中心对称图形，但不是轴对称图形，菱形和矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故C选项为假命题，不符合题意；
D、顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形，故D选项为真命题，符合题意，
故选：D．
【点睛】本题考查的是命题的真假判断以及正方形、菱形、矩形、平行四边形的判定和性质等知识，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
8．A
【分析】本题考查的是相似三角形的判定，解题的关键是根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可．
【详解】解：A、阴影部分的三角形与原三角形有两边对应成比例，但夹角不一定相等，故两三角形不一定相似，故本选项符合题意；
B、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项故本选项不合题意；
C、阴影部分的三角形两边为，，与原三角形对应边成比例，且夹角相等，故两三角形相似，故本选项不合题意；
D、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项故本选项不合题意；
故选：A．
9．D
【分析】连接，当点，，在同一直线上时，的最小值为长，依据，即可得到最小值等于线段的长．
【详解】解：如图，连接，
由，，，
可得，
，
，
当点，，在同一直线上时，
的最小值为长，
此时，由，，，
可得，
，
最小值等于线段的长，
故选：D．
【点睛】本题考查的是轴对称，最短路线问题，解题的关键是根据题意作出关于的对称点．
10．A
【分析】根据两种画法的过程结合矩形的判定即可判断.
【详解】由甲的作法可知，
∴四边形是平行四边形，
又∵．
∴平行四边形是矩形．
∴甲的作法正确．由乙的作法可知．
∴四边形是平行四边形，
又∵．
∴平行四边形是矩形．
∴乙的作法正确．故选A．
【点睛】本题考查矩形的判定,关键在于熟练掌握矩形的判定条件.
11．，
【分析】本题考查了解一元二次方程，先移项再提公因式，运用因式分解法进行作答即可．
【详解】解：因为
所以方程变形得：，
则分解因式得：，
可得或，
解得：，．
故答案为：，
12．####1.25
【分析】根据比例的性质设，，，再代入计算可求解．
【详解】解：由题意设，，，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查比例的性质，利用比例的性质设参数是解题的关键．
13．
【分析】利用频率估计概率，可得到摸到红色、黄色球的概率为和，则摸到蓝球的概率为，然后根据概率公式可计算出口袋中蓝色球的个数．
【详解】解：根据题意得摸到红色、黄色球的概率为和，则摸到蓝球的概率为，
∵（个），所以可估计袋中蓝色球的个数为个．
故答案为．
【点睛】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．
14．且
【分析】根据一元二次方程有两个不相等的实数根即可得出结果．
【详解】解：∵一元二次方程有两个不等实数根，
∴
解得：且
故答案为：且
【点睛】本题主要考查的是一元二次方程根的判别式，正确的掌握根的判别式是解题的关键．
15．##150度
【分析】本题考查了正方形的性质、等边三角形的性质、三角形内角和定理、等腰三角形的性质，根据正方形的性质和等边三角形的性质可得，从而得出，由等边对等角结合三角形内角和定理可得，进而得到，最后由三角形内角和定理进行计算即可．
【详解】解：∵四边形是正方形，是等边三角形，
，
，，
，
，
，
，
，
故答案为：．
16．4.8
【分析】由垂线段最短，可得AP⊥BC时，AP有最小值，由菱形的性质和勾股定理可求BC的长，由菱形的面积公式可求解．
【详解】
设AC与BD的交点为O，
∵点P是BC边上的一动点，
∴AP⊥BC时，AP有最小值，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO＝CO＝AC＝3，BO＝DO＝BD＝4，
∴，
∵，
∴，
故答案为：4.8．
【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，确定当AP⊥BC时，AP有最小值是本题关键．
17．
【分析】根据公式法求解一元二次方程即可．
【详解】解：，
∴，，
∴，
解得：．
【点睛】考查了解一元二次方程-公式法，公式法解一元二次方程的一般步骤为：①把方程化成一般形式，进而确定，，的值注意符号；②求出的值若，方程无实数根；③在的前提下，把、、的值代入公式进行计算求出方程的根．注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①；②．
18．(1)3
(2)大；15
【分析】（1）利用配方法把原式变形，根据偶次方的非负性解答即可；
（2）利用配方法把原式变形，根据偶次方的非负性解答即可；
【详解】（1），
，
，
∵，
∴，
∴当时，代数式的最小值是3．
（2）,
，
，
∵，
∴，
∴，
∴当时，代数式的最小值是15．
故答案为：大，15．
【点睛】本题主要考查了配方法，非负数的性质，掌握配方法的一般步骤和偶次方的非负性是解题的关键．
19．(1)，，，，，，，，
(2)
【分析】（1）利用列表的方式即可求出答案；
（2）第四象限横坐标是正，纵坐标是负，根据列表的结果，即可求出答案．
