2023-2024学年天津市南开区九年级上学期数学月考试卷及答案

这是一份2023-2024学年天津市南开区九年级上学期数学月考试卷及答案，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 下列四幅图案是四所大学校徽的主体标识，其中是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案．
【详解】解：选项B、C、D均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形；
选项A能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形；
故选：A．
【点睛】本题主要考查了中心对称图形，关键是找出对称中心．
2. 关于x的一元二次方程，若，则该方程必有一个根是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据一元二次方程的根的定义，结合即可判断结果．
【详解】解：∵，当时，，
∴该方程必有一个根是，
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根的定义，解答本题的关键是熟练掌握方程的根的定义：方程的根就是使方程左右两边相等的未知数的值．
3. 将抛物线向上平移2个单位，再向左平移1个单位，则平移后的抛物线解析式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据平移规律确定解析式，后化成一般式即可．
【详解】将抛物线向上平移2个单位，再向左平移1个单位，得到的解析式为:
，
∴化成一般式为；
故选:C．
【点睛】本题考查了二次函数平移，熟练二次函数平移规律左加右减，上加下减是解题的关键．
4. 抛物线与x轴两交点间的距离是（ ）
A. 4B. 3C. 2D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】用十字相乘法将抛物线解析式进行因式分解，令，即可求出两个交点的横坐标，从而求出交点间的距离.
【详解】解：，
当时
则，
解得：，．
与x轴的交点坐标为，．
则抛物线与x轴两交点间的距离为．
故选：A．
【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点坐标求法，令，解一元二次方程即可得到交点的横坐标．
5. 是下列哪个一元二次方程的根（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据公式法解一元二次方程的步骤对各选项逐项判断即可．
【详解】A．方程的解为：，故不符合题意；
B．方程的解为：，故不符合题意；
C．方程的解为：，故符合题意；
D．方程的解为：，故不符合题意．
故选C．
【点睛】本题考查由公式法解一元二次方程．解题的关键是掌握一元二次方程的求根公式．
6. 已知二次函数(a>0)，当x分别取2，3，0时，对应的y的值分别为m，n，q，则m，n，q的大小关系为（ ）
A. m＞n＞qB. q＞n＞m
C. n＞q＞mD. q＞m＞n
【答案】B
【解析】
【分析】根据二次函数开口向上，离对称轴越远函数值越大进行求解即可．
【详解】解：∵(a>0)，
∴图象的对称轴为x=2，开口向上，离对称轴越远函数值越大，
∵当x分别取2，3，0时，离对称轴的距离分别为0，1，2，
∴q＞n＞m，
故选B．
【点睛】本题主要考查了比较二次函数函数值的大小，熟知二次函数开口向上，离对称轴越远函数值越大是解题的关键．
7. 已知关于x的一元二次方程有一个根为，则a的值为（ ）
A. 0B. C. D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】将代入，得，再根据一元二次方程的定义确定a的值即可．
【详解】解：将代入，得，
解得，
∵一元二次方程，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】此题考查了解一元二次方程，一元二次方程的定义，正确掌握一元二次方程的解及解一元二次方程的定义是解题的关键．
8. 在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】题干中二次函数的图象开口向下，可以判断出a的符号为负，一次函数的图象与x轴正方向夹角小于，且与y轴交点在y轴的正半轴，可以据此判断出b、c的符号皆为正，再去判断四个选项哪个符合二次函数的图象．
【详解】解：∵二次函数的图象开口向下，
∴a<0，
又∵一次函数y=bx+c的图象与x轴正方向夹角小于，且与y轴交点在y轴的正半轴，
∴b>0，c>0，
∴，
可知二次函数开口向下，对称轴在y轴右侧，且与y轴交点在y的正半轴，
观察四个选项，只有选项D图象符合，
故选D．
【点睛】本题考查了一次函数、二次函数图象与系数的关系，解题的关键是根据已知图象判断出a，b，c的符号．
9. 如图，将等边三角形OAB放在平面直角坐标系中，A点坐标（1，0），将△OAB绕点O逆时针旋转60°，则旋转后点B的对应点B＇的坐标为（ ）
A. （，）B. （－1，）
C. （－，）D. （－，）
【答案】A
【解析】
【分析】如图，作点B作BH⊥OA于H，设BB′交y轴于J．求出点B的坐标，证明B，B′关于y轴对称，即可解决问题．
【详解】解：如图，故点B作BH⊥OA于H，设BB′交y轴于J．
∵A（1，0），
∴OA=1，
∵△AOB是等边三角形，BH⊥OA，
∴OH=AH=OA=，BH=OH=，
∴B（，），
∵∠AOB=∠BOB′=60°，∠JOA=90°，
∴∠BOJ=∠JOB′=30°，
∵OB=OB′，
∴BB′⊥OJ，
∴BJ=JB′，
∴B，B′关于y轴对称，
∴B′（-，），
故选：A．
【点睛】本题考查了坐标与图形的性质，旋转变换，轴对称，等边三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
10. 某民俗旅游村为接待游客住宿需要，开设了有张床位的旅馆，当每张床位每天收费元时，床位可全部租出．若每张床位每天收费提高元，则相应的减少了张床位租出．如果每张床位每天以元为单位提高收费，为使租出的床位少且租金高，那么每张床位每天最合适的收费是（ ）
A. 14元B. 15元C. 16元D. 18元
【答案】C
【解析】
【分析】设每张床位提高x个单位，每天收入为y元，根据等量关系“每天收入=每张床的费用×每天出租的床位”可求出y与x之间的函数关系式，运用公式求最值即可．
【详解】设每张床位提高x个2元，每天收入为y元．根据题意得：
y=（10+2x）（100﹣10x）=﹣20x2+100x+1000．
当x=﹣=2.5时，可使y有最大值．
又x为整数，则x=2时，y=1120；x=3时，y=1120；
则为使租出的床位少且租金高，每张床收费=10+3×2=16（元）．
故选C．
【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，借助二次函数解决实际问题，利用二次函数对称性得出是解题的关键．
11. 如图，把以点A为中心逆时针旋转得到，点B，C的对应点分别是点D，E，且点E在的延长线上，连接，则下列结论一定正确的是（ ）

