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新高考物理一轮复习精品学案第2章第3讲力的合成与分解（含解析）
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这是一份新高考物理一轮复习精品学案第2章第3讲力的合成与分解（含解析），共14页。
考点一 共点力的合成
1．合力与分力
(1)定义：如果一个力单独作用的效果跟某几个力共同作用的效果相同，这个力叫作那几个力的合力，那几个力叫作这个力的分力．
(2)关系：合力与分力是等效替代关系．
2．力的合成
(1)定义：求几个力的合力的过程．
(2)运算法则
①平行四边形定则：求两个互成角度的分力的合力，可以用表示这两个力的有向线段为邻边作平行四边形，这两个邻边之间的对角线就表示合力的大小和方向．如图甲所示，F1、F2为分力，F为合力．
②三角形定则：把两个矢量的首尾顺次连接起来，第一个矢量的起点到第二个矢量的终点的有向线段为合矢量．如图乙，F1、F2为分力，F为合力．
1．合力和分力可以同时作用在一个物体上．( × )
2．两个力的合力一定比其分力大．( × )
3．当一个分力增大时，合力一定增大．( × )
1．求合力的方法
(1)作图法：作出力的图示，结合平行四边形定则，用刻度尺量出表示合力的线段的长度，再结合标度算出合力大小．
(2)计算法：根据平行四边形定则作出力的示意图，然后利用勾股定理、三角函数、正弦定理等求出合力．
2．合力范围的确定
(1)两个共点力的合力大小的范围：|F1－F2|≤F≤F1＋F2.
①两个力的大小不变时，其合力随夹角的增大而减小．
②合力的大小不变时，两分力随夹角的增大而增大．
③当两个力反向时，合力最小，为|F1－F2|；当两个力同向时，合力最大，为F1＋F2.
(2)三个共点力的合力大小的范围
①最大值：三个力同向时，其合力最大，为Fmax＝F1＋F2＋F3.
②最小值：如果一个力的大小处于另外两个力的合力大小范围内，则其合力的最小值为零，即Fmin＝0；如果不处于，则合力的最小值等于最大的一个力减去另外两个力的大小之和，即Fmin＝F1－(F2＋F3)(F1为三个力中最大的力)．
考向1 合力大小的范围
例1 (多选)一物体静止于水平桌面上，两者之间的最大静摩擦力为5 N，现将水平面内三个力同时作用于物体的同一点，三个力的大小分别为2 N、2 N、3 N．下列关于物体的受力情况和运动情况判断正确的是( )
A．物体所受静摩擦力可能为2 N
B．物体所受静摩擦力可能为4 N
C．物体可能仍保持静止
D．物体一定被拉动
答案 ABC
解析 两个2 N的力的合力范围为0～4 N，然后与3 N的力合成，则三力的合力范围为0～7 N，由于最大静摩擦力为5 N，因此可判定选项A、B、C正确，D错误．
考向2 作图法求合力
例2 一物体受到三个共面共点力F1、F2、F3的作用，三力的矢量关系如图所示(小方格边长相等)，则下列说法正确的是( )
A．三力的合力有最大值F1＋F2＋F3，方向不确定
B．三力的合力有唯一值3F3，方向与F3同向
C．三力的合力有唯一值2F3，方向与F3同向
D．由题给条件无法求合力大小
答案 B
解析 先以力F1和F2为邻边作平行四边形，其合力与F3共线，大小F12＝2F3，如图所示，F12再与第三个力F3合成求合力F合，可得F合＝3F3，故选B.
考向3 解析法求合力
例3 射箭是奥运会上一个观赏性很强的运动项目，中国队有较强的实力．如图甲所示，射箭时，刚释放的瞬间若弓弦的拉力为100 N，对箭产生的作用力为120 N，其弓弦的拉力如图乙中F1和F2所示，对箭产生的作用力如图中F所示，则弓弦的夹角α应为(cs 53°＝0.6)( )
A．53° B．127° C．143° D．106°
答案 D
解析 弓弦拉力的合成如图所示，由于F1＝F2，由几何关系得2F1cs eq \f(α,2)＝F，有cs eq \f(α,2)＝eq \f(F,2F1)＝eq \f(120 N,2×100 N)＝0.6，所以eq \f(α,2)＝53°，即α＝106°，故D正确．
考点二 力的分解的两种常用方法
1．力的分解是力的合成的逆运算，遵循的法则：平行四边形定则或三角形定则．
2．分解方法
(1)按力产生的效果分解；
(2)正交分解
如图，将结点O的受力进行分解．
1．合力与它的分力的作用对象为同一个物体．( √ )
2．在进行力的合成与分解时，都能应用平行四边形定则或三角形定则．( √ )
3．2 N的力能够分解成6 N和3 N的两个分力．( × )
1．力的效果分解法
(1)根据力的实际作用效果确定两个实际分力的方向．
(2)再根据两个分力方向画出平行四边形．
(3)最后由几何知识求出两个分力的大小和方向．
2.力的正交分解法
(1)建立坐标轴的原则：在静力学中，以少分解力和容易分解力为原则(使尽量多的力分布在坐标轴上)；在动力学中，往往以加速度方向和垂直加速度方向为坐标轴建立坐标系．
(2)多个力求合力的方法：把各力向相互垂直的x轴、y轴分解．
x轴上的合力Fx＝Fx1＋Fx2＋Fx3＋…
y轴上的合力Fy＝Fy1＋Fy2＋Fy3＋…
合力大小F＝eq \r(Fx2＋Fy2)
若合力方向与x轴夹角为θ，则tan θ＝eq \f(Fy,Fx).
