[数学][期中]江苏省扬州市四校2023-2024学年高一上学期12月期中联考试题(解析版)

这是一份[数学][期中]江苏省扬州市四校2023-2024学年高一上学期12月期中联考试题(解析版)，共12页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，（ ）
A. B. C. D
【答案】C
【解析】解不等式，得，解得或，
则或，而，
所以.
故选：C.
2. 的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】.
故选：B.
3. 已知函数，则（ ）
A. 0B. C. 1D.
【答案】A
【解析】因为，得到，
所以.
故选：A.
4. 若函数y=x2-2ax+1在区间-2,1上为单调增函数，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】y=x2-2ax+1开口向上，对称轴为，
要想y=x2-2ax+1在区间上为单调增函数，则.
故选：B.
5. 设，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】依题意，，，，
而，所以.
故选：D.
6. 已知函数的部分图象如下图所示，则的解析式可能为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由图知：函数图象关于y轴对称，其为偶函数，且，
由且定义域为R，即B中函数为奇函数，排除；
当时、，即A、C中上函数值为正，排除.
故选：D.
7. “环境就是民生，青山就是美丽，蓝天也是幸福”，随着经济的发展和社会的进步，人们的环保意识日益增强.某化工厂产生的废气中污染物的含量为，排放前每过滤一次，该污染物的含量都会减少，当地环保部门要求废气中该污染物的含量不能超过，若要使该工厂的废气达标排放，那么该污染物排放前需要过滤的次数至少为（ ）（参考数据：）
A. 6B. 7C. 8D. 9
【答案】C
【解析】设该污染物排放前过滤的次数为，
由题意，即，
两边取以10为底的对数可得，即，
所以，
因为，
所以，
所以，又，
所以，即该污染物排放前需要过滤的次数至少为8次.
故选：C.
8. 已知是定义在上的奇函数，当时，，那么不等式的解集是（ ）
A. B. 或
C. D. 或
【答案】B
【解析】当时，，，
是定义在上的奇函数，，
又，则，
（1）当时，，解得；
（2）当时，，恒成立；
（3）当时，，解得；
综上所述，则的解集为或.
故选：B.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 下列命题中，是真命题的有（ ）
A. “”是“关于的方程有两个实数解”的必要不充分条件；
B. “”是“”的既不充分也不必要条件；
C. “”，是“”的充要条件
D. “”是“”的充分不必要条件
【答案】ABD
【解析】对于A，关于的方程有两个实数解，
则，
解得且，
因此“”是“关于的方程有两个实数解”的必要不充分条件，A正确；
对于B，，而，即“”不是“”的充分条件，
反之，，而，即“”不是“”的必要条件，
因此“”是“”的既不充分也不必要条件，B正确；
对于C，由，得或，因此“”不是“”的充要条件，C错误；
对于D，，而，取，无意义，
因此“”是“”的充分不必要条件，D正确.
故选：ABD.
10. 下列函数中，以3为最小值的函数有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AB
【解析】对A：∵，则，
故的最小值为3，当且仅当时取到最小值，A正确；
对B：令，则，
故的最小值为3，当且仅当，即时取到最小值，B正确；
对C：令，且在上单调递减，故，
故的最小值为，C错误；
对D：取，则，D错误
故选：AB.
11. 给出下列四个结论，其中正确的结论是（ ）
A. ，成立的条件是是锐角
B. 若，则．
C. 若，则
D. 若，则，
【答案】CD
【解析】由诱导公式二，知时，，所以A错误；
当（）时，，此时，
当（）时，，
此时，所以B错误；
若（），则，所以C正确；
将等式两边平方，得，所以或csα=0，
若，则，此时；
若csα=0，则，此时，
故，所以D正确．
故选：CD.
12. 设，若有三个不同的实数根，则实数的取值可以是（ ）
A. B. 1C. D. 2
【答案】AB
【解析】作出函数，图像如下：
又有三个不同的实数根，
所以函数与直线有三个交点，
由图像可得：
故选：AB.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 函数的定义域为______．
【答案】
【解析】由解析式知，解得，所以的定义域为．
故答案为：.
14. 已知扇形的圆心角为2rad，弧长为2cm，则该扇形的面积为______．
【答案】1
【解析】设扇形半径为，弧长为，圆心角为，则，
扇形面积为．
故答案为：1．
15. 在平面直角坐标系中，已知角的终边经过点，若角的终边与角的终边关于轴对称，则______．
【答案】
【解析】已知角的终边经过点，则，
若角的终边与角的终边关于轴对称，
则，
则.
故答案为：．
16. 已知圆的半径为，矩形的边长为，，且圆与矩形的周长均为2，面积分别为，，则的最小值为______．
【答案】
【解析】圆与矩形的周长均为2，，即，
，
，
，
当且仅当时，等号成立，的最小值为.
故答案为：.
四、解答题：本题共6小题，共70分．第17题10分，其他每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. （1）已知sinα=2csα，求的值；
（2）求值．
解：（1）由题意有，
则.
（2）原式.
18. 设全集为，集合，．
（1）当时，求图中阴影部分表示集合C；
（2）在①；②；③这三个条件中任选一个作为已知条件，求实数a的取值范围．
解：（1）由集合A知，即，解得或，
所以，当时，
∴.
（2）选择①②③，均可得.
当时，，解得；
当时，或，解得或，即a≥7．
综上所述，实数a的取值范围是．
19. 已知角满足.
（1）求的值；
（2）若角是第三象限角，，求的值.
解：（1）由题意和同角三角函数基本关系式，有，
消去得，解得或，
当角第一象限角时，，
因为角是第三象限角，.
（2）由题意可得，
因为角是第三象限角，
所以，所以.
20. 已知函数
（1）求证：函数是上的减函数；
（2）设，若不等式恒成立，求实数的取值范围．
解：（1）任取，
则，
因为，所以，又，所以，
即，所以函数是上的减函数.
（2）因为，
易知的定义域为，又，所以为奇函数，
由（1）知是上的增函数，
由，
得到，
所以，即，所以，
即实数的取值范围为.
21. 某种出口产品的关税税率为，市场价格(单位：千元)与市场供应量(单位：万件)之间近似满足关系式：，其中均为常数.当关税税率时，若市场价格为千元，则市场供应量约为万件；若市场价格为千元，则市场供应量约为万件.
（1）试确定的值.
（2）市场需求量(单位：万件)与市场价格(单位：千元)近似满足关系式：，当时，市场价格称为市场平衡价格，当市场平衡价格不超过千元时，试确定关税税率的最大值.
解：（1）由已知得：
，得，
解得，.
（2）当时，，
所以，则.
设，则在上单调递减，
所以当时，有最小值，
故当时，关税税率的最大值为.
22. 已知函数（，）．
（1）若，，求取值范围；
（2）求在上的最小值．
解：（1）依题意，函数，
当时，，当时，，
当时，，当时，，
所以的取值范围是.
（2）由（1）知，令，，，
函数图象的对称轴为，
当，即0则当，即时，；
当，即时，当，即时，，
所以当0当时，在上的最小值为.