2023-2024学年湖北省随州市随县九年级(上)联考数学试卷(12月份)(含解析)
展开1.下列图案中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.若反比例函数y=kx(k≠0)的图象经过点(2,−3),则它的图象也一定经过的点是( )
A. (−2,−3)B. (−3,−2)C. (1,−6)D. (6,1)
3.下列事件中,属于随机事件的有( )
①任意画一个三角形,其内角和为360°;
②投一枚骰子得到的点数是奇数;
③经过有交通信号灯的路口,遇到红灯;
④从日历本上任选一天为星期天.
A. ①②③B. ②③④C. ①③④D. ①②④
4.关于x的方程x2+mx+6=0的一个根为−2,则另一个根是( )
A. −3B. −6C. 3D. 6
5.如图,四边形ABCD内接于⊙O,已知∠ADC=145°,则∠AOC的大小是( )
A. 75°
B. 100°
C. 70°
D. 60°
6.在平面直角坐标系中,如果抛物线y=3x2不动,而把x轴、y轴分别向上、向右平移5个单位,那么在新坐标系中此抛物线的解析式是( )
A. y=3(x−5)2+5B. y=3(x−5)2−5
C. y=5(x+5)2+5D. y=3(x+5)2−5
7.如图,将△ABC绕点A逆时针旋转65°得到△ADE,若∠E=70°且AD⊥BC于点F,则∠BAC=( )
A. 80°
B. 85°
C. 90°
D. 95°
8.如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图.点P处放一水平的平面镜,光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处,已知AB⊥BD,CD⊥BD,且测得AB=1.2米,BP=1.8米,PD=12米,那么该古城墙的高度是( )
A. 6米B. 8米C. 18米D. 24米
9.2024元旦将近,九(3)班数学社团在迎新聚会上,大家长都相互握了一次手互祝新年顺利,经统计所有人一共握了66次手,则这次参加聚会的人数是( )
A. 11B. 12C. 22D. 33
10.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则一次函数y=ax+b与反比例函数y=cx在同一平面直角坐标系中的大致图象为( )
A.
B.
C.
D.
11.如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠CAB=30°,BC=2,O,H分别为边AB,AC的中点,将△ABC绕点B逆时针旋转120°到△A1BC1的位置,则整个旋转过程中线段OH所扫过部分的面积(即阴影部分面积)为( )
A. 73π−78 3B. 43π+78πC. πD. 43π+ 3
二、填空题:本题共4小题,每小题3分,共12分。
12.已知a、b、c满足a3=b4=c6,a、b、c都不为0,则a+bc−b=______.
13.如图,A、B是⊙O上的两点,AC是过A点的一条直线,如果∠AOB=120°,那么当∠CAB的度数等于______度时,AC才能成为⊙O的切线.
14.如图,点A是反比例函数y=12x(x>0)的图象上一点,过点A作AC⊥x轴于点C,AC交反比例函数y=kx(x>0)的图象于点B,点P是y轴正半轴上一点.若△PAB的面积为2,则k的值为______.
15.关于x的一元二次方程x2+x=n有两个不相等的实数根,则抛物线y=x2+x−n的顶点在第 象限.
三、解答题:本题共9小题,共75分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
16.(本小题8分)
请选择适当方法解下列方程:
(1)2x(x−3)+x=3;
(2)2x2−6x+1=0(公式法).
17.(本小题6分)
如图,在平面直角坐标系中,△ABC的三个顶点坐标分别为A(−2,1)、B(−3,2)、C(−1,4).
(1)以原点O为位似中心,在第二象限内画出将△ABC放大为原来的2倍后的△A1B1C1.
(2)画出△ABC绕C点逆时针旋转90°后得到的△A2B2C.
18.(本小题6分)
邮票素有“国家名片”之称,方寸之间,包罗万象.为宣传北京2022年冬奥会,中国邮政发行了若干套冬奥会纪念邮票,其中有一套展现雪上运动的邮票,如图所示:
某班级举行冬奥会有奖问答活动,答对的同学可以随机抽取邮票作为奖品.
