八年级上学期期中考试数学试题 (69)

这是一份八年级上学期期中考试数学试题 (69)，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题，附加题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）用数学的眼光观察下面的网络图标，其中可以抽象成轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（3分）小芳有两根长度为5cm和10cm的木条，她想钉一个三角形木框，桌上有下列长度的几根木条，她应该选择长度为（ ）的木条．
A．5cmB．3cmC．17cmD．12cm
3．（3分）如图，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，且∠A＝102°，∠C′＝25°，则∠B的度数为（ ）
A．35°B．53°C．63°D．43°
4．（3分）如图，在△ABC中，∠A＝50°，∠C＝60°，BD平分∠ABC，则∠BDC的度数是（ ）
A．85°B．80°C．75°D．70°
5．（3分）一个多边形的每个内角都是108°，那么这个多边形是（ ）
A．五边形B．六边形C．七边形D．八边形
6．（3分）如图，∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C，AC＝AB，给出下列结论：①∠1＝∠2；②BE＝CF；③△ACN≌△ABM；④CD＝DN，其中正确的结论有（ ）个．
A．1B．2C．3D．4
7．（3分）如图，在Rt△ABC，∠B＝90°，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB、AC于点D、E，再分别以点D、E为圆心，大于DE长为半径画弧，两弧交于点F，做射线AF交边BC于点G，若BG＝1，AC＝4，则△ACG的面积是（ ）
A．1B．C．2D．
8．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝128°，P是△ABC的内角∠ABC的平分线BP1与外角∠ACE的平分线CP1的交点；P2是△BP1C的内角∠P1BC的平分线BP2与外角∠P1CE的平分线CP2的交点；P3是△BP2C的内角∠P2BC的平分线BP3与外角∠P2CE的平分线CP3的交点；依次这样下去，则∠P6的度数为（ ）
A．2°B．4°C．8°D．16°
二、填空题。（本题共8小题，每小题3分，共24分）
9．（3分）已知一个正多边形的内角和为1440°，则它的一个外角的度数为 度．
10．（3分）等腰三角形的一条边长为4cm，另一条边长为6cm，则它的周长是 ．
11．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝20°，PQ垂直平分AB，垂足为Q，交BC于点P．按以下步骤作图：①以点A为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交边AC，AB于点D，E；②分别以点D，E为圆心，以大于DE的长为半径作弧，两弧相交于点F；③作射线AF．若AF与PQ的夹角为α，则α＝ °．
12．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝40°，按图中虚线将∠C剪去后，∠1+∠2等于 ．
13．（3分）小明从镜子中看到电子钟显示的时间是20：51，那么实际时间为 ．
14．（3分）小明将一张正方形纸片按如图所示顺序折叠成纸飞机，当机翼展开在同一平面时（机翼间无缝隙），∠AOB的度数是 ．
15．（3分）如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB∥DE，且AB＝DE，请添加一个条件 ，使△ABC≌△DEF．
16．（3分）如图是可调躺椅示意图（数据如图），AE与BD的交点为C，且∠A，∠B，∠E保持不变．为了舒适，需调整∠D的大小，使∠EFD＝110°，则图中∠D应 （填“增加”或“减少”） 度．
三、解答题。（每小题6分，共计42分）
17．（6分）在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示，已知点A、B的坐标为（﹣4，3）（3，0）．
（1）点C关于x对称的点的坐标（ ， ）；
（2）在图中作出△ABC关于y轴的对称图形△A′B′C′；
（3）求△ABC的面积为 ．
