适用于老高考旧教材2024版高考数学二轮复习考点突破练13圆锥曲线的方程与性质理（附解析）

这是一份适用于老高考旧教材2024版高考数学二轮复习考点突破练13圆锥曲线的方程与性质理（附解析），共7页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
1.(2023北京海淀一模)已知抛物线y2=4x的焦点为F,点P在该抛物线上,且点P的横坐标为4,则|PF|=( )
A.2B.3C.4D.5
2.(2023四川达州二模)设F1,F2是双曲线C:=1的左、右焦点,过点F2的直线与C的右支交于P,Q两点,则|F1P|+|F1Q|-|PQ|=( )
A.5B.6C.8D.12
3.(2023新高考Ⅰ,5)设椭圆C1:+y2=1(a>1),C2:+y2=1的离心率分别为e1,e2.若e2=e1,则a=( )
A.B.C.D.
4.(2022全国乙,理5)设F为抛物线C:y2=4x的焦点,点A在C上,点B(3,0),若|AF|=|BF|,则|AB|=( )
A.2B.2C.3D.3
5.(2023山东青岛一模)已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,直线y=x与C的左、右两支分别交于A,B两点,若四边形AF1BF2为矩形,则C的离心率为( )
A.B.3C.+1D.+1
6.(2023河南洛阳三模)已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,A为抛物线C上的点,线段AF的垂直平分线经过点B(0,),则|AF|=( )
A.2pB.pC.2pD.2p
7.已知点F1,F2分别为双曲线C:=1(a>0,b>0)的左、右焦点,M为C的左支上一点,|MF1|=|F1F2|=2c,若圆F1:(x+c)2+y2=c2与直线MF2相切,则C的离心率为( )
A.B.+1C.D.
8.在等腰梯形ABCD中,AB∥CD,且AB=2AD,AB>CD,若双曲线E以A,B为焦点,且过C,D两点,则双曲线E的离心率的取值范围为( )
A.B.
C.D.
9.(2023内蒙古赤峰二模)双曲线=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过点F1作倾斜角为45°的直线交双曲线右支于点P,若PF2垂直于x轴,则双曲线的离心率为( )
A.-1B.C.±1D.+1
10.设椭圆C:=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过原点的直线l与椭圆C相交于M,N两点(点M在第一象限).若|MN|=|F1F2|,,则椭圆C的离心率e的最大值为( )
A.B.-1C.D.-1
11.(2023四川广安二模)已知直线l:y=k(x+2)(k>0)与抛物线y2=4x交于点A,B,以线段AB为直径的圆经过定点D(2,0),则|AB|=( )
A.4B.6C.8D.10
12.已知F2,F1是双曲线=1(a>0,b>0)的上、下焦点,点F2关于渐近线的对称点恰好落在以F1为圆心,|OF1|为半径的圆上,则双曲线的离心率为( )
A.3B.
C.2D.
13.(2023广西南宁二模)已知椭圆C1与双曲线C2有共同的焦点F1(-,0),F2(,0),离心率分别为e1,e2,点P为椭圆C1与双曲线C2在第一象限的公共点,且∠F1PF2=,若e2=,则椭圆C1的方程为( )
A.=1B.=1
C.=1D.+y2=1
14.(2023湘豫名校联考二)已知椭圆C:=1(a>b>0)的上顶点为A,直线l:9x-10y-57=0与椭圆C相交于P,Q两点,线段PQ的中点为B,直线AB恰好经过椭圆C的右焦点F,且=3,则椭圆C的离心率为( )
A.B.
C.D.
二、填空题
15.(2022全国甲,文15)记双曲线C:=1(a>0,b>0)的离心率为e,写出满足条件“直线y=2x与C无公共点”的e的一个值 .
16.(2023全国乙,理13)已知点A(1,)在抛物线C:y2=2px上,则A到C的准线的距离为 .
17.已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的左焦点为F,点A在双曲线的渐近线上,△OAF是边长为2的等边三角形(O为原点),则双曲线C的方程为 .
18.(2023陕西安康二模)已知双曲线C:=1(a>0,b>0)上有不同的三点A,B,P,且A,B关于原点对称,直线PA,PB的斜率分别为kPA,kPB,且kPA·kPB∈(,1),则离心率e的取值范围是 .
19.(2023山东滨州一模)已知椭圆C:=1(a>b>0),C的上顶点为A,两个焦点为F1,F2,离心率为.过点F1且垂直于AF2的直线与C交于D,E两点,△ADE的周长是13,则|DE|= .
20.已知F1,F2分别为双曲线:=1(a>0,b>0)的左、右焦点,过点F2作圆x2+y2=a2的切线交双曲线左支于点M,且∠F1MF2=60°,则该双曲线的渐近线方程为 .
考点突破练13 圆锥曲线的方程与性质
1.D 解析 抛物线y2=4x的准线方程为x=-1,由抛物线的定义,得|PF|=4+1=5.故选D.
2.C 解析 由题意得a=2,∴|F1P|-|PF2|=2a=4,|F1Q|-|QF2|=2a=4,∴|F1P|+|F1Q|-|PQ|=|F1P|+|F1Q|-(|PF2|+|QF2|)=|F1P|-|PF2|+|F1Q|-|QF2|=8.故选C.
3.A 解析 由题意,在C1:+y2=1中,a>1,b=1,c=,∴e1=在C2:+y2=1中,a=2,b=1,c=,
∴e2=e2=e1,,解得a=故选A.
