2023-2024学年江苏省南京市六校联合体高一上学期12月联合调研数学试题（含解析）

这是一份2023-2024学年江苏省南京市六校联合体高一上学期12月联合调研数学试题（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.函数fx=lgx−1+x−20的定义域为
( )
A. 1,+∞B. 1,2∪2,+∞
C. 1,2∪2,+∞D. −∞,2∪2,+∞
2.已知点Ptanθ,sinθ是第二象限的点，则θ的终边位于
( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
3.已知扇形的圆心角为π3，其弧长为2π，则此扇形的面积为
( )
A. 3πB. 6πC. 9πD. 12π
4.函数fx=x2lg42+x2−x的大致图象是
( )
A. B.
C. D.
5.设a=0.713,b=0.616,c=lg0.82，则a,b,c的大小关系是
( )
A. b>a>cB. a>b>cC. c>a>bD. a>c>b
6.神舟十二号载人飞船搭载3名宇航员进入太空，在中国空间站完成了为期三个月的太空驻留任务，期间进行了很多空间实验，目前已经顺利返回地球.在太空中水资源有限，要通过回收水的方法制造可用水，回收水是将宇航员的尿液、汗液和太空中的水收集起来经过特殊的净水器处理成饮用水，循环使用.净化水的过程中，每过滤一次可减少水中杂质20%，要使水中杂质减少到原来的1%以下，则至少需要过滤的次数为(参考数据：lg2≈0.3010)( )
A. 19B. 20C. 21D. 22
7.已知幂函数y=x−m2+2m+3 m∈N∗的图象关于y轴对称，且在0,+∞上单调递增，则满足2a+1−m<1−a−m的a的取值范围为
( )
A. 0,+∞B. −∞,−12∪1,+∞
C. 0,1D. (−∞,−12)∪(0,1)
8.已知定义在R上的偶函数fx满足f(x)=f(2−x)，当x∈[0,1]时，fx=2x.函数g(x)=e−|x−1|(−1( )
A. 2B. 4C. 6D. 8
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列结论正确的是( )
A. lg26−lg24=1B. lg37lg34=lg47C. 21+lg25=10D. 3−82=−4
10.已知sinπ3+α=23，则正确的有
( )
A. csπ3+α= 53B. sin2π3−α=23
C. csπ6−α=23D. sin4π3+α=23
11.若函数fx=lgx2+2ax−a，则下列说法正确的是
( )
A. 若a=0，则fx为偶函数
B. 若fx的定义域为R，则−1C. 若a=1，则fx的单调增区间为− 1,+∞
D. 若fx在−1,0上单调递减，则a≤0
12.已知函数fx的定义域为D，若存在区间[m,n]⊆D，使得fx同时满足下列条件：
①fx在m,n上是单调函数；②fx在m,n上的值域是3m,3n．
则称区间m,n为函数fx的“倍值区间”．
下列函数中存在“倍值区间”的有
( )
A. fx=2x2B. fx=1xC. fx=x+2xD. f(x)=7xx2+2
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.函数y=ax−2+4 a>0 且 a≠1 的图象必过定点__________．
14.函数fx= 4x−x2的单调递减区间是___________．
15.已知正数x，y满足2x+y−xy=0，则2x+2y的最大值为__________．