18．（6分）将一副三角板拼成如图所示的图形，过点C作CF平分∠DCE交DE于点F．
（1）求证：CF∥AB；
（2）求∠DFC的度数．
19．（6分）如图，AF，AD分别是△ABC的高和角平分线，且∠B＝36°，∠C＝76°，求∠DAF的度数．
20．（6分）已知：如图，△ABC中，AB＝AC＝5，AB的垂直平分线DE交AB、AC于E、D，若△BCD的周长为8，求BC的长．
21．（6分）如图，在△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，D是BC的中点，证明：∠B＝∠C．
22．（6分）如图，已知点B，E，C，F在一条直线上，BE＝CF，AC∥DE，∠A＝∠D．
（1）求证：△ABC≌△DFE；
（2）若BF＝14，EC＝4，求BC的长．
23．（6分）如图，AC⊥BC，DC⊥EC，AC＝BC，DC＝EC．
求证：（1）△ACE≌△BCD；
（2）AE⊥BD．
四、解答题。（10分）
24．（10分）如图，在△ABC和△DEF中，B、E、C、F在同一直线上，下面有四个条件，请你从中选三个作为题设，余下的一个作为结论，写出一个正确的命题，并加以证明．
①AB＝DE；②AC＝DF；③∠ABC＝∠DEF；④BE＝CF；
解：我写的真命题是：
在△ABC和△DEF中，
已知： ．
求证： ．（不能只填序号）
证明如下：
五、附加题。
25．如图（1）AB＝9cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC＝BD＝7cm，点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动，它们运动的时间为t（s）．
（1）若点Q的速度与点P的速度相等，当t＝1时，求证：△ACP≌△BPQ；
（2）在（1）的条件下，判断此时PC和PQ的位置关系，并证明；
（3）将图（1）中的“AC⊥AB，BD⊥AB”，改为“∠CAB＝∠DBA＝70°”，得到图（2），其他条件不变．设点Q的运动速度为xcm/s，请问是否存在实数x，使得△ACP与△BPQ全等？若存在，求出相应的x和t的值；若不存在，请说明理由．
八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题。（本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的）
1．（3分）用数学的眼光观察下面的网络图标，其中可以抽象成轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：B，C，D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
A选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：A．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．（3分）小芳有两根长度为5cm和10cm的木条，她想钉一个三角形木框，桌上有下列长度的几根木条，她应该选择长度为（ ）的木条．
A．5cmB．3cmC．17cmD．12cm
【分析】设木条的长度为xcm，再由三角形的三边关系即可得出结论．
【解答】解：设木条的长度为xcm，则10﹣5＜x＜10+5，即5＜x＜15．
故选：D．
【点评】本题考查的是三角形的三边关系，熟知三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解答此题的关键．
3．（3分）如图，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，且∠A＝102°，∠C′＝25°，则∠B的度数为（ ）
A．35°B．53°C．63°D．43°
【分析】利用轴对称图形的性质得出∠C＝25°，进而利用三角形内角和定理得出即可．
【解答】解：∵△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，且∠A＝102°，∠C′＝25°，
∴∠C＝25°，
∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝53°．
故选：B．
【点评】此题主要考查了轴对称图形的性质，得出∠C的度数是解题关键．
4．（3分）如图，在△ABC中，∠A＝50°，∠C＝60°，BD平分∠ABC，则∠BDC的度数是（ ）
A．85°B．80°C．75°D．70°