考向1 按照力的效果分解力
例4 (多选)(2018·天津卷·7)明朝谢肇淛的《五杂组》中记载：“明姑苏虎丘寺塔倾侧，议欲正之，非万缗不可．一游僧见之曰：无烦也，我能正之．”游僧每天将木楔从塔身倾斜一侧的砖缝间敲进去，经月余扶正了塔身．假设所用的木楔为等腰三角形，木楔的顶角为θ，现在木楔背上加一力F，方向如图所示，木楔两侧产生推力FN，则( )
A．若F一定，θ大时FN大B．若F一定，θ小时FN大
C．若θ一定，F大时FN大D．若θ一定，F小时FN大
答案 BC
解析 根据力F的作用效果将F分解为垂直于木楔两侧的力FN，如图所示
则eq \f(\f(F,2),FN)＝sin eq \f(θ,2)
故FN＝eq \f(F,2sin \f(θ,2))，
所以当F一定时，θ越小，FN越大；当θ一定时，F越大，FN越大，故选项B、C正确，A、D错误．
考向2 力的正交分解法
例5 科学地佩戴口罩，对于新冠肺炎、流感等呼吸道传染病具有预防作用，既保护自己，又有利于公众健康．如图所示为一侧耳朵佩戴口罩的示意图，一侧的口罩带是由直线AB、弧线BCD和直线DE组成的．假若口罩带可认为是一段劲度系数为k的弹性轻绳，在佩戴好口罩后弹性轻绳被拉长了x，此时AB段与水平方向的夹角为37°，DE段与水平方向的夹角为53°，弹性绳涉及到的受力均在同一平面内，不计摩擦，已知sin 37°＝0.6，cs 37°＝0.8.求耳朵受到口罩带的作用力．
答案 见解析
解析 耳朵分别受到AB、ED段口罩带的拉力FAB、FED，且FAB＝FED＝kx
将两力正交分解如图所示，FABx＝FAB·cs 37°
FABy＝FAB·sin 37°
FEDx＝FED·cs 53°
FEDy＝FED·sin 53°
水平方向合力Fx＝FABx＋FEDx
竖直方向合力Fy＝FABy＋FEDy
解得Fx＝eq \f(7,5)kx，Fy＝eq \f(7,5)kx
耳朵受到口罩带的作用力F合，
F合＝eq \r(Fx2＋Fy2)＝eq \f(7\r(2),5)kx，方向与x轴负方向成45°角．
考点三 “活结”与“死结”、“动杆”与“定杆”
1．活结：当绳绕过光滑的滑轮或挂钩时，绳上的力是相等的，即滑轮只改变力的方向，不改变力的大小，如图甲，滑轮B两侧绳的拉力相等．
2．死结：若结点不是滑轮，而是固定点时，称为“死结”结点，则两侧绳上的弹力不一定相等，如图乙，结点B两侧绳的拉力不相等．
3．动杆：若轻杆用光滑的转轴或铰链连接，当杆平衡时，杆所受到的弹力方向一定沿着杆，否则杆会转动．如图乙所示，若C为转轴，则轻杆在缓慢转动中，弹力方向始终沿杆的方向．
4．定杆：若轻杆被固定，不发生转动，则杆受到的弹力方向不一定沿杆的方向，如图甲所示．
考向1 细绳上“死结”与“活结”模型
例6 (2022·辽宁葫芦岛市模拟)如图所示，细绳一端固定在A点，跨过与A等高的光滑定滑轮B后在另一端悬挂一个沙桶Q.现有另一个沙桶P通过光滑轻质挂钩挂在AB之间，稳定后挂钩下降至C点，∠ACB＝120°，下列说法正确的是( )
A．若只增加Q桶内的沙子，再次平衡后C点位置不变
B．若只增加P桶内的沙子，再次平衡后C点位置不变
C．若在两桶内增加相同质量的沙子，再次平衡后C点位置不变
D．若在两桶内增加相同质量的沙子，再次平衡后沙桶Q位置上升
答案 C
解析 对沙桶Q受力分析有FT＝GQ，设两绳的夹角为θ，对C点受力分析可知，C点受三力而平衡，而C点为活结绳上的点，两侧绳的张力相等，有2FTcs eq \f(θ,2)＝GP，联立可得2GQcs eq \f(θ,2)＝GP，故只增大Q的重力，夹角θ变大，C点上升；只增大P的重力时，夹角θ变小，C点下降，故A、B错误；当θ＝120°时，GP＝GQ，故两沙桶增加相同的质量，P和Q的重力仍相等，C点的位置不变，故C正确，D错误．
例7 如图所示，用两根承受的最大拉力相等、长度不等的细绳AO、BO(AO>BO)悬挂一个中空铁球，当在球内不断注入铁砂时，则( )
A．绳AO先被拉断
B．绳BO先被拉断
C．绳AO、BO同时被拉断
D．条件不足，无法判断
答案 B
解析 依据力的作用效果将铁球对结点O的拉力分解如图所示．据图可知：FB>FA，又因为两绳承受的最大拉力相同，故当在球内不断注入铁砂时，BO绳先断，选项B正确．
考向2 “动杆”与“定杆”模型
例8 如图甲所示，轻绳AD跨过固定在水平横梁BC右端的光滑定滑轮挂住一个质量为m1的物体，∠ACB＝30°；图乙所示的轻杆HG一端用铰链固定在竖直墙上，另一端G通过细绳EG拉住，EG与水平方向成30°角，轻杆的G点用细绳GF拉住一个质量为m2的物体，重力加速度为g，则下列说法正确的是( )
A．图甲中BC对滑轮的作用力为eq \f(m1g,2)
B．图乙中HG杆受到绳的作用力为m2g
C．细绳AC段的拉力FAC与细绳EG段的拉力FEG之比为1∶1
D．细绳AC段的拉力FAC与细绳EG段的拉力FEG之比为m1∶2m2
答案 D
