2023年广东省东莞市石龙镇中考数学一模试卷

这是一份2023年广东省东莞市石龙镇中考数学一模试卷，共16页。试卷主要包含了有一组从小到大排列的数据，关于x的不等式＞﹣1的解集是，若点A等内容，欢迎下载使用。

1．如果“亏损5%”记作﹣5%，那么+3%表示（ ）
A．多赚3%B．盈利﹣3%C．盈利3%D．亏损3%
2．据旅游研究院最新数据显示，今年中秋节国庆节假期，全国实现旅游收入210500000000元，将旅游收入210500000000元用科学记数法表示为（ ）
A．2.105×1011元B．2.105×1012元
C．2.105×1010元D．2.105×108元
3．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
4．有一组从小到大排列的数据：1，3，3，x，6，下列结论中，正确的是（ ）
A．这组数据可以求出极差
B．这组数据的中位数不能确定
C．这组数据的众数是3
D．这组数据的平均数可能是3
5．某校举行演讲比赛，计划在九年级选取1名主持人，报名情况为：九（1）班有2人报名，九（2）班有4人报名，九（3）班有6人报名．若从这12名同学中随机选取1名主持人，则九（1）班同学当选的概率是（ ）
A．B．C．D．
6．将抛物线y＝x2向上平移2个单位，再向左平移1个单位，则平移后的抛物线解析式为（ ）
A．y＝x2+2x﹣3B．y＝x2﹣2x+3C．y＝x2+2x+3D．y＝x2﹣2x﹣3
7．关于x的不等式＞﹣1的解集是（ ）
A．x＞2B．x＜2C．x＜﹣2D．x＞﹣2
8．若点A（﹣2，y1）、B（﹣1，y2）、C（1，y3）都在反比例函数y＝（k为常数）的图象上，则y1、y2、y3的大小关系为（ ）
A．y1＜y2＜y3B．y2＜y3＜y1C．y2＜y1＜y3D．y3＜y1＜y2
9．如图，AB是⊙O的一条弦，点C是⊙O上一动点，且∠ACB＝30°，点E、F分别是AC、BC的中点，直线EF与⊙O交于G、H两点，若⊙O的半径为7，则GE+FH的最大值为（ ）
A．10.5B．7﹣3.5C．11.5D．7﹣3.5
10．如图1，在等边三角形ABC中，AB＝2，G是BC边上一个动点且不与点B、C重合，H是AC边上一点，且∠AGH＝30°．设BG＝x，图中某条线段长为y，y与x满足的函数关系的图象大致如图2所示，则这条线段可能是图中的（ ）
A．线段CGB．线段AGC．线段AHD．线段CH
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．在平面直角坐标系中，点（5，﹣1）关于原点对称的点的坐标是 ．
12．若﹣xy2与5xmyn是同类项，则m﹣n＝ ．
13．如果2x﹣y＝3，那么代数式4x﹣2y+1的值为 ．
14．如图，点A是反比例函数y＝图象上一点，过点A作AB⊥y轴于点B，点C、D在x轴上，且BC∥AD，四边形ABCD的面积为4，则k＝ ．
15．如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，点E在边BC上，点F在CB的延长线上，∠EAF＝45°，AE交BD于点G，tan∠BAE＝，BF＝2，则FG＝ ．
三．解答题（共8小题，满分75分）
16．（8分）2sin60°﹣
17．（8分）先化简：（a+2+）•，然后从0≤a≤3的范围内选取一个合适的整数作为a的值代入求值．
18．（8分）如图，在△ABC中，BC＝8cm，AB＝10cm．
（1）作AC的垂直平分线DE，交AC于点D，交AB于点E；（用黑色水笔描出作图痕迹，不要求写作法）
（2）连接CE，求△BCE的周长．
19．某中学为了更好地开展阳光体育运动，号召学生参加跳绳、乒乓球、羽毛球、篮球四项运动．九（1）班积极响应学校号召，要求全班学生根据自己的爱好只参加其中一项．九（1）班班主任将本班学生参加四项活动情况进行统计，绘制了两幅统计图的一部分（如图），请你结合图中的信息，解答下列问题：
（1）九（1）班共有 名学生参加四项活动；