【分析】先根据∠A＝50°，∠C＝60°得出∠ABC的度数，再由BD平分∠ABC求出∠ABD的度数，再根据三角形的外角等于和它不相邻的内角的和解答．
【解答】解：∵∠A＝50°，∠C＝60°，
∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣50°﹣60°＝70°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠ABC＝×70°＝35°，
∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝50°+35°＝85°，
故选：A．
【点评】本题考查的是三角形的外角和内角的关系，熟知三角形的外角等于和它不相邻的内角的和是解题的关键．
5．（3分）一个多边形的每个内角都是108°，那么这个多边形是（ ）
A．五边形B．六边形C．七边形D．八边形
【分析】首先计算出多边形的外角的度数，再根据外角和÷外角度数＝边数可得答案．
【解答】解：∵多边形的每个内角都是108°，
∴每个外角是180°﹣108°＝72°，
∴这个多边形的边数是360°÷72°＝5，
∴这个多边形是五边形，
故选：A．
【点评】此题主要考查了多边形的外角与内角，关键是掌握多边形的外角与它相邻的内角互补．
6．（3分）如图，∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C，AC＝AB，给出下列结论：①∠1＝∠2；②BE＝CF；③△ACN≌△ABM；④CD＝DN，其中正确的结论有（ ）个．
A．1B．2C．3D．4
【分析】根据三角形的内角和定理求出∠EAB＝∠FAC，即可判断①；根据AAS证△EAB≌△FAC，即可判断②；推出AC＝AB，根据ASA即可证出③；不能推出CD和DN所在的三角形全等，也不能用其它方法证出CD＝DN．
【解答】解：∵∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C，
∵∠E+∠B+∠EAB＝180°，∠F+∠C+∠FAC＝180°，
∴∠EAB＝∠FAC，
∴∠EAB﹣CAB＝∠FAC﹣∠CAB，
即∠1＝∠2，
∴①正确；
在△EAB和△FAC中
，
∴△EAB≌△FAC（AAS），
∴BE＝CF，AE＝AF，
∴②正确；
在△ACN和△ABM中
，
∴△ACN≌△ABM（ASA），
∴③正确；
∵根据已知不能推出CD＝DN，
∴④错误；
∴正确的结论有3个，
故选：C．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力和辨析能力，题目比较好，难度适中．
7．（3分）如图，在Rt△ABC，∠B＝90°，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB、AC于点D、E，再分别以点D、E为圆心，大于DE长为半径画弧，两弧交于点F，做射线AF交边BC于点G，若BG＝1，AC＝4，则△ACG的面积是（ ）
A．1B．C．2D．
【分析】利用基本作图得到AG平分∠BAC，利用角平分线的性质得到G点到AC的距离为1，然后根据三角形面积公式计算△ACG的面积．
【解答】解：由作法得AG平分∠BAC，
∴G点到AC的距离等于BG的长，即G点到AC的距离为1，
所以△ACG的面积＝×4×1＝2．
故选：C．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了交平分线的性质．
8．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝128°，P是△ABC的内角∠ABC的平分线BP1与外角∠ACE的平分线CP1的交点；P2是△BP1C的内角∠P1BC的平分线BP2与外角∠P1CE的平分线CP2的交点；P3是△BP2C的内角∠P2BC的平分线BP3与外角∠P2CE的平分线CP3的交点；依次这样下去，则∠P6的度数为（ ）
A．2°B．4°C．8°D．16°
【分析】根据角平分线的定义得∠PBC＝∠ABC，∠PCE＝∠ACE，再根据三角形外角性质得∠ACE＝∠A+∠ABC，∠PCE＝∠PBC+∠P，于是得到（∠A+∠ABC）＝∠PBC+∠P＝∠ABC+∠P，然后整理可得∠P＝∠A，同理得到结论．
【解答】解：∵△ABC的内角平分线BP与外角平分线CP1交于P1，
∴∠P1BC＝∠ABC，∠P1CE＝∠ACE，
∵∠ACE＝∠A+∠ABC，∠P1CE＝∠P1BC+∠P1，
