高考物理一轮复习第2章第2节力的合成与分解课时学案

这是一份高考物理一轮复习第2章第2节力的合成与分解课时学案，共15页。学案主要包含了力的合成和分解，矢量和标量等内容，欢迎下载使用。


一、力的合成和分解
1．合力与分力
(1)定义：如果一个力单独作用的效果跟几个共点力共同作用产生的效果相同，这一个力就叫作那几个力的合力，原来那几个力叫作分力。
(2)关系：合力和分力是等效替代的关系。
2．共点力
作用在物体的同一点，或作用线的延长线交于一点的力。如图所示均是共点力。
甲 乙 丙
3．力的合成
(1)定义：求几个力的合力的过程。
(2)运算法则
①平行四边形定则：求两个互成角度的共点力的合力，可以用表示这两个力的有向线段为邻边作平行四边形，这两个邻边之间的对角线就表示合力的大小和方向。如图甲所示。
②三角形定则：把两个矢量首尾相接，从而求出合矢量的方法。如图乙所示。
甲 乙
4．力的分解
(1)定义：求一个已知力的分力的过程。
(2)遵循原则：平行四边形定则或三角形定则。
(3)分解方法：①按力产生的效果分解；②正交分解。
二、矢量和标量
1．矢量：既有大小又有方向的量，运算时遵从平行四边形定则。
2．标量：只有大小没有方向的量，求和时按算术法则相加。
一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)两个力的合力一定大于任何一个分力。(×)
(2)对力分解时必须按作用效果分解。(×)
(3)两个分力大小一定，夹角越大，合力越大。(×)
(4)合力一定时，两个分力的夹角越大，分力越大。(√)
(5)位移、速度、加速度、力、时间均为矢量。(×)
(6)合力与分力是等效替代关系，因此受力分析时不要重复分析。(√)
二、教材习题衍生
1．(鲁科版必修第一册改编)某同学在单杠上做引体向上，在图中的四个选项中双臂用力最小的是( )
A B C D
B [双臂拉力的合力一定(等于同学自身的重力)，双臂的夹角越大，所需拉力越大，故双臂平行时，双臂的拉力最小，故B正确。]
2．(人教版必修第一册改编)作用在同一个物体上的两个共点力，一个力的大小是2 N，另一个力的大小是10 N，它们合力的大小不可能是( )
A．6 N B．8 N C．10 N D．12 N
A [两力合成时，合力范围为：|F1－F2|≤F≤F1＋F2，故8 N≤F≤12 N，故8 N、10 N、12 N是可能的合力；6 N没有在范围之内是不可能的合力，故选A。]
3．(粤教版必修第一册改编)(多选)小娟、小明两人共提一桶水匀速前行，如图所示，已知两人手臂上的拉力大小相等且为F，两人手臂间的夹角为θ，水和水桶的总重力为G，则下列说法中正确的是( )
A．当θ＝120°时，F＝G
B．不管θ为何值时，都有F＝eq \f(G,2)
C．当θ＝0°时，F＝eq \f(G,2)
D．θ越大，则F越小
AC [由力的合成可知，在两分力相等，θ＝120°时，F合＝F＝G；θ＝0°时，F＝eq \f(1,2)F合＝eq \f(G,2)，故选项A、C正确，B错误；在合力一定时，分力间的夹角θ越大，则分力越大，故选项D错误。]
力的合成
1．合力范围的确定
(1)两个共点力的合力范围：|F1－F2|≤F≤F1＋F2。
(2)三个共点力的合力范围
最大值：三个力同向时，其合力最大，为Fmax＝F1＋F2＋F3。
最小值：以这三个力的大小为边，如果能组成封闭的三角形(三个力首尾相接)，则其合力的最小值为零，即Fmin＝0；如果不能，则合力的最小值为Fmin＝F1－|F2＋F3|(F1为三个力中最大的力)。
2．共点力合成的常用方法
(1)作图法：从力的作用点起，按同一标度作出两个分力F1和F2的图示，再以F1和F2的图示为邻边作平行四边形，画出过作用点的对角线，量出对角线的长度，计算出合力的大小，量出对角线与某一力的夹角确定合力的方向(如图所示)。
(2)计算法：几种特殊情况的共点力的合成。
