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2023-2024学年江苏省常州市新北区河海实验中学八年级（上）月考数学试卷（10月份）（含解析）
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这是一份2023-2024学年江苏省常州市新北区河海实验中学八年级（上）月考数学试卷（10月份）（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列图片中，是轴对称图形的是( )
A. B.
C. D.
2.若△ABC≌△DEF，且∠A=60°，∠E=70°，则∠C的度数为( )
A. 50°B. 60°C. 70°D. 50°或80°
3.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，E是AB上的一点，且BE=BC，过E作DE⊥AB交AC于D，如果AC=5cm，则AD+DE等于( )
A. 4cmB. 5cmC. 8cmD. 10cm
4.在元旦联欢会上，3名小朋友分别站在△ABC三个顶点的位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先做到凳子上谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放置的最适当的位置是在△ABC的( )
A. 三边中线的交点B. 三条角平分线的交点
C. 三边垂直平分线的交点D. 三边上高的交点
5.如图，已知∠CAE=∠BAD，AC=AD，增加下列条件：①AB=AE；②BC=ED；③∠C=∠D；④∠B=∠E.其中能使△ABC≌△AED的条件有( )
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
6.如(1)图，由已知AB⊥BD，ED⊥BD，AB=CD，BC=DE可证得AC⊥CE，若将CD沿CB方向平移到图(2)(3)(4)(5)的情形，其余条件不变，则这四种情况下，结论AC1⊥C2E仍然成立的有( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
7.如果Rt△ABC的三边长分别为3、4、5，那么这个三角形两个角的平分线的交点到其中一边的距离是( )
A. 1B. 2C. 2.5D. 3
8.如图，△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8，BC=6，线段DE的两个端点D、E分别在边AC，BC上滑动，且DE=6，若点M、N分别是DE、AB的中点，则MN的最小值为( )
A. 2
B. 3
C. 3.5
D. 4
二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分。
9.一个三角形的三边为2、3、x，另一个三角形的三边为y、4、2，若这两个三角形全等，则x−y= ______．
10.一个汽车牌在水中的倒影为
，则该车牌照号码______．
11.如图，已知∠AOB，以点O为圆心，任意长度为半径画弧①，分别交OA，OB于点E，F，再以点E为圆心，EF的长为半径画弧，交弧①于点D，画射线OD.若∠AOB=26°，则∠AOD的度数为______．
12.如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，则∠BDA=______．
13.如图，将一张长方形纸片沿EF折叠后，点A，B分别落在点A′，B′的位置，点A′在BC上.若∠AFE=65°，则∠EA′F的度数是______．
14.如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AD=2，BD平分∠ABC，且BD⊥CD，点P为BC边中点，DP=3，则△BCD的面积为______．
15.若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，则这个等腰三角形的底角度数是______．
16.如图，△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点F，过点F作DE//BC交AB于点D，交AC于点E，那么下列结论：①BF=CF；②△ADE的周长等于AB与AC的和；③DE=BD+CE；④△BDF和△CEF都是等腰三角形.其中正确的有______.(填入序号)
17.如图，在等边三角形ABC中，BC边上的中线AD=5，E是AD上的一个动点，F是边AB上的一个动点，在点E，F运动的过程中，EB+EF的最小值是______．
18.如图，△ABC为等边三角形，点D是BC边上异于B，C的任意一点，DE⊥AB于点E.DF⊥AC于点F.若BC边上的高线AM=6，则DE+DF= ______．
三、解答题：本题共8小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题6分)
如图，每一个小方格的边长都是1，五边形的每一个顶点都在格点上．
(1)利用网格，作出∠BCD的角平分线；
(2)连接AD，利用网格作AD的垂直平分线，与∠BCD的角平分线交于点O．
20.(本小题6分)
如图，点B、F、C、E在同一条直线上，DF//AC，ED//AB，AB=DE.求证：
(1)△ABC≌△DEF；
(2)EC=BF．
21.(本小题6分)
如图，已知△ABC为等腰三角形，BD、CE为底角的平分线，且∠DBC=∠F，
求证：EC//DF．
22.(本小题8分)
如图，在△ABC和△AED中，AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠EAD，且点E，A，B在同一直线上，点C，D在EB同侧，连接BD，CE交于点M．
(1)求证：△ABD≌△ACE；
(2)若∠CAD=120°，求∠DME的度数．
23.(本小题6分)
数学课上，探讨角平分线的作法时，李老师用直尺和圆规作角平分线(如图1)，方法如下：
作法：
①在OA和OB上分别截取OD、OE，使OD=OE．
②分别以DE为圆心，以大于12DE的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点C
③作射线OC，则OC就是∠AOB的平分线
小聪只带了直角三角板，他发现利用三角板也可以做角平分线(如图2)，方法如下：
步骤：
①用三角板上的刻度，在OA和OB上分别截取OM、ON，使OM=ON．
②分别过M、N作OM、ON的垂线，交于点P．
③作射线OP，则OP为∠AOB的平分线．
根据以上情境，解决下列问题：
①李老师用尺规作角平分线时，用到的三角形全等的判定方法是______．
②小聪的作法正确吗？请说明理由．
