专题05 二次根式 备战2024年中考数学一轮复习考点题型全归纳与分层精练（全国通用）

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技巧1：巧用二次根式求字母或代数式的值
技巧2：常见二次根式化简求值的九种技巧
【题型】一、二次根式有意义的条件
【题型】二、利用二次根式的性质化简
【题型】三、二次根式的乘除运算
【题型】四、最简二次根式
【题型】五、同类二次根式
【题型】六、二次根式的加减
【题型】七、二次根式乘除混合运算
【考纲要求】
1、掌握二次根式有意义的条件和基本性质(eq \r(a))2＝a(a≥0)，能用二次根式的性质eq \r(a2)＝|a|来化简根式．
2、能识别最简二次根式、同类二次根式．能根据运算法则进行二次根式的加减乘除运算以及混合运算.
【考点总结】一、二次根式
【考点总结】二、二次根式的运算
【注意】
1、化简二次根式的步骤（易错点）
（1）把被开方数分解因式(或因数) ；
（2）把各因式(或因数)积的算术平方根化为每个因式(或因数)的算术平方根的积；
（3）如果因式中有平方式(或平方数)，应用关系式(eq \r(a))2＝a(a≥0)把这个因式(或因数)开出来，将二次根式化简。
2、二次根式运算中的注意事项
（1）一般将最后结果化为最简二次根式，并且分母中不含二次根式。
（2）二次根式的加减：先将二次根式化为最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式（即同类二次根式）进行合并。（合并方法为：将系数相加减，二次根式部分不变），不能合并的直接抄下来。
【技巧归纳】
技巧1：巧用二次根式求字母或代数式的值
【类型】一、利用二次根式的定义判定二次根式
1．下列式子中为二次根式的是( )
A.eq \r(3,8) B.eq \r(－1) C.eq \r(2) D.eq \r(x)(x＜0)
【类型】二、利用二次根式有意义的条件求字母的取值范围
2．无论x取何实数，代数式eq \r(x2－4x＋m)都有意义，化简式子eq \r(（m－3）2)＋eq \r(（4－m）2).
【类型】三、利用最简二次根式的定义识别最简二次根式
3．把下列各式化成最简二次根式．
(1)eq \r(1.25)； (2)eq \r(4a3b＋8a2b)(a≥0，b≥0)；
(3)eq \r(－\f(n,m2))(mn＞0)； (4)eq \f(\r(x)－\r(y),\r(x)＋\r(y))(x≠y)．
【类型】四、利用被开方数相同的最简二次根式的条件求字母的值
4．如果最简根式eq \r(b－a,3b)和eq \r(2b－a＋2)是被开方数相同的最简二次根式，那么( )
A．a＝0，b＝2 B．a＝2，b＝0
C．a＝－1，b＝1 D．a＝1，b＝－2
5．如果最简二次根式eq \r(3a－8)与eq \r(17－2a)在二次根式加减运算中可以合并，求使eq \r(4a－2x)有意义的x的取值范围．
技巧2：常见二次根式化简求值的九种技巧
【类型】一、估算法
1．若将三个数－eq \r(3)，eq \r(7)，eq \r(11)表示在数轴上，则其中被如图所示的墨汁覆盖的数是________．
【类型】二、公式法
2．计算：(5＋eq \r(6))×(5eq \r(2)－2eq \r(3))．
【类型】三、拆项法
3．计算：eq \f(\r(6)＋4\r(3)＋3\r(2),（\r(6)＋\r(3)）（\r(3)＋\r(2)）).[提示：eq \r(6)＋4eq \r(3)＋3eq \r(2)＝(eq \r(6)＋eq \r(3))＋3(eq \r(3)＋eq \r(2))]
【类型】四、换元法
4．已知n＝eq \r(2)＋1，求eq \f(n＋2＋\r(n2－4),n＋2－\r(n2－4))＋eq \f(n＋2－\r(n2－4),n＋2＋\r(n2－4))的值．
【类型】五、整体代入法
5．已知x＝eq \f(1,3－2\r(2))，y＝eq \f(1,3＋2\r(2))，求eq \f(x,y)＋eq \f(y,x)－4的值．
【类型】六、因式分解法
6．计算：eq \f(\r(2)＋\r(3),2＋\r(6)＋\r(10)＋\r(15)).