[典例1] (一题多法)上海市的杨浦大桥是我国自行设计建造的双塔双索面叠合梁斜拉桥，如图甲所示。挺拔高耸的208 m 主塔似一把利剑直刺苍穹，塔的两侧32对钢索连接主梁，呈扇面展开，如巨型琴弦，正弹奏着巨龙腾飞的奏鸣曲。假设斜拉桥中某对钢索与竖直方向的夹角都是30°，如图乙所示，每根钢索中的拉力都是3×104 N，那么每对钢索对塔柱形成的合力有多大？方向如何？
甲 乙
思路点拨：解此题可按以下思路：
(1)把两根钢索的拉力看成沿钢索方向的两个分力，以它们为邻边画出一个平行四边形，其对角线就表示它们的合力。
(2)由对称性可知，合力方向一定沿塔柱竖直向下。
[解析] 法一：作图法
如图1所示，自O点引两根有向线段OA和OB，
它们跟竖直方向的夹角都为30°，取单位长度为1×104 N，
则OA和OB的长度都是3个单位长度，量得对角线OC长约为5.2个单位长度，
所以合力的大小为F＝5.2×1×104 N＝5.2×104 N，方向竖直向下。
图1 图2
法二：计算法
如图2所示，根据这个平行四边形是一个菱形的特点，连接AB，交OC于D，则AB与OC互相垂直平分，即AB垂直于OC，且AD＝DB、OD＝eq \f(1,2)OC。
对于直角三角形AOD，∠AOD＝30°，
则有F＝2F1cs 30°＝2×3×104×eq \f(\r(3),2) N≈5.2×104 N，方向竖直向下。
[答案] 5.2×104 N 方向竖直向下
[跟进训练]
1．(合力与分力的关系)(多选)两个共点力F1、F2大小不同，它们的合力大小为F，则( )
A．F1、F2同时增大一倍，F也增大一倍
B．F1、F2同时增加10 N，F也增加10 N
C．F1增加10 N，F2减少10 N，F一定不变
D．若F1、F2中的一个增大，F不一定增大
AD [根据平行四边形定则，F1、F2同时增大一倍，F也增大一倍，故A正确；根据平行四边形定则，F1、F2都增大10 N，若方向相同F增加20 N；若方向相反，F不变，故B错误；只有方向相同时，F1增加10 N，F2减少10 N，F才一定不变，故C错误；F1、F2中的一个增大，根据平行四边形定则，若F1、F2方向相反，若F1、F2中的一个增大，F不一定增大，故D正确。故选AD。]
2．(力合成范围的分析与计算)(多选)一物体静止于水平桌面上，两者之间的最大静摩擦力为5 N，现将水平面内三个力同时作用于物体的同一点，三个力的大小分别为2 N、2 N、3 N。下列关于物体的受力情况和运动情况判断正确的是( )
A．物体所受静摩擦力可能为2 N
B．物体所受静摩擦力可能为4 N
C．物体可能仍保持静止
D．物体一定被拉动
ABC [2 N和2 N的合力范围为[0，4 N]，3 N在此范围内，故当两个2 N合力为3 N时，再与第三个力方向相反，则三个力的合力为0，故2 N、2 N、3 N 三个力的合力范围为[0，7 N]。2 N在三个力的合力范围内，故当三个力的合力为2 N时，物体所受静摩擦力为2 N，故A正确；4 N在三个力的合力范围内，故当三个力的合力为4 N时，物体所受静摩擦力为4 N，故B正确；当三个力的合力小于最大静摩擦力5 N时，物体仍保持静止状态，故C正确，D错误。故选ABC。]
3．(合力的计算)航母阻拦索用于拦停高速着舰的舰载机，被喻为“舰载机生命线”。如图所示为其结构简图，滑轮1、2、3、4及液压缸a、b、c固定在甲板平面上，阻拦索绕过滑轮组后闭合。某时刻舰载机的挂钩勾住阻拦索，形成图示的夹角时，舰载机受到阻拦索的合力大小为F。不考虑阻拦索、滑轮的质量及摩擦，则此时单个柱塞所受阻拦索的合力大小为( )
A．eq \f(F,3) B．eq \f(\r(3),3)F C．F D．eq \r(3)F
B [某时刻舰载机的挂钩勾住阻拦索，形成60°夹角时，有2F′cs 30°＝F，解得阻拦索中的拉力F′＝eq \f(\r(3),3)F。单个柱塞所受阻拦索的合力大小为F合＝2F′cs 60°＝F′＝eq \f(\r(3),3)F，选项B正确。]