24.(本小题6分)
如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，AE是∠BAC的角平分线，AE与CD交于点F，求证：△CEF是等腰三角形．
25.(本小题8分)
如图，在△ABC中，∠B=∠C，AB=16，BC=12，点D为AB的中点，点P在线段BC上以每秒3个单位的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段CA上以每秒a个单位的速度由点C向点A运动，设运动时间为t(秒)(0≤t≤4)．
(1)若点P、Q的运动速度相等，t=43时，∠DPQ与∠B是否相等？请说明理由；
(2)若点P、Q的运动速度不相等，△BPD与△CQP全等时，求a与t的值．
26.(本小题10分)
如图1，在△ABC中，BO⊥AC于点O，AO=BO=5，OC=2，过点A作AH⊥BC于点H，交BO于点P．
(1)求线段OP的长度；
(2)连接OH，求证：∠OHP=45°；
(3)如图2，若点D为AB的中点，点M为线段BO延长线上一动点，连接MD，过点D作DN⊥DM交线段OA延长线于N点，则S△BDM−S△ADN的值是否发生改变？如改变，求出该值的变化范围；若不改变，求该式子的值．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
B、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
C、是轴对称图形，故本选项符合题意；
D、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
故选：C．
根据轴对称的定义，结合所给图形进行判断即可．
本题考查了轴对称图形，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．
2.【答案】A
【解析】解：∵△ABC≌△DEF，∠A=60°，∠E=70°，
∴∠B=∠E=70°，
∴∠C=180°−60°−70°=50°．
故选：A．
根据全等三角形的性质可得∠B=∠E=70°，再根据三角形的内角和定理即可求解．
本题考查全等三角形的性质、三角形内角和定理，能熟记全等三角形的对应角相等是解题的关键．
3.【答案】B
【解析】解：∵DE⊥AB，
∴∠DEB=90°=∠C，
在Rt△BED和Rt△BCD中，
BD=BDBE=BC，
∴Rt△BED≌Rt△BCD(HL)，
∴DE=DC，
∴AD+DE=AD+CD=AC=5cm，
故选：B．
根据HL证Rt△BED≌Rt△BCD，推出DE=DC，得出AD+DE=AD+DC=AC，代入求出即可．
本题考查了直角三角形全等的性质和判定，注意：全等三角形的对应边相等，判断直角三角形全等的方法有SAS，ASA，AAS，SSS，HL．
4.【答案】C
【解析】【分析】
此题主要考查线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
根据线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等解得即可．
【解答】解：∵△ABC的垂直平分线的交点到△ABC三个顶点的距离相等，
∴凳子应放置的最适当的位置是在△ABC的三边垂直平分线的交点，
故选C．
5.【答案】C
【解析】解：①由∠CAE=∠BAD，得∠CAB=∠DAE.增加AB=AE，那么AB=AE，∠CAB=∠DAE，AC=AD，推断出△ABC≌△AED，故①符合题意．
②由∠CAE=∠BAD，得∠CAB=∠DAE.添加BC=ED，△ABC与△AED不一定全等，故②不符合题意．
③由∠CAE=∠BAD，得∠CAB=∠DAE.增加∠C=∠D，那么∠C=∠D，∠CAB=∠DAE，AC=AD，推断出△ABC≌△AED，故③符合题意．
④由∠CAE=∠BAD，得∠CAB=∠DAE.增加∠B=∠E，那么∠B=∠E，∠CAB=∠DAE，AC=AD，推断出△ABC≌△AED，故④符合题意．
综上：符合题意的有①③④，共3个．
故选：C．
根据全等三角形的判定解决此题．
本题主要考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解决本题的关键．
6.【答案】D
【解析】解：由题意可得，△ABC≌△CDE，∠ECD+∠ACB=90°，
而(2)，(3)，(4)，(5)均满足∠EC2D+∠AC1B=90°
∴(2)，(3)，(4)，(5)均成立
故选：D．
由题中条件可得出Rt△ABC≌Rt△CDE，所以∠ECD+∠ACB=90°，而在后面的几种情况中，只要满足两个角之和为90°即可．
熟练掌握直角三角形的判定．
7.【答案】A
【解析】解：由角平分线的性质得，两个角的平分线的交点到三边的距离相等，设为h，则
S△ABC=12(3+4+5)h=12×3×4，
解得h=1．
即这个三角形两个角的平分线的交点到其中一边的距离是1．
故选：A．
根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得两个角的平分线的交点到三边的距离相等，设为h，然后根据三角形的面积列出方程求解即可．
本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质并利用三角形的面积列出方程是解题的关键．
8.【答案】B
【解析】解：如图，连接CM，CN，
△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8，BC=6，
∵DE=4，点M、N分别是DE、AB的中点，
∴CN=12AB=5，CM=12DE=2，
当C、M、N在同一直线上时，MN取最小值，
∴MN的最小值为：5−2=3．
故选：B．
根据三角形斜边中线的性质求得CN=12AB=5，CM=12=2，由当C、M、N在同一直线上时，MN取最小值，即可求得MN的最小值为3．
本题考查了直角三角形斜边中线的性质，明确C、M、N在同一直线上时，MN取最小值是解题的关键．
9.【答案】1
【解析】解：∵两个三角形全等，
∴x=4，y=3，
∴x−y=1．
故答案为：1．
由全等三角形的对应边相等，得到x=4，y=3，即可求出x−y=1．
本题考查全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形的对应边相等．
10.【答案】M17936
【解析】解：
----------------------------
M 1 7 9 3 6
∴该车的牌照号码是M17936．
故答案为：M17936．
易得所求的牌照与看到的牌照关于水平的一条直线成轴对称，作出相应图形即可求解．
此题主要考查了镜面对称，解决本题的关键是找到相应的对称轴；难点是作出相应的对称图形．
11.【答案】26°