(1)在抢答环节中,若答对一题,可从4枚邮票中任意抽取1枚作为奖品,则恰好抽到“冬季两项”的概率是______;
(2)在抢答环节中,若答对两题,可从4枚邮票中任意抽取2枚作为奖品,请用列表或画树状图的方法,求恰好抽到“高山滑雪”和“自由式滑雪”的概率.
19.(本小题8分)
如图,反比例函数y1=kx(k≠0)与一次函数y2=−x+b的图象在第一象限交于A(1,3)、B(3,n)两点.
(1)则k= ______,b= ______,n= ______.
(2)观察图象,请直接写出满足y1≥y2的取值范围.
(3)若Q为y轴上的一点,使QA+QB最小,求点Q的坐标.
20.(本小题8分)
今年超市以每件25元的进价购进一批商品,当商品售价为40元时,三月份销售256件,四、五月该商品十分畅销,销售量持续上涨,在售价不变的基础上,五月份的销售量达到400件.
(1)求四、五这两个月销售量的月平均增长百分率.
(2)经市场预测,六月份的销售量将与五月份持平,现商场为了减少库存,采用降价促销方式,经调查发现,该商品每降价1元,月销量增加5件,当商品降价多少元时,商场六月份可获利4250元?
21.(本小题8分)
如图,BE是圆O的直径,A在EB的延长线上,∠AOD=∠APC,弦PD垂直于BE于点C.
(1)求证:AP为圆O的切线;
(2)若OC:CB=1:2,AB=6,求圆O的半径及PCCE的值.
22.(本小题9分)
如图,某跳水运动员进行10米跳台跳水训练,水面边缘点E的坐标为(−32,−10).运动员(将运动员看成一点)在空中运动的路线是经过原点O的抛物线.在跳某个规定动作时,运动员在空中最高处A点的坐标为(1,54),正常情况下,运动员在距水面高度5米以前,必须完成规定的翻腾、打开动作,并调整好入水姿势,否则就会失误.运动员入水后,运动路线为另一条抛物线.
(1)求运动员在空中运动时对应抛物线的解析式并求出入水处B点的坐标;
(2)若运动员在空中调整好入水姿势时,恰好距点E的水平距离为5米,问该运动员此次跳水会不会失误?通过计算说明理由;
(3)在该运动员入水点的正前方有M,N两点,且EM=212,EN=272,该运动员入水后运动路线对应的抛物线解析式为y=a(x−h)2+k,且顶点C距水面5米,若该运动员出水点D在MN之间(包括M,N两点),请直接写出a的取值范围______.
23.(本小题10分)
问题情境:在学习《图形的平移和旋转》时,数学兴趣小组遇到这样一个问题:如图1,点D为等边△ABC的边BC上一点,将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到线段AE,连接CE.
(1)【猜想证明】试猜想BD与CE的数量关系,并加以证明;
(2)【探究应用】如图2,点D为等边△ABC内一点,将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到线段AE,连接CE,若B、D、E三点共线,求证:EB平分∠AEC;
(3)【拓展提升】如图3,若△ABC是边长为2的等边三角形,点D是线段BC上的动点,将线段AD绕点D顺时针旋转60°得到线段DE,连接CE.点D在运动过程中,△DEC的周长最小值= ______(直接写答案).
24.(本小题12分)
如图,已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A和B(3,0)两点,与y轴交于C(0,−2),对称轴为直线x=54,连接BC,在直线BC上有一动点P,过点P作y轴的平行线交二次函数的图象于点N,交x轴于点M,
(1)求抛物线与直线BC的函数解析式;
(2)设点M的坐标为(m,0),求当以PN为直径的圆与y轴相切时m的值;
(3)若点P在线段BC上运动,则是否存在这样的点P,使得△CPN与△BPM相似,若存在,请直接写出点P的坐标,若不存在,请写出理由.
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解:A、既是轴对称图形又是中心对称图形,故此选项符合题意;
B、不是轴对称图形,是中心对称图形,故此选项不合题意;
C、是轴对称图形,不是中心对称图形,故此选项不合题意;
D、是轴对称图形,不是中心对称图形,故此选项不合题意;
故选:A.
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解.
此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念.轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形两部分折叠后可重合,中心对称图形是要寻找对称中心,旋转180度后两部分重合.
2.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征,所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等于比例系数.