16.如果函数fx在其定义域D内，存在实数x0∈D使得fx0+1=fx0+f1成立，则称函数fx为“可拆分函数”.设函数fx=lgm3x+1为“可拆分函数”，则实数m的取值范围是 _________．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
设集合A=x 2a−1(1)当a=0时，求集合A∩B；
(2)若“x∈A”是“x∈B”的必要条件，求实数a的取值范围．
18.(本小题12分)
已知fθ=sinπ+θ⋅cs3π2−θtanθ−π．
(1)化简fθ，并求fπ6的值；
(2)若θ∈0,π，且fθ=−1225，求csθ−sinθ的值．
19.(本小题12分)
已知函数f(x)=(lg3x3)⋅[lg13(9x)]
(1)若fx=−4，求实数x的值；
(2)若x∈13,27，求函数fx的值域．
20.(本小题12分)
某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的年收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的年收益与投资额的算术平方根成正比.已知各投资1万元时，两类产品的年收益分别为0.25万元和0.5万元．
(1)分别写出两种产品的年收益与投资金额的函数关系式；
(2)该家庭现有10万元资金，全部用于理财投资，设投资债券等稳健型产品的金额为x万元.如何分配资金才能使投资获得最大年总收益？其最大年总收益是多少万元？
21.(本小题12分)
已知函数fx=a−1ex+1 a∈R ．
(1)是否存在实数a使函数fx为奇函数；
(2)判断并用定义法证明fx的单调性；
(3)在(1)的前提下，若对∀x∈R，不等式ffx+f1−m>0恒成立，求m的取值范围．
22.(本小题12分)
函数y=fx的定义域为R，若存在常数M>0，使得fx≥Mx对一切实数x均成立，则称fx为“圆锥托底型”函数．
(1)判断函数fx=3x，gx=x5是否为“圆锥托底型”函数？并说明理由；
(2)若fx=2x2+3是“圆锥托底型”函数，求出M的最大值；
(3)问实数k,b满足什么条件，fx=kx+b是“圆锥托底型”函数．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考函数定义域.掌握好对数中真数大于零，零次幂底数不能为零等基础知识是解此题的关键，属于基础题．
函数f(x)=lg(x−1)+(x−2)0有意义，可得 x−1>0x−2≠0，解不等式组即可得到所求定义域．
【解答】
解：要使函数有意义，
应有x−1>0x−2≠0，解得x>1且x≠2，
所以函数fx=lgx−1+x−20的定义域是(1,2)∪(2,+∞)．
故选B．
2.【答案】B
【解析】【分析】本题主要考查三角函数在各个象限中的符号，属于基础题．
由题意利用三角函数在各个象限中的符号，判断角θ的终边所在的象限．
【解答】解：∵已知点P(tan θ,sin θ)在第二象限，
∴sinθ>0，tanθ<0，
则角θ的终边在第二象限．
3.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了弧长公式与扇形面积公式，属于基础题．
由扇形面积公式代入已知条件，可得结果．
【解答】
解：一个扇形的圆心角为π3，弧长为2 π，
r=lα=2ππ3=6，
S=12lr=12×2π×6=6π．
故选B．
4.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数的性质是解决函数图象的关键，是基础题．
利用函数的奇偶性以及特殊值进行判断即可．
【解答】
解：∵函数f(x)=x2lg42+x2−x的定义域为−2,2，
f−x=−x2lg42−x2+x=−x2lg42+x2−x=−fx，