B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据旋转的性质即可解答．
【详解】根据题意，由旋转的性质，
可得，，，
无法证明，，故B选项和D选项不符合题意，
，故C选项不符合题意，
，故A选项符合题意，
故选：A．
【点睛】本题考查了旋转的性质，熟练掌握旋转的性质和三角形外角运用是解题的关键．
12. 二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的自变量x与函数值y的部分对应值如表：
且当x＝时，与其对应的函数值y＞0，有下列结论：
①abc＜0；②m＝n；③﹣2和3是关于x的方程ax2+bx+c＝t的两个根；④．
其中，正确结论的个数是（ ）.
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】根据二次函数的性质逐一进行分析即可
【详解】解：①函数的对称轴为：x＝（0+1）＝，则ab＜0，c＝﹣2＜0，故abc＞0，故①错误，不符合题意；
②根据表格可得：x＝﹣1和x＝2关于函数对称轴对称，故m＝n正确，符合题意；
③函数的对称轴为：x＝，根据表格可得：x＝﹣2和x＝3关于函数对称轴对称，此时的函数值为t，则﹣2和3是关于x的方程ax2+bx+c＝t的两个根，故③正确，符合题意；
④函数的对称轴为：x＝，则b=-a，当x＝﹣时，y＝ab﹣2＞0，所以 3a﹣8＞0，故④错误，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查是二次函数图象与系数的关系，熟悉函数的基本性质，能熟练求解函数与坐标轴的交点及顶点的坐标等．
二、填空题（共6小题，每小题3分）
13. 平面直角坐标系中，若点，关于原点对称，则=______．
【答案】2
【解析】
【分析】直接利用关于原点对称的点的坐标特点，两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点关于原点O的对称点是，进而得出m，n的值．
【详解】解：∵点，关于原点对称，
∴，
解得，
∴．
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查了关于原点对称点的性质，正确记忆横纵坐标的符号关系是解题关键．
14. 将方程化为的形式，则的值为__________．
【答案】3
【解析】
【分析】利用完全平方公式整理后，即可求出与的值，然后代入求解即可．
【详解】解：方程，
变形得：，
配方得：，即，
则，，
故，
故答案为：3．
【点睛】此题考查了解一元二次方程配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
15. 如图，一名学生推铅球，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是，则铅球推出的距离_________m．