∴（∠A+∠ABC）＝∠P1BC+∠P1＝∠ABC+∠P1，
∴∠P1＝∠A＝128°＝64°，
同理∠P2＝∠P1＝32°，
∴∠P6＝2°，
故选：A．
【点评】本题考查了三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键．
二、填空题。（本题共8小题，每小题3分，共24分）
9．（3分）已知一个正多边形的内角和为1440°，则它的一个外角的度数为 36 度．
【分析】首先设此多边形为n边形，根据题意得：180（n﹣2）＝1440，即可求得n＝10，再由多边形的外角和等于360°，即可求得答案．
【解答】解：设此多边形为n边形，
根据题意得：180（n﹣2）＝1440，
解得：n＝10，
∴这个正多边形的每一个外角等于：360°÷10＝36°．
故答案为：36．
【点评】此题考查了多边形的内角和与外角和的知识．关键是掌握多边形内角和定理：（n﹣2）•180°，外角和等于360°．
10．（3分）等腰三角形的一条边长为4cm，另一条边长为6cm，则它的周长是 14cm或16cm ．
【分析】没有明确等腰三角形的腰，所以要分类讨论．需要注意是利用三角形三边关系判断三角形是否成立．
【解答】解：当4cm为腰时，三边为4cm、4cm、6cm，可以构成三角形，
∴周长为：4+4+6＝14（cm）；
当6cm为腰时，三边为为6cm、6cm、4cm，可以构成三角形，
∴周长为：6+6+4＝16（cm）；
综上，周长为14cm或16cm．
故答案为：14cm或16cm．
【点评】本题主要考查等腰三角形的性质和三角形三边关系，考虑到分类讨论并验证三角形是否成立是解题关键．
11．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝20°，PQ垂直平分AB，垂足为Q，交BC于点P．按以下步骤作图：①以点A为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交边AC，AB于点D，E；②分别以点D，E为圆心，以大于DE的长为半径作弧，两弧相交于点F；③作射线AF．若AF与PQ的夹角为α，则α＝ 55 °．
【分析】根据直角三角形两锐角互余得∠BAC＝70°，由角平分线的定义得∠BAM＝35°，由线段垂直平分线可得△AQM是直角三角形，故可得∠AMQ+∠BAM＝90°，即可求出α．
【解答】解：∵△ABC是直角三角形，∠C＝90°，
∴∠B+∠BAC＝90°，
∵∠B＝20°，
∴∠BAC＝90°﹣∠B＝90°﹣20°＝70°，
∵AM是∠BAC的平分线，
∴∠BAM＝BAC＝35°，
∵PQ是AB的垂直平分线，
∴△AMQ是直角三角形，
∴∠AMQ+∠BAM＝90°，
∴∠AMQ＝90°﹣∠BAM＝90°﹣35°＝55°，
∴α＝∠AMQ＝55°．
故答案为：55°．
【点评】此题考查了直角三角形两锐角互余，角平分线的定义，线段垂直平分线的性质，对顶角相等等知识，熟练掌握相关定义和性质是解题的关键．
12．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝40°，按图中虚线将∠C剪去后，∠1+∠2等于 220° ．
【分析】首先根据三角形内角和可以计算出∠A+∠B的度数，再根据四边形内角和为360°可算出∠1+∠2的结果．
【解答】解：∵△ABC中，∠C＝40°，
∴∠A+∠B＝180°﹣∠C＝140°，
∵∠A+∠B+∠1+∠2＝360°，
∴∠1+∠2＝360°﹣140°＝220°，
故答案为：220°．
【点评】此题主要考查了三角形内角和以及多边形内角和，关键是掌握多边形内角和定理：（n﹣2）．180° （n≥3）且n为整数）．
13．（3分）小明从镜子中看到电子钟显示的时间是20：51，那么实际时间为 12：05 ．
【分析】用镜面对称的性质求解．镜面对称的性质：在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称．
【解答】解：根据镜面对称的性质，题中所显示的时刻与20：51成轴对称，所以此时实际时刻为12：05．
故答案为：12：05．
【点评】本题考查镜面反射的原理与性质．解决此类题应认真观察，注意技巧．
14．（3分）小明将一张正方形纸片按如图所示顺序折叠成纸飞机，当机翼展开在同一平面时（机翼间无缝隙），∠AOB的度数是 45° ．
【分析】根据折叠的轴对称性，180°的角对折3次，求出每次的角度即可；
【解答】解：在折叠过程中角一直是轴对称的折叠，
∠AOB＝22.5°×2＝45°；
