2025年高考数学一轮复习-考点突破练12-圆锥曲线的方程与性质-专项训练【含解析】

这是一份2025年高考数学一轮复习-考点突破练12-圆锥曲线的方程与性质-专项训练【含解析】，共9页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
1.若抛物线y2=2px(p>0)上一点P(2,y0)到其焦点的距离为4,则抛物线的标准方程为( )
A.y2=2xB.y2=4x
C.y2=6xD.y2=8x
2.已知双曲线C:y2a2-x2b2=1(a>0,b>0)的焦距为45,实轴长为4,则C的渐近线方程为( )
A.y=±2xB.y=±5x
C.y=±12xD.y=±55x
3.已知F1,F2分别是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点,A是椭圆上一点,O为坐标原点,若|OA|=|OF1|,直线F2A的斜率为-3,则椭圆C的离心率为( )
A.58B.54C.13D.104
4.为了更好地研究双曲线,某校高二年级的一位数学老师制作了一个如图所示的双曲线模型.已知该模型左、右两侧的两段曲线(曲线AB与曲线CD)为某双曲线(离心率为2)的一部分,曲线AB与曲线CD中间最窄处间的距离为30 cm,点A与点C,点B与点D均关于该双曲线的对称中心对称,且|AB|=36 cm,则|AD|=( )
A.1210 cmB.638 cm
C.38 cmD.637 cm
5.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为13,A1,A2分别为C的左、右顶点,B为C的上顶点.若BA1·BA2=-1,则C的方程为( )
A.x218+y216=1B.x29+y28=1
C.x23+y22=1D.x22+y2=1
6.已知双曲线C的离心率为3,F1,F2是C的两个焦点,P为C上一点,|PF1|=3|PF2|,若△PF1F2的面积为2,则双曲线C的实轴长为( )
A.1B.2
C.3D.4
7.已知抛物线E:y2=8x的焦点为F,P是抛物线E上的动点,点Q与点F关于坐标原点对称,当|PF||PQ|取得最小值时,△PQF的外接圆半径为( )
A.1B.2
C.22D.42
8.已知椭圆C1和双曲线C2有相同的左、右焦点F1,F2,若C1,C2在第一象限内的交点为P,且满足∠POF2=2∠PF1F2,设e1,e2分别是C1,C2的离心率,则e1,e2的关系是( )
A.e1e2=2
B.e12+e22=2
C.e12+e1e2+e22=2
D.e12+e22=2e12e22
二、多项选择题
9.已知双曲线C:x212-y24=1,下列对双曲线C判断正确的是( )
A.实轴长是虚轴长的2倍
B.焦距为8
C.离心率为3
D.渐近线方程为x±3y=0
10.已知O为坐标原点,过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F的直线与C交于A,B两点,点A在第一象限,点M(p,0),若|AF|=|AM|,则( )
A.直线AB的斜率为26
B.|OB|=|OF|
C.|AB|>4|OF|
D.∠OAM+∠OBMn>0)的上焦点为F1,双曲线C2:x2n2-y2m2=1的左、右焦点分别为F2,F3,直线F1F2与C2的右支相交于点A,若AF3⊥F2F3,则( )
A.C1的离心率为22
B.C2的离心率为2
C.C2的渐近线方程为y=±2x
D.△AF1F3为等边三角形
三、填空题
13.已知双曲线C:x2m-y2=1(m>0)的一条渐近线为3x+my=0,则C的焦距为 .
14.已知椭圆C的中心为坐标原点,焦点在y轴上,F1,F2为C的两个焦点,C的短轴长为4,且C上存在一点P,使得|PF1|=6|PF2|,写出椭圆C的一个标准方程: .
15.已知抛物线C1:y2=8x,圆C2:x2+y2-4x+3=0,点M(1,1),若A,B分别是C1,C2上的动点,则|AM|+|AB|的最小值为 .
16.已知椭圆C1和双曲线C2有公共的焦点F1,F2,曲线C1和C2在第一象限内相交于点P,且∠F1PF2=60°.若椭圆C1的离心率的取值范围是33,22,则双曲线C2的离心率的取值范围是 .
考点突破练12 圆锥曲线的方程与性质
1.D 解析 ∵抛物线y2=2px上一点P(2,y0)到其焦点的距离等于到其准线的距离,∴p2+2=4,解得p=4,∴抛物线的标准方程为y2=8x.
2.C 解析 由已知得,双曲线的焦点在y轴上,
双曲线的焦距2c=45,解得c=25,双曲线的实轴长为2a=4,解得a=2,则b=c2-a2=20-4=4,故双曲线C的渐近线方程为y=±abx=±12x.
3. D 解析 如图,由|OA|=|OF1|,得|OA|=|OF1|=|OF2|=c,故∠F1AF2=90°.
因为直线F2A的斜率为-3,所以tan∠F1F2A=3,所以|AF1|=3|AF2|.
又|AF1|+|AF2|=2a,所以|AF1|=3a2,|AF2|=a2.
又|AF1|2+|AF2|2=|F1F2|2,即94a2+14a2=4c2,得c2a2=58,所以ca=104.
4. D 解析 以双曲线的对称中心为坐标原点,建立平面直角坐标系xOy,
因为双曲线的离心率为2,所以可设双曲线的标准方程为x2a2-y23a2=1(a>0),依题意可得2a=30,则a=15,即双曲线的标准方程为x2152-y23×152=1.
因为|AB|=36 cm,所以点A的纵坐标为18.
由x2152-1823×152=1,得|x|=337,故|AD|=637 cm.
5.B 解析 由题意知,A1(-a,0),A2(a,0),B(0,b),则BA1·BA2=(-a,-b)·(a,-b)=-a2+b2=-1,①
由e=13,得e2=19=a2-b2a2=1-b2a2,即b2=89a2.②
联立①②,解得a2=9,b2=8.
故选B.
6.B 解析 根据双曲线的定义,可得|PF1|-|PF2|=2a,
又|PF1|=3|PF2|,解得|PF1|=3a,|PF2|=a.
因为双曲线C的离心率为3,所以c=3a.
在△PF1F2中,由余弦定理,可得cs∠F1PF2=|PF1|2+|PF2|2-|F1F2|22|PF1||PF2|=-13,则sin∠F1PF2=223.
由△PF1F2的面积为2,可得12|PF1||PF2|sin∠F1PF2=2a2=2,解得a=1.
故双曲线C的实轴长为2.
7. C 解析 过点P作准线的垂线,垂足为M,由抛物线的定义知|PF|=|PM|,
所以|PF||PQ|=|PM||PQ|=cs∠QPM=cs∠PQF,要使|PF||PQ|取得最小值,则cs∠PQF取得最小值,
即tan∠PQF取得最大值02p=4|OF|,故选项C正确;
选项D,由选项A,B知,A34p,62p,Bp3,-63p,
所以OA·OB=34p,62p·p3,-63p=p24-p2=-34p2