【解析】解：根据作图过程可知：∠AOD=∠AOB=26°，
故答案为：26°．
根据作一个角等于已知角的过程即可解决问题．
本题考查了作图−基本作图，解决本题的关键是掌握基本作图方法．
12.【答案】90°
【解析】解：∵在△ABC中，AB=AC，
∴△ABC为等腰三角形，
∵AD是BC边上的中线，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB=90°．
故答案为：90°．
根据等腰三角形“三线合一定理”可推理得出答案．
本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
13.【答案】50°
【解析】解：∵四边形ABCD是长方形，
∴AD//BC，
∴∠EA′F=∠DFA′，
由折叠的性质得，∠A′FE=∠AFE=65°，
∴∠DFA′=180°−∠AFE−∠A′FE=180°−65°−65°=50°，
∴∠EA′F=50°，
故答案为：50°．
由四边形ABCD是长方形得出AD//BC，再根据两直线平行，内错角相等得出∠EA′F=∠DFA′，由折叠的性质得出∠A′FE=∠AFE=65°，再由平角的定义求出∠DFA′的度数，于是问题得解．
本题考查了平行线的性质及折叠的性质，解题的关键是根据折叠的性质得出∠A′FE=∠AFE，解此类问题应充分运用数形结合思想从图形中寻找等量关系．
14.【答案】6
【解析】解：如图，过D作DE⊥BC于E，
∵∠A=90°，
∴DA⊥BA，
∵BD平分∠ABC，
∴DE=DA=2，
∵BD⊥CD，
∴∠BDC=90°，
∵点P为BC边中点，DP=3，
∴BC=2DP=6，
∴S△BCD=12BC⋅DE=12×6×2=6，
故答案为：6．
过D作DE⊥BC于E，由角平分线的性质得DE=DA=3，再由直角三角形斜边上的中线性质得BC=2DP=8，然后由三角形面积公式即可得出结论．
本题考查了角平分线的性质、直角三角形斜边上的中线性质以及三角形面积公式，熟练掌握角平分线的性质和直角三角形斜边上的中线性质是解题的关键．
15.【答案】65°或25°
【解析】解：在等腰△ABC中，AB=AC，BD为腰AC上的高，∠ABD=40°，
当BD在△ABC内部时，如图1，
∵BD为高，
∴∠ADB=90°，
∴∠BAD=90°−40°=50°，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=12(180°−50°)=65°；
当BD在△ABC外部时，如图2，
∵BD为高，
∴∠ADB=90°，
∴∠BAD=90°−40°=50°，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
而∠BAD=∠ABC+∠ACB，
∴∠ACB=12∠BAD=25°，
综上所述，这个等腰三角形底角的度数为65°或25°．
故答案为：65°或25°．
在等腰△ABC中，AB=AC，BD为腰AC上的高，∠ABD=40°，讨论：当BD在△ABC内部时，如图1，先计算出∠BAD=50°，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和可计算出∠ACB；当BD在△ABC外部时，如图2，先计算出∠BAD=50°，再根据等腰三角形的性质和三角形外角性质可计算出∠ACB．
本题考查了等腰三角形的性质：等腰三角形的两腰相等；等腰三角形的两个底角相等．
16.【答案】②③④
【解析】解：∵DE//BC，
∴∠DFB=∠FBC，∠EFC=∠FCB，
∵△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点F，
∴∠DBF=∠FBC，∠ECF=∠FCB，
∴∠DBF=∠DFB，∠ECF=∠EFC，
∴DB=DF，EF=EC，
即△BDF和△CEF都是等腰三角形；
故④正确，符合题意；
∴DE=DF+EF=BD+CE，
故③正确，符合题意；
∴△ADE的周长为：AD+DE+AE=AB+BD+CE+AE=AB+AC；
故②正确，符合题意；
∵∠ABC不一定等于∠ACB，
∴∠FBC不一定等于∠FCB，
∴BF与CF不一定相等，
故①错误，不符合题意．
故答案为：②③④．
由平行线得到角相等，由角平分线得角相等，根据平行线的性质及等腰三角形的判定和性质．
本题考查了等腰三角形的性质及角平分线的性质及平行线的性质；题目利用了两直线平行，内错角相等，及等角对等边来判定等腰三角形的；等量代换的利用是解答本题的关键．
17.【答案】5
【解析】解：∵△ABC是等边三角形，D是BC边中点，
∴AD⊥BC，
∴B与C关于AD对称，
过C作CF⊥AB交AD于点E，交AB于点F，
则BE+EF=CE+EF=CF，则EB+EF的最小值为CF的长，
∵AD=5，
∴CF=5，
故答案为5．
根据等边三角形的性质，可知B与C关于AD对称，过C作CF⊥AB交AD于点E，交AB于点F，则EB+EF的最小值为CF的长，求出CF的长即可求解．
本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握利用轴对称求最短距离的方法，此题确定EB+EF的最小值为CF的长是解题的关键．
18.【答案】6
【解析】解：∵BC边上的高线AM=6，
∴AB=BC=AC=4 3，
设BD=x，则CD=4 3−x，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠C=60°．
∴ED=sin60°⋅BD，即ED= 32x，
同理可证：DF= 32(4 3−x)=6− 32x，
∴DE+DF= 32x+6− 32x=6；
故答案为：6．
先设BD=x，则CD=6−x，根据△ABC是等边三角形，得出∠B=∠C=60°，再利用三角函数求出ED和DF的长，即可得出DE+DF的值．
此题主要考查了等边三角形的性质，用到的知识点是三角函数，难度不大，有利于培养同学们钻研和探索问题的精神．
19.【答案】解：(1)如图，CF即为∠BCD的角平分线．
(2)如图，直线EO即为AD的垂直平分线．
【解析】(1)由图可知，∠BCD=90°，利用网格，取格点F，作射线CF即可．
(2)连接AD，由图可知，△ADE为等腰三角形，取AD的中点G，作直线EG，交CF于点O，则直线EO即为AD的垂直平分线．
本题考查作图−应用与设计作图、角平分线的性质、线段垂直平分线的性质，熟练掌握相关知识点是解答本题的关键．
20.【答案】(1)证明：∵DF//AC，
∴∠DFE=∠ACB，
∵ED//AB，
∴∠E=∠B，
在△DFE和△ACB中，
∠DFE=∠ACB∠E=∠BDE=AB，
∴△DFE≌△ACB(AAS)；
(2)解：由(1)可得，△DFE≌△ACB，
∴BC=EF，
∴BC−CF=EF−CF，
∴BF=EC．
【解析】(1)由DF//AC，ED//AB，可得∠DFE=∠ACB，∠E=∠B，即可得出结论；