将(2,−3)代入y=kx(k≠0)即可求出k的值,再根据k=xy解答即可.
【解答】解:∵反比例函数y=kx(k≠0)的图象经过点(2,−3),
∴k=2×(−3)=−6,
A、−2×(−3)=6≠−6,故A不正确,不符合题意;
B、(−3)×(−2)=6≠−6,故B不正确,不符合题意;
C、1×(−6)=−6,故C正确,符合题意;
D、6×1=6≠−6,故D不正确,不符合题意.
故选:C.
3.【答案】B
【解析】解:①任意画一个三角形,其内角和为360°,是不可能事件;
②投一枚骰子得到的点数是奇数,是随机事件;
③经过有交通信号灯的路口,遇到红灯,是随机事件;
④从日历本上任选一天为星期天,是随机事件.
故选:B.
直接利用随机事件以及不可能事件的定义分析得出答案.
此题主要考查了随机事件,正确把握相关定义是解题关键.
4.【答案】A
【解析】解:设方程的另一根为x1,
又∵x2=−2,
∴根据根与系数的关系可得:x1+(−2)=−mx1⋅(−2)=6,
解得:x1=−3,m=5.
故选:A.
可将该方程的已知根−2代入两根之积公式和两根之和公式列出方程组,解方程组即可求出m值和方程的另一根.
此题考查根与系数的关系,此题也可先将x=−2代入方程x2+mx+6=0中求出m的值,再利用根与系数的关系求方程的另一根.
5.【答案】C
【解析】解:∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形,
∴∠B+∠ADC=180°,
∵∠ADC=145°
∴∠B=180°−145°=35°.
∴∠AOC=2∠B=70°.
故选:C.
根据圆内接四边形的性质求得∠B=35°,利用圆周角定理,得∠AOC=2∠B=70°.
此题主要考查了圆周角定理以及圆内接四边形的性质,得出∠B的度数是解题关键.
6.【答案】D
【解析】解:抛物线y=3x2的顶点坐标为(0,0),把点(0,0)向下、向左平移5个单位(−5,−5),所以在新坐标系中此抛物线的解析式为y=3(x+5)2−5.
故选:D.
该题实际上是将抛物线y=3x2向下、向左平移2个单位,根据“左加右减”的规律解答即可.
本题考查了二次函数图象与几何变换:由于抛物线平移后的形状不变,故a不变,所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法:一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标,利用待定系数法求出解析式;二是只考虑平移后的顶点坐标,即可求出解析式.
7.【答案】B
【解析】解:∵将△ABC绕点A逆时针旋转65°得△ADE,
∴∠BAD=65°,∠E=∠ACB=70°,
∵AD⊥BC,
∴∠DAC=20°,
∴∠BAC=∠BAD+∠DAC=85°.
故选:B.
由旋转的性质可得∠BAD=65°,∠E=∠ACB=70°,由直角三角形的性质可得∠DAC=20°,即可求解.
本题考查了旋转的性质,直角三角形的性质,掌握旋转的性质是本题的关键.
8.【答案】B
【解析】解:由题意知:光线AP与光线PC,∠APB=∠CPD,
∴Rt△ABP∽Rt△CDP,
∴ABCD=BPPD,
∴CD=1.2×121.8=8(米).
故选:B.
由已知得△ABP∽△CDP,则根据相似三角形的性质可得ABCD=BPPD,解答即可.
本题综合考查了平面镜反射和相似三角形的知识,是一道较为简单的题,考查相似三角形在测量中的应用.
9.【答案】B
【解析】解:设参加会议有x人,依题意得,
12x(x−1)=66,
整理,得x2−x−132=0,
解得x1=12,x2=−11,(舍去).
则参加这次会议的有12人.
故选:B.
计算握手次数时,每两个人之间产生一次握手现象,故共握手次数为12x(x−1).
考查了一元二次方程的应用,正确找到等量关系列出方程是解题关键.
10.【答案】B
【解析】解:∵二次函数图象开口方向向上,
∴a>0,
∵对称轴为直线x=−b2a>0,
∴b<0,
∵与y轴的正半轴相交,
∴c>0,
∴y=ax+b的图象经过第一三象限,且与y轴的负半轴相交,
反比例函数y=cx图象在第一三象限,
只有B选项图象符合.