∴函数为奇函数，
∴图象关于原点对称，所以排除B，C，
当x=1时，fx=lg43>0，故排除A．
故选D．
5.【答案】A
【解析】【分析】
本题主要考查了利用幂函数以及对数函数的单调性比较大小，属于基础题．
利用y=x6的单调性比较a,b大小，再比较c与0的大小即可得出答案．
【解答】
解：a6=0.72=0.49,b6=0.6，则a6因为函数y=x6在0,+∞上单调递增，则a6又c=lg0.82所以b>a>c．
故选：A．
6.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查函数模型的应用，属于中档题．
由题意列出不等式，然后利用指数对数的运算进行求解可得．
【解答】解：设过滤的次数为n，原来水中杂质为1，
则(1−20％)n<1％，即0.8n<1100，
所以lg 0.8n所以nlg 0.8<−2，
所以n>−2lg 0.8=21−3lg 2=21−3lg 2≈20.6，
因为n∈N∗，
所以n的最小值为21，则至少要过滤21次．
故选C．
7.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了幂函数及其性质，属于中档题．
由条件知−m2+2m+3>0，m∈N∗，可得m=1.再利用函数y=x−1的单调性，分类讨论可解不等式．
【解答】
解：幂函数y=x−m2+2m+3(m∈N∗)在[0,+∞)上单调递增，
故−m2+2m+3>0，解得−1当m=1时，y=x4的图象关于y轴对称，满足题意；
当m=2时，y=x3的图象不关于y轴对称，舍去，
故m=1．
不等式化为(2a+1)−1<(1−a)−1，
函数y=x−1在−∞,0和0,+∞上单调递减，
故2a+1>1−a>0或0>2a+1>1−a或2a+1<0<1−a，解得a<−12或0故选：D．
8.【答案】B
【解析】本题考查了函数的奇偶性，对称性，属于中档题．
偶函数f(x)的图像直线x=1对称，可得f(x)与g(x)的图象的位置关系，即可知两个函数图象所有交点的横坐标之和．
【解答】
解：根据题意，偶函数f(x)满足 f(x)=f(2−x)，
则f(x)的图象关于直线x=1对称，
函数g(x)=e −|x−1|(−1函数y=f(x)的图象与函数g(x)=e −|x−1|(−1可知两个图象有4个交点，两两关于直线x=1对称，
则结合中点坐标公式可得两个函数图象所有交点的横坐标之和为4．
故选B．
9.【答案】BC
【解析】【分析】
本题考查指数幂的运算和对数运算，属于基础题．
利用指数幂的运算性质和利用对数的运算性质逐个判断即可．
【解答】
解：对于A、lg26−lg24=lg264=lg232≠1，故A错误；
对于B、lg37lg34=lg7lg3lg4lg3=lg7lg4=lg47 ，故B正确；
对于C、21+lg25=2lg210=10 ，故C正确；
对于D、3(−8)2=326=22=4，故D错误
10.【答案】BC
【解析】【分析】
本题主要考查了同角公式，诱导公式在三角函数求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．
根据已知利用同角公式判断A;利用诱导公式判断BCD．
【解答】
解： 由 sinπ3+α=23，可得 cs (π3+α)=± 1−232=± 53，故A错误；
sin (2π3−α)= sin[π−(π3+α)]=sin(π3+α)=23，故B正确；
cs⁡(π6−α)=cs⁡[π2−(π3+α)]=sin⁡(π3+α)=23，故C正确；
sin⁡(4π3+α)=sin⁡[π+(π3+α)]=−sin⁡(π3+α)=−23，故D错误．