力的分解
1．力的分解常用方法
2．力的分解方法的选取原则
(1)一般来说，当物体受到三个或三个以下的力时，常按实际效果进行分解。
(2)当物体受到三个以上的力时，常用正交分解法。
力的效果分解法
[典例2] 用卡车运输质量为m的匀质圆筒状工件，为使工件保持固定，将其置于两光滑斜面之间，如图所示。两斜面Ⅰ、Ⅱ固定在车上，倾角分别为30°和60°。重力加速度为g。当卡车沿平直公路匀速行驶时，圆筒对斜面Ⅰ、Ⅱ压力的大小分别为F1、F2，则( )
A．F1＝eq \f(\r(3),3)mg，F2＝eq \f(\r(3),2)mg
B．F1＝eq \f(\r(3),2)mg，F2＝eq \f(\r(3),3)mg
C．F1＝eq \f(1,2)mg，F2＝eq \f(\r(3),2)mg
D．F1＝eq \f(\r(3),2)mg，F2＝eq \f(1,2)mg
D [分析可知工件受力平衡，对工件受到的重力按照压紧斜面Ⅰ和Ⅱ的效果进行分解如图所示，结合几何关系可知工件对斜面Ⅰ的压力大小为F1＝mgcs 30°＝eq \f(\r(3),2)mg、 对斜面Ⅱ的压力大小为F2＝mgsin 30°＝eq \f(1,2)mg，选项D正确，A、B、C均错误。]
力的正交分解法
[典例3] 如图甲、乙所示，质量为m的物体置于倾角为θ的固定斜面上，物体与斜面之间的动摩擦因数为μ，先用平行于斜面的推力F1作用于物体上使其能沿斜面匀速上滑，若改用水平推力F2作用于物体上，也能使物体沿斜面匀速上滑，则两次的推力之比eq \f(F1,F2)为( )
甲 乙
A．cs θ＋μsin θ B．cs θ－μsin θ
C．1＋μtan θ D．1－μtan θ
B [物体在力F1作用下和力F2作用下运动时的受力如图1、图2所示。将物体受力沿斜面方向和垂直于斜面方向正交分解，由平衡条件可得：F1＝mgsin θ＋Ff1，FN1＝mgcs θ，Ff1＝μFN1 ，F2cs θ＝mgsin θ＋Ff2 ，FN2＝mgcs θ＋F2sin θ ，Ff2＝μFN2 ，解得：F1＝mgsin θ＋μmgcs θ，F2＝eq \f(mgsin θ＋μmgcs θ,cs θ－μsin θ)，故eq \f(F1,F2)＝cs θ－μsin θ，选项B正确。
图1 图2 ]
力的分解中多解问题的讨论
[典例4] (多选)已知力F，且它的一个分力F1跟F成30°角，大小未知，另一个分力F2的大小为eq \f(\r(3),3)F，方向未知，则F1的大小可能是( )
A．eq \f(\r(3)F,3) B．eq \f(\r(3)F,2) C．eq \f(2\r(3)F,3) D．eq \r(3)F
AC [根据题意，作出矢量三角形，如图，通过几何关系得，F1＝eq \f(2\r(3),3)F或F1＝eq \f(\r(3),3)F，故A、C正确，B、D错误。]
力的分解的唯一性和多解性
(1)已知两个不平行分力的方向，可以唯一地作出力的平行四边形，对力进行分解，其解是唯一的。
(2)已知一个分力的大小和方向，力的分解也是唯一的。
(3)已知一个分力F1的方向和另一个分力F2的大小，对力F进行分解，如图所示，有三种可能：(F1与F的夹角为θ)
①F2②F2＝Fsin θ或F2≥F时有一组解。
③Fsin θ[跟进训练]
1．(力的分解法的应用)如图所示，墙上有两个钉子a和b，它们的连线与水平方向的夹角为45°，两者的高度差为l。一条不可伸长的轻质细绳一端固定于a点，另一端跨过光滑钉子b悬挂一质量为m1的重物。在绳上距a端eq \f(l,2)的c点有一固定绳圈。若绳圈上悬挂质量为m2的钩码，平衡后绳的ac段正好水平，则重物和钩码的质量比 eq \f(m1,m2) 为( )
A．eq \r(5) B．2 C．eq \f(\r(5),2) D．eq \r(2)
C [法一：力的效果分解法