故选:B.
根据二次函数图象开口向上得到a>0,再根据对称轴确定出b,根据与y轴的交点确定出c>0,然后确定出一次函数图象与反比例函数图象的情况,即可得解.
本题考查了二次函数的图形,一次函数的图象,反比例函数的图象,熟练掌握二次函数的有关性质:开口方向、对称轴、与y轴的交点坐标等确定出a、b、c的情况是解题的关键.
11.【答案】C
【解析】解:连接BH,BH1,
∵O、H分别为边AB,AC的中点,将△ABC绕点B逆时针旋转120°到△A1BC1的位置,
∴△OBH≌△O1BH1,
∵∠ACB=90°,∠CAB=30°,BC=2,
∴AB=2BC=4,
∴AC= AB2−BC2= 42−22=2 3.
∵H为边AC的中点,
∴CH=12AC= 3,
∴BH= BC2+CH2= 22+( 3)2= 7,
∴阴影部分面积=120π(BH2−BC2) 360=120π×(7−4)360=π.
故选:C.
整个旋转过程中线段OH所扫过部分的面积(即阴影部分面积)为以点B为圆心,OB,BH为半径的两个扇形组成的一个环形.
本题考查的是扇形面积的计算,涉及到直角三角形的性质及旋转的性质,根据题意作出辅助线,构造出全等三角形是解题的关键.
12.【答案】72
【解析】【分析】
此题考查了比例的性质,熟练掌握比例的性质是解决本题的关键.
设已知比例式值为k,表示出a,b,c,代入原式计算即可得到结果.
【解答】
解:设a3=b4=c6=k(k≠0),
可得:a=3k,b=4k,c=6k,
把a=3k,b=4k,c=6k代入a+bc−b=3k+4k6k−4k=72,
故答案为:72.
13.【答案】60
【解析】解:∵△AOB中,OA=OB,∠AOB=120°,
∴∠OAB=30°,
∴当∠CAB的度数等于60°时,OA⊥AC,AC才能成为⊙O的切线.
由已知可求得∠OAB的度数,因为OA⊥AC,AC才能成为⊙O的切线,从而可求得∠CAB的度数.
本题考查了切线的判定.
14.【答案】8
【解析】
解:连接OA、OB,
∵AC⊥x轴,
∴AC//y轴,
∴S△AOB=S△APB=2,
由反比例函数系数的几何意义可得:S△AOC=6,S△BOC=12k,
∴S△AOC−S△BOC=S△AOB=6−12k=2,
解得:k=8,
故答案为:8.
连接OA、OB,由题可得:S△AOB=S△APB=2,由反比例函数系数的几何意义可得S△AOC=6,S△BOC=12k,所以S△AOC−S△BOC=S△AOB=2,代入计算即可得出k的值.
本题考查了反比例函数系数的几何意义,利用等积转化将△PAB的面积转化为△OAB的面积是解决问题的关键.
15.【答案】三
【解析】【分析】
由于关于x的一元二次方程x2+x=n有两个不相等的实数根,由此可以得到此方程的判别式是正数,这样可以得到关于n的不等式,解不等式求出n的取值范围,代入抛物线y=−x2+x−n的顶点坐标公式中,就可以判断顶点所在象限.
本题考查了抛物线与x轴的交点个数与相应一元二次方程的解的个数的关系,掌握二次函数顶点坐标公式是解题的关键.
【解答】
解:∵关于x的一元二次方程x2+x=n即x2+x−n=0有两个不相等的实数根,
∴Δ=1−4(−n)>0,
∴n>−14,
∵抛物线y=x2+x−n的对称轴为x=−12,y最小值=4×(−n)−14=−n−14,
∵n>−14,
则−n−14<14−14=0,
∴顶点在第三象限.
故答案为:三.
16.【答案】解:(1)2x(x−3)+x=3,
2x(x−3)+x−3=0,
(2x+1)(x−3)=0,
∴x1=3,x2=−12;
(2)2x2−6x+1=0,
∵a=2,b=−6,c=1,
∴b2−4ac=(−6)2−4×2×1=28,
∴x=−b± b2−4ac2a=6± 284=3± 72,
∴x1=3+ 72,x2=3− 72.
