湖北省随州市曾都区2024-2025学年九年级上学期10月多校联考数学试题

这是一份湖北省随州市曾都区2024-2025学年九年级上学期10月多校联考数学试题，共23页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．B．
C．D．
2．函数图象顶点坐标是（ ）
A．B．C．D．
3．一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ）
A．B．且
C．D．且
4．将抛物线的图象向下平移个单位长度，则平移后抛物线的解析式为（ ）
A．B．C．D．
5．观察下列表格，一元二次方程的一个解x所在的范围是（ ）
A．B．
C．D．
6．如果三点，和在抛物线 的图象上，那么，与之间的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
7．已知抛物线的对称轴为直线，记，则下列选项中一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
8．若二次函数，当时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
9．若方程用配方法可配成的形式，则直线不经过（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
10．如图，已知二次函数的图象与x轴相交于点，，则下列结论正确的个数是（ ）
①
②
③对任意实数m，均成立
④若点，在抛物线上，则
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题
11．若a是关于x的方程的一个根，则的值是 ．
12．已知二次函数，当时，函数值y的取值范围为
13．定义：如果一元二次方程满足，那么称这个方程为“奇妙方程”．已知是“奇妙方程”，且有两个相等的实数根，则b的值为 ．
14．若实数满足，则的结果为 ．
15．如图，正方形的边长为6，与x轴负半轴的夹角为，点B在抛物线（）的图象上，则a的值为 ．
三、解答题
16．用适当方法解方程：
(1)；
(2)．
17．已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：该方程总有实数根；
(2)设该方程的两个实数根分别为，，若，，求a的取值范围．
18．二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线．
(1)方程的解是______；
(2)若，则方程的解有______个，抛物线与直线有______个公共点；
(3)不等式的解集是______．
19．如图，抛物线经过，两点，请解答下列问题：
(1)求抛物线的解析式；
(2)若抛物线的顶点为D，对称轴所在的直线交x轴于点E，连接，点F为的中点，求出和线段的长．
20．2024年巴黎奥运会顺利闭幕，吉祥物“弗里热”深受奥运迷的喜爱，一商场以20元的进价进一批“弗里热”纪念品，以30元每个的价格售出，每周可以卖出500个，经过市场调查发现，价格每涨10元，就少卖100个．
(1)若商场计划一周的利润达到8000元，并且更大优惠让利消费者，售价应定为多少钱？
(2)商场改变销售策略，在不改变（1）的销售价格基础上，销售量稳步提升，两周后销售量达到了个，求这两周的平均增长率．
21．如图，用长为的篱笆和一面利用墙（墙的最大可用长度为），围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在上用其他材料做了宽为的两扇小门．
(1)设花圃的一边长为x米，请你用含x的代数式表示另一边的长为__________．
(2)若此时花圃的面积刚好为，求此时花圃的长与宽．
(3)在不增加篱笆总长度的情况下，这个花圃的面积能否达到．请说明理由．猜想一下，这个花圃面积最大可以做到多少？
22．材料一：经过一点的直线解析式总可以表示为：比如过一点的直线解析式可以表示为：．
材料二：二次函数的图象若与直线有两点交点，，则此二次函数可表示为：，我们称此形式为“广义的二次函数交点式”；
(1)由材料一：直接写出直线经过的定点坐标；
(2)由材料二：若二次函数经过，，， 试求该二次函数的解析式．（结果写成一般式）
(3)若一次函数与（2）中的抛物线交于点，试用k表示出另一交点的横坐标．
23．农经公司以30元/千克的价格收购一批农产品进行销售，为了得到日销售量（千克）与销售价格（元/千克）之间的关系，经过市场调查获得部分数据如表：
(1)请你根据表中的数据，用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定与之间的函数表达式，并直接写出与的函数表达式为______；
(2)农经公司应该如何确定这批农产品的销售价格，才能使日销售利润最大？