故答案为45°．
【点评】本题考查轴对称的性质；能够通过折叠理解角之间的对称关系是解题的关键．
15．（3分）如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB∥DE，且AB＝DE，请添加一个条件 ∠A＝∠D ，使△ABC≌△DEF．
【分析】判定两个三角形全等的一般方法有：ASA、SSS、SAS、AAS、HL，所以可添加条件为∠A＝∠D，或BC＝EF或BE＝CF或∠ACB＝∠F．
【解答】解：可添加条件为∠A＝∠D或BC＝EF或BE＝CF或∠ACB＝∠F．
理由如下：∵AB∥DE，
∴∠B＝∠DEF．
∵在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（ASA）．
故答案是：BE＝CF或∠A＝∠D或BC＝EF（填一个即可）．
【点评】本题考查三角形全等的性质和判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：ASA、SSS、SAS、AAS、HL（在直角三角形中）．判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．
16．（3分）如图是可调躺椅示意图（数据如图），AE与BD的交点为C，且∠A，∠B，∠E保持不变．为了舒适，需调整∠D的大小，使∠EFD＝110°，则图中∠D应 减少 （填“增加”或“减少”） 10 度．
【分析】连接CF，并延长至点M，在△ABC中，利用三角形内角和定理，可得出∠ACB的度数，结合对顶角相等，可得出∠DCE的度数，利用三角形外角的性质，可得出∠DFM＝∠DCF+∠D，∠EFM＝∠ECF+∠E，二者相加后，可求出∠D的度数，再结合∠D的原度数，即可求出结论．
【解答】解：连接CF，并延长至点M，如图所示．
在△ABC中，∠A＝50°，∠B＝60°，
∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣50°﹣60°＝70°，
∴∠DCE＝∠ACB＝70°．
∵∠DFM＝∠DCF+∠D，∠EFM＝∠ECF+∠E，
∴∠EFD＝∠DCF+∠ECF+∠D+∠E＝∠DCE+∠D+∠E，
即110°＝70°+∠D+30°，
∴∠D＝10°，
∴20°﹣10°＝10°，
∴图中∠D应减少（填“增加”或“减少”）10度．
故答案为：减少；10．
【点评】本题考查了三角形内角和定理以及三角形的外角性质，根据各角之间的关系，找出∠EFD与∠D之间的关系是解题的关键．
三、解答题。（每小题6分，共计42分）
17．（6分）在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示，已知点A、B的坐标为（﹣4，3）（3，0）．
（1）点C关于x对称的点的坐标（ ﹣2 ， ﹣5 ）；
（2）在图中作出△ABC关于y轴的对称图形△A′B′C′；
（3）求△ABC的面积为 10 ．
【分析】（1）根据点C的位置和轴对称的性质写出坐标即可；
（2）利用轴对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点A′、B′、C′即可．
（3）根据割补法得出三角形面积即可．
【解答】解：（1）点C关于x对称的点的坐标为（﹣2，﹣5）；
故答案为：﹣2，﹣5；
（2）如图所示：
（3）△ABC的面积＝7×5﹣×2×2﹣﹣＝10，
故答案为：10．
【点评】本题考查作图﹣轴对称变换，解题的关键是掌握轴对称变换的性质，属于中考常考题型．
18．（6分）将一副三角板拼成如图所示的图形，过点C作CF平分∠DCE交DE于点F．
（1）求证：CF∥AB；
（2）求∠DFC的度数．
【分析】（1）首先根据角平分线的性质可得∠1＝45°，再有∠3＝45°，再根据内错角相等两直线平行可判定出AB∥CF；
（2）利用三角形内角和定理进行计算即可．
【解答】（1）证明：∵CF平分∠DCE，
∴∠1＝∠2＝∠DCE，
∵∠DCE＝90°，
∴∠1＝45°，
∵∠3＝45°，
∴∠1＝∠3，
∴AB∥CF（内错角相等，两直线平行）；
（2）∵∠D＝30°，∠1＝45°，
∴∠DFC＝180°﹣30°﹣45°＝105°．
【点评】此题主要考查了平行线的判定，以及三角形内角和定理，关键是掌握内错角相等，两直线平行．
19．（6分）如图，AF，AD分别是△ABC的高和角平分线，且∠B＝36°，∠C＝76°，求∠DAF的度数．