(2)由(1)可得△DFE≌△ACB，根据全等三角形的性质可得BC=EF，再利用等量代换即可得出结论．
本题考查平行线的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
21.【答案】证明：∵△ABC为等腰三角形，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵BD、CE为底角的平分线，
∴∠DBC=12∠ABC，∠ECB=12∠ACB，
∴∠DBC=∠ECB，
∵∠DBC=∠F，
∴∠ECB=∠F，
∴EC//DF．
【解析】先由等腰三角形的性质得出∠ABC=∠ACB，根据角平分线定义得到∠DBC=12∠ABC，∠ECB=12∠ACB，那么∠DBC=∠ECB，再由∠DBC=∠F，等量代换得到∠ECB=∠F，于是根据平行线的判定得出EC//DF．
本题考查了等腰三角形的性质，角平分线定义，平行线的判定，难度适中．得出∠DBC=∠ECB是解题的关键．
22.【答案】(1)证明：∵∠BAC=∠EAD，
∴∠BAC+∠DAC=∠EAD+∠DAC，即∠DAB=∠EAC，
在△EAC和△DAB中，
AE=AD∠EAC=∠DABAC=AB，
∴△ABD≌△ACE(SAS)；
(2)解：∵∠BAC=∠EAD，∠CAD=120°，
∴∠BAC=∠EAD=180°−∠CAD2=180°−120°2=30°，
∵∠BAC是△EAC的外角，
∴∠BAC=∠AEC+∠ACE=30°，
∵△ABD≌△ACE，
∴∠ECA=∠DBA，
∵∠DME是△BME的外角，
∴∠DME=∠AEC+∠ABD=∠AEC+∠ACE=30°．
【解析】(1)由∠BAC=∠EAD，得出∠DAB=∠EAC，再利用“SAS”即可证明△ABD≌△ACE；
(2)由∠BAC=∠EAD，∠CAD=100°，得出∠BAC=30°，由外角的性质得出∠BAC=∠AEC+∠ACE=40°，由全等三角形的性质得出∠ECA=∠DBA，由外角的性质得出∠DME=∠AEC+∠ABD=∠AEC+∠ACE=30°．
本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定与性质，平角的定义，三角形外角的性质是解决问题的关键．
23.【答案】SSS
【解析】解：①李老师用尺规作角平分线时，用到的三角形全等的判定方法SSS．
故答案为SSS；
②小聪的作法正确．
理由：∵PM⊥OM，PN⊥ON，
∴∠OMP=∠ONP=90°，
在Rt△OMP和Rt△ONP中，
OP=OPOM=ON，
∴Rt△OMP≌Rt△ONP(HL)，
∴∠MOP=∠NOP，
∴OP平分∠AOB．
①根据全等三角形的判定即可求解；
②根据HL可证Rt△OMP≌Rt△ONP，再根据全等三角形的性质即可作出判断．
本题考查了用刻度尺作角平分线的方法，全等三角形的判定与性质，难度不大．
24.【答案】证明：∵在△ABC中，∠ACB=90°，
∴∠B+∠BAC=90°，
∵CD是AB边上的高，
∴∠ACD+∠BAC=90°，
∴∠B=∠ACD，
∵AE是∠BAC的角平分线，
∴∠BAE=∠EAC，
∴∠B+∠BAE=∠ACD+∠EAC，
即∠CEF=∠CFE，
∴CE=CF，
∴△CEF是等腰三角形．
【解析】根据直角三角形两锐角互余求得∠B=∠ACD，然后根据三角形外角的性质求得∠CEF=∠CFE，根据等角对等边求得CE=CF，从而求得△CEF是等腰三角形．
本题考查了直角三角形的性质，三角形外角的性质，等腰三角形的判定等，熟练掌握性质定理是解题的关键．
25.【答案】解：(1)∠DPQ=∠B，理由如下：
∵t=43时，PB=4，CQ=4，
∴PC=BC−PB=12−4=8，
∵BD=AD=8，
∴PC=BD，
∵∠C=∠B，CQ=BP，
∴△QCP≌△PBD(SAS)，
∴∠QPC=∠PDB，
∵∠DPQ=180°−∠QPC−∠BPD，∠B=180°−∠PDB−∠BPD，
∴∠DPQ=∠B；
(2)∵点P、Q的运动速度不相等，
∴BP≠CQ，
又∵△BPD与△CPQ全等，∠B=∠C，
∴BP=PC，BD=CQ，
∴3t=12−3t，at=8，
解得：t=2，a=4．
【解析】(1)根据题意即可判定△QCP≌△PBD(SAS)，根据全等三角形的性质、平角的定义、三角形内角和定理即可得解；
(2)根据全等三角形对应边相等，列方程即可得到结论．
本题考查了全等三角形的性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
26.【答案】(1)解：∵BO⊥AC，AH⊥BC，
∴∠AOP=∠BOC=∠AHC=90°，
∴∠OAP+∠C=∠OBC+∠C=90°，
∴∠OAP=∠OBC，
在△OAP和△OBC中，
∠AOP=∠BOCAO=BO∠OAP=∠OBC，
∴△OAP≌△OBC(ASA)，
∴OP=OC=2；
(2)证明：过O分别作OM⊥CB于M点，作ON⊥HA于N点，如图1所示：
在四边形OMHN中，∠MON=360°−3×90°=90°，
∴∠COM=∠PON=90°−∠MOP．
在△COM与△PON中，
∠COM=∠PON∠OMC=∠ONP=90°OC=OP，
∴△COM≌△PON(AAS)，
∴OM=ON．
∵OM⊥CB，ON⊥HA，
∴HO平分∠CHA，
∴∠OHP=12∠AHC=45°；
(3)解：S△BDM−S△ADN的值不发生改变，等于254.理由如下：
连接OD，如图2所示：
∵∠AOB=90°，OA=OB，D为AB的中点，
∴OD⊥AB，∠BOD=∠AOD=45°，OD=DA=BD
∴∠OAD=45°，∠MOD=90°+45°=135°，
∴∠DAN=135°=∠DOM．
∵MD⊥ND，
即∠MDN=90°，
∴∠MDO=∠NDA=90°−∠MDA．
在△ODM和△ADN中，
∠MDO=∠NDAOD=AD∠DOM=∠DAN，
∴△ODM≌△ADN(ASA)，
∴S△ODM=S△ADN，
∴S△BDM−S△ADN=S△BDM−S△ODM=S△BOD=12S△AOB=12×12AO⋅BO=12×12×5×5=254．
【解析】(1)证△OAP≌△OBC(ASA)，即可得出OP=OC=2；
(2)过O分别作OM⊥CB于M点，作ON⊥HA于N点，证△COM≌△PON(AAS)，得出OM=ON.得出HO平分∠CHA，即可得出结论；
(3)连接OD，由等腰直角三角形的性质得出OD⊥AB，∠BOD=∠AOD=45°，OD=DA=BD，则∠OAD=45°，证出∠DAN=∠MOD.证△ODM≌△ADN(ASA)，得S△ODM=S△ADN，进而得出答案．
本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、直角三角形的性质以及三角形面积等知识；本题综合性强，证明三角形全等是解题的关键．
1.下列图片中，是轴对称图形的是( )