(3)农经公司每销售1千克这种农产品需支出元的相关费用，当时，农经公司的日获利的最大值为2430元，求的值．（日获利日销售利润日支出费用）
24．如图1，抛物线经过两点，与轴交于点为第四象限内抛物线上一点，过点作轴于点，连接与轴交于点．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)设的面积为，求的最大值；
(3)当时，求直线的函数表达式及点的坐标．
x
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
0.19
0.44
0.71
销售价格（元/千克）
30
35
40
45
50
日销售量（千克）
600
450
300
150
0
参考答案：
1．A
【分析】本题考查一元二次方程的定义，解题的关键是掌握一元二次方程的三个要素：①整式方程；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是．据此判断即可．
【详解】解：A．该方程是一元二次方程，故此选项符合题意；
B．该方程未知数的最高次数是，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
C．该方程含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
D．该方程不是整式方程，不是一元二次方程，故此选项不符合题意．
故选：A．
2．D
【分析】本题考查了二次函数图象的顶点坐标，解题关键是能将一般式化为顶点式，将函数解析式化为顶点式，即可得到顶点坐标．
【详解】解：∵，
∴顶点坐标为；
故选D．
3．B
【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义和根的判别式，一元二次方程方程有两个不等实数根，则；方程有两个相等实数根，则；方程没有实数根，则．
根据一元二次方程的定义和根的判别式列式求解即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴ 且，
∴且．
故选：B．
4．A
【分析】本题考查了二次函数的图象与几何变换，根据“上加下减，左加右减”的规律进行解答即可，熟知函数图象平移的规律是解题的关键．
【详解】解：∵抛物线的图象向下平移个单位长度，
∴根据“上加下减，左加右减”规律可得平移后抛物线的解析式是，
故选：．
5．B
【分析】本题考查估算一元二次方程的解，根据图表，找到相邻两个的值，使的值为一正一负，即可得出结果．
【详解】解：由表格可知，当时，，当时，，
∴当时，存在一个的值，使，
∴一元二次方程的一个解x所在的范围是；
故选B．
6．C
【分析】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用二次函数的性质进行推理是解此题的关键．
根据二次函数的解析式得出图象的开口向下，对称轴是直线，根据时，y随x的增大而减小，即可得出答案．
【详解】解：∵
∴图象的开口向下，对称轴是直线，
∴当时，y随x的增大而减小，
∴关于对称轴的对称点为，
∵，
∴．
故选：C．
7．C
【分析】本题考查了抛物线的对称轴公式以及实数大小的比较，解题关键是利用作差法比较实数大小．由抛物线对称轴公式，计算得出，再利用作差法比较和的大小即可．
【详解】解：∵该抛物线的对称轴，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：C．
8．C
【详解】分析：根据二次函数的解析式的二次项系数判定该函数图象的开口方向、根据顶点式方程确定其图象的顶点坐标，从而知该二次函数的单调区间．
解答：解：∵二次函数的解析式y=（x-m）2-1的二次项系数是1，
∴该二次函数的开口方向是向上；
又∵该二次函数的图象的顶点坐标是（m，-1），
∴该二次函数图象在x＜m上是减函数，即y随x的增大而减小，且对称轴为直线x=m，
而已知中当x≤1时，y随x的增大而减小，
∴x≤1，
∴m≥1．
故选C．
9．C
【分析】本题考查一元二次方程配方及一次函数的性质，先配方得到，，再根据一次函数的性质判断即可得到答案；
【详解】解：方程配方得，
，
∴，，
∴直线经过一、二、四象限，不经过三象限，
故选：C．
10．B
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、根据二次函数的图象判断式子的符号，由图象可得：抛物线开口向上，对称轴在轴左侧，交轴于负半轴，即可得出，，，从而求出，即可判断①；根据二次函数与轴的交点得出二次函数的对称轴为直线，，，计算即可判断②；根据当时，二次函数有最小值，即可判断③；根据即可判断④；熟练掌握二次函数的图象与性质，采用数形结合的思想是解此题的关键．
【详解】解：由图象可得：抛物线开口向上，对称轴在轴左侧，交轴于负半轴，
∴，，，