解析 题图甲中，是一根绳跨过光滑定滑轮，绳中的弹力大小相等，两段绳的拉力都是m1g，互成120°角，则合力的大小是m1g，方向与竖直方向成60°角斜向左下方，故BC对滑轮的作用力大小也是m1g，方向与竖直方向成60°角斜向右上方，A选项错误；题图乙中HG杆受到绳的作用力为eq \r(3)m2g，B选项错误；题图乙中FEGsin 30°＝m2g，得FEG＝2m2g，则eq \f(FAC,FEG)＝eq \f(m1,2m2)，C选项错误，D选项正确．
课时精练
1．三个共点力大小分别是F1、F2、F3，关于它们合力F的大小，下列说法正确的是( )
A．F大小的取值范围一定是0≤F≤F1＋F2＋F3
B．F至少比F1、F2、F3中的某一个力大
C．若F1∶F2∶F3＝3∶6∶8，只要适当调整它们之间的夹角，一定能使合力为零
D．若F1∶F2∶F3＝3∶6∶2，只要适当调整它们之间的夹角，一定能使合力为零
答案 C
解析 三个大小分别是F1、F2、F3的共点力合成后的最大值一定等于F1＋F2＋F3，但最小值不一定等于零，只有当某一个力的大小在另外两个力的合力范围内时，这三个力的合力才可能为零，合力可能比三个力都大，也可能比三个力都小，合力能够为零的条件是三个力的矢量箭头能组成首尾相接的三角形，任意两个力的和必须大于第三个力，选项A、B、D错误，C正确．
2．某物体同时受到同一平面内的三个共点力作用，在如图所示的四种情况中(坐标纸中每格边长表示1 N大小的力)，该物体所受的合外力大小正确的是( )
A．甲图中物体所受的合外力大小等于4 N
B．乙图中物体所受的合外力大小等于2 N
C．丙图中物体所受的合外力大小等于0
D．丁图中物体所受的合外力大小等于0
答案 D
3.(2019·天津卷·2)2018年10月23日，港珠澳跨海大桥正式开通．为保持以往船行习惯，在航道处建造了单面索(所有钢索均处在同一竖直面内)斜拉桥，其索塔与钢索如图所示．下列说法正确的是( )
A．增加钢索的数量可减小索塔受到的向下的压力
B．为了减小钢索承受的拉力，可以适当降低索塔的高度
C．索塔两侧钢索对称且拉力大小相同时，钢索对索塔的合力竖直向下
D．为了使索塔受到钢索的合力竖直向下，索塔两侧的钢索必须对称分布
答案 C
解析 增加钢索的数量不能减小索塔受到的向下的压力，A错误；当索塔受到的力F一定时，降低索塔的高度，钢索与水平方向的夹角α减小，则钢索受到的拉力将增大，B错误；如果索塔两侧的钢索对称且拉力大小相同，则两侧拉力在水平方向的合力为零，钢索的合力一定竖直向下，C正确；索塔受到钢索的拉力合力竖直向下，当两侧钢索的拉力大小不等时，由图可知，两侧的钢索不一定对称，D错误．
4.(多选)如图所示是剪式千斤顶，当摇动把手时，螺纹轴就能迫使千斤顶的两臂靠拢，从而将汽车顶起．当车轮刚被顶起时汽车对千斤顶的压力为1.0×105 N，此时千斤顶两臂间的夹角为120°，则下列判断正确的是( )
A．此时两臂受到的压力大小均为5.0×104 N
B．此时千斤顶对汽车的支持力大小为1.0×105 N
C．若继续摇动把手，将汽车顶起，两臂受到的压力将增大
D．若继续摇动把手，将汽车顶起，两臂受到的压力将减小
答案 BD
解析 设两臂受到的压力大小均为F1，汽车对千斤顶的压力大小为F，两臂间夹角为θ，则有F＝2F1cs eq \f(θ,2)，由此可知，当F＝1.0×105 N，θ＝120°时，F1＝1.0×105 N，A错误；由牛顿第三定律知，B正确；若继续摇动把手，F不变，θ减小，则F1将减小，C错误，D正确．
5.(2022·天津市南开区高三模拟)如图为汽车的机械式手刹(驻车器)系统的结构示意图，结构对称．当向上拉动手刹拉杆时，手刹拉索(不可伸缩)就会拉紧，拉索OD、OC分别作用于两边轮子的制动器，从而实现驻车的目的．则以下说法正确的是( )
A．当OD、OC两拉索夹角为60°时，三根拉索的拉力大小相等
B．拉动手刹拉杆时，拉索AO上拉力总比拉索OD和OC中任何一个拉力大
C．若在AO上施加一恒力，OD、OC两拉索夹角越小，拉索OD、OC拉力越大
D．若保持OD、OC两拉索拉力不变，OD、OC两拉索越短，拉动拉索AO越省力
答案 D
解析 当OD、OC两拉索夹角为120°时，三根拉索的拉力大小才相等，选项A错误；拉动手刹拉杆时，当OD、OC两拉索夹角大于120°时，拉索AO上拉力比拉索OD和OC中任何一个拉力小，选项B错误；根据平行四边形定则可知，若在AO上施加一恒力，OD、OC两拉索夹角越小，拉索OD、OC拉力越小，选项C错误；若保持OD、OC两拉索拉力不变，OD、OC两拉索越短，则两力夹角越大，合力越小，即拉动拉索AO越省力，选项D正确．
6.如图所示，总重为G的吊灯用三条长度相同的轻绳悬挂在天花板上，每条轻绳与竖直方向的夹角均为θ，则每条轻绳对吊灯的拉力大小为( )
A.eq \f(G,3cs θ) B.eq \f(G,3sin θ) C.eq \f(1,3)Gcs θ D.eq \f(1,3)Gsin θ
答案 A
解析 对吊灯，由平衡条件可知：3FTcs θ＝G，解得FT＝eq \f(G,3cs θ)，故选A.