A. B.
C. D.
2.若△ABC≌△DEF，且∠A=60°，∠E=70°，则∠C的度数为( )
A. 50°B. 60°C. 70°D. 50°或80°
3.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，E是AB上的一点，且BE=BC，过E作DE⊥AB交AC于D，如果AC=5cm，则AD+DE等于( )
A. 4cmB. 5cmC. 8cmD. 10cm
4.在元旦联欢会上，3名小朋友分别站在△ABC三个顶点的位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先做到凳子上谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放置的最适当的位置是在△ABC的( )
A. 三边中线的交点B. 三条角平分线的交点
C. 三边垂直平分线的交点D. 三边上高的交点
5.如图，已知∠CAE=∠BAD，AC=AD，增加下列条件：①AB=AE；②BC=ED；③∠C=∠D；④∠B=∠E.其中能使△ABC≌△AED的条件有( )
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
6.如(1)图，由已知AB⊥BD，ED⊥BD，AB=CD，BC=DE可证得AC⊥CE，若将CD沿CB方向平移到图(2)(3)(4)(5)的情形，其余条件不变，则这四种情况下，结论AC1⊥C2E仍然成立的有( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
7.如果Rt△ABC的三边长分别为3、4、5，那么这个三角形两个角的平分线的交点到其中一边的距离是( )
A. 1B. 2C. 2.5D. 3
8.如图，△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8，BC=6，线段DE的两个端点D、E分别在边AC，BC上滑动，且DE=6，若点M、N分别是DE、AB的中点，则MN的最小值为( )
A. 2
B. 3
C. 3.5
D. 4
二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分。
9.一个三角形的三边为2、3、x，另一个三角形的三边为y、4、2，若这两个三角形全等，则x−y= ______．
10.一个汽车牌在水中的倒影为
，则该车牌照号码______．
11.如图，已知∠AOB，以点O为圆心，任意长度为半径画弧①，分别交OA，OB于点E，F，再以点E为圆心，EF的长为半径画弧，交弧①于点D，画射线OD.若∠AOB=26°，则∠AOD的度数为______．
12.如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，则∠BDA=______．
13.如图，将一张长方形纸片沿EF折叠后，点A，B分别落在点A′，B′的位置，点A′在BC上.若∠AFE=65°，则∠EA′F的度数是______．
14.如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AD=2，BD平分∠ABC，且BD⊥CD，点P为BC边中点，DP=3，则△BCD的面积为______．
15.若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，则这个等腰三角形的底角度数是______．
16.如图，△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点F，过点F作DE//BC交AB于点D，交AC于点E，那么下列结论：①BF=CF；②△ADE的周长等于AB与AC的和；③DE=BD+CE；④△BDF和△CEF都是等腰三角形.其中正确的有______.(填入序号)
17.如图，在等边三角形ABC中，BC边上的中线AD=5，E是AD上的一个动点，F是边AB上的一个动点，在点E，F运动的过程中，EB+EF的最小值是______．
18.如图，△ABC为等边三角形，点D是BC边上异于B，C的任意一点，DE⊥AB于点E.DF⊥AC于点F.若BC边上的高线AM=6，则DE+DF= ______．
三、解答题：本题共8小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题6分)
如图，每一个小方格的边长都是1，五边形的每一个顶点都在格点上．
(1)利用网格，作出∠BCD的角平分线；
(2)连接AD，利用网格作AD的垂直平分线，与∠BCD的角平分线交于点O．
20.(本小题6分)
如图，点B、F、C、E在同一条直线上，DF//AC，ED//AB，AB=DE.求证：
(1)△ABC≌△DEF；
(2)EC=BF．
21.(本小题6分)
如图，已知△ABC为等腰三角形，BD、CE为底角的平分线，且∠DBC=∠F，
求证：EC//DF．
22.(本小题8分)
如图，在△ABC和△AED中，AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠EAD，且点E，A，B在同一直线上，点C，D在EB同侧，连接BD，CE交于点M．
(1)求证：△ABD≌△ACE；
(2)若∠CAD=120°，求∠DME的度数．
23.(本小题6分)
数学课上，探讨角平分线的作法时，李老师用直尺和圆规作角平分线(如图1)，方法如下：
作法：
①在OA和OB上分别截取OD、OE，使OD=OE．
②分别以DE为圆心，以大于12DE的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点C
③作射线OC，则OC就是∠AOB的平分线
小聪只带了直角三角板，他发现利用三角板也可以做角平分线(如图2)，方法如下：
步骤：
①用三角板上的刻度，在OA和OB上分别截取OM、ON，使OM=ON．
②分别过M、N作OM、ON的垂线，交于点P．
③作射线OP，则OP为∠AOB的平分线．
根据以上情境，解决下列问题：
①李老师用尺规作角平分线时，用到的三角形全等的判定方法是______．
②小聪的作法正确吗？请说明理由．
24.(本小题6分)
如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，AE是∠BAC的角平分线，AE与CD交于点F，求证：△CEF是等腰三角形．
25.(本小题8分)
如图，在△ABC中，∠B=∠C，AB=16，BC=12，点D为AB的中点，点P在线段BC上以每秒3个单位的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段CA上以每秒a个单位的速度由点C向点A运动，设运动时间为t(秒)(0≤t≤4)．