故选BC．
11.【答案】ABD
【解析】【分析】
本题考查了对数函数的性质、复合函数的单调性、一元二次不等式的解法，属于中档题．
对于A，将a=0代入得f(x)=lgx2，求出定义域，再根据偶函数的定义判断即可；
对于B，由题意可得x2+2ax−a>0的解集为R，根据一元二次不等式解法求解即可；
对于C，D根据对数函数的性质及复合函数的单调性求解即可．
【解答】解：对于A，当a=0时，f(x)=lgx2，
定义域为：{x|x≠0}，所以f(−x)=lgx2=f(x)，
所以f(x)为偶函数，故正确；
对于B，由题意可得x2+2ax−a>0的解集为R，
所以Δ=4a2+4a<0，
解得−1对于C，当a=1时，f(x)=lg(x2+2x−1)，
由x2+2x−1>0可得x<−1− 2或x>−1+ 2，
即fx的定义域为(−∞,−1− 2)∪(−1+ 2,+∞)，
由复合的单调性可得f(x)的单调递增区间为(−1+ 2,+∞)，故错误；
对于D，fx=lgx2+2ax−a是复合函数y=lg[ℎ(x)]，ℎ(x)=x2+2ax−a，
y=lgt在正实数集上单调递增，
故ℎ(x)=x2+2ax−a在(−1,0)上函数值为正数，单调递减，
则ℎ(0)=02+2a×0−a⩾0−2a2⩾0⇒a⩽0a⩽0⇒a⩽0,
所以D选项正确；
故选：ABD．
12.【答案】ABD
【解析】【分析】
本题考查函数概念与性质的新定义问题．
逐一分析选项，判断每个函数是否满足两个条件，依据方程实数根或是函数零点个数判断是否正确．
【解答】解：函数中存在“倍值区间”，则(1)f(x)在[m,n]内是单调函数，(2)f(m)=3mf(n)=3n或f(m)=3nf(n)=3m,
对于A，f(x)=2x2，函数在[0,+∞)单调递增，若存在“倍值区间”[m,n]，则f(m)=3mf(n)=3n⇒2m2=3m2n2=3n⇒m=0n=32,
∴f(x)=2x2，存在“倍值区间”[0,32]；
对于B，f(x)=1x，若存在“倍值区间”[m,n]，当x>0时，函数单调递减，1m=3n1n=3m⇒mn=13，故只需mn=13，n>m即可，故存在；
对于C，f(x)=x+2x，当x>0时，在区间(0, 2]上单调递减，在区间[ 2,+∞)上单调递增，
若存在“倍值区间”[m,n]⊆(0, 2]⇒m+2m=3n,n+2n=3m⇒m2−3mn+2=0,
n2−3mn+2=0⇒m2=n2不符题意；
若存在“倍值区间”[m,n]⊆[ 2,+∞)⇒m+2m=3m,n+2n=3n⇒m2=n2=1不符题意，故此函数不存在“倍值区间”；
对于D，当x=0时，f(0)=0；当x≠0时，f(x)=7xx2+2=7x+2x，
所以f(x)在区间[0, 2]上单调递增，在区间[ 2,+∞)上单调递减，若存在“倍值区间”[m,n]⊆[0, 2]，7mm2+2=3m，7nn2+2=3n，∴m=0，n= 33，即存在“倍值区间”[0, 33]；
故选ABD．
13.【答案】2,5
【解析】【分析】
本题考点是指数型函数，考查指数型函数过定点的问题．
利用a0=1(a≠0)即可得出答案．
【解答】
解：当x=2时，y=a2−2+4=5，
∴函数y=ax−2+4 a>0 且 a≠1 的图象必过定点2,5
故答案为：2,5
14.【答案】[2,4]．
【解析】【分析】
本题主要考查复合函数的单调性，属于较易题．
由根式内部的代数式大于等于0求出函数的定义域，然后求出内层函数t=−x2+4x的减区间即得答案．
【解答】解：∵4x−x2≥0，解得0≤x≤4，
∴函数f(x)= 4x−x2的定义域为[0,4]，
令函数t=−x2+4x，对称轴为直线x=2，
则函数t=−x2+4x在[2,4]上单调递减，
