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初中数学青岛版八年级上册5.6 几何证明举例背景图课件ppt
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这是一份初中数学青岛版八年级上册5.6 几何证明举例背景图课件ppt，共15页。PPT课件主要包含了温故知新，探究发现，通过证明我们得到，典例训练，方法总结，当堂检测等内容，欢迎下载使用。
我们曾利用角的轴对称性质，通过实验的方法，探索出角平分线的性质：
角平分线上的点，到这个角的两边的距离相等.
你能用推理的方法证明它的真实性吗？
已知：如图，BD是∠ABC的平分线，点P在BD上，PM⊥AB，PN⊥BC，垂足分别是点M和N.求证：PM=PN.
证明：∵BD是∠ABC的平分线，∴∠ABD=∠CBD.又∵PM⊥AB，PN⊥BC，M，N分别是垂足，∴∠PMB=∠PNB=90°.∵在△PMB和△PNB中，BP是公共边，∴△PMB≌△PNB.∴PM=PN.
证明可以有不同的表述形式，如“因为，所以”或“∵，∴”.
角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
你能说出角平分线的性质定理的逆命题吗？
角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.
它的逆命题正确吗？如果你认为正确，能加以证明吗？
证明：连接MN得到等腰三角形PMN. ∴∠PMN=∠PNM. ∵∠BMN+∠PMN=90°， ∠BNM+∠PNM=90°， ∴∠BMN=∠BNM. ∴△BMN也是等腰三角形. ∴BM=BN.
已知：点P是∠ABC内的一点，PM⊥AB，PN⊥BC，垂足分别是点M，N，且PM=PN.求证：点P在∠ABC的平分线上.
过点B，P作射线BD，∵BP是公共边，∴△PBM≌△PBN.∴∠ABD=∠CBD.∴点P在∠ABC的平分线上.
通过证明，我们得到角平分线的性质定理的逆定理：
已知：如图，AP，CP分别是△ABC的外角∠MAC，∠NCA的平分线，AP，CP相交于点P，过点P作PD⊥BM，垂足为点D，作PF⊥BN，垂足为点F，连接BP.求证：BP是∠ABC的平分线.
证明：如图所示，过点P作PE⊥AC，垂足为点E. ∵AP，CP分别平分∠MAC，∠NCA， 且PD⊥BM，PF⊥BN， ∴PD=PE，PF=PE. ∴PD=PF.
又∵PD⊥BM，PF⊥BN， ∴点P在∠ABC的平分线上. ∴BP是∠ABC的平分线.
证明一条射线是一个角的平分线时，一般过这条射线上的一点作角两边的垂线，证明这两条垂线段相等.
已知：如图，AM，BN，CP是△ABC的三条角平分线.求证：AM，BN，CP交于一点.
要证明三角形的三条角平分线交于一点，只要证明两条角平分线的交点也在第三条角平分线上就可以了.
证明：如图，设AM，BN交于点O.过点O分别作OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，垂足分别为点D，E，F.∵O是∠BAC角平分线AM上的一点，∴OE=OF.同理，OD=OF.∴OD=OE.∵CP是∠ACB的平分线，∴O在CP上.因此，AM，BN，CP交于一点.
三角形三条角平分线交于一点.
1.如图，已知BE⊥AC，CF⊥AB，点E，F为垂足，D是BE与CF的交点， AD平分∠BAC.求证： BD=CD.
证明：∵AD平分∠BAC，BE⊥AC，CF⊥AB（已知），∴DF=DE（角平分线上的点到这个角度两边的距离相等）.又∵∠DFB=∠DEC=90°（垂直的定义），∠FDB=∠DEC（对顶角相等），∴△DFB≌△DEC（ASA），∴BD=CD（全等三角形的对应边相等）.
2.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC.AD是∠A的平分线.求证： AB=AC+CD.
证明：如图所示，过点D作DE⊥AB于点E.∵AD平分∠CAB，∴CD=DE，∠CAD=∠EAD.∵AC=BC，∴∠CAB=∠B.∵∠CAB+∠B=90°，∴∠B=45°.∵∠EDB+∠B=90°，∴∠EDB=∠B=45°，∴DE=BE，CD=BE.