【解析】(1)利用提公因式法即可得解;
(2)利用公式法即可得解.
本题考查解一元二次方程,熟练掌握一元二次方程的解法:“提公因式法、公式法”是解题的关键.
17.【答案】解:(1)如图,△A1B1C1为所作;
(2)如图,△A2B2C为所作;
【解析】(1)把点A、B、C的横纵坐标都乘以2得到A1、B1、C1的坐标,然后描点即可;
(2)利用网格特点和旋转的性质画出点A、B的对应点A2、B2即可得到△A2B2C.
本题考查了作图−位似变换:利用以原点为位似中心的对应点的坐标之间的关系写出所求图形各顶点坐标,然后描点即可.也考查了旋转变换.
18.【答案】 解:(1)14;
(2)“越野滑雪”、“高山滑雪”、“冬季两项”、“自由式滑雪”分别记为甲、乙、丙、丁,
画树状图如下:
∵共有12种等可能性结果,其中恰好抽到“高山滑雪”和“自由式滑雪”的有2种结果,
∴恰好抽到“高山滑雪”和“自由式滑雪”的概率为:212=16.
【解析】此题考查的是用树状图法求概率.树状图法可以不重复不遗漏地列出所有可能的结果,适合两步或两步以上完成的事件.用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比.
【分析】
(1)直接由概率公式求解即可;
(2)画树状图,共有12种等可能性结果,其中恰好抽到“高山滑雪”和“自由式滑雪”的有2种结果,再由概率公式求解即可.
【解答】
解:(1)恰好抽到“冬季两项”的概率是14,
故答案为:14;
(2)见答案.
19.【答案】3 4 1
【解析】解:(1)∵反比例函数y1=kx(k≠0)与一次函数y2=−x+b的图象在第一象限交于A(1,3)、B(3,n)两点,
∴3=k1,3=−1+b,
∴k=3,b=4,
∴反比例函数和一次函数的表达式分别为:y=3x,y=−x+4;
将点(3,n)代入y=3x得n=1,
故答案为:3,4,1,
(2)
由图象可得:满足y1≥y2的取值范围是0
∵A(1,3),
∴A关于y轴的对称点A′(−1,3).
设直线A′B的解析式为y=mx+n,
∴−m+n=33m+n=1,
解得m=−12n=52,
∴直线A′B的解析式为y=−12x+52,
令x=0,则y=52,
∴Q(0,52).
(1)利用待定系数法即可求得;
(2)根据图象即可求得;
(3)作A关于y轴的对称点A′,连接A′B,与y轴的交点即为Q点,此时AQ+BQ的和最小,根据待定系数法求得直线A′B的解析式,进而即可求得Q的坐标.
本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题,待定系数法求解析式,轴对称−最短路线问题,数形结合是本题的关键.
20.【答案】(1)解:设平均增长率为x,由题意得:256×(1+x)2=400,
解得:x=0.25或x=−2.25(舍);
∴四、五这两个月的月平均增长百分率为25%;
(2)解:设降价y元,由题意得:(40−y−25)(400+5y)=4250,
整理得:y2+65y−350=0,
解得:y=5或y=−70(舍);
∴当商品降价5元时,商场六月份可获利4250元.
【解析】(1)利用平均增长率的等量关系:a(1+x)2=b,列式计算即可;
(2)利用总利润=单件利润×销售数量,列方程求解即可.
本题考查一元二次方程的实际应用.根据题意正确的列出一元二次方程是解题的关键.