又∵函数y=t12在定义域上单调递增，
∴函数f(x)= 4x−x2的单调递减区间是[2,4]．
15.【答案】29
【解析】【分析】
本题考查了利用基本不等式求最值，属于中档题．
已知正数 x,y满足，2x+y−xy=0，化简可得2y+1x=1，则 x+2y2=12x+2y×1=12x+2y×2y+1x，再利用基本不等式求最值．
【解答】
解：已知正数 x,y满足， 2x+y−xy=0，
化简可得 2y+1x=1，
则 x+2y2=12x+2y×1=12x+2y×2y+1x
=122xy+4+1+2yx
=125+2xy+2yx≥125+2 4=92．
当且仅当 x=y=3时，取到等号．
故 2x+2y的最大值为 29．
16.【答案】(43,4)
【解析】【分析】本题考查了函数新定义问题，涉及函数的单调性的应用，属于中档题．
根据新定义可得m4=3x0+13x0+1+1，令t=3x0则t>0，可得m4=t+13t+1=13+23(3t+1)，根据函数单调性即可求出．
【解答】
解：因为函数f(x)=lgm3x+1存在“可拆点”，所以存在实数x0，使得lgm3x0+1+1=lgm3x0+1+lgm4，
则m3x0+1+1=m3x0+1×m4，且m>0，
所以m4=3x0+13x0+1+1，
令t=3x0则t>0，所以，m4=t+13t+1=13+23(3t+1)，
由t>0得y=23(3t+1)为减函数，所以13即m的取值范围是(43,4)，
故答案为：(43,4)．
17.【答案】解：(1)a=0时，集合A={x|2a−1B={x|x2−2x−8<0}={x|−2∴A∩B={x|−1(2)若“x∈A”是“x∈B”的必要条件，则B⊆A，
∵B={x|−2∴2a−1⩽−2a+5≥4,−1≤a≤−12
∴实数a的取值范围是−1,−12．
【解析】【分析】本题考查集合的运算，考查交集、子集、不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
(1)a=0时，求出集合A，B，再根据交集的定义求出A∩B；
(2)由“x∈A”是“x∈B”的必要条件，得到B⊆A，从而有2a−1≤−2或a+5≥4，由此求出实数a的取值范围．
18.【答案】解：(1)由题知f(x)=−sin θ⋅(−sin θ)tan θ=sin θcs θ，
∴f(π6)=12· 32= 34;
(2)∵f(θ)=−1225，sin θcs θ=−1225，
(cs θ−sin θ)2=1−2sinθ·csθ=4925，
又sin⁡θ·cs⁡θ<0,θ∈(0,π)，
∴sinθ>0,csθ<0，∴csθ−sinθ<0，
cs θ−sin θ=−75．

【解析】【分析】
本题考查诱导公式化简，三角函数关系式，属于中档题．
(1)先根据诱导公对fθ进行化简，再将π6代入，算出结果即可;
(2)将θ代入可求sinθcsθ，根据sinθcsθ的正负及θ∈0,π，可判断sinθ,csθ正负，从而判断csθ−sinθ正负，对csθ−sinθ平方再开方，代入sinθcsθ即可得所求．
19.【答案】解：(1) f(x)=(lg3x−1)(lg139+lg13x)
=(lg3x−1)(−lg3x−2)
∵f(x)=−4，
即(lg3x−1)(−lg3x−2)=−4，
(lg3x+3)(lg3x−2)=0，解得：lg3x=−3或lg3x=2，
即x=127或x=9；
(2)令t=lg3x，t∈[−1,3]
则原函数可化为y=−t2−t+2，t∈[−1,3]，
易知y=−t2−t+2在[−1,−12]单调递增，在[−12,3]单调递减，
当t=−12时，ymax=94;当t=3时，ymin=−10，
所以函数当f(x)的值域为[−10,94].