钩码的拉力F等于钩码重力m2g，将F沿ac和bc方向分解，两个分力分别为Fa、Fb，如图甲所示，其中Fb＝m1g，由几何关系可得cs θ＝eq \f(F,Fb)＝eq \f(m2g,m1g)，
又由几何关系得cs θ＝eq \f(l,\r(l2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(l,2)))\s\up12(2)))，
联立解得eq \f(m1,m2)＝eq \f(\r(5),2)。
法二：正交分解法
绳圈受到Fa、Fb、F三个力作用，如图乙所示，将Fb沿水平方向和竖直方向正交分解，由竖直方向受力平衡得
m1gcs θ＝m2g；
由几何关系得cs θ＝eq \f(l,\r(l2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(l,2)))\s\up12(2)))，
联立解得eq \f(m1,m2)＝eq \f(\r(5),2)。]
2．(力的分解中多解问题的讨论)已知两个共点力的合力为50 N，分力F1的方向与合力F的方向成30°角，分力F2的大小为30 N，则( )
A．F1的大小是唯一的
B．F2的方向是唯一的
C．F2有两个可能的方向
D．F2可取任意方向
C [由F1、F2和F的矢量三角形图可以看出：因F2＝30 N＞F20＝25 N且F2＜F，所以F1的大小有两个，即F1′和F1″，F2的方向有两个，即F2′的方向和F2″的方向，故选项A、B、D错误，选项C正确。]
“活结”与“死结”、“动杆”与“定杆”问题
“死结”与“活结”模型
[典例5] (2020·全国卷Ⅲ)如图所示，悬挂甲物体的细线拴牢在一不可伸长的轻质细绳上O点处；绳的一端固定在墙上，另一端通过光滑定滑轮与物体乙相连。甲、乙两物体质量相等。系统平衡时，O点两侧绳与竖直方向的夹角分别为α和β。若α＝70°，则β等于( )
A．45° B．55° C．60° D．70°
B [取O点为研究对象，在三力的作用下O点处于平衡状态，对其受力分析如图所示，根据几何关系可得β＝55°。]
“动杆”与“定杆”模型
1．动杆：若轻杆用光滑的转轴或铰链连接，当杆平衡时，杆所受到的弹力方向一定沿着杆，否则杆会转动。如图甲所示，若C为转轴，则轻杆在缓慢转动中，弹力方向始终沿杆的方向。
甲 乙
2．定杆：若轻杆被固定，不发生转动，则杆受到的弹力方向不一定沿杆的方向，如图乙所示。
[典例6] 如图甲所示，轻绳AD跨过固定在水平横梁BC右端的定滑轮挂住一个质量为m1的物体，∠ACB＝30°；图乙所示的轻杆HG一端用铰链固定在竖直墙上，另一端G通过细绳EG拉住，EG与水平方向成30°角，轻杆的G点用细绳GF拉住一个质量为m2的物体，重力加速度为g，则下列说法正确的是( )
甲 乙
A．图甲中BC对滑轮的作用力大小为eq \f(m1g,2)
B．图乙中HG杆受到绳的作用力为m2g
C．细绳AC段的拉力FAC与细绳EG段的拉力FEG之比为1∶1
D．细绳AC段的拉力FAC与细绳EG段的拉力FEG之比为m1∶2m2
D [题图甲中，C点可视为“活结”，两段绳的拉力大小都是m1g，互成120°角，因此合力大小是m1g，根据共点力平衡，BC杆对滑轮的作用力大小也是m1g(方向与竖直方向成60°角，斜向右上方)，故A错误；题图乙中，G点可视为“死结”，以G为研究对象，分析受力情况如图所示，由平衡条件得，FHGtan 30°＝m2g，得FHG＝eq \r(3)m2g，即HG杆受到绳的作用力为eq \r(3)m2g，故B错误；题图甲中绳AC段的拉力FAC＝m1g，题图乙中由于FEGsin 30°＝m2g，得FEG＝2m2g，解得eq \f(FAC,FEG)＝eq \f(m1,2m2)，故C错误，D正确。]
[跟进训练]
