2020-2021学年天津市南开区九年级上学期数学第一次月考试卷及答案

这是一份2020-2021学年天津市南开区九年级上学期数学第一次月考试卷及答案，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 抛物线的顶点坐标是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据函数关系式直接写出顶点即可求解．
【详解】抛物线的顶点坐标是
故选A．
【点睛】此题主要考查二次函数的顶点，解题的关键是熟知顶点式的特点．
2. 把抛物线 y＝x2+1 向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线（ ）
A. y＝（x+3）2﹣1B. y＝（x+3）2+3
C. y＝（x﹣3）2﹣1D. y＝（x﹣3）2+3
【答案】C
【解析】
试题分析：抛物线的顶点坐标为（0，1），向右平移3个单位，再向下平移2个单位（3，－1），所以，平移后得到的抛物线的解析式为．故选C．
考点：二次函数图象与几何变换．
3. 二次函数y=x2﹣2x+1与x轴的交点个数是（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】B
【解析】
由△=b2-4ac=（-2）2-4×1×1=0，可得二次函数y=x2-2x+1图象与x轴有一个交点．故选B．
4. 若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
将二次函数配方，求对称轴，再根据A、B、C三点与对称轴的位置关系，开口方向判断，，的大小．
【详解】∵＝（x-2）2−9，
∴抛物线开口向上，对称轴为x＝2，
∵A、B、C三点中，B点离对称轴最远，A点离对称轴最近，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的增减性．当二次项系数a＞0时，在对称轴的左边，y随x的增大而减小，在对称轴的右边，y随x的增大而增大；a＜0时，在对称轴的左边，y随x的增大而增大，在对称轴的右边，y随x的增大而减小．
5. 在同一坐标系中一次函数和二次函数的图象可能为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】根据二次函数的解析式可得：二次函数图像经过坐标原点，则排除B和C，A选项中一次函数a>0，b<0，二次函数a>0，b<0，符合题意.
故选A.
【点睛】本题考查了(1)、一次函数的图像；(2)、二次函数的图像
6. 若关于的方程没有实数根，则函数的图象的顶点一定在（ ）
A. 轴的上方B. 轴下方C. 轴上D. 轴上
【答案】A
【解析】
【分析】
由方程没有实数根可得△= ＜0，进而可得函数的图象与x轴无交点，再根据开口方向即可作出判断．
【详解】解：∵关于x的方程没有实数根，
∴△= ＜0，
∴函数的判别式=＜0，
∴函数的图象与x轴无交点，
∵a=1＞0，
∴函数的图象开口向上，
∴函数的图象的顶点一定在x轴的上方，
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式与方程的根的关系、抛物线与x轴的交点问题，准确判断出抛物线的判别式的符号是解答的关键．
7. 已知函数的图象如图，那么关于x的方程的根的情况是
A. 无实数根
B. 有两个相等实数根
C. 有两个同号不等实数根
D. 有两个异号实数根
【答案】C
【解析】
【分析】
根据抛物线的顶点坐标的纵坐标为，判断方程的根的情况即是判断时x的值．
【详解】的图象与x轴有两个交点，顶点坐标的纵坐标是，
方程，
时，即是求x的值，
由图象可知：有两个同号不等实数根．
故选C．
【点睛】此题主要考查了方程的根的情况，先看函数的图象的顶点坐标纵坐标，再通过图象可得到答案．
8. 已知抛物线y=-x2+x+6与x轴交于点A,点B,与y轴交于点C.若D为AB的中点,则CD的长为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】把y=0代入
得，
解得，
∴A（-3，0），B（9，0），即可得AB=15，
∵又因D为AB的中点，
可得AD=BD=7.5，
求得OD=4.5，
Rt△COD中，由勾股定理可得CD=7.5，故答案选D．
考点：二次函数图象与坐标轴的交点坐标；勾股定理．
9. y=x2＋（1－a）x＋1是关于x的二次函数，当x的取值范围是1≤x≤3时，y在x＝1时取得最大值，则实数a的取值范围是（ ）
A. a=5B. a≥5C. a＝3D. a≥3
【答案】B
【解析】
【详解】二次函数的对成轴为：x=，则有x=，因为a=1>0，函数开口向上，有最小值．
又因为在1≤x≤3时，函数y取得最大值，所以，故≥2，解得a≥5
故选：B
10. 二次函数的图象如图所示，当时，那么当时，函数值（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据对称轴及函数值判断a的取值范围，从而得出a-1＜0，因为当x＜是y随x的增大而减小，所以当x=a-1＜0时，函数值y一定大于m．