7.如图所示，静止在水平地面上的木块受到两个拉力F1、F2的作用．开始时，两拉力沿同一水平线，方向相反，且F1＞F2；现保持F1不变，让F2的大小不变、F2的方向在竖直面内缓慢顺时针转过180°，在此过程中木块始终静止．下列说法正确的是( )
A．木块受到所有外力的合力逐渐变大
B．木块对地面的压力可能为零
C．木块受到的摩擦力先变小后变大
D．木块受到的摩擦力逐渐变大
答案 D
解析 由于木块始终处于平衡状态，受到所有外力的合力始终为零，故A错误；水平方向，木块受F1、F2和摩擦力而平衡，根据摩擦力产生的条件可知，木块在整个过程中必定一直受到地面的支持力，由牛顿第三定律可知，木块对地面的压力不可能为零，故B错误；F1不变、F2大小不变，在F2的方向缓慢顺时针转过180°的过程中，两力的夹角从180°逐渐减小到零，F1和F2的水平分力的合力逐渐增大，木块受到的摩擦力逐渐变大，故C错误，D正确．
8.如图，两个轻环a和b套在位于竖直面内的一段固定圆弧上；一细线穿过两轻环，其两端各系一质量为m的小球．在a和b之间的细线上悬挂一小物块．平衡时，a、b间的距离恰好等于圆弧的半径．不计所有摩擦．小物块的质量为( )
A.eq \f(m,2) B.eq \f(\r(3),2)m C．m D．2m
答案 C
解析 如图所示，圆弧的圆心为O，悬挂小物块的点为c，由于ab＝R，则△aOb为等边三角形，同一条细线上的拉力相等，FT＝mg，合力沿Oc方向，则Oc为角平分线，由几何关系知，∠acb＝120°，故线的拉力的合力与物块的重力大小相等，即每条细线上的拉力FT＝G＝mg，所以小物块质量为m，故C对．
9.(多选)如图所示，在“共点力合成”的实验中，橡皮条一端固定于P点，另一端连接两个弹簧测力计，分别用力F1和F2拉两个弹簧测力计，将结点拉至O点．现让F1大小不变，方向在纸面内沿顺时针方向转动某一角度，且F1始终处于PO左侧，要使结点仍位于O点，则关于F2的大小和图中的θ角，下列说法中正确的是( )
A．增大F2的同时增大θ角
B．增大F2的同时减小θ角
C．增大F2而保持θ角不变
D．减小F2的同时增大θ角
答案 ABC
解析 对O点受力分析，受到两个弹簧测力计的拉力和橡皮条的拉力，由于O点位置不变，因此橡皮条长度不变，其拉力大小、方向不变，F1的大小不变，根据力的平行四边形定则作出F2的可能情况：如图甲所示，可以增大F2的同时增大θ角，故A正确；如图乙所示，可以增大F2的同时减小θ角，故B正确；如图丙所示，可以增大F2而保持θ角不变，故C正确；根据平行四边形定则可知，减小F2的同时增大θ角是不能组成平行四边形的，故D错误．
10．如图所示，质量为m的物体置于倾角为θ的固定斜面上，物体与斜面之间的动摩擦因数为μ，先用平行于斜面的推力F1作用于物体上使其能沿斜面匀速上滑，若改用水平推力F2作用于物体上，也能使物体沿斜面匀速上滑，则两次的推力之比eq \f(F1,F2)为( )
A．cs θ＋μsin θ B．cs θ－μsin θ
C．1＋μtan θ D．1－μtan θ
答案 B
解析 物体在力F1作用下和力F2作用下匀速运动时的受力如图所示．
将物体受力沿斜面方向和垂直于斜面方向正交分解，由平衡条件可得：
F1＝mgsin θ＋Ff1，FN1＝mgcs θ，Ff1＝μFN1；F2cs θ＝mgsin θ＋Ff2，FN2＝mgcs θ＋F2sin θ，Ff2＝μFN2，解得：F1＝mgsin θ＋μmgcs θ，F2＝eq \f(mgsin θ＋μmgcs θ,cs θ－μsin θ)，故eq \f(F1,F2)＝cs θ－μsin θ，B正确．
11．一重为G的圆柱体工件放在V形槽中，槽顶角α＝60°，槽的两侧面与水平方向的夹角相同，槽与工件接触处的动摩擦因数处处相同，大小为μ＝0.25，则：
(1)要沿圆柱体的轴线方向(如图甲所示)水平地把工件从槽中拉出来，人至少要施加多大的拉力？
(2)现把整个装置倾斜，使圆柱体的轴线与水平方向成37°角，如图乙所示，且保证圆柱体对V形槽两侧面的压力大小相等，发现圆柱体能自动沿槽下滑，求此时工件所受槽的摩擦力大小．(sin 37°＝0.6，cs 37°＝0.8)
答案 (1)0.5G (2)0.4G
解析 (1)分析圆柱体工件的受力可知，沿轴线方向受到拉力F、两个侧面对圆柱体工件的滑动摩擦力
由题给条件知F＝Ff，将工件的重力进行分解，如图所示，
由平衡条件可得G＝F1＝F2，
由Ff＝μF1＋μF2得F＝0.5G.
(2)把整个装置倾斜，则重力沿压紧两侧的斜面的分力F1′＝F2′＝Gcs 37°＝0.8G，
此时工件所受槽的摩擦力大小Ff′＝2μF1′＝0.4G.