【答案】10
【解析】
【分析】令，则，再解方程，结合函数图象可得答案．
【详解】解：令，则，
解得：，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是二次函数的实际应用，理解题意令求解方程的解是解本题的关键．
16. 如图，点P是正方形ABCD内一点，PA＝2，PB＝，∠APB＝135°，则PC的长是___．
【答案】4
【解析】
【分析】先根据正方形的性质得BA=BC，∠ABC=90°，把△APB绕点B顺时针旋转90°得到△CEB，连接PE，得到BP=BE，AP=CE，可判断△PBE为等腰直角三角形，得到∠PEC=90°，然后在Rt△PEC中利用勾股定理计算PC的长．
【详解】解：∵四边形ABCD为正方形，
∴BA=BC，∠ABC=90°，
把△APB绕点B顺时针旋转90°得到△CEB，连接PE，如图，
∴BP=BE=，AP=CE=，∠PBE=90°，∠BEC=∠APB=135°，
∴△PBE为等腰直角三角形，
∴PE=PB=2，∠PEB=45°，
∴∠PEC=135°-45°=90°，
在Rt△PEC中，∵PE=2，CE=，
∴PC==4，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了正方形的性质和等腰直角三角形的判定和性质．
17. 二次函数的图象如图所示，若关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意可得，二次函数的图象与直线有交点，由图象求出的取值范围即可．
【详解】解：一元二次方程有实数根，则二次函数的图象与直线有交点，由图象得， ，
故答案为：．
【点睛】此题考查了抛物线与横线的交点，解题的关键是用函数图象来处理方程根的问题．
18. 如图，在带有平面直角坐标系的正方形网格中，将格点绕某点顺时针旋转得到格点，点与，点与，点与是对应点．
（1）请通过画图找出旋转中心，点的坐标为__________．
（2）直接写出旋转角的度数为__________．

【答案】 ①. ②. ##90度
【解析】
【分析】（1）连接,分别做它们的垂直平分线相交于一点，该点即为所求；
（2）观察所作图形，，从而得到答案．
【详解】解：（1）如下图所示，点即为所求．

（2）观察第一问的图形，可知
【点睛】本题考查作图确认旋转中心、旋转角，牢记相关的知识点是解题的关键．
三、解答题（共7小题）
19. 解一元二次方程：
（1）．
（2）．
【答案】（1），
（2），
【解析】
【分析】（1）用因式分解法求解即可；
（2）化为一般式后用公式法求解即可．
【小问1详解】
∵
∴
∴或，
∴，
【小问2详解】
∵
∴
∴
∴
∴，
【点睛】本题考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．
20. 如图，在中，，将绕点A逆时针旋转角度至位置(点B与点对应，点C与点对应)，