(1)若点P、Q的运动速度相等，t=43时，∠DPQ与∠B是否相等？请说明理由；
(2)若点P、Q的运动速度不相等，△BPD与△CQP全等时，求a与t的值．
26.(本小题10分)
如图1，在△ABC中，BO⊥AC于点O，AO=BO=5，OC=2，过点A作AH⊥BC于点H，交BO于点P．
(1)求线段OP的长度；
(2)连接OH，求证：∠OHP=45°；
(3)如图2，若点D为AB的中点，点M为线段BO延长线上一动点，连接MD，过点D作DN⊥DM交线段OA延长线于N点，则S△BDM−S△ADN的值是否发生改变？如改变，求出该值的变化范围；若不改变，求该式子的值．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
B、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
C、是轴对称图形，故本选项符合题意；
D、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
故选：C．
根据轴对称的定义，结合所给图形进行判断即可．
本题考查了轴对称图形，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．
2.【答案】A
【解析】解：∵△ABC≌△DEF，∠A=60°，∠E=70°，
∴∠B=∠E=70°，
∴∠C=180°−60°−70°=50°．
故选：A．
根据全等三角形的性质可得∠B=∠E=70°，再根据三角形的内角和定理即可求解．
本题考查全等三角形的性质、三角形内角和定理，能熟记全等三角形的对应角相等是解题的关键．
3.【答案】B
【解析】解：∵DE⊥AB，
∴∠DEB=90°=∠C，
在Rt△BED和Rt△BCD中，
BD=BDBE=BC，
∴Rt△BED≌Rt△BCD(HL)，
∴DE=DC，
∴AD+DE=AD+CD=AC=5cm，
故选：B．
根据HL证Rt△BED≌Rt△BCD，推出DE=DC，得出AD+DE=AD+DC=AC，代入求出即可．
本题考查了直角三角形全等的性质和判定，注意：全等三角形的对应边相等，判断直角三角形全等的方法有SAS，ASA，AAS，SSS，HL．
4.【答案】C
【解析】【分析】
此题主要考查线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
根据线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等解得即可．
【解答】解：∵△ABC的垂直平分线的交点到△ABC三个顶点的距离相等，
∴凳子应放置的最适当的位置是在△ABC的三边垂直平分线的交点，
故选C．
5.【答案】C
【解析】解：①由∠CAE=∠BAD，得∠CAB=∠DAE.增加AB=AE，那么AB=AE，∠CAB=∠DAE，AC=AD，推断出△ABC≌△AED，故①符合题意．
②由∠CAE=∠BAD，得∠CAB=∠DAE.添加BC=ED，△ABC与△AED不一定全等，故②不符合题意．
③由∠CAE=∠BAD，得∠CAB=∠DAE.增加∠C=∠D，那么∠C=∠D，∠CAB=∠DAE，AC=AD，推断出△ABC≌△AED，故③符合题意．
④由∠CAE=∠BAD，得∠CAB=∠DAE.增加∠B=∠E，那么∠B=∠E，∠CAB=∠DAE，AC=AD，推断出△ABC≌△AED，故④符合题意．
综上：符合题意的有①③④，共3个．
故选：C．
根据全等三角形的判定解决此题．
本题主要考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解决本题的关键．
6.【答案】D
【解析】解：由题意可得，△ABC≌△CDE，∠ECD+∠ACB=90°，
而(2)，(3)，(4)，(5)均满足∠EC2D+∠AC1B=90°
∴(2)，(3)，(4)，(5)均成立
故选：D．
由题中条件可得出Rt△ABC≌Rt△CDE，所以∠ECD+∠ACB=90°，而在后面的几种情况中，只要满足两个角之和为90°即可．
熟练掌握直角三角形的判定．
7.【答案】A
【解析】解：由角平分线的性质得，两个角的平分线的交点到三边的距离相等，设为h，则
S△ABC=12(3+4+5)h=12×3×4，
解得h=1．
即这个三角形两个角的平分线的交点到其中一边的距离是1．
故选：A．
根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得两个角的平分线的交点到三边的距离相等，设为h，然后根据三角形的面积列出方程求解即可．
本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质并利用三角形的面积列出方程是解题的关键．
8.【答案】B
【解析】解：如图，连接CM，CN，
△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8，BC=6，
∵DE=4，点M、N分别是DE、AB的中点，
∴CN=12AB=5，CM=12DE=2，
当C、M、N在同一直线上时，MN取最小值，
∴MN的最小值为：5−2=3．
故选：B．
根据三角形斜边中线的性质求得CN=12AB=5，CM=12=2，由当C、M、N在同一直线上时，MN取最小值，即可求得MN的最小值为3．
本题考查了直角三角形斜边中线的性质，明确C、M、N在同一直线上时，MN取最小值是解题的关键．
9.【答案】1
【解析】解：∵两个三角形全等，
∴x=4，y=3，
∴x−y=1．
故答案为：1．
由全等三角形的对应边相等，得到x=4，y=3，即可求出x−y=1．
本题考查全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形的对应边相等．
10.【答案】M17936
【解析】解：
----------------------------
M 1 7 9 3 6
∴该车的牌照号码是M17936．
故答案为：M17936．
易得所求的牌照与看到的牌照关于水平的一条直线成轴对称，作出相应图形即可求解．
此题主要考查了镜面对称，解决本题的关键是找到相应的对称轴；难点是作出相应的对称图形．
11.【答案】26°
【解析】解：根据作图过程可知：∠AOD=∠AOB=26°，
故答案为：26°．
根据作一个角等于已知角的过程即可解决问题．
本题考查了作图−基本作图，解决本题的关键是掌握基本作图方法．
12.【答案】90°
【解析】解：∵在△ABC中，AB=AC，
∴△ABC为等腰三角形，