考点一 共点力的合成
1．合力与分力
(1)定义：如果一个力单独作用的效果跟某几个力共同作用的效果相同，这个力叫作那几个力的合力，那几个力叫作这个力的分力．
(2)关系：合力与分力是等效替代关系．
2．力的合成
(1)定义：求几个力的合力的过程．
(2)运算法则
①平行四边形定则：求两个互成角度的分力的合力，可以用表示这两个力的有向线段为邻边作平行四边形，这两个邻边之间的对角线就表示合力的大小和方向．如图甲所示，F1、F2为分力，F为合力．
②三角形定则：把两个矢量的首尾顺次连接起来，第一个矢量的起点到第二个矢量的终点的有向线段为合矢量．如图乙，F1、F2为分力，F为合力．
1．合力和分力可以同时作用在一个物体上．( × )
2．两个力的合力一定比其分力大．( × )
3．当一个分力增大时，合力一定增大．( × )
1．求合力的方法
(1)作图法：作出力的图示，结合平行四边形定则，用刻度尺量出表示合力的线段的长度，再结合标度算出合力大小．
(2)计算法：根据平行四边形定则作出力的示意图，然后利用勾股定理、三角函数、正弦定理等求出合力．
2．合力范围的确定
(1)两个共点力的合力大小的范围：|F1－F2|≤F≤F1＋F2.
①两个力的大小不变时，其合力随夹角的增大而减小．
②合力的大小不变时，两分力随夹角的增大而增大．
③当两个力反向时，合力最小，为|F1－F2|；当两个力同向时，合力最大，为F1＋F2.
(2)三个共点力的合力大小的范围
①最大值：三个力同向时，其合力最大，为Fmax＝F1＋F2＋F3.
②最小值：如果一个力的大小处于另外两个力的合力大小范围内，则其合力的最小值为零，即Fmin＝0；如果不处于，则合力的最小值等于最大的一个力减去另外两个力的大小之和，即Fmin＝F1－(F2＋F3)(F1为三个力中最大的力)．
考向1 合力大小的范围
例1 (多选)一物体静止于水平桌面上，两者之间的最大静摩擦力为5 N，现将水平面内三个力同时作用于物体的同一点，三个力的大小分别为2 N、2 N、3 N．下列关于物体的受力情况和运动情况判断正确的是( )
A．物体所受静摩擦力可能为2 N
B．物体所受静摩擦力可能为4 N
C．物体可能仍保持静止
D．物体一定被拉动
答案 ABC
解析 两个2 N的力的合力范围为0～4 N，然后与3 N的力合成，则三力的合力范围为0～7 N，由于最大静摩擦力为5 N，因此可判定选项A、B、C正确，D错误．
考向2 作图法求合力
例2 一物体受到三个共面共点力F1、F2、F3的作用，三力的矢量关系如图所示(小方格边长相等)，则下列说法正确的是( )
A．三力的合力有最大值F1＋F2＋F3，方向不确定
B．三力的合力有唯一值3F3，方向与F3同向
C．三力的合力有唯一值2F3，方向与F3同向
D．由题给条件无法求合力大小
答案 B
解析 先以力F1和F2为邻边作平行四边形，其合力与F3共线，大小F12＝2F3，如图所示，F12再与第三个力F3合成求合力F合，可得F合＝3F3，故选B.
考向3 解析法求合力
例3 射箭是奥运会上一个观赏性很强的运动项目，中国队有较强的实力．如图甲所示，射箭时，刚释放的瞬间若弓弦的拉力为100 N，对箭产生的作用力为120 N，其弓弦的拉力如图乙中F1和F2所示，对箭产生的作用力如图中F所示，则弓弦的夹角α应为(cs 53°＝0.6)( )
A．53° B．127° C．143° D．106°
答案 D
解析 弓弦拉力的合成如图所示，由于F1＝F2，由几何关系得2F1cs eq \f(α,2)＝F，有cs eq \f(α,2)＝eq \f(F,2F1)＝eq \f(120 N,2×100 N)＝0.6，所以eq \f(α,2)＝53°，即α＝106°，故D正确．
考点二 力的分解的两种常用方法
1．力的分解是力的合成的逆运算，遵循的法则：平行四边形定则或三角形定则．
2．分解方法
(1)按力产生的效果分解；
(2)正交分解
如图，将结点O的受力进行分解．
1．合力与它的分力的作用对象为同一个物体．( √ )
2．在进行力的合成与分解时，都能应用平行四边形定则或三角形定则．( √ )
3．2 N的力能够分解成6 N和3 N的两个分力．( × )
1．力的效果分解法
(1)根据力的实际作用效果确定两个实际分力的方向．
(2)再根据两个分力方向画出平行四边形．
(3)最后由几何知识求出两个分力的大小和方向．
2.力的正交分解法
(1)建立坐标轴的原则：在静力学中，以少分解力和容易分解力为原则(使尽量多的力分布在坐标轴上)；在动力学中，往往以加速度方向和垂直加速度方向为坐标轴建立坐标系．
(2)多个力求合力的方法：把各力向相互垂直的x轴、y轴分解．
x轴上的合力Fx＝Fx1＋Fx2＋Fx3＋…
y轴上的合力Fy＝Fy1＋Fy2＋Fy3＋…
合力大小F＝eq \r(Fx2＋Fy2)
若合力方向与x轴夹角为θ，则tan θ＝eq \f(Fy,Fx).
