湖北省随州市随县部分学校联考2023-2024学年九年级上学期期中数学试题（含解析）

这是一份湖北省随州市随县部分学校联考2023-2024学年九年级上学期期中数学试题（含解析），共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．下列标志图中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是 （ ）
A．B．C．D．
2．下列事件是必然事件的是（ ）
A．任意画一个三角形，其内角和为180°B．篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中
C．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯D．投一次骰子，朝上的点数是6
3．一元二次方程x2+4x＝﹣3用配方法变形正确的是（ ）
A．（x﹣2）＝1B．（x+2）＝1C．（x﹣2）＝﹣1D．（x+2）＝﹣1
4．若点、、三点在二次函数的图象上，则、、的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
5．如图，为的直径，弦，E为上一点，若，则的度数为（ ）

A．B．C．D．无法确定
6．如图所示，将等腰直角三角形ABC绕点A逆时针旋转15°得到，若，则图中阴影部分面积为（ ）
A．B．C．D．
7．用长的铁丝围成一个一边靠墙的长方形场地，使该场地的面积为，并且在垂直于墙的一边开一个长的小门（用其它材料），若设垂直于墙的一边长为，那么可列方程为（ ）
A．B．
C．D．
8．若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
9．如图，正六边形边长为，分别以、为圆心，长为半径画弧，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．B．
C．D．
10．抛物线（，，是常数，）的顶点坐标为，其中．下列四个结论：①；②；③关于的一元二次方程无实数解；④点，在抛物线上，若，则，能确定其正确的有（ ）个
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题（每题3分，共18分）
11．将点绕原点顺时针旋转对应的点坐标为 ．
12．若是一元二次方程的一个根，则的值是 ．
13．如图，边长为的正六边形内有一边长为的正三角形，则 ．
14．中，，以C为圆心所作的圆与边仅一个交点，则半径r为 ．
15．如图，在平面直角坐标系中，是直角三角形，，，直角边在轴上，其内切圆的圆心坐标为，抛物线的顶点为，则 ．

16．中，，，以为边在外作正方形，、交于点O，则线段的最大值为 ．
三、解答题（共72分）
17．解方程：
(1)；
(2)．
18．关于x的一元二次方程有实数根．
(1)求m的取值范围；
(2)若两根为、且，求m的值．
19．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，Rt△ABC的顶点均在格点上，在建立平面直角坐标系后，点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为．
(1)若将沿x轴正方向平移6个单位得到，试在图上画出图形并写出点的坐标为 ；
(2)将原来的绕点B顺时针旋转90°得到，画出的图形．
(3)在（2）中的旋转过程中，点A运动的路线长为 ；线段扫过的面积为 ．
20．在大课间活动中，体育老师随机抽取了七年级甲、乙两班部分女学生进行仰卧起坐的测试，并对成绩进行统计分析，绘制了频数分布表和统计图，请你根据图表中的信息完成下列问题：
（1）频数分布表中a=_____，b=_____，并将统计图补充完整；
（2）如果该校七年级共有女生180人，估计仰卧起坐能够一分钟完成30或30次以上的女学生有多少人？
（3）已知第一组中只有一个甲班学生，第四组中只有一个乙班学生，老师随机从这两个组中各选一名学生谈心得体会，则所选两人正好都是甲班学生的概率是多少？
21．如图，为的直径，C为上一点，，交于E点，，F为上一点，．
(1)求证：是的切线；
(2)，求的半径．
22．农户销售某农产品，经市场调查发现：若售价为6元/千克，日销售量为40千克，若售价每提高1元/千克，日销售量就减少2千克．现设售价为元/千克（且为正整数）．
(1)若某日销售量为24千克，求该日产品的单价；
(2)若政府将销售价格定为不超过18元/千克．设每日销售额为元，求关于的函数表达式，并求的最大值和最小值；
(3)市政府每日给农户补贴元后（为正整数），发现最大日收入（日收入=销售额+政府补贴）还是不超过450元，并且只有5种不同的单价使日收入不少于440元，请直接写出所有符合题意的的值．