【解析】(1)化简f(x)=(lg3x−1)(−lg3x−2)，由题意可得出lg3x=−3或lg3x=2，即可解出x的值；
(2)令t=lg3x，t∈[−1,3]
则原函数可化为y=−t2−t+2，t∈[−1,3]，然后根据二次函数的性质，即可求解．
本题考查了对数式的运算性质，考查复合函数值域的求法，考查了计算能力，属于中档题．
20.【答案】解：(1)设投资债券等稳健性产品的年收益为y1，投资股票等风险型产品的年收益为y2，
由题意得y1=k1x，x≥0，y2=k2 x，x≥0，
因为各投资1万元，两类产品的年收益分别为0.25万元和0.5万元，所以k1=14，k2=12，
所以y1=14x，x≥0，y2=12 x，x≥0；
(2)因为投资债券等稳健型产品的金额为x万元(x∈[0,10])，则投资股票等风险型产品的金额为(10−x)万元，
设年投资总收益为y，则y=14x+12 10−x，x∈[0,10]，
令t= 10−x，t∈[0, 10]，则x=10−t2，则y=−14t2+12t+52，t∈[0, 10]，
当t=1即x=9时，y有最大值114，即当投资债券金额为9万元，投资股票金额为1万元时，能获得最大年总收益为114万元．
【解析】【分析】本题考查了函数模型的应用，二次函数的最值，属于中档题．
(1)根据题意，设出函数关系式，进行求解即可；
(2)写出年投资总收益的函数表达式，利用二次函数的最值即可得到最大收益．
21.【答案】解：(1)假设存在实数a使函数f(x)为奇函数，
此时f(−x)+f(x)=a−1e−x+1+a−1ex+1=0，解得a=12，
故存在实数a=12，使函数f(x)为奇函数．
当a=12时，函数f(x)=12−1ex+1满足f(−x)=−f(x)，即f(x)为奇函数；
(2)函数f(x)的定义域为R，
∀x1，x2∈R，且x1f(x1)−f(x2)=a−1ex1+1−(a−1ex2+1)=ex1−ex2(ex1+1)(ex2+1)，
∵ex1−ex2<0，(ex1+1)(ex2+1)>0，∴f(x1)即函数f(x)在R上单调递增；
(3)当a=12时，f(x)=12−1ex+1，
∵f(x)是奇函数，
∴f(f(x))+f(1−m)>0⇔f(f(x))>−f(1−m)⇔f(f(x))>f(m−1)，
又∵f(x)在R上单调递增，∴f(x)>m−1，
∴m∵ex>0，∴ex+1>1，∴0<1ex+1<1，
∴12<32−1ex+1<32，
∴m≤12．
【解析】本题考查了函数的基本性质：奇偶性、单调性、值域，还考查了恒成立问题，是较难题．
(1)假设存在实数a使函数f(x)为奇函数，由f(−x)+f(x)=0，可得a的值；
(2)运用作差法，由单调性的定义判定单调性即可；
(2)当a=12时，f(x)是奇函数，则f(f(x))+f(1−m)>0⇔f(f(x))>f(m−1)，又f(x)在R上单调递增，则f(x)>m−1，分离变量，结合指数函数性质可得m的取值范围．
22.【答案】解：(1)由题意，当0故f(x)是“圆锥托底型”函数;
对g(x)=x5，考虑x>0时，x5≥Mx恒成立，即x4≥M恒成立，
因为x4>0，故不存在常数M>0使得|g(x)|≥M|x|对一切实数x均成立，
故g(x)不是“圆锥托底型”函数。
(2)由题意，若f(x)=2x2+3是“圆锥托底型”函数，
则|2x2+3|≥M|x|对一切实数x均成立．
①当x=0时，显然成立，
②当x≠0，又2|x|+3|x|≥2 6，当且仅当x=± 62时，取等号。
故M的最大值为2 6．
(3)若f(x)=kx+b是“圆锥托底型”函数则：
①当b=0时，|f(x)|=|k||x|≥M|x|恒成立，即|k|≥M>0即可，
故当b=0时，k≠0即可满足条件;
②当b≠0时，若k=0，则f(x)=b为常数，不满足|b|≥M|x|恒成立
若k≠0时，令f(x)=kx+b=0，解得x=−bk≠0，此时f(−bk)=0≥M|−bk|不成立，
故当b≠0时，f(x)不是“圆锥托底型”函数．
综上，当b=0，k≠0时，f(x)=kx+b是“圆锥托底型”函数．
【解析】本题主要考查与函数有关的新定义，考查学生的推理能力和运算能力，综合性较强，难度较大．
(1)根据条件|f(x)|≥M|x|对一切实数x均成立进行判断，即可得到结论．
(2)根据|f(x)|≥M|x|对一切实数x均成立，建立条件关系，即可求出结论，
(3)利用函数是“圆锥托底型”函数．则满足条件|f(x)|≥M|x|对一切实数x均成立，即可得到结论．