【详解】解：∵对称轴是x=，0＜x1＜
故由对称性＜x2＜1
当x=a时，y＜0，
则a的范围是x1＜a＜x2，
所以a-1＜0，
当x＜时y随x的增大而减小，
当x=0时函数值是m．
因而当x=a-1＜0时，函数值y一定大于m．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了二次函数的对称轴，以及增减性，解答关键是注意数形结合．
11. 当时，关于的二次函数有最大值4，则实数的值为（ ）
A. B. 或C. 2或D. 2或或
【答案】C
【解析】
【分析】
求出二次函数对称轴为x=m，再分m＜-2，-2≤m≤1，m＞1，根据函数的增减性，可得答案．
【详解】解：当m<-2时，x=-2二次函数有最大值为：，解得，又m<-2，故舍去，
当-2≤m≤1时，x=m二次函数有最大值为：时，解得，又-2≤m≤1，故舍去，故，
当m＞1时，x=2二次函数有最大值为：，解得，
故或，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的最值，函数的顶点坐标是最大值，利用函数的增减性得出函数的最值，分类讨论是解题关键．
12. 如图，二次函数（）的图象与轴正半轴相交于、两点，与轴相交于点，对称轴为直线，且，则下列结论：①；②；③；④；⑤关于的方程（）有一个根为，其中正确的结论个数有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】
①先根据抛物线的开口向下可得，再根据对称轴可得，然后根据抛物线与y轴的交点可得，由此即可得；②根据当时，即可得；③根据和即可得；④先根据对称轴可得，再根据当时，即可得；⑤先根据可得方程的一个根为，再利用一元二次方程的根与系数的关系即可得．
【详解】抛物线的开口向下，与y轴的交点位于y轴负半轴，
，
对称轴为直线，
，
，则结论①正确；
由函数图象可知，当时，，
即，则结论②错误；
当时，，即，
，
，
，即，则结论③正确；
由函数图象可知，当时，，
即，
将代入得：，
整理得：，则结论④错误；
，
，
关于的一元二次方程有一个根为，
设另一个根m，
由一元二次方程的根与系数的关系得：，
解得，
即关于的一元二次方程有一个根为，结论⑤正确；
综上，正确的结论个数有3个，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数与一元二次方程的联系等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．
二、填空题（每小题3分，共6小题）
13. 已知函数，当__________时，它是二次函数．
【答案】
【解析】
【分析】
根据二次函数的定义列出关于m的方程，求出m的值即可．
【详解】解：∵y=（m-1）x m2+1是二次函数，
∴m2+1=2，
∴m=-1或m=1（舍去）．
故答案为：-1．
【点睛】本题考查了二次函数的定义，关键是根据定义列出方程，在解题时要注意m-1≠0．
14. 已知二次函数中，函数与自变量的部分对应值如下表：
则时，的取值范围是______.
【答案】
【解析】
分析】
由当x＝0及x＝-2时y＝-5可得出二次函数图象的对称轴及顶点坐标，由其顶点纵坐标小于其他点的坐标可得出a＞0，由当x＝−3时y＝-2可得出当x＝1时y＝-2，再利用二次函数的性质即可得出当时x的取值范围．
【详解】∵当x＝0及x＝-2时y＝-5，
∴二次函数图象的对称轴为直线x＝＝-1，二次函数图象的顶点坐标为（-1，-6）．
∵y＝-6为最小值，
∴a＞0．
∵当x＝−3时，y＝-2，
∴当x＝1时，y＝-2．
又∵a＞0，
∴当时，．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数性质以及二次函数图象上点的坐标特征，利用二次函数的性质找出当y＝-2时x的值是解题的关键．
15. 已知抛物线与x轴的一个交点坐标为，则一元二次方程的根为________.
【答案】x1=-1，x2=3；
【解析】
∵在抛物线中，对称轴为直线，
∴当抛物线与轴的一个交点为（-1，0）时，它与轴的另一个交点就为（3，0），
∴一元二次方程的两根为.
16. 如图，把抛物线y=x2平移得到抛物线m，抛物线m经过点A（﹣6，0）和原点O（0，0），它的顶点为P，它的对称轴与抛物线y=x2交于点Q，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】
【解析】
【分析】
根据点O与点A的坐标求出平移后的抛物线的对称轴，然后求出点P的坐标，过点P作PM⊥y轴于点M，根据抛物线的对称性可知阴影部分的面积等于四边形NPMO的面积，然后求解即可.
【详解】过点P作PM⊥y轴于点M，设PQ交x轴于点N，
∵抛物线平移后经过原点O和点A（﹣6，0），
∴平移后的抛物线对称轴为x=﹣3.