23．阅读下面材料，并解决问题：
（1）如图①等边△ABC内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求∠APB的度数．
为了解决本题，我们可以将△ABP绕顶点A旋转到△ACP′处，此时△ACP′≌△ABP，这样就可以利用旋转变换，将三条线段PA、PB、PC转化到一个三角形中，从而求出∠APB＝__________；
（2）基本运用
请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题：
已知如图②，△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝AC，E、F为BC上的点且∠EAF＝45°，求证：EF2＝BE2+FC2；
（3）能力提升
如图③，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，点O为Rt△ABC内一点，连接AO，BO，CO，且∠AOC＝∠COB＝∠BOA＝120°，求OA+OB+OC的值．
24．如图，已知抛物线与x轴交于，两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若M为抛物线对称轴上一动点，使得为直角三角形，请求出点M的坐标．
(3)如图，P为直线BC上方的抛物线上一点，轴交BC于D点，过D作于点E，设，求m的最大值及此时P点坐标．
参考答案与解析
1．B
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可．
【详解】解：A．不是轴对称图形，是中心对称图形，故A错误；
B．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故B正确；
C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故C错误；
D．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故D错误．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
2．A
【分析】必然事件就是一定发生的事件，根据定义即可判断．
【详解】解：A、任意画一个三角形，其内角和为180°，是必然事件，故此选项符合题意；
B、球队员在罚球线上投篮一次，未投中，是随机事件，故此选项不符合题意；
C、经过有交通信号灯的路口，遇到红灯，是随机事件，故此选项不符合题意；
D、投一次骰子，朝上的点数是6，是随机事件，故此选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了必然事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
3．B
【分析】根据一元二次方程的配方法即可求出答案．
【详解】解：∵x2+4x＝﹣3，
∴x2+4x+4＝1，
∴（x+2）2＝1，
故选B．
【点睛】本题考查解一元二次方程-配方法：将一元二次方程配成（x+m）2=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
4．D
【分析】利用二次函数图象上点的坐标特征可求出，，的值，比较后即可得出结论．
【详解】解：点、、三点在二次函数的图象上，
，，．
，
．
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，利用二次函数图象上点的坐标特征求出，，的值是解题的关键．
5．B
【分析】本题考查垂径定理，圆周角定理．根据为的直径，弦，得到，再根据等弧所对的圆周角相等，即可得出结果．熟练掌握垂径定理，是解题的关键．
【详解】解：∵为的直径，弦，
∴平分，
∴，
∴；
故选B．
6．B
【分析】设B′C′与AB交点为D，根据等腰直角三角形的性质求出∠BAC＝45°，再根据旋转的性质求出∠CAC′＝15°，AC′＝AC，然后求出∠C′AD＝30°，再根据直角三角形30°角所得到直角边等于斜边的一半可得AD＝2C′D，然后利用勾股定理列式求出C′D，再利用三角形的面积公式列式进行计算即可得解．
【详解】如图，设B′C′与AB交点为D，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠BAC＝45°，
∵△AB′C′是△ABC绕点A逆时针旋转15°后得到，
∴∠CAC′＝15°，AC′＝AC＝1，
∴∠C′AD＝∠BAC−∠CAC′＝45°−15°＝30°，
∵AD＝2C′D，
∴AD2＝AC′2＋C′D2，
即（2C′D）2＝12＋C′D2，
解得C′D＝
故阴影部分的面积＝
故选B
