吉林省吉林市2023-2024学年八年级上学期第一次月考数学试卷(含解析)

这是一份吉林省吉林市2023-2024学年八年级上学期第一次月考数学试卷(含解析)，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共6小题，共12.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 如图，在中，，，则的度数为( )
A.
B.
C.
D.
2. 如图，中，，为上一点，于点，下列说法中，错误的是( )
A. 中，是上的高
B. 中，是上的高
C. 中，是上的高
D. 中，是上的高
3. 将一副三角板按如图所示方式摆放，使有刻度的边互相垂直，则( )
A.
B.
C.
D.
4. 如图，点、点在上，，，添加一个条件，不能证明≌的是( )
A.
B.
C.
D.
5. 如图，用直尺和圆规作的角平分线，根据作图痕迹，下列结论不一定正确的是( )
A.
B.
C.
D.
6. 图中表示被撕掉一块的正边形纸片，若，则的值是( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
7. 如图，钢架桥的设计中采用了三角形的结构，其数学道理是______ ．
8. 一个三角形的两边长分别是和，则第三边长可以是______ 写出一个即可
9. 如图所示，点在一块直角三角板上其中，于点，于点，若，则______度．
10. 如图，已知≌，点，，，依次在同一条直线上若，，则的长为______ ．
11. 将正六边形与正方形按如图所示摆放，且正六边形的边与正方形的边在同一条直线上，则的度数是______ ．
12. 如图，已知为的中线，，，的周长为，则的周长为__．
13. 如图，在中，，平分交边于点，的面积为，，则线段的长度为______ ．
14. 如图所示，______．
三、解答题（本大题共12小题，共84.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. 本小题分
已知一个多边形的内角和比外角和的倍多，则这个多边形的边数是多少？
16. 本小题分
如果一个三角形的一边长为，另一边长为，若第三边长为．
求第三边的范围；
当第三边长为奇数时，求三角形的周长．
17. 本小题分
如图，在中，，，是的角平分线，求的度数．
18. 本小题分
如图，，，，求证．
19. 本小题分
如图为的网格，每一小格均为正方形，已知．
画出中边上的中线；
画出中边上的高；
直接写出的面积为______ ．
20. 本小题分
如图，是内的一条射线，是上一点，过点作于点，于点，已知，求证：是的平分线．
21. 本小题分
数学兴趣小组想在不用涉水的情况下测量某段河流的宽度该段河流两岸是平行的，在数学老师带领下他们是这样做的：
在河流的一条岸边点，选对岸正对的一棵树为参照点；
沿河岸直走有一棵树，继续前行到达处；
从处沿河岸垂直的方向行走，当到达树正好被树遮挡住的处停止行走；
测得的长为．
河流的宽度为______；
请你说明他们做法的正确性．
22. 本小题分
如图，在中，，过点作，垂足为，延长至点使在边上截取，连接求证：．
23. 本小题分
如图，点，，，在同一条直线上，点，分别在直线的两侧，且，，．
求证：≌；
若，，求的长．
24. 本小题分
如图，已知，，，与交于点．
求证：≌；
若，求的度数．
25. 本小题分
如图，中，的角平分线与外角的平分线交于．
如图，若，则______．
如图，四边形中，的角平分线及外角的角平分线相交于点，若，求的度数．
如图，中，的角平分线与外角的角平分线交于，若为延长线上一动点，连接，与的角平分线交于点，当滑动时有下面两个结论：
的值为定值；
的值为定值；
其中有且只有一个是正确的，请写出正确的结论，并求出其值．
26. 本小题分
模型的发现：
如图，在中，，，直线经过点，且、两点在直线的同侧，直线，直线，垂足分别为点，请直接写出、和的数量关系．
模型的迁移：位置的改变
如图，在的条件下，若，两点在直线的异侧，请说明、和的关系，并证明．
模型的迁移：角度的改变
如图，在的条件下，若三个直角都变为了相等的钝角，即，其中，的结论还成立吗？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明、和的关系，并证明．