21.【答案】(1)证明:连接OP,如图所示:
∵弦PD垂直于BE于点C,
∴∠AOP=∠OCD=90°,
又∵∠AOD=∠APC,
∴△ACP∽△DCO,
∴∠A=∠D,
∵OP=OD,
∴∠OPC=∠D,
∴∠OPC=∠A,
∵∠A+∠APC=90°,
∴∠OPC+∠APC=90°,
即∠APO=90°,
∴OP⊥AP,
∵OP是半径,
∴AP为圆O的切线;
(2)解:∵OC:CB=1:2,
∴设OC=x则CB=2x,OP=OB=3x;
在Rt△OPC中,由勾股定理得:
CP2=OP2−OC2=9x2−x2=8x2;
由(1)中可知∠OPC=∠A,∠OCP=∠ACP=90°,
∴Rt△OCP∽Rt△PCA,
∴ACCP=CPOC,
∴AB+BCCP=CPOC,
∴6+2xCP=CPx,
即CP2=(6+2x)x,
∴8x2=(6+2x)x,
解得x=0(舍去),x=1,
∴OP=OB=OE=3,
∴CP= 8=2 2,
∵CE=OC+OE=1+3=4,
∴PCCE=2 24= 22.
【解析】(1)连接OP,证明△ACP∽△DCO,得出∠A=∠D,进而推出∠OPC=∠A,即可证明∠OPC+∠APC=90°,即可得出结论;
(2)根据OC、BC的比例关系,可用未知数表示出OC、BC的表达式,进而可得OP、OB的表达式;在Rt△OPC中,由勾股定理得:CP2=8x2,再根据Rt△OCP∽Rt△PCA,得出ACCP=CPOC,即有CP2=(6+2x)x,进而可得8x2=(6+2x)x,即可求出圆的半径,以及PCCE的值.
本题综合考查了切线的判定,相似三角形的判定与性质,勾股定理,解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质.
22.【答案】45≤a≤516
【解析】解:(1)设抛物线的解析式为y=a0(x−1)2+54,
把(0,0)代入解析式得:a0=−54,
∴抛物线的解析式为y=−54(x−1)2+54;
令y=−10,则−54(x−1)2+54=−10,
解得:x1=−2(舍去),x2=4,
∴入水处B点的坐标为(4,−10);
(2)当距点E水平距离为5时,对应的横坐标为5−32=72,
将x=72代入解析式得y=−54(72−1)2+54=−10516,
∵−10516−(−10)=5516<5,
∴该运动员此次跳水失误了;
(3)∵EM=212,EN=272,点E的坐标为(−32,−10),
∴点M,N的坐标分别为(9,−10),(12,−10),
∵该运动员入水后运动路线对应的抛物线解析式为y=a(x−h)2+k,
且顶点C 距水面5米,经过点B(4,−10),
∴当抛物线过点M时,y=a(x−132)2−15,
把M(9,−10)代入,得a(9−132)2−15=−10,即254a=5,
解得a=45;
当抛物线过点N(12,−10)时,y=a(x−8)2−15,
则a(12−8)2−15=−10,即16a=5,a=516,
由点D在MN之间得a的取值范围为45≤a≤516.
故答案为:45≤a≤516.
(1)根据题意,利用待定系数法求出抛物线解析式,令y=−10得出点B的坐标为(4,−10);
(2)当距点E水平距离为5时,对应的横坐标为5−32=72,将.x=72代入解析式得y=−10516,根据−10516−(−10)=5516<5,确定该运动员此次跳水失误了;
(3)根据题意得到点E(−32,−10),M(9,−10),N(12,−10),当抛物线过点M和点N时,分情况求出a值,进而根据点D在MN之间得出45≤a≤516.
本题考查二次函数实际问题,涉及到待定系数法确定函数关系式、二次函数的图象与性质、根据计算做决策及求参数范围等,读懂题意,熟练掌握二次函数的图象与性质是解决问题的关键.
23.【答案】(1)解:BD=CE,理由如下:
∵将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到AE,
∴AD=AE,∠DAE=60°,
∵△ABC是等边三角形,
∴AB=AC,∠BAC=60°=∠DAE,
∴∠BAD=∠CAE,
在△ABD和△ACE中
AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE
∴△ABD≌△ACE(SAS),
∴BD=CE;
(2)证明:∵将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到AE,
∴AD=AE,∠DAE=60°,
∴∠ADE=∠AED=60°,
∴∠ADB=120°,
∵△ABC是等边三角形,
∴AB=AC,∠BAC=60°=∠DAE,
∴∠BAD=∠CAE,
在△ABD和△ACE中
AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE
∴△ABD≌△ACE(SAS),
∴∠ADB=∠AEC=120°,
∴∠BEC=60°,
∴∠BEC=∠AED=60°,
∴EB平分∠AEC;
(3)2+ 3
【解析】(1)见答案;
(2)见答案;
(3)解:当点D在线段BC上时,△DEC的周长存在最小值,最小值为2+ 3,
理由如下:
∵△ABD≌△ACE,
∴CE=BD,
∴△DEC的周长=DE+CE+DC=BD+CD+DE,
∴当点D在线段BC上时,△DEC的周长=BC+DE,
∵△ADE为等边三角形,
∴DE=AD,
∴当AD的值最小时,△DEC的周长最小,此时AD⊥BC,
∴BD=12AB=1,AD= 3BD= 3=DE,
∴△DEC的周长的最小值为2+ 3.