1．(活结模型)如图所示，光滑斜面的倾角为30°，轻绳通过两个滑轮与A相连，轻绳的另一端固定于天花板上，不计轻绳与滑轮的摩擦。物块A的质量为m，不计滑轮的质量，挂上物块B后，当动滑轮两边轻绳的夹角为90°时，A、B恰能保持静止，则物块B的质量为( )
A．eq \f(\r(2),2)m B．eq \r(2)m C．m D．2m
A [先以物块A为研究对象，由物块A受力及平衡条件可得绳中张力T＝mgsin 30°。再以动滑轮为研究对象，分析其受力并由平衡条件有mBg＝eq \r(2)T，解得mB＝eq \f(\r(2)m,2)，A正确。]
2．(死结模型)如图所示，在两竖直墙面间的同一竖直面内有两根等长细绳AO和BO连接于O点，O点的下方用绳子CO悬挂一重物，D点在B点正下方，且A、O、D在等高处，物体处于静止状态，绳BO与竖直墙面的夹角θ＝37°，此时绳AO的张力为T1。现在把绳子端点B移到D点，静止时绳子AO的张力为T2，则下列结论正确的是( )
A．T1＝eq \f(4,3)mg B．T1＝eq \f(4,5)mg
C．T2＝eq \f(5,6)mg D．T2＝mg
C [绳子端点B在最初位置时，根据平衡条件可得T1＝mgtan θ＝eq \f(3,4)mg，设细绳AO长度为L，据几何关系可知两竖直墙面间的距离为d＝L＋Lsin θ＝1.6L，绳子端点B移到位置D点时，绳子AO与竖直墙面间的夹角为α，由几何知识得sin α＝eq \f(\f(1,2)d,L)＝0.8，此时有2T2cs α＝mg，得T2＝eq \f(5,6)mg，所以C正确，A、B、D错误。]
3．(定杆模型)水平横梁一端A插在墙壁内，另一端装有一小滑轮B，轻绳的一端C固定于墙壁上，另一端跨过滑轮后悬挂一质量为m＝10 kg的重物，∠CBA＝30°，如图所示，则滑轮受到轻绳的作用力的大小为(g取10 N/kg)( )
A．50 N B．20 N
C．100 N D．50eq \r(3) N
C [由题意可得，对滑轮B受力分析，滑轮受到绳子的作用力应为图中两段绳中拉力F1和F2的合力，因同一根绳张力处处相等，都等于物体的重力，即F1＝F2＝G＝mg＝100 N，用平行四边形定则作图，由于拉力F1和F2的夹角为120°，则合力F＝100 N，所以滑轮受绳的作用力为100 N，方向与水平方向成30°角斜向下，选项C正确。]
4．(动杆模型)如图所示，用AC、CD两根轻绳将物块悬于水平轻杆BC的下方，其中B为光滑转轴，C为结点，轻杆BC始终保持水平，物块静止不动。已知物块质量为m，重力加速度为g。设AC、CD绳的拉力分别为FAC、FCD。下列选项正确的是( )
A．FAC >mg
B．FCD >mg
C．若A点上移，则FAC变大
D．若A点下移，则FCD变大
A [C点的受力如图所示
则有FACsin α＝FCD
FCD＝mg
则FAC＝eq \f(FCD,sin α)＝eq \f(mg,sin α)，所以FAC>mg，故A正确，B、D错误；若A点上移，α变大，sin α变大，所以FAC变小，故C错误。]
类 型
作 图
合力的计算
①互相垂直
F＝eq \r(F\\al( 2,1)＋F\\al( 2,2))
tan θ＝eq \f(F1,F2)
②两力等大，夹角为θ
F＝2F1cs eq \f(θ,2)
F与F1夹角为eq \f(θ,2)
③两力等大且夹角为120°
合力与分力等大
正交分解法
效果分解法
分解
方法
将一个力沿着两个互相垂直的方向进行分解
根据一个力产生的实际效果进行分解
实例
分析
x轴方向上的分力
Fx＝Fcs θ
y轴方向上的分力
Fy＝Fsin θ
F1＝eq \f(G,cs θ)
F2＝Gtan θ
模型
模型解读
模型示例
“死结”模型
“死结”可理解为把绳子分成两段，且不可以沿绳子移动的结点。“死结”两侧的绳因结而变成了两根独立的绳，因此由“死结”分开的两段绳子上的弹力不一定相等
“活结”模型
“活结”可理解为把绳子分成两段，且可以沿绳子移动的结点。“活结”分开的两段绳子上弹力的大小一定相等