【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟记性质并求出阴影部分的两直角边的长度是解题的关键．
7．C
【分析】设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为可以得出平行于墙的一边的长为．根据矩形的面积公式建立方程即可．
【详解】解：设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为可以得出平行于墙的一边的长为，由题意得
，
故选：C．
【点睛】本题考查了列一元二次方程解实际问题的运用，矩形的面积公式的运用，正确寻找题目的等量关系是解题的关键．
8．B
【分析】把三个点的横坐标代入函数解析式，求出对应函数值，比较大小即可．
【详解】解：把，，分别代入得，
；；；
则，，的大小关系是，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数比较函数值大小，准确求出二次函数对应函数值是解题关键．
9．A
【分析】根据计算即可．
【详解】边长为a的等边三角形的面积为：，
则正六边形的面积，
正六边形的内角度数为，即，
则
则阴影的面积为：==，
故选：A．
【点睛】本题考查了正六边形的性质、等边三角形的面积公式和扇形的面积公式等知识，得到是解答本题的关键．
10．B
【分析】根据抛物线的对称性，增减性，函数的性质计算判断即可．
【详解】∵抛物线（，，是常数，）的顶点坐标为，其中．
∴，抛物线开口向下，
∴，
∴；
故①正确；
∴时，函数有最大值m，
∵，
∴直线与抛物线（，，是常数，）无交点，
∴关于的一元二次方程无实数解，
故③正确；
∵，
∴，
∴即，
∴，
∴，
∴且或，
故②错误；
∵点，在抛物线上，且抛物线的对称轴为，
∴到对称轴的距离为，到对称轴的距离为，
当时，，
∵抛物线开口向下，
∴
故④错误，
故选B．
【点睛】本题考查了抛物线的抛物线的对称性，增减性，函数的性质，抛物线与方程的交点，熟练掌握抛物线的性质和与方程的关系是解题的关键．
11．
【分析】画出图形，利用图象解决问题即可．
【详解】解：如图，点绕原点顺时针旋转90°对应的点B，
由图象法可知．
故答案为：．
【点睛】本题考查旋转变换，解题的关键是理解题意，学会用图象解决问题．
12．2
【分析】根据一元二次方程的解的定义，把代入得，然后解关于的方程即可．
【详解】解：把代入得，
解得，
，
，
．
故答案为：2
【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解，还考查了二次根式有意义的条件．
13．
【分析】设，则，代入计算即可．
【详解】设，则，，
故，
故答案为：5．
【点睛】本题考查了正多边形的面积计算，正三角形的面积计算，熟练掌握面积计算是解题的关键．
14．或
【分析】本题考查直线与圆的位置关系，解决本题需要掌握直线与圆的位置关系等有关知识．分两种情况，①相切，画出符合条件的图形，然后根据切线性质和三角形的面积即可求出答案； ②相交，画出图形如图所示，进而确定的取值范围，从而使问题得解．
【详解】∵
∴，
分为两种情况：①如图1，当与相切时，只有一个公共点，则．

由三角形的面积公式得：，
∴，
∴，
即．
②如图2，当时，与只有一个公共点，

故答案为：或．
15．
【分析】先求出内切圆半径为1，再设，，则，，由直角三角形性质，得，即，根据切线长定理得，，则，化简得，由勾股定理，得，化简得，把①代入②解得：，则，从而求得，再由抛物线的顶点为，而抛物线的顶点为，则，即可求解．
【详解】解：∵是直角三角形，，其内切圆的圆心坐标为，
∴，，，
∴，
设，，
∴，，
∵，
∴，即，
，化简得，
由勾股定理，得，
化简得，
把①代入②解得：（负值不符合题意，已舍去），
∴，
∴，
∵，
∴抛物线的顶点为，
∵抛物线的顶点为，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查直角三角形内切圆，切线长性质，勾股定理，直角三角形性质，二次函数图象性质，求出点坐标是解题的关键．
16．
【分析】以点O为中心，将顺时针旋转得到，可得到等腰，即，，结合图形有（点A，点C，点F三点共线时取等号），即有，点A，点C，点F三点共线时，取得最大值，问题随之得解．
【详解】解：如图：以点O为中心，将顺时针旋转得到，
∵根据旋转有，，
∴得到等腰，即，，
如图，（点A，点C，点F三点共线时取等号），
∴，
∴点A，点C，点F三点共线时，取得最大值，
∴，
∵，
∴，
解得，
故答案为：．
【点睛】本题考查旋转的性质，勾股定理，正方形的性质，作出合理的辅助线是解题关键．
17．(1)
(2)
【分析】本题考查解一元二次方程．
（1）配方法解方程即可；
（2）因式分解法解方程即可．
熟练掌握解一元二次方程的方法，是解题的关键．