4.B 解析 设点A(xA,yA),由题意知点F(1,0),则|BF|=2.由抛物线的定义知|AF|=xA+1,又|AF|=|BF|,所以xA+1=2,即xA=1,所以=4.所以|AB|==2
5.C 解析 设点A(x1,y1),B(x2,y2),而F1(-c,0),F2(c,0),显然直线y=x与F1F2交于原点O,由双曲线对称性知,若四边形AF1BF2是矩形,则|AB|=|F1F2|,由消去y,整理得(b2-3a2)x2=a2b2,解得x1=-,x2=
则|AB|=|x1-x2|=,则=2c,化简得b4-6a2b2-3a4=0,即-6-3=0,又>0,解得=3+2
则e=+1.故选C.
6.D 解析 抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F(0,),设A(x1,y1),线段AF的垂直平分线经过点B(0,),所以|BF|=|BA|,即p-,所以4p2=+(y1-)2,因为=2py1,则4-12py1+9p2=0,(2y1-3p)2=0,解得y1=,根据抛物线定义可得|AF|=y1+=2p.故选D.
7.A 解析 作F1D⊥MF2,垂足为D,因为圆F1:(x+c)2+y2=c2与直线MF2相切,所以|DF1|=c.因为|F1F2|=2c,所以|DF2|=c,又|MF1|=|F1F2|,所以|MF2|=2c,由双曲线的定义得|MF2|-|MF1|=2a,即2c-2c=2a,所以e=,故选A.
8.B 解析 如图,
设|AB|=2c(c>0),∠BAD=θ,θ∈(0,),则|AD|=c,在△ABD中,由余弦定理知,|BD|2=|AB|2+|AD|2-2|AB|·|AD|cs∠BAD=5c2-4c2csθ,∴|BD|=,由双曲线的定义知|BD|-|AD|=2a,
∴2a=-c,
∴离心率e=,又,
∴csθ∈(0,1),
-1∈(0,-1),
∴e故选B.
9.D 解析设P(x0,y0),因为PF2垂直于x轴,∠PF1F2=45°,所以|F1F2|=|PF2|,x0=c,则=1,解得y0=,故|PF2|=,所以=2c,结合b2=c2-a2,可得c2-2ac-a2=0,所以e2-2e-1=0,解得e=1±,1-舍去,故离心率为+1.故选D.
10.D 解析 依题意作图:
由于|MN|=|F1F2|,并且线段MN,F1F2互相平分,
∴四边形MF1NF2是矩形,其中∠F1MF2=,|NF1|=|MF2|.
设|MF2|=x,则|MF1|=2a-x,根据勾股定理得|MF1|2+|MF2|2=|F1F2|2,
即x2+(2a-x)2=4c2,整理得x2-2ax+2b2=0,由于点M在第一象限,则x0,可得m2>2,则y1+y2=4m,y1y2=8.
=(x1-2,y1)=(my1-4,y1),=(x2-2,y2)=(my2-4,y2),由已知可得DA⊥DB,则=(my1-4)(my2-4)+y1y2=(m2+1)y1y2-4m(y1+y2)+16=8(m2+1)-16m2+16=24-8m2=0,可得m2=3,所以|AB|==8.故选C.
12.C 解析 由题意,F1(0,-c),F2(0,c),一条渐近线方程为y=x,则点F2到渐近线的距离为=b.
设点F2关于渐近线的对称点为点M,F2M与渐近线交于点A,
∴|MF2|=2b,A为F2M的中点.
又O是F1F2的中点,
∴OA∥F1M,
∴∠F1MF2为直角.
∴△MF1F2为直角三角形.
∴由勾股定理得4c2=c2+4b2.
∴3c2=4(c2-a2),
∴c2=4a2.
∴c=2a,
∴e=2.故选C.
13.A 解析 设椭圆C1:=1(a1>b1>0),双曲线C2:=1(a2>0,b2>0).
如图,因为椭圆C1与双曲线C2有共同的焦点,
∴c1=c2=,
∵e2=,
∴a2==1,b2=,
∴双曲线C2的方程为x2-=1.
由余弦定理|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|cs∠F1PF2,得12=|PF1|2+|PF2|2-|PF1|·|PF2|,又∵|PF1|-|PF2|=2a2=2,得|PF2|=2,|PF1|=4.
根据椭圆的定义知|PF1|+|PF2|=2a1=6,
∴a1=3,b1=,
∴椭圆C1的方程为=1.
故选A.
14.D 解析(方法一)设F(c,0),A(0,b),P(x1,y1),Q(x2,y2),B(x0,y0).
因为=3,所以=2,即(c,-b)=2(x0-c,y0).
所以x0=,y0=-,
即B(,-).
因为点B为线段PQ的中点,所以x1+x2=3c,y1+y2=-b.
又P,Q为椭圆上的点,
所以两式相减得+=0,
所以直线l的斜率kPQ==-=-,化简得3a2=10bc,又因为a2=b2+c2,所以3b2-10bc+3c2=0,即(b-3c)(3b-c)=0.
所以=3或,当=3时,离心率e=,当时,e=故选D.
(方法二)如图,连接OB,过点F作FE∥BO交y轴于点E,设直线PQ的斜率是kPQ,直线OB的斜率是kOB,则kPQ·kOB=-
由=3知点F为AB的三等分点,所以点E也为OA的三等分点,则E(0,).
设直线EF的斜率是kEF,所以kOB=kEF==-,kPQ=,则有-=-,化简得3a2=10bc,又因为a2=b2+c2,所以3b2-10bc+3c2=0,即(b-3c)(3b-c)=0.
所以=3或
当=3时,离心率e=,当时,e=故选D.
15.2(答案不唯一,只要1