考向1 按照力的效果分解力
例4 (多选)(2018·天津卷·7)明朝谢肇淛的《五杂组》中记载：“明姑苏虎丘寺塔倾侧，议欲正之，非万缗不可．一游僧见之曰：无烦也，我能正之．”游僧每天将木楔从塔身倾斜一侧的砖缝间敲进去，经月余扶正了塔身．假设所用的木楔为等腰三角形，木楔的顶角为θ，现在木楔背上加一力F，方向如图所示，木楔两侧产生推力FN，则( )
A．若F一定，θ大时FN大B．若F一定，θ小时FN大
C．若θ一定，F大时FN大D．若θ一定，F小时FN大
答案 BC
解析 根据力F的作用效果将F分解为垂直于木楔两侧的力FN，如图所示
则eq \f(\f(F,2),FN)＝sin eq \f(θ,2)
故FN＝eq \f(F,2sin \f(θ,2))，
所以当F一定时，θ越小，FN越大；当θ一定时，F越大，FN越大，故选项B、C正确，A、D错误．
考向2 力的正交分解法
例5 科学地佩戴口罩，对于新冠肺炎、流感等呼吸道传染病具有预防作用，既保护自己，又有利于公众健康．如图所示为一侧耳朵佩戴口罩的示意图，一侧的口罩带是由直线AB、弧线BCD和直线DE组成的．假若口罩带可认为是一段劲度系数为k的弹性轻绳，在佩戴好口罩后弹性轻绳被拉长了x，此时AB段与水平方向的夹角为37°，DE段与水平方向的夹角为53°，弹性绳涉及到的受力均在同一平面内，不计摩擦，已知sin 37°＝0.6，cs 37°＝0.8.求耳朵受到口罩带的作用力．
答案 见解析
解析 耳朵分别受到AB、ED段口罩带的拉力FAB、FED，且FAB＝FED＝kx
将两力正交分解如图所示，FABx＝FAB·cs 37°
FABy＝FAB·sin 37°
FEDx＝FED·cs 53°
FEDy＝FED·sin 53°
水平方向合力Fx＝FABx＋FEDx
竖直方向合力Fy＝FABy＋FEDy
解得Fx＝eq \f(7,5)kx，Fy＝eq \f(7,5)kx
耳朵受到口罩带的作用力F合，
F合＝eq \r(Fx2＋Fy2)＝eq \f(7\r(2),5)kx，方向与x轴负方向成45°角．
考点三 “活结”与“死结”、“动杆”与“定杆”
1．活结：当绳绕过光滑的滑轮或挂钩时，绳上的力是相等的，即滑轮只改变力的方向，不改变力的大小，如图甲，滑轮B两侧绳的拉力相等．
2．死结：若结点不是滑轮，而是固定点时，称为“死结”结点，则两侧绳上的弹力不一定相等，如图乙，结点B两侧绳的拉力不相等．
3．动杆：若轻杆用光滑的转轴或铰链连接，当杆平衡时，杆所受到的弹力方向一定沿着杆，否则杆会转动．如图乙所示，若C为转轴，则轻杆在缓慢转动中，弹力方向始终沿杆的方向．
4．定杆：若轻杆被固定，不发生转动，则杆受到的弹力方向不一定沿杆的方向，如图甲所示．
考向1 细绳上“死结”与“活结”模型
例6 (2022·辽宁葫芦岛市模拟)如图所示，细绳一端固定在A点，跨过与A等高的光滑定滑轮B后在另一端悬挂一个沙桶Q.现有另一个沙桶P通过光滑轻质挂钩挂在AB之间，稳定后挂钩下降至C点，∠ACB＝120°，下列说法正确的是( )
A．若只增加Q桶内的沙子，再次平衡后C点位置不变
B．若只增加P桶内的沙子，再次平衡后C点位置不变
C．若在两桶内增加相同质量的沙子，再次平衡后C点位置不变
D．若在两桶内增加相同质量的沙子，再次平衡后沙桶Q位置上升
答案 C
解析 对沙桶Q受力分析有FT＝GQ，设两绳的夹角为θ，对C点受力分析可知，C点受三力而平衡，而C点为活结绳上的点，两侧绳的张力相等，有2FTcs eq \f(θ,2)＝GP，联立可得2GQcs eq \f(θ,2)＝GP，故只增大Q的重力，夹角θ变大，C点上升；只增大P的重力时，夹角θ变小，C点下降，故A、B错误；当θ＝120°时，GP＝GQ，故两沙桶增加相同的质量，P和Q的重力仍相等，C点的位置不变，故C正确，D错误．
例7 如图所示，用两根承受的最大拉力相等、长度不等的细绳AO、BO(AO>BO)悬挂一个中空铁球，当在球内不断注入铁砂时，则( )
A．绳AO先被拉断
B．绳BO先被拉断
C．绳AO、BO同时被拉断
D．条件不足，无法判断
答案 B
解析 依据力的作用效果将铁球对结点O的拉力分解如图所示．据图可知：FB>FA，又因为两绳承受的最大拉力相同，故当在球内不断注入铁砂时，BO绳先断，选项B正确．
考向2 “动杆”与“定杆”模型
例8 如图甲所示，轻绳AD跨过固定在水平横梁BC右端的光滑定滑轮挂住一个质量为m1的物体，∠ACB＝30°；图乙所示的轻杆HG一端用铰链固定在竖直墙上，另一端G通过细绳EG拉住，EG与水平方向成30°角，轻杆的G点用细绳GF拉住一个质量为m2的物体，重力加速度为g，则下列说法正确的是( )
A．图甲中BC对滑轮的作用力为eq \f(m1g,2)
B．图乙中HG杆受到绳的作用力为m2g
C．细绳AC段的拉力FAC与细绳EG段的拉力FEG之比为1∶1
D．细绳AC段的拉力FAC与细绳EG段的拉力FEG之比为m1∶2m2
答案 D