【分析】由∠B、∠C的度数利用三角形内角和定理可求出∠BAC的度数，根据AF平分∠BAC可得出∠CAF的度数，在Rt△ADC中可求出∠CAD的度数，再根据∠DAF＝∠CAF﹣∠CAD即可求出结论．
【解答】解：∵∠B＝36°，∠C＝76°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝68°．
∵AF平分∠BAC，
∴∠CAF＝∠BAC＝34°．
∵AD⊥BC，∠C＝76°，
∴∠CAD＝180°﹣∠ADC﹣∠C＝14°，
∴∠DAF＝∠CAF﹣∠CAD＝34°﹣14°＝20°．
【点评】本题考查了三角形内角和定理以及角平分线的性质，根据三角形内角和定理求出∠CAF及∠CAD的度数是解题的关键．
20．（6分）已知：如图，△ABC中，AB＝AC＝5，AB的垂直平分线DE交AB、AC于E、D，若△BCD的周长为8，求BC的长．
【分析】由AB的垂直平分线DE交AB、AC于E、D，根据线段垂直平分线的性质，可求得AD＝BD，又由△BCD的周长为8，可得AC+BC＝8，继而求得答案．
【解答】解：∵AB的垂直平分线DE，
∴AD＝BD，
∴△BCD的周长为8，
∴BC+CD+BD＝BC+CD+AD＝BC+AC＝8，
∵AB＝AC＝5，
∴BC＝3．
【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
21．（6分）如图，在△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，D是BC的中点，证明：∠B＝∠C．
【分析】先根据角平分线的性质，可得DE＝DF，再证得Rt△BED≌Rt△CFD，即可得出结论．
【解答】证明：∵D是BC的中点，
∴BD＝CD，
∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，∠BED＝∠CFD＝90°，
在Rt△BED和Rt△CFD中，
，
∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），
∴∠B＝∠C．
【点评】此题考查了角平分线的性质以及全等三角形的判定与性质；熟练掌握角平分线的性质，证明三角形全等是解题的关键．
22．（6分）如图，已知点B，E，C，F在一条直线上，BE＝CF，AC∥DE，∠A＝∠D．
（1）求证：△ABC≌△DFE；
（2）若BF＝14，EC＝4，求BC的长．
【分析】（1）根据AAS证明△ABC≌△DFE即可解决问题．
（2）求出BE的长即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵AC∥DE，
∴∠ACB＝∠DEF，
∵BE＝CF，
∴BC＝EF，
在△ABC和△DFE中，
，
∴△ABC≌△DFE（AAS）．
（2）解：∵BF＝14，EC＝4，
∴BE+CF＝14﹣4＝10，
∵BE＝CF，
∴BE＝CF＝5，
∴BC＝BE+EC＝5+4＝9．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，平行线的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
23．（6分）如图，AC⊥BC，DC⊥EC，AC＝BC，DC＝EC．
求证：（1）△ACE≌△BCD；
（2）AE⊥BD．
【分析】（1）由垂直的定义得到∠ACB＝∠DCE＝90°，即得出∠ECA＝∠DCB，即可利用SAS证明△DCB≌△ECA；
（2）由（1）得到∠A＝∠B，由∠AGD＝∠BGC，∠B+∠BGC＝90°推出∠A+∠AGD＝90°，可得∠AFG＝90°，即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵AC⊥BC，DC⊥EC，
∴∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴∠ACB+∠ACD＝∠DCE+∠ACD，
即∠ECA＝∠DCB，
在△ACE和△BCD中，
，
∴△ACE≌△BCD（SAS）；
（2）证明：如图，AC与BD相交于点G，AE与BD相交于点F，
由（1）知，△ACE≌△BCD，
∴∠A＝∠B，
∵∠AGD＝∠BGC，∠B+∠BGC＝90°，
∴∠A+∠AGD＝90°，
∴∠AFG＝180°﹣90°＝90°，
∴AE⊥BD．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形全等的条件，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