（2）将两个统计图补充完整；
（3）学校准备从该班参加篮球运动的6名学生中随机选2名，组成校篮球队．若参加篮球运动的6名学生中，有4名男生2名女生，则学校选取的2名学生中，恰好男女生各一名的概率是多少？
20．在平面直角坐标系中，直线y＝kx+b（k≠0）与双曲线y＝（m≠0）相交于A，B两点，点A坐标为（3，2），点B坐标为（n，﹣3）．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）根据函数图象直接写出关于x的不等式kx+b＞的解集．
21．今年4月23日是第26个世界读书日．八（1）班举办了“让读书成为习惯，让书香飘满校园”主题活动．准备订购一批新的图书鲁迅文集（套）和四大名著（套）．
（1）采购员从市场上了解到四大名著（套）的单价比鲁迅文集（套）的单价的贵25元．花费1000元购买鲁迅文集（套）的数量与花费1500元购买四大名著（套）的数量相同．求鲁迅文集（套）和四大名著（套）的单价各是多少元？
（2）若购买鲁迅文集和四大名著共10套（两类图书都要买），总费用不超过570元，问该班有哪几种购买方案？
22．（12分）如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，C、E是⊙O上的两点，CE＝CB，∠BCD＝∠CAB，延长AE交BC的延长线于点F．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若，BD＝4，求⊙O的半径；
（3）若BC＝2AE，求sin∠CAB 的值．
23．（12分）抛物线y＝ax2+bx﹣2与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），且A（﹣1，0），B（4，0），与y轴交于点C．连结BC，以BC为边，点O为中心作菱形BDEC，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P作x轴的垂线交抛物线于点Q，交BD于点M．
（1）求该抛物线对应的函数表达式；
（2）x轴上是否存在一点P，使△PBC为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）当点P在线段OB上运动时，试探究：当m为何值时，四边形CQMD是平行四边形？请说明理由．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1． 解：∵“亏损5%”记作﹣5%，
∴+3%表示表示盈利3%．
故选：C．
2． 解：210500000000＝2.105×1011，
故选：A．
3． 解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意；
C、既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意．
故选：D．
4． 解：A、这组数据的最大值与最小值的差为6﹣1＝5，故极差为5，故本选项符合题意；
B、这组数据的中位数是3，故本选项不符合题意；
C、3出现了2次，次数最多，是该组数据的众数，故本选项不符合题意；
D、这组数据的平均数大于3，故本选项不符合题意．
故选：A．
5． 解：∵九（1）班有2人报名，九（2）班有4人报名，九（3）班有6人报名，
∴共有12名同学，
∵九（1）班有2名，
∴P＝＝；
故选：D．
6． 解：将抛物线y＝x2向上平移2个单位，再向左平移1个单位，
得到的抛物线的解析式为y＝（x+1）2+2＝x2+2x+3．即y＝x2+2x+3．
故选：C．
7． 解：去分母，得2（x﹣2）＞3x﹣6
去括号，得2x﹣4＞3x﹣6，
移项，得2x﹣3x＞﹣6+4，
合并同类项，得﹣x＞﹣2，
系数化为1，得x＜2，
故选：B．
8． 解：∵k2+1＞0，
∴反比函数图象在一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小，