解析 题图甲中，是一根绳跨过光滑定滑轮，绳中的弹力大小相等，两段绳的拉力都是m1g，互成120°角，则合力的大小是m1g，方向与竖直方向成60°角斜向左下方，故BC对滑轮的作用力大小也是m1g，方向与竖直方向成60°角斜向右上方，A选项错误；题图乙中HG杆受到绳的作用力为eq \r(3)m2g，B选项错误；题图乙中FEGsin 30°＝m2g，得FEG＝2m2g，则eq \f(FAC,FEG)＝eq \f(m1,2m2)，C选项错误，D选项正确．
课时精练
1．三个共点力大小分别是F1、F2、F3，关于它们合力F的大小，下列说法正确的是( )
A．F大小的取值范围一定是0≤F≤F1＋F2＋F3
B．F至少比F1、F2、F3中的某一个力大
C．若F1∶F2∶F3＝3∶6∶8，只要适当调整它们之间的夹角，一定能使合力为零
D．若F1∶F2∶F3＝3∶6∶2，只要适当调整它们之间的夹角，一定能使合力为零
答案 C
解析 三个大小分别是F1、F2、F3的共点力合成后的最大值一定等于F1＋F2＋F3，但最小值不一定等于零，只有当某一个力的大小在另外两个力的合力范围内时，这三个力的合力才可能为零，合力可能比三个力都大，也可能比三个力都小，合力能够为零的条件是三个力的矢量箭头能组成首尾相接的三角形，任意两个力的和必须大于第三个力，选项A、B、D错误，C正确．
2．某物体同时受到同一平面内的三个共点力作用，在如图所示的四种情况中(坐标纸中每格边长表示1 N大小的力)，该物体所受的合外力大小正确的是( )
A．甲图中物体所受的合外力大小等于4 N
B．乙图中物体所受的合外力大小等于2 N
C．丙图中物体所受的合外力大小等于0
D．丁图中物体所受的合外力大小等于0
答案 D
3.(2019·天津卷·2)2018年10月23日，港珠澳跨海大桥正式开通．为保持以往船行习惯，在航道处建造了单面索(所有钢索均处在同一竖直面内)斜拉桥，其索塔与钢索如图所示．下列说法正确的是( )
A．增加钢索的数量可减小索塔受到的向下的压力
B．为了减小钢索承受的拉力，可以适当降低索塔的高度
C．索塔两侧钢索对称且拉力大小相同时，钢索对索塔的合力竖直向下
D．为了使索塔受到钢索的合力竖直向下，索塔两侧的钢索必须对称分布
答案 C
解析 增加钢索的数量不能减小索塔受到的向下的压力，A错误；当索塔受到的力F一定时，降低索塔的高度，钢索与水平方向的夹角α减小，则钢索受到的拉力将增大，B错误；如果索塔两侧的钢索对称且拉力大小相同，则两侧拉力在水平方向的合力为零，钢索的合力一定竖直向下，C正确；索塔受到钢索的拉力合力竖直向下，当两侧钢索的拉力大小不等时，由图可知，两侧的钢索不一定对称，D错误．
4.(多选)如图所示是剪式千斤顶，当摇动把手时，螺纹轴就能迫使千斤顶的两臂靠拢，从而将汽车顶起．当车轮刚被顶起时汽车对千斤顶的压力为1.0×105 N，此时千斤顶两臂间的夹角为120°，则下列判断正确的是( )
A．此时两臂受到的压力大小均为5.0×104 N
B．此时千斤顶对汽车的支持力大小为1.0×105 N
C．若继续摇动把手，将汽车顶起，两臂受到的压力将增大
D．若继续摇动把手，将汽车顶起，两臂受到的压力将减小
答案 BD
解析 设两臂受到的压力大小均为F1，汽车对千斤顶的压力大小为F，两臂间夹角为θ，则有F＝2F1cs eq \f(θ,2)，由此可知，当F＝1.0×105 N，θ＝120°时，F1＝1.0×105 N，A错误；由牛顿第三定律知，B正确；若继续摇动把手，F不变，θ减小，则F1将减小，C错误，D正确．
5.(2022·天津市南开区高三模拟)如图为汽车的机械式手刹(驻车器)系统的结构示意图，结构对称．当向上拉动手刹拉杆时，手刹拉索(不可伸缩)就会拉紧，拉索OD、OC分别作用于两边轮子的制动器，从而实现驻车的目的．则以下说法正确的是( )
A．当OD、OC两拉索夹角为60°时，三根拉索的拉力大小相等
B．拉动手刹拉杆时，拉索AO上拉力总比拉索OD和OC中任何一个拉力大
C．若在AO上施加一恒力，OD、OC两拉索夹角越小，拉索OD、OC拉力越大
D．若保持OD、OC两拉索拉力不变，OD、OC两拉索越短，拉动拉索AO越省力
答案 D
解析 当OD、OC两拉索夹角为120°时，三根拉索的拉力大小才相等，选项A错误；拉动手刹拉杆时，当OD、OC两拉索夹角大于120°时，拉索AO上拉力比拉索OD和OC中任何一个拉力小，选项B错误；根据平行四边形定则可知，若在AO上施加一恒力，OD、OC两拉索夹角越小，拉索OD、OC拉力越小，选项C错误；若保持OD、OC两拉索拉力不变，OD、OC两拉索越短，则两力夹角越大，合力越小，即拉动拉索AO越省力，选项D正确．
6.如图所示，总重为G的吊灯用三条长度相同的轻绳悬挂在天花板上，每条轻绳与竖直方向的夹角均为θ，则每条轻绳对吊灯的拉力大小为( )
A.eq \f(G,3cs θ) B.eq \f(G,3sin θ) C.eq \f(1,3)Gcs θ D.eq \f(1,3)Gsin θ
答案 A
解析 对吊灯，由平衡条件可知：3FTcs θ＝G，解得FT＝eq \f(G,3cs θ)，故选A.