（1）根据“旋转角相等”得： _______，的度数为_______．
（2）求的周长．
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】（1）由旋转的性质可得出答案；
（2）由直角三角形的性质得出，，证明是等边三角形，则可得出答案．
【小问1详解】
解：∵，
∴，
∵将绕点A逆时针旋转角度至位置，
∴，的度数为；
【小问2详解】
解：由旋转得：,
∴是等边三角形，
在中，
∵，
∴，，
∴周长是；
【点睛】本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质,等边三角形的判定与性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
21. 二次函数图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：
（1）直接写出表格当中m值：_________；
（2）直接写出这个二次函数的表达式_________；
（3）在图中画出这个二次函数的图象．
（4）直接写出当时，y取值范围是_________．
（5）直接写出当时，x的取值范围是_________．
【答案】（1）0 （2）
（3）见解析 （4）
（5）
【解析】
【分析】（1）根据函数的对称性即可求解；
（2）抛物线的顶点坐标为，则设抛物线的表达式为，将点代入上式求解即可；
（3）描点、连线画出函数的图像即可；
（4）根据函数的对称性求得时的函数值为5，又函数有最小值，据此即可解答；
（5）根据表格数据即可解答．
【小问1详解】
解：∵或的函数值相同，都是，
∴函数的对称轴为，
∵点和点关于直线对称，
∴．
故答案为0．
【小问2详解】
解：∵抛物线的顶点坐标为，
∴设抛物线的表达式为，
∵将点
∴，解得： a=1，
故抛物线的表达式为．
【小问3详解】
解：画出函数图像如下：
【小问4详解】
解：∵关于直线对称，
∴时，函数，
∵函数有最小值，
∴当时，，
故答案为：．
【小问5详解】
解：∵关于直线对称，
∴时，函数，
∵，
∴当时，．
【点睛】本题主要考查了二次函数图像的性质、画二次函数图像、二次函数的对称性、增减性等知识点，掌握数形结合思想是解答本题的关键．
22. 已知关于x的方程的两实数根为，．
（1）求m的取值范围；
（2）若，求m的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出，解之即可得出的取值范围；
（2）根据根与系数的关系可得，结合即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论．
【小问1详解】
∵关于x的方程有两个实数根，
∴，
解得，；
【小问2详解】
依据题意可得，，，
由（1）可知，
∵
即
∴，
解得， (舍去)，
∴的值是．
【点睛】本题考查了根与系数的关系、根的判别式以及解一元二次方程，解题的关键是：(1)牢记“当时，方程有两个实数根”；(2)根据根与系数的关系结合得出关于的一元二次方程．
23. 如图，现打算用的篱笆围成一个“日”字形菜园（含隔离栏），菜园的一面靠墙，墙可利用的长度为．（篱笆的宽度忽略不计）
（1）菜园面积可能为吗？若可能，求边长的长，若不可能，说明理由．
（2）因场地限制，菜园的宽度不能超过，求该菜园面积的最大值．
【答案】（1）可能；的长为14；理由见解析
（2）288
【解析】
【分析】（1）根据题意，设长，则长为，利用矩形面积公式列方程求解即可得到答案；
（2）由（1）设长为，则长为，根据题中条件得到，从而得到菜园面积，结合二次函数图像与性质分析即可得到答案．
【小问1详解】
解：可能．理由如下：
设长为，则 长为，
，解得或，
当时，，不合题意，舍去；
当时，，符合题意；
【小问2详解】
解：由（1）知，设长为，则长为，
，解得，
令菜园面积为，则，
即是关于的二次函数，其图像开口向下，对称轴为，
∴当时，面积随的增大而增大，
∴当时，面积的最大值为．
【点睛】本题考查一元二次方程及二次函数解是解决问题的，读懂题意，找准题中描述的关系得到相应方程及函数表达式是解决问题的关键．
24. 在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点，点，点．以点为旋转中心，顺时针旋转，得到，点，的对应点分别为，．
（1）如图1，当点落在边上时，求点的坐标；
（2）如图2，当点落线段上时，与交于点．
①求证：；
②求点的坐标；
（3）记为线段的中点，为的面积，请直接写出的取值范围．
【答案】（1）
（2）①见解析；②
（3）
【解析】
【分析】（1）根据点的坐标及旋转的性质得，在直角三角形中运用勾股定理可求出的长，从而可确定答案；
（2）①根据直角三角形全等的判定方法进行判定即可，
②根据①知，故，在中，运用勾股定理可求得的长，得出坐标；
（3）在矩形旋转的过程中，根据点K与直线的距离范围即可确定S的取值范围．
【小问1详解】
∵点，点，
∴，．
∵四边形是矩形，
∴，，.
∵矩形是由矩形旋转得到的，
∴．
在中，，
∴，
∴，
∴点D的坐标是；
【小问2详解】
①证明：由四边形是矩形，知．
∵点在线段上，得.
由（1）知，，
又，，
∴；
②由，得．
在矩形中，，
∴，
∴，
∴．
设，则，．
在中，，
∴，
解得，
∴，
∴点F的坐标是；
【小问3详解】
．
如图，当矩形顶点在线段上时，点到直线的距离最小，最小值为线段的长，则，
∴．
如图，当矩形顶点D在的延长线上时，点K到直线距离最大，最大值为线段的长，则，
∴，
所以．
【点睛】本题主要考查了矩形的旋转问题，全等三角形的性质和判定，勾股定理等，弄清线段的运动路径是解题的关键．
25. 已知，如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C， ，点P为x轴下方的抛物线上一点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）连接，求四边形面积的最大值；
（3）是否存在这样的点P，使得点P到和两边的距离相等，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）33 （3）存在这样的点，使得点P到和两边的距离相等
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）如图所示，连接，过点P作轴交于D，先求出直线的解析式，设，则，则，求出的最大值，再由可知当最大时，最大，由此即可得到答案；
（3）如图所示，取点E使其坐标为，连接，取中点F，连接，先证明，进而得到平分，则直线上的点到的距离相等，由此即可知点P即为直线与抛物线的交点，据此求解即可．
【小问1详解】
解：∵，
∴，
∴可设抛物线解析式为，
又∵当时，，即，
∴，
∴，
∴抛物线解析式为；
【小问2详解】
解：如图所示，连接，过点P作轴交于D，设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
设，则，
∴，
∴

，
∵，
∴当时，最大，最大为9，
∵，，
∴，
∴当最大时，最大，最大为；
【小问3详解】
解：如图所示，取点E使其坐标为，连接，取中点F，连接，
∵，
∴，，
∴，
∵F是的中点，
∴平分，
∴直线上的点到的距离相等，
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
联立得，
解得或（舍去），
∴点P的坐标为．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合，一次函数与几何综合，角平分线的性质，等腰三角形的性质与判定，勾股定理等等，正确作出辅助线是解题的关键．x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
…
y＝ax2+bx+c
…
t
m
﹣2
﹣2
n
…
…
0
1
2
…
…
0
5
…