【类型】七、配方法
7．若a，b为实数，且b＝eq \r(3－5a)＋eq \r(5a－3)＋15，试求eq \r(\f(b,a)＋\f(a,b)＋2)－eq \r(\f(b,a)＋\f(a,b)－2)的值．
【类型】八、辅元法
8．已知x∶y∶z＝1∶2∶3(x>0，y>0，z>0)，求eq \f(\r(x＋y),\r(x＋z)＋\r(x＋2y))的值．[来源:学§科§
【类型】九、先判后算法
9．已知a＋b＝－6，ab＝5，求beq \r(\f(b,a))＋aeq \r(\f(a,b))的值．
【题型讲解】
【题型】一、二次根式有意义的条件
例1、函数的自变量的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【题型】二、利用二次根式的性质化简
例2、化简的结果是（）
A．－2B．2C．D．4
【题型】三、二次根式的乘除运算
例3、计算的结果正确的是（ ）．
A．1B．C．5D．9
【题型】四、最简二次根式
例4、下列各式是最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【题型】五、同类二次根式
例5、下列各式中与是同类二次根式的是
A．B．C．D．
【题型】六、二次根式的加减
例6、计算（ ）
A．B．C．3D．
【题型】七、二次根式乘除混合运算
例7、下列各式不成立的是（ ）
A．B．
C．D．
二次根式（达标训练）
一、单选题
1．（2021·黑龙江·逊克县教师进修学校一模）下列各式中与 是同类二次根式的是( )
A．B．C．D．
2．（2022·上海金山·二模）在下列二次根式中，最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·黑龙江绥化·三模）函数的自变量的取值范围是（ ）
A．B．C．且D．且
4．（2022·河北·顺平县腰山镇第一初级中学一模）下列各式正确的是（ ）
A．＝±4B．＝3C．＝﹣8D．4﹣4＝
5．（2022·重庆·模拟预测）估算的结果最接近的整数是（ ）．
A．3B．4C．5D．6
二、填空题
6．（2022·广东顺德德胜学校三模）二次根式中，字母m的取值范围是 _____________．
7．（2022·重庆·二模）计算：（3.14﹣π）0﹣|4|＝_____．
三、解答题
8．（2022·山东临沂·模拟预测）计算：．
9．（2021·山东青岛·二模）若矩形的周长是cm，一边长是cm，求它的面积．
二次根式（提升测评）
一、单选题
1．（2022·上海崇明·二模）如果最简二次根式与是同类二次根式，那么x的值是（ ）
A．1B．2C．3D．4
2．（2022·上海普陀·二模）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·广东番禺中学三模）若，则等于（ ）
A．1B．5C．D．
4．（2022·河北·一模）已知，则代数式的值为（ ）
A．B．C．D．
5．（2022·重庆南开中学三模）估计的值在（ ）
A．4和5之间B．5和6之间
C．6和7之间D．7和8之间
6．（2022·贵州遵义·二模）已知a，b均为正数，且，，是一个三角形的三边的长，则这个三角形的面积是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
7．（2022·浙江·瑞安市安阳镇滨江中学三模）当时，代数式的值为_______．
8．（2022·四川广安·二模）如图所示，化简的结果是___________．
三、解答题
9．（2022·广东·佛山市南海外国语学校三模）先化简，再求值：，其中，．
10．（2022·湖北·鄂州市教学研究室一模）若三个实数x，y，z满足，且，则有：（结论不需要证明）
例如：
根据以上阅读，请解决下列问题：
【基础训练】
(1)求的值；
【能力提升】
(2)设，求S的整数部分．
【拓展升华】
(3)已知，其中，且．当取得最小值时，求x的取值范围．
二
次
根
式
概
念
二次根式的概念
形如eq \r(a)(a≥0)的式子.
二次根式有意义的条件
要使二次根式eq \r(a)有意义，则a≥0.
最简二次根式
①被开方数的因数是整数，因式是整式（分母中不含根号）；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式
性
质
双重非负性
①被开方数是非负数，即a≥0；
②二次根式的值是非负数，即≥0.
两个重要性质
①(eq \r(a))2＝a(a≥0)；
②eq \r(a2)＝|a|＝；
二
次
根
式
运
算
二次根式的加减法
合并同类二次根式：在二次根式的加减运算中，把几个二次根式化为最简二次根式后，若有同类二次根式，可把同类二次根式合并成一个二次根式．
二次根式的乘除法
(1)二次根式的乘法：·=(a≥0，b≥0)；
(2)二次根式的除法： = (a≥0，b＞0)．
二次根式的混合运算
运算顺序与实数的运算顺序相同，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的（或先去括号）．