四、解答题。（10分）
24．（10分）如图，在△ABC和△DEF中，B、E、C、F在同一直线上，下面有四个条件，请你从中选三个作为题设，余下的一个作为结论，写出一个正确的命题，并加以证明．
①AB＝DE；②AC＝DF；③∠ABC＝∠DEF；④BE＝CF；
解：我写的真命题是：
在△ABC和△DEF中，
已知： 如图，在△ABC和△DEF中，B、E、C、F在同一直线上，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF ．
求证： ∠ABC＝∠DEF ．（不能只填序号）
证明如下：
【分析】由BE＝CF⇒BC＝EF，所以，由1，2，4，可用SSS⇒△ABC≌△DEF⇒∠ABC＝∠DEF；由1，3，4，可用SAS⇒△ABC≌△DEF⇒AC＝DF；由于不存在ASS的证明全等三角形的方法，故由其它三个条件不能得到1或4．
【解答】解：将①②④作为题设，③作为结论，可写出一个正确的命题，如下：
已知：如图，在△ABC和△DEF中，B、E、C、F在同一直线上，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF．
求证：∠ABC＝∠DEF．
证明：在△ABC和△DEF中
∵BE＝CF
∴BC＝EF
又∵AB＝DE，AC＝DF
∴△ABC≌△DEF（SSS）
∴∠ABC＝∠DEF．
将①③④作为题设，②作为结论，可写出一个正确的命题，如下：
已知：如图，在△ABC和△DEF中，B、E、C、F在同一直线上，AB＝DE，∠ABC＝∠DEF，BE＝CF．
求证：AC＝DF．
证明：在△ABC和△DEF中
∵BE＝CF
∴BC＝EF
又∵AB＝DE，∠ABC＝∠DEF
∴△ABC≌△DEF（SAS）
∴AC＝DF；
故答案为：如图，在△ABC和△DEF中，B、E、C、F在同一直线上，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF；∠ABC＝∠DEF．
【点评】这是一道开放题．四个条件可组合成四个命题，其中有真有假，考生既要会证明真命题，还要会对假命题举反例加以否定，本题既考查了学生的基础知识，又考查了学生的创新能力．给学生提供了充分展示才能的空间，不同层次不同能力的学生可以给出不同的结果．
五、附加题。
25．如图（1）AB＝9cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC＝BD＝7cm，点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动，它们运动的时间为t（s）．
（1）若点Q的速度与点P的速度相等，当t＝1时，求证：△ACP≌△BPQ；
（2）在（1）的条件下，判断此时PC和PQ的位置关系，并证明；
（3）将图（1）中的“AC⊥AB，BD⊥AB”，改为“∠CAB＝∠DBA＝70°”，得到图（2），其他条件不变．设点Q的运动速度为xcm/s，请问是否存在实数x，使得△ACP与△BPQ全等？若存在，求出相应的x和t的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）结论：△ACP与△BPQ全等，根据SAS证明三角形全等即可．
（2）结论：PC⊥PQ，利用全等三角形的性质解决问题即可．
（3）分两种情形，利用全等三角形的性质构建方程即可解决问题．
【解答】解：（1）△ACP与△BPQ全等，
理由如下：当t＝1时，AP＝BQ＝2，
则BP＝9﹣2＝7，
∴BP＝AC＝7，
又∵∠A＝∠B＝90°，
在△ACP和△BPQ中，
∴△ACP≌△BPQ（SAS）；
（2）结论：PC⊥PQ，
证明：∵△ACP≌△BPQ，
∴∠ACP＝∠BPQ，
∴∠APC+∠BPQ＝∠APC+∠ACP＝90°．
∴∠CPQ＝90°，
即PC⊥PQ；
（3）AP＝2t，BP＝9﹣2t，BQ＝xt
①若△ACP≌△BPQ
则AC＝BP＝7，AP＝BQ，
∴9﹣2t＝7，
解得：t＝1（s），则x＝2（cm/s）；
②若△ACP≌△BPQ，
则AC＝BQ＝7，AP＝BP，
则，解得，t＝2.25（s），
∴xt＝7，解得，，
故当t＝1s，x＝2cm/s或t＝2.25s，时，△ACP与△BPQ全等．
【点评】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，一元一次方程等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．