∵∠CAD=∠EAD，∠C=∠AED，AD=AD，∴△ACD≌△AED.∴AC=AE.∵AB=AE+BE，∴AB=AC+CD.
我们曾利用角的轴对称性质，通过实验的方法，探索出角平分线的性质：
角平分线上的点，到这个角的两边的距离相等.
你能用推理的方法证明它的真实性吗？
已知：如图，BD是∠ABC的平分线，点P在BD上，PM⊥AB，PN⊥BC，垂足分别是点M和N.求证：PM=PN.
证明：∵BD是∠ABC的平分线，∴∠ABD=∠CBD.又∵PM⊥AB，PN⊥BC，M，N分别是垂足，∴∠PMB=∠PNB=90°.∵在△PMB和△PNB中，BP是公共边，∴△PMB≌△PNB.∴PM=PN.
证明可以有不同的表述形式，如“因为，所以”或“∵，∴”.
角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
你能说出角平分线的性质定理的逆命题吗？
角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.
它的逆命题正确吗？如果你认为正确，能加以证明吗？
证明：连接MN得到等腰三角形PMN. ∴∠PMN=∠PNM. ∵∠BMN+∠PMN=90°， ∠BNM+∠PNM=90°， ∴∠BMN=∠BNM. ∴△BMN也是等腰三角形. ∴BM=BN.
已知：点P是∠ABC内的一点，PM⊥AB，PN⊥BC，垂足分别是点M，N，且PM=PN.求证：点P在∠ABC的平分线上.
过点B，P作射线BD，∵BP是公共边，∴△PBM≌△PBN.∴∠ABD=∠CBD.∴点P在∠ABC的平分线上.
通过证明，我们得到角平分线的性质定理的逆定理：
已知：如图，AP，CP分别是△ABC的外角∠MAC，∠NCA的平分线，AP，CP相交于点P，过点P作PD⊥BM，垂足为点D，作PF⊥BN，垂足为点F，连接BP.求证：BP是∠ABC的平分线.
证明：如图所示，过点P作PE⊥AC，垂足为点E. ∵AP，CP分别平分∠MAC，∠NCA， 且PD⊥BM，PF⊥BN， ∴PD=PE，PF=PE. ∴PD=PF.
又∵PD⊥BM，PF⊥BN， ∴点P在∠ABC的平分线上. ∴BP是∠ABC的平分线.
证明一条射线是一个角的平分线时，一般过这条射线上的一点作角两边的垂线，证明这两条垂线段相等.
已知：如图，AM，BN，CP是△ABC的三条角平分线.求证：AM，BN，CP交于一点.
要证明三角形的三条角平分线交于一点，只要证明两条角平分线的交点也在第三条角平分线上就可以了.
证明：如图，设AM，BN交于点O.过点O分别作OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，垂足分别为点D，E，F.∵O是∠BAC角平分线AM上的一点，∴OE=OF.同理，OD=OF.∴OD=OE.∵CP是∠ACB的平分线，∴O在CP上.因此，AM，BN，CP交于一点.
三角形三条角平分线交于一点.
1.如图，已知BE⊥AC，CF⊥AB，点E，F为垂足，D是BE与CF的交点， AD平分∠BAC.求证： BD=CD.
证明：∵AD平分∠BAC，BE⊥AC，CF⊥AB（已知），∴DF=DE（角平分线上的点到这个角度两边的距离相等）.又∵∠DFB=∠DEC=90°（垂直的定义），∠FDB=∠DEC（对顶角相等），∴△DFB≌△DEC（ASA），∴BD=CD（全等三角形的对应边相等）.
2.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC.AD是∠A的平分线.求证： AB=AC+CD.
证明：如图所示，过点D作DE⊥AB于点E.∵AD平分∠CAB，∴CD=DE，∠CAD=∠EAD.∵AC=BC，∴∠CAB=∠B.∵∠CAB+∠B=90°，∴∠B=45°.∵∠EDB+∠B=90°，∴∠EDB=∠B=45°，∴DE=BE，CD=BE.
∵∠CAD=∠EAD，∠C=∠AED，AD=AD，∴△ACD≌△AED.∴AC=AE.∵AB=AE+BE，∴AB=AC+CD.
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