∴，
∴，故①正确；
∵二次函数的图象与x轴相交于点，，
∴二次函数的对称轴为直线，，，
由得：，
∵，
∴，
∴，即，故②错误；
当时，二次函数有最小值，
由图象可得，对任意实数m，，
∴对任意实数m，均成立，故③正确；
∵点，在抛物线上，且，
∴，故④错误；
综上所述，正确的有①③，共个，
故选：B．
11．2024
【分析】本题考查了一元二次方程的解，以及已知式子的值，求代数式的值等知识内容，难度较小，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
根据题意把代入，得，再把代入化简计算即可．
【详解】解：∵a是关于x的方程的一个根，
∴把代入，
得：，
∴，
∴，
故答案为：2024．
12．/
【分析】本题考查二次函数的图象与性质，根据题意得当时，y随x的增大而增大，求得当时，；时，，即可求解．
【详解】解：由题意得，，对称轴，
∴当时，y随x的增大而增大，
∵当时，；时，，
∴当时，函数值y的取值范围为，
故答案为：．
13．2
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，先由新定义得到，再由判别式得到，则，解方程即可得到答案．
【详解】解：∵是“奇妙方程”，
∴，
∵方程有两个相等的实数根，
∴，
∴，
解得：，
∴．
故答案为：2．
14．1
【分析】设，则原方程转化为关于t的一元二次次方程，通过解方程求得t的值，即的值．本题主要考查了换元法，因式分解法解一元二次方程，即把某个式子看作一个整体，用一个字母去代替它，实行等量替换．
【详解】解：设
则原式等于，
整理 得
解得（舍弃），
即．
故答案为：1．
15．
【分析】连接，过B作轴于D，若与x轴负半轴的夹角为，那么；在正方形中，已知了边长，易求得对角线的长，进而可在中求得的值，也就得到了B点的坐标，然后将其代入抛物线的解析式中，即可求得待定系数a的值．
【详解】解：如图，连接，过B作轴于D；
∵四边形是正方形，
∴．
∵与x轴负半轴的夹角为，
∴
∵正方形的边长为6，
∴；
中，，，
则；
故，
代入抛物线的解析式中，得：，
解得，
故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形的性质、直角三角形的性质以及用待定系数法确定函数解析式的方法，求出是解答本题的关键．
16．(1)
(2)
【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法，是解题的关键：
（1）配方法解方程即可；
（2）利用因式分解法解方程即可．
【详解】（1）解：
∴；
（2）解：
∴．
17．(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式：
（1）只需要证明即可；
（2）根据根与系数的关系得到，再由，，可得，据此求解即可．
【详解】（1）证明：由题意得，．
∴该方程总有实数根；
（2）解：∵关于x的一元二次方程的两个实数根为，，
∴，
∵，，
∴，
解得，
∴a的取值范围为．
18．(1)
(2)2，两
(3)
【分析】本题考查了二次函数的图象性质，二次函数与轴的交点问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）根据二次函数的对称性，则，得出二次函数与轴的另一个交点为，故方程的解是，
（2）作图，得出直线与有两个交点，运用数形结合，即可作答．
（3）运用图象性质以及二次函数与轴的交点，开口方向，即可作答．
【详解】（1）解：结合图象，设二次函数与轴的另一个交点为，
∵对称轴为直线，二次函数与轴的一个交点为，
∴，
∴，
∴二次函数与轴的一个交点为，
∴方程的解是；
故答案为：；
（2）解：如图所示：
直线与有两个交点，
∴方程的解有2个；
∴抛物线与直线有两个公共点；
故答案为：2，两；
（3）解：由（1）得二次函数与轴的交点坐标为和
∵二次函数的开口方向向下，
∴结合图象，得不等式的解集是.
19．(1)
(2)4；
【分析】本题考查了待定系数法，抛物线的性质，直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握待定系数法和定理是解题的关键．
（1）利用待定系数法解答即可；
（2）根据解析式，确定顶点坐标，利用勾股定理计算，结合点F为的中点，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半计算线段的长．
【详解】（1）解：由抛物线经过，两点，
∴，
∴，
∴抛物线的解析式．
（2）解：抛物线的解析式，
∴．
对称轴所在的直线交x轴于点E，
∴轴，且，
∴，，
∴；
∵，点F为的中点，
∴．
20．(1)售价应定为每个元．
(2)这两周的平均增长率为．
【分析】本题考查的是一元二次方程的应用，确定相等关系是解本题的关键；