∵AD是BC边上的中线，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB=90°．
故答案为：90°．
根据等腰三角形“三线合一定理”可推理得出答案．
本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
13.【答案】50°
【解析】解：∵四边形ABCD是长方形，
∴AD//BC，
∴∠EA′F=∠DFA′，
由折叠的性质得，∠A′FE=∠AFE=65°，
∴∠DFA′=180°−∠AFE−∠A′FE=180°−65°−65°=50°，
∴∠EA′F=50°，
故答案为：50°．
由四边形ABCD是长方形得出AD//BC，再根据两直线平行，内错角相等得出∠EA′F=∠DFA′，由折叠的性质得出∠A′FE=∠AFE=65°，再由平角的定义求出∠DFA′的度数，于是问题得解．
本题考查了平行线的性质及折叠的性质，解题的关键是根据折叠的性质得出∠A′FE=∠AFE，解此类问题应充分运用数形结合思想从图形中寻找等量关系．
14.【答案】6
【解析】解：如图，过D作DE⊥BC于E，
∵∠A=90°，
∴DA⊥BA，
∵BD平分∠ABC，
∴DE=DA=2，
∵BD⊥CD，
∴∠BDC=90°，
∵点P为BC边中点，DP=3，
∴BC=2DP=6，
∴S△BCD=12BC⋅DE=12×6×2=6，
故答案为：6．
过D作DE⊥BC于E，由角平分线的性质得DE=DA=3，再由直角三角形斜边上的中线性质得BC=2DP=8，然后由三角形面积公式即可得出结论．
本题考查了角平分线的性质、直角三角形斜边上的中线性质以及三角形面积公式，熟练掌握角平分线的性质和直角三角形斜边上的中线性质是解题的关键．
15.【答案】65°或25°
【解析】解：在等腰△ABC中，AB=AC，BD为腰AC上的高，∠ABD=40°，
当BD在△ABC内部时，如图1，
∵BD为高，
∴∠ADB=90°，
∴∠BAD=90°−40°=50°，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=12(180°−50°)=65°；
当BD在△ABC外部时，如图2，
∵BD为高，
∴∠ADB=90°，
∴∠BAD=90°−40°=50°，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
而∠BAD=∠ABC+∠ACB，
∴∠ACB=12∠BAD=25°，
综上所述，这个等腰三角形底角的度数为65°或25°．
故答案为：65°或25°．
在等腰△ABC中，AB=AC，BD为腰AC上的高，∠ABD=40°，讨论：当BD在△ABC内部时，如图1，先计算出∠BAD=50°，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和可计算出∠ACB；当BD在△ABC外部时，如图2，先计算出∠BAD=50°，再根据等腰三角形的性质和三角形外角性质可计算出∠ACB．
本题考查了等腰三角形的性质：等腰三角形的两腰相等；等腰三角形的两个底角相等．
16.【答案】②③④
【解析】解：∵DE//BC，
∴∠DFB=∠FBC，∠EFC=∠FCB，
∵△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点F，
∴∠DBF=∠FBC，∠ECF=∠FCB，
∴∠DBF=∠DFB，∠ECF=∠EFC，
∴DB=DF，EF=EC，
即△BDF和△CEF都是等腰三角形；
故④正确，符合题意；
∴DE=DF+EF=BD+CE，
故③正确，符合题意；
∴△ADE的周长为：AD+DE+AE=AB+BD+CE+AE=AB+AC；
故②正确，符合题意；
∵∠ABC不一定等于∠ACB，
∴∠FBC不一定等于∠FCB，
∴BF与CF不一定相等，
故①错误，不符合题意．
故答案为：②③④．
由平行线得到角相等，由角平分线得角相等，根据平行线的性质及等腰三角形的判定和性质．
本题考查了等腰三角形的性质及角平分线的性质及平行线的性质；题目利用了两直线平行，内错角相等，及等角对等边来判定等腰三角形的；等量代换的利用是解答本题的关键．
17.【答案】5
【解析】解：∵△ABC是等边三角形，D是BC边中点，
∴AD⊥BC，
∴B与C关于AD对称，
过C作CF⊥AB交AD于点E，交AB于点F，
则BE+EF=CE+EF=CF，则EB+EF的最小值为CF的长，
∵AD=5，
∴CF=5，
故答案为5．
根据等边三角形的性质，可知B与C关于AD对称，过C作CF⊥AB交AD于点E，交AB于点F，则EB+EF的最小值为CF的长，求出CF的长即可求解．
本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握利用轴对称求最短距离的方法，此题确定EB+EF的最小值为CF的长是解题的关键．
18.【答案】6
【解析】解：∵BC边上的高线AM=6，
∴AB=BC=AC=4 3，
设BD=x，则CD=4 3−x，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠C=60°．
∴ED=sin60°⋅BD，即ED= 32x，
同理可证：DF= 32(4 3−x)=6− 32x，
∴DE+DF= 32x+6− 32x=6；
故答案为：6．
先设BD=x，则CD=6−x，根据△ABC是等边三角形，得出∠B=∠C=60°，再利用三角函数求出ED和DF的长，即可得出DE+DF的值．
此题主要考查了等边三角形的性质，用到的知识点是三角函数，难度不大，有利于培养同学们钻研和探索问题的精神．
19.【答案】解：(1)如图，CF即为∠BCD的角平分线．
(2)如图，直线EO即为AD的垂直平分线．
【解析】(1)由图可知，∠BCD=90°，利用网格，取格点F，作射线CF即可．
(2)连接AD，由图可知，△ADE为等腰三角形，取AD的中点G，作直线EG，交CF于点O，则直线EO即为AD的垂直平分线．
本题考查作图−应用与设计作图、角平分线的性质、线段垂直平分线的性质，熟练掌握相关知识点是解答本题的关键．
20.【答案】(1)证明：∵DF//AC，
∴∠DFE=∠ACB，
∵ED//AB，
∴∠E=∠B，
在△DFE和△ACB中，
∠DFE=∠ACB∠E=∠BDE=AB，
∴△DFE≌△ACB(AAS)；
(2)解：由(1)可得，△DFE≌△ACB，
∴BC=EF，
∴BC−CF=EF−CF，
∴BF=EC．
【解析】(1)由DF//AC，ED//AB，可得∠DFE=∠ACB，∠E=∠B，即可得出结论；
(2)由(1)可得△DFE≌△ACB，根据全等三角形的性质可得BC=EF，再利用等量代换即可得出结论．