∴平移后的二次函数解析式为：y=（x+3）2+h，
将（﹣6，0）代入得出：0=（﹣6+3）2+h，解得：h=﹣.
∴点P的坐标是（3，﹣）．
根据抛物线的对称性可知，阴影部分的面积等于矩形NPMO的面积，
∴S=
17. 二次函数y＝ax2﹣12ax+36a﹣5的图象在4＜x＜5这一段位于x轴下方，在8＜x＜9这一段位于x轴上方，则a的值为_____
【答案】
【解析】
【分析】
根据抛物线顶点式得到对称轴为直线x=6，在4【详解】∵抛物线y=ax²−12ax+36a−5的对称轴为直线x=6，
而抛物线在4∴抛物线在7∵抛物线在8∴抛物线过点(8,0)，
把(8,0)代入y=ax²−12ax+36a−5得64a−96a+36a−5=0，
解得：a= .
故答案为.
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点以及抛物线的轴对称性：求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y=0，即ax2+bx+c=0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．△=b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数：△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
18. 如图，将放在每个小正方形的边长为1的网格中，点，点，点均落在格点上．
（1）_________．
（2）请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出一个以为底边的等腰，使该三角形的面积等于的面积，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明）__________．
【答案】 (1). 3 (2). 取格点，连接，与网格线交于点．与网格线交于点，连接．取格点，连接，交于点．连接，．即为所求．
【解析】
【分析】
（1）直接利用三角形的面积公式计算即可；
（2）如图取格点E、F，连接EF，与网格线交于点G，AB与网格线交于H，连接GH，取格点I，连接CI交GH于点P，连接PA、PB，△PAB即为所求．
【详解】解：（1）；
故答案为：3；
（2）如图，取格点，连接，与网格线交于点．与网格线交于点，连接．取格点，连接，交于点．连接，．即为所求．
故答案为：取格点，连接，与网格线交于点．与网格线交于点，连接．取格点，连接，交于点．连接，．即为所求．
【点睛】本题考查作图——应用与设计，三角形的面积等知识，解题的关键是灵活应用线段的垂直平分线的性质，平行线的判定和性质解决问题．
三、解答题（共66分，共7小题）
19. 已知二次函数y＝－x2＋x＋4.
(1)确定抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴；
(2)当x取何值时，y随x的增大而增大？当x取何值时，y随x的增大而减小？
【答案】 (1)抛物线的开口向下，顶点坐标为，对称轴为x＝1.
(2)当x>1时，y随x的增大而减小；当x<1时，y随x的增大而增大．
【解析】
试题分析：（1）先把二次函数y＝－x2＋x＋4的解析式化为顶点式，从而写出抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴；（2）根据二次函数的性质直接写出答案即可.
试题解析：
(1)将二次函数y＝－x2＋x＋4配方，得y＝－ (x－1)2＋.
所以抛物线的开口向下，顶点坐标为，对称轴为x＝1.
(2)当x>1时，y随x的增大而减小；当x<1时，y随x的增大而增大．
20. 抛物线的顶点为，且过点，求抛物线的解析式.
【答案】.
【解析】
【分析】
先设为顶点式，再把顶点坐标和经过的点（1，2）代入即可.
【详解】由抛物线的顶点为，且过点，
可设抛物线为：，
把（1，2）代入得：2=a+4，解得：a=-2，
所以抛物线为：，
即.
【点睛】本题考查了用待定系数法求函数的解析式及顶点坐标公式.
21. 已知二次函数.
（1）求图象与两坐标轴的交点坐标；
（2）直接写出当取何值时，？
（3）直接写出当时，求的取值范围．
【答案】（1）抛物线与轴交点为，；（2）当或时，；（3）．
【解析】
【分析】
（1）令y=0即可求解；
（2）根据函数图象与x轴的交点即可求解；
（3）把函数化为顶点式，根据函数图象与性质即可求的取值范围．
【详解】解：（1），与轴交于，
令得.
解得：，，
∴抛物线与轴交点为，
（2）如图，∵抛物线与轴交点为，
∴当时，或；
（3）如图，∵=2（x+1）2-8
∴当x=-1时，y最小值为-8
当x=-4时，y=2（-4+1）2-8=10
∴当时，求的取值范围为．
【点睛】本题考查了二次函数的各种性质，解题的关键是熟记其性质，根据函数图像灵活运用．
22. 已知抛物钱经过，两点
（1）求这个函数的解析式；
（2）函数图象有最低点，当时，有最______值是______；
（3）抛物线上是否存在点，使的面积等于2？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）小，；（3）或.