7.如图所示，静止在水平地面上的木块受到两个拉力F1、F2的作用．开始时，两拉力沿同一水平线，方向相反，且F1＞F2；现保持F1不变，让F2的大小不变、F2的方向在竖直面内缓慢顺时针转过180°，在此过程中木块始终静止．下列说法正确的是( )
A．木块受到所有外力的合力逐渐变大
B．木块对地面的压力可能为零
C．木块受到的摩擦力先变小后变大
D．木块受到的摩擦力逐渐变大
答案 D
解析 由于木块始终处于平衡状态，受到所有外力的合力始终为零，故A错误；水平方向，木块受F1、F2和摩擦力而平衡，根据摩擦力产生的条件可知，木块在整个过程中必定一直受到地面的支持力，由牛顿第三定律可知，木块对地面的压力不可能为零，故B错误；F1不变、F2大小不变，在F2的方向缓慢顺时针转过180°的过程中，两力的夹角从180°逐渐减小到零，F1和F2的水平分力的合力逐渐增大，木块受到的摩擦力逐渐变大，故C错误，D正确．
8.如图，两个轻环a和b套在位于竖直面内的一段固定圆弧上；一细线穿过两轻环，其两端各系一质量为m的小球．在a和b之间的细线上悬挂一小物块．平衡时，a、b间的距离恰好等于圆弧的半径．不计所有摩擦．小物块的质量为( )
A.eq \f(m,2) B.eq \f(\r(3),2)m C．m D．2m
答案 C
解析 如图所示，圆弧的圆心为O，悬挂小物块的点为c，由于ab＝R，则△aOb为等边三角形，同一条细线上的拉力相等，FT＝mg，合力沿Oc方向，则Oc为角平分线，由几何关系知，∠acb＝120°，故线的拉力的合力与物块的重力大小相等，即每条细线上的拉力FT＝G＝mg，所以小物块质量为m，故C对．
9.(多选)如图所示，在“共点力合成”的实验中，橡皮条一端固定于P点，另一端连接两个弹簧测力计，分别用力F1和F2拉两个弹簧测力计，将结点拉至O点．现让F1大小不变，方向在纸面内沿顺时针方向转动某一角度，且F1始终处于PO左侧，要使结点仍位于O点，则关于F2的大小和图中的θ角，下列说法中正确的是( )
A．增大F2的同时增大θ角
B．增大F2的同时减小θ角
C．增大F2而保持θ角不变
D．减小F2的同时增大θ角
答案 ABC
解析 对O点受力分析，受到两个弹簧测力计的拉力和橡皮条的拉力，由于O点位置不变，因此橡皮条长度不变，其拉力大小、方向不变，F1的大小不变，根据力的平行四边形定则作出F2的可能情况：如图甲所示，可以增大F2的同时增大θ角，故A正确；如图乙所示，可以增大F2的同时减小θ角，故B正确；如图丙所示，可以增大F2而保持θ角不变，故C正确；根据平行四边形定则可知，减小F2的同时增大θ角是不能组成平行四边形的，故D错误．
10．如图所示，质量为m的物体置于倾角为θ的固定斜面上，物体与斜面之间的动摩擦因数为μ，先用平行于斜面的推力F1作用于物体上使其能沿斜面匀速上滑，若改用水平推力F2作用于物体上，也能使物体沿斜面匀速上滑，则两次的推力之比eq \f(F1,F2)为( )
A．cs θ＋μsin θ B．cs θ－μsin θ
C．1＋μtan θ D．1－μtan θ
答案 B
解析 物体在力F1作用下和力F2作用下匀速运动时的受力如图所示．
将物体受力沿斜面方向和垂直于斜面方向正交分解，由平衡条件可得：
F1＝mgsin θ＋Ff1，FN1＝mgcs θ，Ff1＝μFN1；F2cs θ＝mgsin θ＋Ff2，FN2＝mgcs θ＋F2sin θ，Ff2＝μFN2，解得：F1＝mgsin θ＋μmgcs θ，F2＝eq \f(mgsin θ＋μmgcs θ,cs θ－μsin θ)，故eq \f(F1,F2)＝cs θ－μsin θ，B正确．
11．一重为G的圆柱体工件放在V形槽中，槽顶角α＝60°，槽的两侧面与水平方向的夹角相同，槽与工件接触处的动摩擦因数处处相同，大小为μ＝0.25，则：
(1)要沿圆柱体的轴线方向(如图甲所示)水平地把工件从槽中拉出来，人至少要施加多大的拉力？
(2)现把整个装置倾斜，使圆柱体的轴线与水平方向成37°角，如图乙所示，且保证圆柱体对V形槽两侧面的压力大小相等，发现圆柱体能自动沿槽下滑，求此时工件所受槽的摩擦力大小．(sin 37°＝0.6，cs 37°＝0.8)
答案 (1)0.5G (2)0.4G
解析 (1)分析圆柱体工件的受力可知，沿轴线方向受到拉力F、两个侧面对圆柱体工件的滑动摩擦力
由题给条件知F＝Ff，将工件的重力进行分解，如图所示，
由平衡条件可得G＝F1＝F2，
由Ff＝μF1＋μF2得F＝0.5G.
(2)把整个装置倾斜，则重力沿压紧两侧的斜面的分力F1′＝F2′＝Gcs 37°＝0.8G，
此时工件所受槽的摩擦力大小Ff′＝2μF1′＝0.4G.
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