【详解】（1）解：，
∴
∴，
∴，
∴，
∴；
（2），
∴，
∴，
∴或，
∴．
18．(1)
(2)
【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围；
（2）根据根与系数的关系可得出，，结合可得出关于的一元二次方程，解之取其小于等于的值即可得出结论．
【详解】（1）解：关于的一元二次方程有实数根，
，
解得：．
（2），是一元二次方程的两个实数根，
，，
，即，
整理得：，
解得：，．
又，
．
【点睛】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是：（1）牢记“当时，方程有实数根”；（2）根据根与系数的关系结合，找出关于的一元二次方程．
19．(1)图见解析，
(2)图见解析
(3)，
【分析】本题考查坐标与图形变换，求弧长和扇形的面积．
（1）根据平移的性质，画出，再写出点的坐标即可；
（2）根据旋转的性质，画出即可；
（3）求出和扇形的面积即可．
掌握平移和旋转的性质，弧长和扇形的面积公式是解题的关键．
【详解】（1）解：如图，即为所求；
由图可知：；
故答案为：；
（2）如图，即为所求；
（3）由图可知：，
∴点A运动的路线长为；线段扫过的面积为；
故答案为：，．
20．（1）0.3，4，图见解析；（2）99；（3）
【分析】（1）由统计图易得a与b的值，继而将统计图补充完整；
（2）利用用样本估计总体的知识求解即可求得答案；
（3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与所选两人正好都是甲班学生的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【详解】（1）a=1﹣0.15﹣0.35﹣0.20=0.3；
∵总人数为：3÷0.15=20（人），∴b=20×0.20=4（人）；
故答案为0.3，4；
补全统计图得：
（2）估计仰卧起坐能够一分钟完成30或30次以上的女学生有：180×（0.35+0.20）=99（人）；
（3）画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，所选两人正好都是甲班学生的有3种情况，
∴所选两人正好都是甲班学生的概率是：=．
【点睛】本题考查了列表法或树状图法求概率以及条形统计图的知识．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
21．(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，根据圆周角定理，推出，得到，进而得到，即可得证；
（2）延长交与点，得到，，勾股定理求出的长，设的半径为，在中，利用勾股定理求解即可．
【详解】（1）解：连接，则：，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
又是的半径，
∴是的切线；
（2）延长交与点，

∵，，
∴，
∴，
∴，
设的半径为，则：，
在中，，
∴，
∴，即圆的半径为．
【点睛】本题考查切线的判定，圆周角定理，垂径定理，勾股定理．熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键．
22．(1)14
(2)，最大338元，最小240元
(3)
【分析】(1) 售价为元/千克（且为正整数）,则提价元，故销售量为千克，根据题意，列方程计算即可．
(2) 根据日销售额=日售价×日销售量，计算即可．
(3)由题意得：，由二次函数的对称性可知x的取值为11，12，13，14，15，从而计算可得a值．
【详解】（1）解：设产品售价为元/千克（且为正整数），则提价元，
故销售量为千克，
根据题意，得，
解得，
故该日产品的单价为14元/千克．
（2）解：设售价为元/千克（且为正整数），销售额为元，则提价元，
故销售量为千克，
∴，
∴，
∵，且对称轴右侧，y随x的增大而减小，到对称轴距离越大，函数值越小，且，
∴时，w取得最大值，且最大值为338元，
∴时，w取得最小值，且最小值为240元，
故，w的最大338元，w的最小240元．
（3）解：由题意得：，由二次函数的对称性可知x的取值为11，12，13，14，15，
∴时，元
∴时，元，
∴时，元，
且，
∴，
∵a是正整数，
∴a的值为．
【点睛】本题主要考查二次函数的应用．得到每天可售出的千克数是解决本题的突破点；本题需注意x的取值应为整数．解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式、根据销售额的相等关系列出函数解析式及二次函数的性质．
23．（1）150°；（2）EF2＝BE2+FC2．（3）．