∴A（﹣2，y1）、B（﹣1，y2）在第三象限内，C（1，y3）在第一象限内，
∵﹣1＞﹣2，
∴y1＞y2，
∴y2＜y1＜y3，
故选：C．
9． 解：连接OA，OB，
∵∠ACB＝30°，
∴∠AOB＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB＝7，
当GH为⊙O的直径时，GE+FH有最大值．
当GH为直径时，E点与O点重合，
∴AC也是直径，AC＝14．
∵∠ABC是直径上的圆周角，
∴∠ABC＝90°，
∵∠C＝30°，
∴AB＝AC＝7．
∵点E、F分别为AC、BC的中点，
∴EF＝AB＝3.5，
∴GE+FH＝GH﹣EF＝14﹣3.5＝10.5．
故选：A．
10． 解：若线段CG＝y，由题意可得，y随x的增大减小，故选项A错误；
若线段AG＝y，由题意可得，y随x的增大先增大再减小，并且左右对称，故选项B错误；
若线段AH＝y，由题意可得，y随x的增大先减小再增大，故选项C错误；
若线段CH＝y，由题意可得，y随x的增大先增大再减小，故选项D正确；
故选：D．
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11． 解：点P（5，﹣1）关于原点对称的点的坐标是（﹣5，1）．
故答案为：（﹣5，1）．
12． 解：由题意可知：m＝1，n＝2，
∴m﹣n＝1﹣2＝﹣1，
故答案为：﹣1．
13． 解：∵2x﹣y＝3，
∴4x﹣2y＝6，
∴4x﹣2y+1＝6+1＝7，
故答案为：7．
14． 解：连接OA，
∵AB⊥y，BC∥AD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵平行四边形ABCD的面积为4，即，AB•OB＝4，
∴S△AOB＝AB•OB＝2＝|k|，
∴k＝﹣4或k＝4（舍去）
故答案为：﹣4．
15． 解：法一、如图，过点E作EH⊥AC于点H，
则△EHC是等腰直角三角形，
设EH＝a，则CH＝a，CE＝a，
在Rt△ABE中，∠ABE＝90°，
∴tan∠BAE＝＝，
∴BE＝AB，
∴BE＝CE＝a，
∴AB＝BC＝2a，
∴AC＝4a，AH＝3a，
∴tan∠EAH＝＝，
∵∠EAF＝∠BAC＝45°，
∴∠BAF＝∠EAH，
∴tan∠BAF＝tan∠EAH＝，
∵BF＝2，
∴AB＝6，BE＝CE＝3，
∴AE＝3，AF＝2，
∴EF＝5，
∵AD∥BC，
∴AD：BE＝AG：GE＝2：1，
∴GE＝，
∵EF：GE＝5：＝：1，
AE：BE＝3：3＝：1，
∠GEF＝∠BEA，
∴EF：GE＝AE：BE，
∴△GEF∽△BEA，
∴∠EGF＝∠ABE＝90°，
∴∠AGF＝90°，
∴△AGF是等腰直角三角形，
∴FG＝AF＝2．
法二、在正方形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，
∴∠BAC＝45°，∠AOB＝∠ABC＝90°，
∴∠AOB＝∠ABF＝90°，
∵∠EAF＝45°，
∴∠BAF＝∠OAG，
∴△AOG∽△ABF，
∴AO：AG＝AB：AF，
∵∠EAF＝∠OAB＝45°，
∴△AOB∽△AGF，
∴∠AGF＝∠AOB＝90°，
∴△AGF是等腰直角三角形，
∴FG＝AF＝2．
故答案为：2．
三．解答题（共8小题，满分75分）
16． 解：原式＝2×﹣1+9+﹣1＝2+7
17． 解：原式＝（﹣）
＝
＝
＝﹣2（a+3）
＝﹣2a﹣6，
当a＝0时，原式＝﹣6．
18． 解：（1）如图，DE为所作；
（2）∵ED垂直平分AC，
∴EA＝EC，
∴△BCE的周长＝BE+BC+CE＝BE+EA+BC＝AB+BC＝10+8＝18（cm）．
19． 解：（1）九（1）班的人数＝16÷40%＝40（人）；
故答案为400；
（2）参加羽毛球运动的人数＝40×25%＝10（人），
参加篮球球运动的百分比＝×100%＝15%，参加乒乓球运动的百分比＝1﹣40%﹣25%﹣15%＝20%，