（1）设售价应定为每个元，则每个利润为元，销量为个，再利用总利润为元，再建立方程解题即可；
（2）由（1）得：当售价为每个元时，销量为个，设这两周的平均增长率为，再结合增长率的含义建立方程求解即可．
【详解】（1）解：设售价应定为每个元，则
，
整理得：，
解得：，；
∵更大优惠让利消费者，
∴不符合题意，
∴商场计划一周的利润达到8000元，并且更大优惠让利消费者，售价应定为每个元．
（2）解：由（1）得：当售价为每个元时，销量为（个），
设这两周的平均增长率为，则
，
解得：，（不符合题意舍去），
∴这两周的平均增长率为．
21．(1)
(2)此时花圃的长为9米，宽为5米
(3)这个花圃的面积不能达到；这个花圃面积最大可以做到．
【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，配方法的应用，列代数式：
（1）用篱笆的总长减去三个的长，然后加上两个门的长即可表示出；
（2）根据长方形的面积公式列方程求解即可；
（3）长方形的面积公式列方程，看方程是否有符合题意的解即可；利用配方法得到，再由偶次方的非负性即可得到答案．
【详解】（1）解：设花圃的宽为x米，
则米，
故答案为：；
（2）解：由题意可得：，
∴
解得：，，
当时，，不符合题意，故舍去；
当时，，符合题意；
答：此时花圃的长为9米，宽为5米；
（3）解：当时，则，
∴，
∴此时原方程无解，
∴这个花圃的面积不能达到
，
∵，
∴，
∴这个花圃面积最大可以做到．
22．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据材料一求解即可；
（2）根据材料二求解即可；
（3）首先联立一次函数和二次函数，然后根据根与系数的关系求解即可．
【详解】（1）由材料一得，直线
∴直线经过的定点坐标为；
（2）由材料二得，
∵二次函数与直线交于点和
∴该二次函数的解析式为
∴；
（3）联立一次函数和得
∴
整理得，
∵一次函数与（2）中的抛物线交于点，
∴设另一交点的横坐标为x
∴
∴
∴另一交点的横坐标为．
【点睛】此题考查了二次函数和一次函数的性质，求函数表达式，根于系数的关系等知识，解题的关键是掌握以上知识点．
23．(1)
(2)这批农产品的销售价格定为元/千克，才能使日销售利润最大
(3)2
【分析】本题主要考查一次函数，二次函数图象的性质，掌握待定系数法求解析式，销售问题中数量关系是解题的关键．
（1）先判断与x成一次函数关系，设与x之间的函数表达式为，运用待定系数法即可求解；
（2）设日销售利润为w元，由题意得：，根据一次函数图象的性质即可求解；
（3）设日获利为w元，由题意得：，结合二次函数图象的性质，分类讨论，即可求解．
【详解】（1）解：根据表格中的数据可知：销售价格每增加5元，日销售量减少，
∴与成一次函数关系，设与之间的函数表达式为，
将代入，得：
，
解得：，
∴；
（2）解：设日销售利润为元，由题意得：
，
∵，抛物线开口向下，
∴当时，有最大值．
∴这批农产品的销售价格定为元/千克，才能使日销售利润最大；
（3）解：设日获利为元，由题意得：
，
对称轴为，
当时，，则当时，有最大值，将代入，得：
，
当时，
，
解得（舍去）；
当，，则当时，有最大值，将代入，得：
当时，
，
解得：（舍去）；
综上所述，的值为．
24．(1)
(2)
(3)直线的函数表达式为，点P的坐标为
【分析】（1）把A、B两点坐标分别代入解析式中，解二元一次方程组即可求解；
（2）连接，设，由，利用二次函数的性质即可求解；
（3）作关于直线的对称线段，连接，设中点为G，则易得：，；从而，即轴；设，，则可得点G的坐标；再求出直线的解析式，把点G的坐标代入直线解析式中，求得h；根据，得到关于t的方程，求得t，从而可求得点P的坐标，用待定系数法求得直线的函数表达式．
【详解】（1）解：∵抛物线经过两点，
∴，
解得：，
∴
（2）解：对于，令，则，
∴；
∵，
∴；
连接，设，
∵点P在第四象限，
∴，
∴
，
当时，S有最大值；
（3）解：如图，作关于直线的对称线段，连接，设中点为G，
则，；
∵，
∴，
∴，
∵轴，
∴轴；
设，，
则点G的坐标为；
设直线的解析式为，其中，
把点A、C的坐标代入解析式中，得：，
解得：；
即直线的解析式为；
把点G的坐标代入直线解析式中，得，
∴；
∴；
∵
∵，
∴，
解得：或（舍去），
则，
即点P的坐标为；
设直线的函数表达式为，
把A、P坐标分别代入得：，
解得：，
即直线的函数表达式为．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求函数解析式，对称的性质，割补法求图形面积，勾股定理等知识，掌握相关知识，善于转化是解题的关键．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
D
B
A
B
C
C
C
C
B