本题考查平行线的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
21.【答案】证明：∵△ABC为等腰三角形，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵BD、CE为底角的平分线，
∴∠DBC=12∠ABC，∠ECB=12∠ACB，
∴∠DBC=∠ECB，
∵∠DBC=∠F，
∴∠ECB=∠F，
∴EC//DF．
【解析】先由等腰三角形的性质得出∠ABC=∠ACB，根据角平分线定义得到∠DBC=12∠ABC，∠ECB=12∠ACB，那么∠DBC=∠ECB，再由∠DBC=∠F，等量代换得到∠ECB=∠F，于是根据平行线的判定得出EC//DF．
本题考查了等腰三角形的性质，角平分线定义，平行线的判定，难度适中．得出∠DBC=∠ECB是解题的关键．
22.【答案】(1)证明：∵∠BAC=∠EAD，
∴∠BAC+∠DAC=∠EAD+∠DAC，即∠DAB=∠EAC，
在△EAC和△DAB中，
AE=AD∠EAC=∠DABAC=AB，
∴△ABD≌△ACE(SAS)；
(2)解：∵∠BAC=∠EAD，∠CAD=120°，
∴∠BAC=∠EAD=180°−∠CAD2=180°−120°2=30°，
∵∠BAC是△EAC的外角，
∴∠BAC=∠AEC+∠ACE=30°，
∵△ABD≌△ACE，
∴∠ECA=∠DBA，
∵∠DME是△BME的外角，
∴∠DME=∠AEC+∠ABD=∠AEC+∠ACE=30°．
【解析】(1)由∠BAC=∠EAD，得出∠DAB=∠EAC，再利用“SAS”即可证明△ABD≌△ACE；
(2)由∠BAC=∠EAD，∠CAD=100°，得出∠BAC=30°，由外角的性质得出∠BAC=∠AEC+∠ACE=40°，由全等三角形的性质得出∠ECA=∠DBA，由外角的性质得出∠DME=∠AEC+∠ABD=∠AEC+∠ACE=30°．
本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定与性质，平角的定义，三角形外角的性质是解决问题的关键．
23.【答案】SSS
【解析】解：①李老师用尺规作角平分线时，用到的三角形全等的判定方法SSS．
故答案为SSS；
②小聪的作法正确．
理由：∵PM⊥OM，PN⊥ON，
∴∠OMP=∠ONP=90°，
在Rt△OMP和Rt△ONP中，
OP=OPOM=ON，
∴Rt△OMP≌Rt△ONP(HL)，
∴∠MOP=∠NOP，
∴OP平分∠AOB．
①根据全等三角形的判定即可求解；
②根据HL可证Rt△OMP≌Rt△ONP，再根据全等三角形的性质即可作出判断．
本题考查了用刻度尺作角平分线的方法，全等三角形的判定与性质，难度不大．
24.【答案】证明：∵在△ABC中，∠ACB=90°，
∴∠B+∠BAC=90°，
∵CD是AB边上的高，
∴∠ACD+∠BAC=90°，
∴∠B=∠ACD，
∵AE是∠BAC的角平分线，
∴∠BAE=∠EAC，
∴∠B+∠BAE=∠ACD+∠EAC，
即∠CEF=∠CFE，
∴CE=CF，
∴△CEF是等腰三角形．
【解析】根据直角三角形两锐角互余求得∠B=∠ACD，然后根据三角形外角的性质求得∠CEF=∠CFE，根据等角对等边求得CE=CF，从而求得△CEF是等腰三角形．
本题考查了直角三角形的性质，三角形外角的性质，等腰三角形的判定等，熟练掌握性质定理是解题的关键．
25.【答案】解：(1)∠DPQ=∠B，理由如下：
∵t=43时，PB=4，CQ=4，
∴PC=BC−PB=12−4=8，
∵BD=AD=8，
∴PC=BD，
∵∠C=∠B，CQ=BP，
∴△QCP≌△PBD(SAS)，
∴∠QPC=∠PDB，
∵∠DPQ=180°−∠QPC−∠BPD，∠B=180°−∠PDB−∠BPD，
∴∠DPQ=∠B；
(2)∵点P、Q的运动速度不相等，
∴BP≠CQ，
又∵△BPD与△CPQ全等，∠B=∠C，
∴BP=PC，BD=CQ，
∴3t=12−3t，at=8，
解得：t=2，a=4．
【解析】(1)根据题意即可判定△QCP≌△PBD(SAS)，根据全等三角形的性质、平角的定义、三角形内角和定理即可得解；
(2)根据全等三角形对应边相等，列方程即可得到结论．
本题考查了全等三角形的性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
26.【答案】(1)解：∵BO⊥AC，AH⊥BC，
∴∠AOP=∠BOC=∠AHC=90°，
∴∠OAP+∠C=∠OBC+∠C=90°，
∴∠OAP=∠OBC，
在△OAP和△OBC中，
∠AOP=∠BOCAO=BO∠OAP=∠OBC，
∴△OAP≌△OBC(ASA)，
∴OP=OC=2；
(2)证明：过O分别作OM⊥CB于M点，作ON⊥HA于N点，如图1所示：
在四边形OMHN中，∠MON=360°−3×90°=90°，
∴∠COM=∠PON=90°−∠MOP．
在△COM与△PON中，
∠COM=∠PON∠OMC=∠ONP=90°OC=OP，
∴△COM≌△PON(AAS)，
∴OM=ON．
∵OM⊥CB，ON⊥HA，
∴HO平分∠CHA，
∴∠OHP=12∠AHC=45°；
(3)解：S△BDM−S△ADN的值不发生改变，等于254.理由如下：
连接OD，如图2所示：
∵∠AOB=90°，OA=OB，D为AB的中点，
∴OD⊥AB，∠BOD=∠AOD=45°，OD=DA=BD
∴∠OAD=45°，∠MOD=90°+45°=135°，
∴∠DAN=135°=∠DOM．
∵MD⊥ND，
即∠MDN=90°，
∴∠MDO=∠NDA=90°−∠MDA．
在△ODM和△ADN中，
∠MDO=∠NDAOD=AD∠DOM=∠DAN，
∴△ODM≌△ADN(ASA)，
∴S△ODM=S△ADN，
∴S△BDM−S△ADN=S△BDM−S△ODM=S△BOD=12S△AOB=12×12AO⋅BO=12×12×5×5=254．
【解析】(1)证△OAP≌△OBC(ASA)，即可得出OP=OC=2；
(2)过O分别作OM⊥CB于M点，作ON⊥HA于N点，证△COM≌△PON(AAS)，得出OM=ON.得出HO平分∠CHA，即可得出结论；
(3)连接OD，由等腰直角三角形的性质得出OD⊥AB，∠BOD=∠AOD=45°，OD=DA=BD，则∠OAD=45°，证出∠DAN=∠MOD.证△ODM≌△ADN(ASA)，得S△ODM=S△ADN，进而得出答案．
本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、直角三角形的性质以及三角形面积等知识；本题综合性强，证明三角形全等是解题的关键．
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