【解析】
【分析】
（1）把A,B坐标代入即可求解解析式；
（2）把函数化为顶点式即可求解；
（3）先求出AO=1，再根据三角形的面积公式顶点C点的横坐标为±4，代入函数解析式即可求解．
【详解】解：（1）∵过，
∴
∴
∴
（2）∵=（x-1）2-2
∴当x=1时，函数y有最小值-2
故答案为：小；-2；
（3）∵，
∴
∵
∴
∴
当时，
当时，
∴或．
【点睛】此题主要考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟知待定系数法的应用．
23. 已知二次函数y=﹣x2+2x+m．
（1）如果二次函数的图象与x轴有两个交点，求m的取值范围；
（2）如图，二次函数的图象过点A（3，0），与y轴交于点B，直线AB与这个二次函数图象的对称轴交于点P，求点P的坐标．
（3）根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围．
【答案】（1）m＞﹣1；（2）P（1，2）；（3）根据函数图象可知：x＜0或x＞3．
【解析】
【分析】
(1)、根据图像与x轴有两个交点，则△>0求出m的取值范围；(2)、根据点A坐标得出二次函数的解析式，然后得出点B的坐标，根据待定系数法求出直线AB的解析式，从而得出点P的坐标；(3)、根据图像直接得出答案.
【详解】(1)、∵二次函数的图象与x轴有两个交点，
∴△=22+4m＞0
∴m＞﹣1；
(2)、∵二次函数的图象过点A（3， 0），
∴0=﹣9+6+m
∴m=3，
∴二次函数的解析式为：y=﹣x2+2x+3，
令x=0，则y=3，
∴B（0，3），
设直线AB的解析式为：y=kx+b，
∴，
解得：，
∴直线AB的解析式为：y=﹣x+3，
∵抛物线y=﹣x2+2x+3，的对称轴为：x=1，
∴把x=1代入y=﹣x+3得y=2，
∴P（1，2）．
(3)、根据函数图象可知：x＜0或x＞3
考点：二次函数的性质
24. 某商店经营家居收纳盒，已知成批购进时的单价是20元．调查发现：销售单价是30元时，月销售量是230件，而销售单价每上涨1元，月销售量就减少10件，但每个收纳盒售价不能高于40元．设每个收纳盒的销售单价上涨了元时（为正整数），月销售利润为元．
（1）求与的函数关系式．
（2）每个收纳盒的售价定为多少元时，月销售利润恰为2520元？
（3）每件玩具的售价定为多少元时可使月销售利润最大？最大的月利润是多少？
【答案】（1）（0≤x≤10）；（2）32元；（3）售价定为36元或37元时，每个月可获得最大利润，最大的月利润是2720元．
【解析】
【分析】
（1）利用利润=每件的利润×数量即可表示出与的函数关系式；
（2）令第（1）问中的y值为2520，解一元二次方程即可得出x的值；
（3）根据二次函数的性质求得最大值即可．
【详解】（1）根据题意有：

每个收纳盒售价不能高于40元


（2）令
即
解得或

此时售价为30+2=32元
（3）
∵为正整数
∴当或时，y取最大值，最大值为
此时的售价为30+6=6元或30+7=37元
答：售价定为36元或37元时，每个月可获得最大利润，最大的月利润是2720元．
【点睛】本题主要考查二次函数的应用，掌握二次函数的性质是解题的关键．
25. 在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过点、．
(1)求、满足的关系式及的值．
(2)当时，若的函数值随的增大而增大，求的取值范围．
(3)如图，当时，在抛物线上是否存在点，使的面积为1？若存在，请求出符合条件的所有点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；；(2)；(3)存在，点或或.
【解析】
【分析】
(1)求出点、的坐标，即可求解；
(2)当时，若的函数值随的增大而增大，则函数对称轴，而，即：，即可求解；
(3)过点作直线，作轴交于点，作于点，，则，即可求解．
【详解】(1)，令，则，令，则，
故点、的坐标分别为、，则，
则函数表达式为：，
将点坐标代入上式并整理得：；
(2)当时，若的函数值随的增大而增大，
则函数对称轴，而，
即：，解得：，
故：的取值范围为：；
(3)当时，二次函数表达式为：，
过点作直线，作轴交于点，作于点，
∵，∴，
，
则，
在直线下方作直线，使直线和与直线等距离，
则直线与抛物线两个交点坐标，分别与点组成的三角形的面积也为1，
故：，
设点，则点，
即：，
解得：或，
故点或 或.
【点睛】主要考查二次函数和与几何图形．解题关键在于要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．…
0
…
…
3