答案和解析
1.【答案】
解析：解：，
，
，
，
故选：．
根据直角三角形的两锐角互余求解即可．
此题考查了直角三角形的性质，熟记“直角三角形的两锐角互余”是解题的关键．
2.【答案】
解析：解：、中，是上的高，说法正确，不符合题意；
B、中，是上的高，说法正确，不符合题意；
C、中，是上的高，说法正确，不符合题意；
D、中，是上的高，不是上的高，故本选项说法错误，符合题意；
故选：．
根据三角形的高的概念判断即可．
本题考查的是三角形的高的概念，从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．
3.【答案】
解析：解：如图，由题意可知，，，
两个三角板中有刻度的边互相垂直，
，
，
故选：．
如图见解析，先根据三角板可得，，再根据角的和差可得，然后根据三角形的外角性质即可得．
本题考查了三角板中的角度计算、三角形的外角性质，熟练掌握三角形的外角性质是解题关键．
4.【答案】
解析：解：，
，
即，
当时，利用可得≌，故A不符合题意；
当时，利用可得≌，故B不符合题意；
当时，利用可得≌，故C不符合题意；
当时，无法证明≌，故D符合题意；
故选：．
根据求出，再根据全等三角形的判定定理进行分析即可．
本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，全等三角形的判定定理有，，，，两直角三角形全等还有等．
5.【答案】
解析：解：角平分线的作法如下：以点为圆心，长为半径作弧，分别交、于点、；
分别以点、为圆心，长为半径作弧，两弧在内相交于点；
作射线，即为的平分线．
根据角平分线的作法可知，，，
根据等腰三角形的三线合一可知，
故选：．
利用基本作图得到平分，则根据角平分线的画法可对选项进行一一判断．
本题考查了用直尺和圆规作角平分线的方法，掌握画法是解题的关键．
6.【答案】
解析：解：如图，延长，交于点，
，
，
正多边形的一个外角为，
．
故选：．
延长、交于点，根据得到，于是可以得到正多边形的一个外角为，进而可得正多边形的边数．
本题主要考查多边形的内角和外角和，掌握相关定义是解题的关键．
7.【答案】三角形具有稳定性
解析：解：这样做的数学依据是三角形具有稳定性，
故答案为：三角形具有稳定性．
根据三角形具有稳定性解答即可．
本题考查的是三角形的性质，熟记三角形具有稳定性是解题的关键．
8.【答案】答案不唯一
解析：解：设第三边长是，
由题意得：，
即：，
的值可以是：大于小于的数即可．
9.【答案】
解析：解：，，
，
在和中，
，
≌，
，
，
．
故答案为．
10.【答案】
解析：解：≌，
，
又，
，
，
．
故答案为：．
根据全等三角形的对应边相等得到，计算即可．
本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等、全等三角形的对应角相等是解题的关键．
11.【答案】
解析：解：图中六边形为正六边形，
，
，
正方形中，，
，
，
故答案为：．
根据多边形内角和及正多边形性质求得的度数，从而求得的度数，再结合正方形性质及三角形内角和定理即可求得答案．
本题主要考查多边形的内角和及正多边形的性质，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
12.【答案】
解析：解：是边上的中线，
，
和周长的差，
的周长为，比长，
周长为：．
故答案为．
根据三角形中线的定义可得，再表示出和的周长的差就是、的差，然后计算即可．
本题主要考查了三角形的中线的定义，把三角形的周长的差转化为已知两边、的长度的差是解题的关键．
13.【答案】
解析：解：如图，过点作于点，
，平分，
，
，且，
，．
故答案为：．
过点作于点；首先运用角平分线的性质证明，再求出的长度，即可解决问题．
本题考查了角平分线的性质、三角形的面积公式等几何知识点及其应用问题；解题的关键是作辅助线．
14.【答案】
解析：解：如图，
，，，
．
故答案为：．
根据三角形外角性质得到，，根据四边形内角和即可得解．
此题考查了多边形的内角、三角形外角性质，熟记三角形外角性质及四边形的内角和是解题的关键．