故答案为:2+ 3.
(1)证明△ABD≌△ACE,即可得BD=CE;
(2)证明△ABD≌△ACE(SAS),可得∠ADB=∠AEC=120°,故∠BEC=60°,从而EB平分∠AEC;
(3)由△ABD≌△ACE,得CE=BD,可得△DEC的周长=BC+DE,而DE=AD,当AD的值最小时,△DEC的周长最小,此时AD⊥BC,即可求得答案.
本题考查几何变换综合应用,涉及等边三角形的性质,全等三角形的判定和性质,垂线段最短等知识,解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题,属于中考常考题型.
24.【答案】解:(1)∵抛物线的对称轴为直线x=54,
∴−b2a=54,
∴b=−52a,
∴y=ax2−52ax+c,
将点B(3,0),C(0,−2)代入,
∴c=−29a−152a+c=0,
∴c=−2a=43,
∴抛物线的函数解析式y=43x2−103x−2,
设直线BC的解析式为y=kx+n,
∴n=−23k+n=0,
∴n=−2k=23,
∴直线BC的函数解析式y=23x−2;
(2)∵点M的坐标为(m,0),PM⊥x轴,
∴P(m,23m−2),N(m,43m2−103m−2),
∴PN=yP−yN=−43m2+4m,P、N的中点为(m,23m2−43m−2),
∵以PN为直径的圆与y轴相切,
∴|m|=12PN=|−23m2+2m|,
∴m=32或m=92或m=0(舍去);
故m的值为32或92.
(3)存在,P点的坐标为(118,−1312)或(52,−13).
【解析】(1)由对称轴直线可得b=−52a,再将点B(3,0),C(0,−2)代入y=ax2+bx+c,即可求二次函数的解析式,再由待定系数法求直线BC的解析式即可;
(2)求出P、N的坐标,然后求出PN和PN的中点坐标,根据圆与y轴相切的条件,可得|m|=12PN,列出方程求出m即可;
(3)由题意可知△PCN是直角三角形,分两种情况求解:①当∠PCN=90°时,过点N作EN⊥y轴于点E,证明△OBC∽△ECN,再由边的比例关系求出m的值;②当∠CNP=90°时,CN//x轴,可得N点纵坐标为−2,由此可求m的值.
解:存在这样的点P,使得ΔCPN与ΔBPM相似,理由如下:
∵∠PMB=90°,∠MPB=∠CPN,
∴当ΔCPN与ΔBPM相似时有两种情况:
①当∠PCN=90°时,如图1,过点N作EN⊥y轴于点E,
∵∠PCN=90°,
∴∠OCB+∠ECN=90°,
∵∠OCB+∠OBC=90°,
∴∠OBC=∠ECN,且∠BOC=∠CEN=90°,
∴ΔOBC∽ΔECN,
∴OCOB=ENEC,
∴23=m−43m2+103m,
∴m=118,
∴P(118,−1312);
②当∠CNP=90°时,CN//x轴,
∴N点纵坐标为−2,
∴43m2−103m−2=−2,
∴m=52或0(舍去),
∴P(52,−13);
综上所述:P点的坐标为(118,−1312)或(52,−13).
本题是二次函数的综合题,熟练掌握二次函数的图象及性质,三角形相似的判定及性质,圆与直线的位置关系是解题的关键.
2023-2024学年湖北省随州市随县九年级上册联考数学试题(含解析): 这是一份2023-2024学年湖北省随州市随县九年级上册联考数学试题(含解析),共22页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
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