如图，
（3）画树状图为：
共有30种等可能的结果数，其中一男一女生占16种，所以恰好男女生各一名的概率＝＝．
20． 解：（1）∵双曲线y＝（m≠0）过点A（3，2），
∴m＝3×2＝6，
∴反比例函数表达式为y＝，
∵点B（n，﹣3）在反比例函数y＝的图象上，
∴n＝﹣2，
∴B（﹣2，﹣3）．
∵点A（3，2）与点B（﹣2，﹣3）在直线y＝kx+b上，
∴解得，
∴一次函数表达式为y＝x﹣1；
（2）由图象可知，关于x的不等式kx+b＞的解集是﹣2＜x＜0或x＞3．
21． 解：（1）设鲁迅文集（套）的单价为x元，则四大名著（套）的单价是（x+25）元，
由题意得：，
解得：x＝50，
经检验，x＝50是方程的解，且符合题意，
∴x+25＝50+25＝75，
答：鲁迅文集（套）的单价是50元，四大名著（套）的单价是75元；
（2）设购买鲁迅文集a套，
由题意得：50a+75（10﹣a）≤570，
解得：a≥7.2，
∵a＜10且a为正整数，
∴a＝8或9，
则该班有两种购买方案，①鲁迅文集8套，四大名著2套；②鲁迅文集9套，四大名著1套．
22． （1）证明：如图，连接OC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠OCA+∠OCB＝90°，
∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠OAC，
又∵∠BCD＝∠CAB，
∴∠BCD+∠OCB＝90°，
∴∠OCD＝90°，
即OC⊥CD，
∵OC是⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：在Rt△ABC中，tan∠CAB＝＝，
∵∠BCD＝∠CAB，∠D＝∠D，
∴△DBC∽△DAC，
∴＝＝＝，
∴，
∴CD＝6，
∴，
∴AD＝9，
∴AB＝AD﹣BD＝9﹣4＝5，
∴⊙O的半径＝AB＝；
（3）解：设AB＝a，AE＝k，则BC＝EC＝2k，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝∠ACE＝90°，
∵CE＝CB，
∴，
∴∠FAC＝∠BAC．
在△BAC和△FAC中，
，
∴△BAC≌△FAC（ASA），
∴AB＝AF＝a，BC＝FC＝2k，
∴EF＝AF﹣AE＝a﹣k，FB＝4k．
∵∠FCE为圆内接四边形ABCE的外角，
∴∠FCE＝∠FAB，
∵∠F＝∠F，
∴△FCE∽△FAB，
∴，
∴，
∴k＝a或k＝a（负数不合题意，舍去），
∴sin∠CAB＝．
23． 解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣2与x轴交于A（﹣1，0），B（4，0）两点，
∴设抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣4）＝a（x2﹣3x﹣4），
即﹣4a＝﹣2，解得：a＝，
∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣x﹣2；
（2）设点P的坐标为（m，0），
则PB2＝（m﹣4）2，PC2＝m2+4，BC2＝20，
①当PB＝PC时，（m﹣4）2＝m2+4，解得：m＝；
②当PB＝BC时，同理可得：m＝4±2；
③当PC＝BC时，同理可得：m＝±4（舍去4），
故点P的坐标为：（，0）或（4+2，0）或（4﹣2，0）或（﹣4，0）；
（3）∵C（0，﹣2）
∴由菱形的对称性可知，点D的坐标为（0，2），
设直线BD的解析式为y＝kx+2，又B（4，0）
解得k＝﹣，
∴直线BD的解析式为y＝﹣x+2；
则点M的坐标为（m，﹣m+2），
点Q的坐标为（m，m2﹣m﹣2），
如图，当MQ＝DC时，四边形CQMD是平行四边形
∴（﹣m+2）﹣（m2﹣m﹣2）＝2﹣（﹣2），
解得m1＝0（不合题意舍去），m2＝2，
∴当m＝2时，四边形CQMD是平行四边形．