【详解】（1）解：根据题意列表得，
故所有可能的结果是：，，，，，，，，．
（2）解：第四象限的点有，，，，
∴，
故在第四象限的概率是．
【点睛】本题主要考查简单事件的概率问题，解题的关键是事件出现结果的判断和所需结果的推断．
20．(1)1.5
(2)15米
【分析】（1）根据测量者的眼睛距地面的高度为1.5米，即可得出C、D之间的距离；
（2）证明，根据三角形相似的性质，求出学校旗杆的高度即可．
【详解】（1）解：∵测量者的眼睛距地面的高度为1.5米，
∴C、D之间的距离为1.5米．
故答案为：1.5．
（2）解：由题意可知，，
∴，
∴，
∴，
∴，
答：学校旗杆的高度为15米．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的应用，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定，证明．
21．见解析
【分析】本题考查了三角形中位线定理，线段垂直平分线的性质，根据三角形的中位线可得是的中位线，从而得到，进而得到是的垂直平分线，由线段垂直平分线的性质可得，即可得证，熟练掌握三角形中位线定理，线段垂直平分线的性质是解此题的关键．
【详解】证明：∵点是的中点，点是的中点．
是的中位线，
，
，
是的垂直平分线．
，
∵点是的中点，
，
．
22．（1）见解析；（2）25．
【分析】（1）连接AC，根据菱形的性质即可证明四边形AECF是正方形；
（2）根据菱形ABCD的性质和BD＝4，BE＝3，DF＝BE，可得EF=10，OA=5，进而可得菱形ABCD的面积．
【详解】证明：（1）如图，连接AC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴OA=OC，OB=OD，AC⊥EF，
∵BE=DF，
∴OB+BE=OD+DF，
即OE=OF，
∵OA=OC，OE=OF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵AC⊥EF，
∴四边形AECF是菱形；
∵∠AED＝45°，
∴∠OAE=90°-45°=45°=∠AED，
∴OA=OE，
∴AC=EF，
∴四边形AECF是正方形；
（2）∵四边形ABCD是菱形，BD＝4，BE＝3， DF＝BE，
∴EF=BE+BD+DF=2BE+BD=10，
∴OE=EF=5，
∵∠AED＝45°，AC⊥EF，
∴OA=·OE=·5=5，
∴AC=10，
∴菱形ABCD的面积=AC•BD=×10×5=25．
故答案为：25．
【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、解直角三角形，解决本题的关键是综合运用以上知识．
23．100个；60元
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解此题的关键．
【详解】解：设每个商品的定价是元，
由题意，得，
整理，得，
解得．
当时，进货个个，不符合题意，舍去；
当时，进货个个，符合题意．
答：商店若将准备获利2000元，该商品每个定价为60元时，进货100个．
24．(1)见解析
(2)会拖落到地面，理由见解析
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的性质、三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）根据等边对等角结合三角形内角和定理得出，，从而得到，即可得证；
（2）首先证明，进而得出的长即可．
【详解】（1）证明：相交于点，
，
，
，
同理可证：，
，
；
（2）解：小红的连衣裙会拖落到地面；
在中，，
过点作于点，
同（1）可证：，
，则，
∴，，
所以小红的连衣裙垂挂在衣架后的总长度晒衣架的高度．小红的连衣裙会拖落到地面．
25．（1）证明见解析；（2）存在，；（3）存在，或．
【分析】（1）说明出后，再利用矩形的性质得到，即可完成求证；
（2）先设，依次表示各点坐标与相应线段长，再利用菱形的判定，令一组邻边相等建立关于x的方程，解方程后，则各点坐标得以确定，然后利用待定系数法即可求出直线PQ的解析式；
（3）先设出D点坐标，再分别表示出、、，利用勾股定理的逆定理分类讨论求解即可．
【详解】解：（1）证：∵点P，Q同时以相同的速度分别从点O，B出发，
∴，
又∵矩形，
∴，
∴四边形是平行四边形．
（2）存在；
理由：∵矩形且点B的坐标为，
∴，；
设
∴，
∴，
当四边形是菱形时，
则，
∴，
解得：，
∴，
∴，，
设直线的解析式为：；
∴，解得：，
∴直线的解析式为：；
（3）由（2）知，
设，
∴，
，
当时，，解得：，
此时，
∴，此时点与点重合，不合题意，故舍去；
当时，，解得：，（舍去），
此时，，
∴；
当时，，解得：，
此时，，
∴；
综上可得：或．
【点睛】本题综合考查了矩形的性质、待定系数法求一次函数解析式、平行四边形的判定定理、菱形的判定定理、勾股定理及其逆定理等内容，同时涉及到了解一元二次方程等知识，本题综合性较强，要求学生具备一定的综合分析能力和计算能力，本题蕴含了分类讨论和数形结合的思想方法等．
甲：1．以点为圆心，长为半径画弧；
2．以点为圆心，长为半径画弧
3．两弧在上方交于点，连接，则四边形即为所求（如图）．
乙：1．连接，作线段的垂直平分线，交于点；
2．连接并延长，在延长线上取一点，使，连接，则四边形即为所求（如图）．