15.【答案】解：设多边形的边数为，
根据题意，得
，
解得：．
则这个多边形的边数是．
解析：此题主要考查了多边形内角和定理和外角和定理，只要结合多边形的内角和公式寻求等量关系，构建方程即可求解．
多边形的内角和比外角和的倍多，而多边形的外角和是，则内角和是，边形的内角和可以表示成，设这个多边形的边数是，就得到方程，从而求出边数．
16.【答案】解：三角形的一边长为，另一边长为，
，
即；
由知，，
第三边的长为奇数，
第三边的长为，
三角形的周长为．
解析：根据三角形的三边关系得到有关第三边的取值范围即可；
根据得到的取值范围确定第三边的值，从而求出三角形的周长．
本题考查了三角形的三边关系，解题的关键是能够根据三角形的三边关系列出有关的取值范围．
17.【答案】解：在中，
，，
，
是的角平分线，
，
．
解析：先根据三角形内角和定理求出的度数，再根据角平分线的性质求出的度数，由三角形外角的性质即可得出结论．
本题考查的是三角形外角的性质，熟知三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．
18.【答案】证明：，
，
，
在和中，
，
≌，
．
解析：由，推导出，而，，即可根据全等三角形的判定定理“”证明≌，得．
此题重点考查等式的性质、全等三角形的判定与性质等知识，证明≌是解题的关键．
19.【答案】
解析：解：如图：
即为所求；
即为所求；
的面积为：，
故答案为：．
根据中线的意义及网格线的特征作图；
根据高线的意义及网格线的特征作图；
根据三角形的面积公式作图．
本题考查了作图的应用与设计，掌握网格线的特征是解题的关键．
20.【答案】证明：于点，于点，
，
在与中，
，
≌，
，
即是的平分线．
解析：根据垂直的定义和证明与全等，进而利用全等三角形的性质解答即可．
此题考查角平分线的性质，关键是根据证明与全等解答．
21.【答案】
解析：解：河流的宽度为，
故答案为：；
证明：如图，由作法知：，，，
，
在和中，
，
≌，
，
即他们的做法是正确的．
根据全等三角形的性质就得到结论；
根据全等三角形的判定和性质即可得到结论．
本题考查了全等三角形的应用，解题的关键是将实际问题转化为数学问题．
22.【答案】证明：在中，，，
．
．
．
，
．
在和中，
，
≌．
．
解析：利用三角形内角和定理得的度数，再根据全等三角形的判定与性质可得结论．
此题考查的是全等三角形的判定与性质，掌握其性质定理是解决此题的关键．
23.【答案】证明：在和中，
，
≌；
由知≌，
，
，
，
故CD的长为．
解析：根据全等三角形的判定定理证明≌即可；
根据全等三角形的性质即可得到结论．
此题主要考查了全等三角形的判定与性质；熟练掌握证明三角形全等是解决问题的关键．
24.【答案】证明：，
，即，
在和中，
，
≌；
解：，，
，
由知≌，
．
，
．
解析：根据证明两个三角形全等；
根据三角形全等的性质和三角形外角的性质可得结论．
本题考查了全等三角形的性质和判定，尤其是掌握直角三角形特殊的全等判定：，在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
25.【答案】
解析：解：平分，平分，
，，
，
，
，
，
，
故答案为：；
如图：
平分，平分，
，，
，
，
，
，
，
；
正确的结论是，理由如下：
如图：
同可得，
平分，平分，
，，
，
，
，
，
而，
，
的值为定值，正确，其值是．
由平分，平分，可得，而，即可得出答案；
由平分，平分，可得，根据，得，，故；
同可得，根据平分，平分，得，故，从而可得的值为定值，其值是．
本题考查三角形的内角和定理及三角形的外角的性质，解题的关键是掌握角平分线的定义．
26.【答案】解：，
理由如下：，，
，
在和中，
，
≌，
，，
；
，
证明如下：，
，
直线，
，
，
在和中，
≌，
，，
；
的结论成立，
理由如下：，，
，
在和中，
，
≌，
，，
．
解析：本题是三角形综合题，主要考查的是全等三角形的判定和性质、三角形的外角性质、直角三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
证明≌，根据全等三角形的性质得到，，结合图形得出结论；
仿照的方法证明；
仿照的方法证明．