【分析】（1）由△ACP′≌△ABP可得旋转角∠PAP′＝60°，可得△APP′为等边三角形，根据勾股定理逆定理可证明△PP′C为直角三角形，根据∠APB＝∠AP′C＝∠AP′P+∠PP′C即可得答案；（2）如图2，把△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ACE′，由旋转的性质可得AE′＝AE，CE′＝BE，∠CAE′＝∠BAE，∠ACE′＝∠B，∠EAE′＝90°，根据角的和差关系可得∠EAF＝∠E′AF，利用SAS可证明△EAF≌△E′AF，可得E′F＝EF，根据等腰直角三角形的性质可得∠E′CF＝90°，根据勾股定理即可得结论；（3）如图3，将△AOB绕点B顺时针旋转60°至△A′O′B处，连接OO′，根据含30°角的直角三角形的性质及勾股定理可求出AB、BC的长，根据旋转的性质可得∠A′BC=90°，△BOO′是等边三角形，由∠AOC＝∠COB＝∠BOA＝120°，利用平角的定义可证明C、O、A′、O′四点共线，利用勾股定理求出A′C的长即可得答案．
【详解】（1）∵△ACP′≌△ABP，
∴AP′＝AP＝3、CP′＝BP＝4、∠AP′C＝∠APB，
由题意知旋转角∠PAP′＝60°，
∴△APP′为等边三角形，
∴P′P＝AP＝3，∠AP′P＝60°，
∵P′C=PB=4，PC=5，
∴PC2=P′C2+P′P2，
∴△PP′C为直角三角形，且∠PP′C＝90°，
∴∠APB＝∠AP′C＝∠AP′P+∠PP′C＝60°+90°＝150°．
故答案为150°
（2）如图2，把△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ACE′，
由旋转的性质得，AE′＝AE，CE′＝BE，∠CAE′＝∠BAE，∠ACE′＝∠B，∠EAE′＝90°，
∵∠EAF＝45°，
∴∠E′AF＝∠EAE′-∠EAF=45°，
∴∠EAF＝∠E′AF，
在△EAF和△E′AF中，
∴△EAF≌△E′AF（SAS），
∴E′F＝EF，
∵∠CAB＝90°，AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB＝45°，
∴∠E′CF＝45°+45°＝90°，
由勾股定理得，E′F2＝CE′2+FC2，
即EF2＝BE2+FC2．
（3）如图3，将△AOB绕点B顺时针旋转60°至△A′O′B处，连接OO′，
∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，
∴AB＝2，
∴BC＝，
∵△AOB绕点B顺时针方向旋转60°，∠ABC=30°，
∴∠A′BC＝∠ABC+60°＝30°+60°＝90°，
∵∠C＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，
∴AB＝2AC＝2，
∵△AOB绕点B顺时针方向旋转60°，得到△A′O′B，
∴A′B＝AB＝2，BO＝BO′，A′O′＝AO，
∴△BOO′是等边三角形，
∴BO＝OO′，∠BOO′＝∠BO′O＝60°，
∵∠AOC＝∠COB＝∠BOA＝120°，
∴∠COB+∠BOO′＝∠BO′A′+∠BO′O＝120°+60°＝180°，
∴C、O、A′、O′四点共线，
在Rt△A′BC中，A′C＝，
∴OA+OB+OC＝A′O′+OO′+OC＝A′C＝．
【点睛】本题考查了旋转的性质、等边三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质及含30°角的直角三角形的性质，熟练掌握旋转的性质，正确得出对应边和对应角是解题关键．
24．(1)
(2)点M的坐标为，，，
(3)最大值为；
【分析】（1）把，两点代入解析式，计算即可．
（2）根据两点间距离公式表示出BC、MB、MC的长度，再根据三个顶点分别为直角顶点进行分类讨论．
（3）先求出，得到，进而表示出，转化为顶点式求出最值即可．
【详解】（1）解：把，两点代入解析式，
得，
解得，
抛物线的解析式为．
（2）解：由（1）知，抛物线对称轴为
故设，
根据两点间距离公式可得，
，，
若C为直角顶点，则有
则
解得；
若B为直角顶点，
则
解得；
若M为直角顶点，
则
解得；
综上所述，点M的坐标为，，，．
（3）解：如图，设PD与x轴的交点为F，点，
，
设直线BC的解析式为，
，
解得，
直线BC的解析式为，
，
，
连接AD，
抛物线开口向下，
m有最大值，且当时，且为，
此时，
故点
【点睛】此题考查了二次函数的解析式、两点间距离公式及最值的求法，一次函数解析式的求法，解题的关键是熟练掌握解析式的求解与函数的性质．
分 组
频数
频率
第一组（0≤x＜15）
3
0.15
第二组（15≤x＜30）
6
a
第三组（30≤x＜45）
7
0.35
第四组（45≤x＜60）
b
0.20